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TEORIA DE CONJUNTOS PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF












Se entiende por conjunto a la colección, asociación, reunión, agrupación de objetos que toman el nombre de elementos dentro de un conjunto. Ejemplos: 1) El conjunto formado por Ministros del Perú. 2) El conjunto formado por estrellas del Universo. 3) El conjunto formado por los países latinoamericanos. 4) El conjunto formado por un niño pobre que vive en Miraflores. CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
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CLICK AQUI PARA VER PDF 3 **** (*) Podemos observar, que este concepto nos da la idea que un conjunto está formado por varios elementos (pluralidad), lo cual no es algo absoluto, ya que existen, conjuntos formados por un solo elemento y conjuntos que no tienen elemento alguno. Ejemplos: 1) El conjunto formado por el Presidente de Arequipa. 2) El conjunto formado por el Rey de Perú. 3) El conjunto formado por el varón que es mujer. 4) El conjunto formado por el extraterrestre que nació en la tierra. S) El conjunto formado por el número natural menor que lO, pero mayor que 8. NOTACIÓN Se representa a los conjuntos mediante ... { } llaves u otrs signos de agrupación identificándolos por las letras mayúsculas: A, B, C, D, E, ... Z. En caso de que los elementos sean letras, se les representa por las letras minúsculas: a, b, e, d, e ... z. (separados por comas). Ejemplo: A = {a, b, c, d, e } Elementos del conjunto A C { Marisol, Ana, Cristina} elementos del conjunto e * Selee: A es el conjunto formado por las letras a, b, e, d, e. C es el conjunto formado por los elementos: Marisol, Ana, Cristina. 111. DETERMINACiÓN DE CONJUNTOS e n conjunto se puede determinar por extensión y/o comprensión (*) 1. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina por extensión, nombrando uno a uno todos los elementos que lo constituyen. Ejemplo: A B C= {sol, luna, estrellas} {4, a, o, zapato} {Enero, febrero, marzo, abril, mayo} 2. DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN Un conjunto se determina por comprensión, enunciando la característica, condición o propiedad común que identifica los elementos del conjunto. Ejemplo: M = {x / x es un postulante a Medicina} ¡/ Nombre genérico de los elementos Características de los elementos Se lee: el conjunto M formado por todos los elementos x tal que x es un postulante a medicina. D = {y I 1 < Y < 5; y E N} E = {xix E N 2 :::: x < 4} (*) Existen conjuntos que sólo se pueden determinar por extensión y conjuntos que sólo se puede determinar por comprensión. No todos los conjuntos se pueden determinar por extensión y comprensión. Ejemplos: POR COMPRENSIÓN POR EXTENSIÓN A = { xI x es una vocal} A = {a, e, i, o, u} A = { xI x es un número} C = {*, s, a, Cristina, sol} Ejercicio: Determinar por extensión los siguientes conjuntos: A B C Resolución I (b Conjunto A: {y/y E N ; 5 < Y :$; 9} {2x + l/x E N; 3 :$; x < 6} { ix I x E N; 2 :$; x :$; 4 } Sus elementos tienen la forma "y" ¿qué valores puede asumir "y"? Respuesta: Puede asumir los valores: 6, 7,8, 9 Entonces : A = {6, 7, 8, 9} ConjuntoS: Sus elementos tienen la forma "2x + 1". ¿qué valores puede asumir "x"? Respuesta : puede asumir los valores: 3,4, S, entonces reemplazando en :" 2x + 1 " Para: Conjunto C: x = 3 x = 4 x = 5 ~ 2(3) + 1 ~ 2(4) + 1 ~ 2(5) + 1 Sus elementos tienen la forma" 1 " 2x ¿qué valores puede asumir "x"? 7 9 11 ~ Elementos del conjunto B Respuesta: puede asumir los valores: 2 ,3, 4 entonces reemplazando en: l 2x Para x=2 Q _ 1_ ~ 2(2) 4 x=3 _1_ 1 Q ~ Elementos del 2(3) 6 conjunto e x=4 Q _ 1_ 1 2(4) 8 e = {l/4, 1/6, 1/8} IV. RELACIÓN DE PERTENENCIA I lecimos que un elemento pertenece ( E ) a un conjunto si forma parte de dicho conjunto. En caso contrario diremos que no pertenece ( ~ ) a dicho conjunto. La relación de pertenencia se establece entre un elemento y un conjunto más no entre conjuntos, ni entre elementos. Ejemplo: B {5,3 {4} ,2,{3}} 5 E B ~ " 5 pertenece a B " f 4 ~ B ~ " 4 no pertenece a B " {4} E B ~ " {4} pertenece a B" {3} E B ~ " {3} pertenece a B " 8 ~ B ~ " 8 no pertenece a B " V. NÚMERO ORDINAL Es el número que nos indica la posición o el orden del elemento dentro del conjunto. . Ejemplo: B ~ {mpato, ,mbata, ,am;,a, pantal6n}~ .u. .u. .u. .u. \. I I '- CD ® @ @ \) - l/fU -L- -L- -L- -L- 1A ji ~~ Números ordinales de los elementos El último número ordinal correspondiente al último elemento, toma el nombre propio de NÚMERO CARDINAL DEL CONJUNTO, que nos indica el número de elerhi:mtos del conjunto. . G { Aritmética, Geometría, Trigonometría, Álgebra} .u. 1 .u. 2 .u. 3 Número cardinal Cardinal de un conjunto = n () del conjunto G ¿;:¿;; Ejemplo: n (G) = [!] VI. CLASIFICACIÓN De acuerdo al número de elementos se clasifica en: 1. CONJUNTO FINITO Conjunto formado por un número determinado de elementos; por lo tanto, puede ser determinado por extensión. Ejemplos: C D E {lápiz, cuaderno, libro, lapicero} {xix es un estudiante pre-universitario} {xix E N; 5 < x < lO} CASOS ESPECIALES: CONJUNTO NULO O VACÍO: Conjunto que no posee elemento alguno. Se representa por : {} ó (O Ejemplos: M {xl X E N; 8 < x < 9} (O {xl x es un cuadrado que tiene 5 lados} CONJUNTO UNITARIO: Es el conjunto que tiene un solo elemento. Ejemplos: S = {y/y E N; 7 > x > 5} Q = {xix es el rector de la UNMSM } 2. CONJUNTO INFINITO Conjunto formado por un número indeterminado de elementos; por lo tanto, no puede ser determinado por extensión. H = { x / x es una estrella de la vía láctea } A) Conjunto Infinito Numerable: Es el conjunto cuyos elementos tienen un orden determinado. J = {xl X E N*} J = {l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...... ... } B) Conjunto Infinito Innumerable: Es el conjunto cuyos elementos no poseen un orden determinado. Q = {xl X E R} * No podrá deci: cual sería el primer elemento. VII. RE LACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. INCLUSIÓN Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B, cuando todo elemento de A, pertenece a B. (A c B<=:>X E A => X E B J Se lee: A está incluido en B, si y solo sÍ, x pertenece a A, entonces pertenece a B. Ejemplos: ~--------------------------------~ A {Bario, Aluminio, Oro} B {Oro, Plata, Aluminio, Sodio, Bario} C {Plata, Sodio, Oro} AcB B::::>A Cr::.A Se lee: A está incluido en B A es subconjunto de B Se lee: B incluye a A Se lee: C no está incluido en A C no está contenido en A Si A e B, entonces A es sub-conjunto de B E = {verde, azul, marrón} S = {azul, amarillo, verde, marrón} O = {azul, amarillo, verde negro blanco, marrón} Si: E e S y S e O => E e O Propiedades 1) Todo conjunto es sub conjunto de si mismo. A e A 2) El conjunto vacío es sub conjunto de todo conjunto. 3) SiAestá incluido en By B está incluido en A, entonces, A es igual a B. A e B y B e A ~ A = B 4) Si A está incluido en By B está incluido en C, entonces, Aestá incluidoenC.A e B y B e C ~ AcC 2. CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. Ejemplo: S = {D , agua, 0, miel} Q = {agua, D , miel, O} S=Q <::> S c Q 1\ S ::J Q J 3. CONJUNTOS EQUIVALENTES - EQUIPOTENTES Dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo número cardinal, es decir, tienen el mismo número de elementos. Ejemplo: K = { María, Sofía, Clara} L = { Dólar, Franco, Sol} ( K < > L <::> n(K) = n(L) 4 . CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos son disjuntos, cuando no tienen ningún elemento común. Ejemplo: C = { Inti, Sol, Dólar, Franco} D = {Loro, pato, gallina} ( C y D son dos conjuntos disjuntos J 5. CONJUNTOS SOLAPADOS Conjuntos que, sin estar uno inclu ido en el otro, tienen elementos comunes. Ejemplo: M = {a, b, c, d, e, f} N= {a,q,e} 6. CONJUNTOS DIFERENTES Dos conjuntos son diferentes, si uno de los conjuntos posee por lo menos, un elemento no común a algún elemento del otro conjunto. Ejemplo: E = {Soledad, Iris, Cristina} Q = { Carlos, Iris, Cristina, Soledad} ( E ~ Q ) 7. SUBCONJUNTO PROPIO.- (Parte propia) Se dice que A es subconjunto propio del conjunto B si: A está incluido en B y A es un conjunto diferente de B Ejemplo: A = { 2 , 4 , 6 , 7} B = {1 , 2 , 3,4,5, 6 , 7, 8} 8. CONJUNTO POTENCIA.- (Conj . de partes de un conjunto) Sea A un conjunto cualquiera, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos, del conjunto A. Ejemplo: A ={l,2,3} Sub - conjuntos de A = {l} , {2 }, {3}, {l ,2} , {2 ,3 }, {1,3} , {l ,2 ,3 L (2) El conjunto potencia de A, denota por P(A) será: P(A) = {l}, {2}, {3} , {l ,2}, {2,3} , {1 ,3 }, {l ,2 ,3 }, (2) El número de elementos del conjunto potencia es = 2 n I N P ( ) = 2 n I donde n = # elementos del conjunto A. Ejemplo: n ItA) = 23 = cru * El Conjunto Potencia propio de A, estarían conformado por los subconjuntos propios de A. 9. CONJUNTOS COMPARABLES Dos conjuntos A y B son comparables si: AcBóBc A Ejemplos: (1) Sea: A ={a,b,c} B = {b,c} B e A => B es comparable con A. 10. CONJUNTOS COORDlNABLES (11) Sea: N = { 0 , *, 6 } M = {l,2,a} N rz M => N no es comparable con M M rz N => M no es comparable en N Dos conjuntos A y B son coordinables, si existe una correspondencia biunívoca, es decir, que cada elemento del conjunto A, le corresponde un elemento y solo uno del conjunto B y viceversa. 11. CONJUNTO DE CONJUNTOS Es el conjunto que tiene como elementos a otros conjuntos (familia de conjuntos) . Ejemplo: N = {{a,b}, {l,2}, {D , 6}} ~ El conjunto N es conjunto de conjuntos 12. CONJUNTO UNIVERSAL Es aquel conjunto que está conformado por todos los elementos motivo de estudio, por lo tanto contiene a todos los conjuntos analizados U = Conjunto Universal U = {xix E N} A = {l ,3,5,7} B = {2,4,6,8} (Ae U, Be U ) REPRESENTACiÓN GRÁFICA DE LOS CONJUNTOS La representación se puede realizar por medio de diagramas o figuras geométricas. A DIAGRAMA DE VENN-EULER.- Son figuras geométricas planas como el círculo, el rectángulo, elipse, etc. Ejemplo: B DIAGRAMAS LINEALES.Ejemplo: BuC = A Be A C e A u C DIAGRAMAS DE LEWIS CARROL.- Utilizado en representación de varios conjuntos disjuntos que unidos dan el universo. Ejemplo: - Conjunto de hombres - Conjunto de mujeres - Conjunto de personas casadas - Conjunto de personas solteras Casadas 4 solteras 1 P. que fuman ( En(l) En (2) En (3) En(2y3) Hombres solteros que no fuman Hombres casados que fuman Mujeres casadas que fuman Personas casadas que fuman OPERACIONES CON CONJUNTOS 1. UNIÓN O REUNIÓN (U) ) ) Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, la unión de estos conjuntos (AUB) será el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. [ A u B = {xix E A y/o X E B} ) CD A = {l ,2} B = {2,3} A~B ~ o = A u B = {1 ,2,3} PROPIEDADES ® A = {2,4} B = { 1,3} A B 00 o = A u B = { 1,2,3,4} ® A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 1,2 } :3 f2\B ~A 4 \L.) 6 O =Au B = {l,2,3,4,5,6}=A A u B = B u A. .... .. ......... ..... ..... ... Conmutativa A u A = A ....... ..... ......... .. .. ..... .. ...... .... .Idempotencia (A u Bl u C = A u (B u Cl ........... . Asociativa A u el = A ........ ............. ..... .... .... ..... .... .Identidad 11. INTERSECCIÓN (rI) Sean A Y B dos conjuntos cualesquiera, la intersección de estos conjuntos (A rI Bl será el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B. A rl B = ix/x E Ay x E B} 1 CD A = {a, b} B = {b, c} AOO° 0 = A rI B = {b } PROPIEDADES ® A A = {a, b, c} B = i d, e, f} B o CS) O = A rl B =0 ® A = {a , b, c, d} B = {a} o = A n B = {a} = B r-----------------------------------~~~ A rl B = B rl A A n (B rI C) = (A rI Bl rI C A nU= A A Y B sean disjuntos A rI B = 0 Arl0=0 111. DIFERENCIA Sean A Y B dos conjuntos cualesquiera, la diferencia entre los conjuntos A yB (A - B) será el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A, Pero no al conjunto B. A = {m,n,p} B = {n,q} Q = A - B = {m,p} PROPIEDADES A - B = {x/x E A Y x 1. B} ® A = {3,7} B = {5,8} Q = A-B = A ® A = {a,b,2,3} B = {a,b} Q = A-B ={2,3} IV. COMPLEMENTO (C, e, " - ) Si A es un subconjunto del conjunto universal (U), llamaremos complemento de A al conjunto formado por los elementos del conjunto Universal que no pertenecen a A. Ejemplo: C(A) = N = p:. = A = { x/x E U Y x ~ A} U A B {I, Il, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X} {I, Il, III, V, VI} { IV, III, VIII, X, VII} A u B = U A El complemento de A = PI. = {IV, VIII, VII, X} El complemento de B = B' = {I, 11, V, VI} A = {1,2,3,4,5} ® A = {a,b,c} B = {4,5,6,7,8,9,lO} B = {d,e,f,g} A u B = U e = {a,b,c,d,e,g,h,i,j} B A(a S)Bd ~e U b f e g h i j o = A' = {6,7,8,9,lO} PROPIEDADES O = (A u B)' = {h,i,j} ® A = {a,b} B = {a ,b,c,d,e,f} e = {a, b,c,d,e,f} A e Q: d u 0= A ' = {c,d,e,f} ( V. DIFERENCIA SIMÉTRICA O SUMA BOOLEANA (.6 ) J Sean A Y B dos conjuntos cualesquiera, la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B (A .6 B) será el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B y por los elementos que pertenecen a B pero no a A. CD A .6 B = {x/x E (A - B) o X E (B - a)} También se puede expresar como: A .6 B = (A - B) u (B - A) ó A = {l ,2,3} ® A = {l,2,3} B = {3,4,5} B = {4,5} A .6 B = (A u B) - (B n A) ® A = {l,2,3,4,5,6} B = {l,2} A1 ~3 4 B 2 5 0cJ ®~5 3 2 6 4 0= A L. B = {l,2,4,S} 0= A L. B = {l,2,3,4,5} 0= A L. B = {3,4,5,6} PROPIEDADES A 6. 0 = A ..... .. ..... ........................ .. (Prop. del elemento neutro) A 6. B = B 6. A ..... ........ ...... ...... ... .. . (eonmutativa) (A 6. B) 6. e = A 6. (B 6. C) ........ (Asociativa) (A 6. B) n e = (A n e) 6. (B n C) .. (Distributiva) INTERPRETACiÓN DE LAS OPERACIONES UNION 1 u F = U 15 estudian inglés o francés I F ([)IUF INTERSECCION InF 15 estudian inglés o francés F (]J lnF -------------------------- ~ ----------------------- - ---- DIFERENCIA 1 - F 15 estudian inglés pero no fr;:¡ncés COMPLEMENTO F'= FC 15 no estudian francés 1 F CID F'=F c (AuB)' =A'nB' El complemento de la unión entre dos conjuntos es equivalente a la intersección de los complementos de dichos conjuntos. DIFERENCIA F - 1 15 estudian francés, pero no inglés ¡ DIFERENCIA ASIMETRICA A.é!.B 15 estudian francés, o estudian inglés I F CQJ A 6. B (A n B)' = A' u B' El complemento de la intersección entre 2 conjuntos es equivalente a la unión de los complementos de dichos conjuntos. CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. El conjunto de los números naturales (N) . Conformado por los números empleados en la operación de contar. N = {0,1 ,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ..... .. 00 } Al excluir al "O" de este conjunto, se forma el conjunto de los números naturales significativos (N*) 2. El conjunto de los números enteros (Z) (Z = {-oo .... -3, -2 ,-1,0,1,2,3,4,5 .... oo}) 3 . El conjunto de los números racionales (Ql ( Q = {xix = t ' (a ,b) E Z, b '" o} ) 4. El conjunto de los números irracionales (1) ( I = {xix {t Q} ) ( 1 = {...-n, - Ys, V2, Y3, e , n ... } ) 5. El conjunto de los números Reales (R) ( R = {xix E Q o X E 1} ) 6. El conjunto de los números complejos (C) ( C = {a + b(i) la E R, b E R, i = f-1} ) 7. El conjunto de los números imaginarios, raíces indicadas de índice par de números Negativos. ( (9, ffi, m, ) Q R C 8 1 Números Imaginarios N cZc Q [01] Si: A = {2k!k ~ 3, k E Z E!7 } B = {{2} , 4, {2,6}} Señalar la expresión que no es verdadera: I A) {2} E B B) {4,{2}} e B E) {2} E {AnB} C) {4,6} e A D) {2} E (AuB) Resolución I r:b Los elementos del conjunto A tienen la forma 2k, siendo K ~ 3 y K es un número entero positivo => K puede asumir los valores de 1,2,3; luego los elementos deAserían: 2(1), 2(2), 2(3) A = {2,4,6} Analizando las alternativas: A. {2} es un elemento de B => {2} E B B. {4, {2} } es un conjunto conformado por dos elementos de B(4,{2}), por lo tanto: {4,{2}} e B C. {4,6} es un conjunto conformado por dos elementos de A (4,6), por lo tanto: {4,6} e A D. La unión de los conjuntos Ay Bestarán conformados de la siguiente manera: Au B = {2,{2},4,5,{2,6}, 6} Por lo tanto: {2} es un elemento de la unión (AUB) : {2} E AuB E. La intersección de los conjuntos Ay B estará conformados de la siguiente manera: A n B = {4} Por lo tanto: {2} no es elemento de la intersección (A n B), {2} '" An B De lo cual deducimos que la afirmación: {2} E A n B es falsa. ) I Rpta. E I (021 Siendo Ay B dos conjuntos disjuntos y comparables, entonces el mínimo número de elementos que puede tener la unión de los conjuntos es igual a: A) n(A u Bl' B) n(A - B) C) 0 D) 1 E) n(A) Resolución I @ • Si Ay B son disjuntos entonces no tienen ningún elemento en común. SiAyBsoncomparables => AcBoB c A Siendo: A= 0 B = un conjunto unitario Serían dos conjuntos disjuntos y comparables, ya que no tienen elemento en común y 0 e B; entonces el mínimo número de elementos que pueden tener la unión de dos conjuntos disjuntos y comparables sería: n(AuB) = 1 I Rpta. O I Si A y B son dos conjuntos tales que el n (A - B) = 20, n (Ac) = 30 y n (Bc) = 45. ¿Cuál ¿s el número de elementos que no podría tener la unión deAyB? A) 100 B) 25 C) 24 D) 35 E) 82 Resolución I @ Los conjuntos A y B pueden tener elementos comunes o ser dos conjuntos disjuntos: 1. Conjuntos Solapados: A BU (]) Teniendo presente el diagrama, entonces: A r::::r::\ 8 ~ • n(A - 8) A 8 ffi "Y / x+y = n(A c)=30 ACI[)B Y ¡ • y+20 = n(8c) = 45 y+20 = 45 Y = 25 A B U x+25 = 30 x=5 ~ ~5 A u B = 25+a Au B> 25 11. Conjuntos Disjuntos: A B U Teniendo presente el diagrama, entonces: 00 A-B = A níA - B) = níA) n(Bc ) = 45 n(Ac ) = 30 A B 88 25 AuB = 25 Finalmente A u B ;:>: 25 I Rpta. e I [04] Si: B := {(y,x)/x :O; y :O; 4; x E N, Y E N};N * 0 C = {(a,b) E N/ a = 2kyb = k/2 dondeS > k > 1} Cuántos elementos tiene (B n C)e A) 10 8)8 C)2 D) 12 Resolución I ~ B = {(y,x) /x :O; y :O; 4;x E N, Y E N}, N* ü Valores que puede asumir y: y ~ 4, 3 ,2 , 1, Valores de x dependen de y, siendo x:O; y (x < yo x = y) x = 4 ~ (4,4) x=3 ~ (4,3) x=2 ~ (4,2) x=l ~ (4,1) x = 3 ~ (3,3) x = 2 ~ (3,2) conjunto B x=l ~ (3,1) n(B) = 10 x=2 ~ (2 ,2) x=l ~ (2 ,1) x=l ~ (1,1) E)l O "B" están O formados por pares ordenados donde el primer componente es el valor de "y", y el segundo e = {(a,b) E N/a = 2kjJb =1<12 dondeS > k > 1} Los valores de K : K ~ 2,3,4 Parak::;¿2 : ~ a = 2(2) = 4 b=2/2=1 ~ (a,b) = (4,1) j - ~ .. '"I Para k = 3: 4 a = 2(3) = 6 b = 3/2 = 1,5 ~ (a,b) ~ N Para k =4 ~ a = 2(4) = 8 b=4/2=2 ~ (a,b) = (8,2) e = { (4, 1) , (8,2)} n(e) = 2, de ellos el único elemento que comparte con Bes (4, 1) B n e = { ( 4, 1 ) } Como n(B n C) = 1, entonces (B n e¡C = (B u e) - (B n C) Si: n(B u C) = 11 n(B n C) = 11 entonces el número de elementos de (B n ef = 10 LR~ta. !'l. I (05] Sabiendo que A u B = U (conjunto universal) y A ct.. B. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones será necesariamente cierta? A)A -B=A D)Ac u Bc =Ae::..B Resolución I c:b B) (AuB) -A = B E) NA C) (A - B) U(B-A) = AUB Si A no está incluido en B, entonces, podríamos estar frente a 2 posibilidades : 1. Conjuntos Solapados A .. Í3 U C0 Analizando las alternativas al A-B =A {l};>o {1,2} FALSO 11. Conjuntos Disjuntos A B U 88 a) A-B=A {l} = {l} VERDADERO b) (AUB)-A = B {l,2,3} - {l,2} ={3} = B FALSO c) (A-B) U(B-A) =AUB {l} U {3} = {l,3} = AU B FALSO d) ACUBc =A6.B {3} U {l} = {1,3} = A 6. B VERDADERO b) (AUB)-A = B {l,2} - {l} = {2} = B VERDADERO c) (A-B) U (B -A) = AU B {l} U {2} = {l,2} = AUB VERDADERO d) ACUBc = A6.B {2} U {l} = {1 ,2 } = A 6. B VERDADERO Como podemos observar, sólo la alternativa (d) es verdadero para ambos casos. t Rpt~. 2-1 (06) En una encuesta realizada de un grupo de 200 mujeres, se sabe que: 180 tienen televisor 120 tienen cocina a gas ¿Cuántas mujeres de dicho grupo tiene los dos artefactos? A) 80 B) 100 Resolución I él7 Graficando: C) 120 Conjuntos de mujeres que poseen televisor poseen Tv y cocina a gas D) 105 Conjuntos de mujeres que poseen cocina a gas solo poseen cocina a gas E) 60 Siendo "x" el número de mujeres que poseen Tv. y cocina a gas (180 - x) el número de mujeres que poseen sólo T v. Y (120 - x) el número de mujeres que poseen sólo cocina a gas: n(A) = 180 n(B) = 120 n(A U B) = 200 180 - X + X + 120 -X = 200 300 -X = 200 100 = X Otra forma de resolución: "Sistema de Cardinales" [07] Sean: n(AnB)=? n(A) + n(B) - n(AUB) = n(A n B) 180 + 120 - 200 = n(A nB) 300 - 200 = n(A n B) 100 = n(A nB) A = { n 2 - 25/ n E Z, 1 < n ::; 6} . n - 5 B = {a E Nx no es un número par} C = {a E NI 80 < 2a::; lOO} Determinar: n((A U B) - C)) A) 7 B) 4 C) 14 D) 17 Resolución I ~ A = { n~ ~ ~5 / n -5 E Z, 1 < n ::; 6 } n2 _ 52 n-5 (n - 5) (n + 5) = n + 5 n-5 U=200 I Rpta. B I E) N.A. Los valores de n serían: 2,3,4,5,6 Pero: n;e 5 porque (5)2 - 52 = 25 - 25 = O n + 5 = 5 + 5 = 10 5-5 5-5 ,y "n" asume los valores que no anulan denominadores n=2 n+5=7 n=3 n=4 n+5=8 n+5=9 n=6 n+5=11 Q A = {7,8,9,11} B = {a E Nx no es un número par} Los elementos de A que no son par, serían: 7,9 y 11 B = {7,9,11} e = {a E N/ 80 < 2a $; lOO} 80 < 2a $; 100 40 < a$; 50 => a = 41,42,43,44,45,46, 47,48,49,50 e = {41, 42, 43,44,45, 46, 47, 48, 49, 50} (A U B) - e = A {7,8,9,11} -e = A Finalmente n{(A u B) - e} = n(A) = 4 I Rpta. B I [08] En el siguiente diagrama, la región sombreada representa a la relación: A) (AU BUC) - (An Bn e) C) (C' UA') - (A nB) E) (U - B) U [U - (A U C)] A U B U e B) (A' U B') - (A n C) D) (U -A) U [U - (AUB)] u Resolución I ~ si al diagrama (1) le sustraemos el conjunto B, quedaría así: A ~ C6c ~------------------, (A U B U C) - B si al diagrama (1) le sustraemos el conjunto (AUC), quedaría así: (A U B U C) - (A U C) Finalmente uniendo ambas regiones obtendríamos la región que estamos buscando. [(A U B U C) - Bl U [(A U B U C) - (A U c) l [U - Bl U [U - (A U c)l [09 ] La reunión de dos conjuntos disjuntos A y B, según cierta característica tiene 20 elementos. La diferencia simétrica entre ambos tiene 5 elementos más que la diferencia (B - A) Y el comp1 3mento de (A - B) posee 25 elementos. Hallar el número de elementos del complemento, del complemento de (B -A) A) 5 I Resolución I ~ Graficando: B) 10 C) 15 D) 20 u E) 25 n(A) = a n(B) = b Sabiendo que n(AUB) = 20 y que n(A.6.B) - n(B - A) = 5 * Entre dos conjuntos disjuntos la diferencia Simétrica (A6B) es igual a la unión (AUB); y la diferencia (B-A) es igual a B, por lo tanto: Reemplazando: n(A6B) = 20 n(B) = b n(A6B) - n(B - A) = 5 20 - b = 5 15 = b El complemento de un conjunto es el conjunto conformado por los elementos que le faltan a dicho conjunto para ser igual al Conjunto Universal; por lo tanto, el Complemento del Complemento será el mismo conjunto. Si: n(B - A) = 15 Entonces: N[(B - A)'J' = n(B - A) = n(B) = 15 I Rpta. e I [10 l Sabiendo que: n (A) + n (B) = 40 .. ..... .... .. ...... (I) n (A - B) = ~ .. .... .. .. ... ........... .. .. (I1) n (B - A) 7 n (A n B) = 8 ...... .. .. .... .... ....... .. (I1I) Además: El número total de elementos que constituye el conjunto universal será: A) 42 B) 40 Resolución I r:b Graficando: C)64 n(AnB)=8 ~ VJ a D) 45 E) 50 u Sustituyendo en las igualdades: (1) (11) (III) n(A) + n (B) = 40 (x + 8) + (8 + z) = 40 n(A - B) 5 n(B -A) = 7 N (Af::.. B) = n(A') x +z=z+a x + z = 24 .... (1) x 5 x =5 k x= a z 7" z = 7 k. .. (2) 5k = a ... (3) * (2) en (1) x + z = 24 Sk + 7k = 24 12k = 24 k = 2 u n(U) = 10 + 8 + 14 + 10 = 42 I Rpta. A I (!IJ En un aula de clase hay 34 alumnos, de los cuales: 12 aficionados al fú tbol, 18 aficionados al básquety 10 aficionados a ambos deportes. ¿Cuántos no son aficionados a ninguno de estos deportes? A) 16 B) 14 C) 15 D) 13 Resolución I ~ El primer paso es determinar el número de conjuntos y sus características, para luego diagramarlos. E) 12 Existen dos conjuntos (aficionados al fútbol y aficionados al básquet) los cuales comparten elementos. ~ ~¡\ Básquet ¡~, 18 ,. ~ .' ':~ n(A n B) = n(A) + n(B) - n(A u B) --------- 10 Al colocar en el diagrama el número de elementos de la intersección (elementos que pertenecen a ambos conjuntos) podré hallar los elementos que pertenecen sólo a A y sólo a B. k FÚ. tbol "\~¡j Observemos entonces que el n(AUB) = n(A) + n(B) + n(AnB). Es decir: o n(AUB) = 2 + 10 + 8 = 20 Como el conjunto universal tiene 34 elementos los que no pertenecen a dichos conjuntos sera: 34 - 20 = 14 I Rpta. B I [!IJ Se observa en el aula de clase que 36 alumnos tienen libros de matemáticas e historia, 42 tienen el libro de matemática y 46 tienen el libro de historia. ¿Cuántos alumnos hay en clase? Considerando que cada alumno por lo menos tiene un libro. A) 52 B) 50 C) 90 D) 54 E) 64 Resolución I ~ Existen: el conjunto de alumnos que poseen el libro de historia y el conjunto de alumnos de matemática. También podemos observar alumnos que poseen ambos libros. Diagramemos: Matemática 42 42 - 36 8 Para hallar el universo, sumamos: 46 - 36 ---...---- 10 n(U) = 8 + 36 + 10 = 54 Historia 46 I Rpta. O I c:!-ªJ En una encuesta realizada en el d istrito de SMP sobre 500 habitantes, se comprobó que: • 280 personas consumen los helados Ice-palace. • 120 personas consumen los helados Donofrio. • 100 personas consumen los helados Artica. • 20 personas consumen los helados Donofrio y Artica. • 50 personas consumen los helados Ice-palace y Artica. • 25 personas consumen los helados Ice-palace y Donofrio. • 10 personas consumen las 3 marcas de helados. Sabiendo esta información ¿cuántas personas no consumen ninguno de estos helados? A) 80 B) 84 '--.R_es o lu_c_ió_o---,' ~ C) 85 D) 86 E) 90 Diagramemos: 10 consumen las tres marcas de helados Consumen helados Ice-palace Consumen helados Artica Sólo Artica Consumen helados Donofrio u NO Consumen ninguno de estos helados • 20 personas consumen los helados Donofrio y Artica,por lo tanto, los que sonsumen sólo estos dos helados serían: 20 - 10 = 10 (Donofrio y Artica pero no Ice-Palace). • 50 personas consumen los helados Ice-Palace y Artica, por lo tanto, los que consumen sólo estos dos helados serían: 50- 10 = 40 (lce-palace y Artica pero no Donofrio) . • 25 personas consumen los helados Ice-Palace y Donofrio, por lo tanto los que consumen sólo estos dos helados serían: 25- 10 = 15 (lce-palace y Donofrio pero no Artica) . • Sólo Ice-Palace: 280 - 15 -10 - 40 = 215 • Sólo Donofrio: 120 - 15 - 10 -10 = 85 • Sólo Artica: 100 - 40 - 10 - 10 =40 Colocando los datos en el diagrama: U Ice-palace 280 Donofrio U = 280+85+ 1O+40+x 120 U = 415+x x 500 = 415+x 85 = x I Rpta. B I [14] Cierto día me encontraba enseñando a un grupo de alumnos y realicé una encuesta, cuyos resultados fueron: 45 no postulan a la UNMSM, 30 no postulan a la Católica, y 15 no desean postular a ninguna de éstas universidades. ¿Cuántos postulan a ambas universidades? Si el grupo era de 80 alumnos. A) 10 B) 20 Resolución I ~ Graficar los conjuntos: C) 30 U) Conjunto Universal = 80 alumnosl CD+@+0+® A) Conjunto de alumnos que postulan a la UNMSM. D) 25 1 (A n B) B) Conjunto de alumnos que postulan a CATÓLICA. Interpretación: 45 no postulan a la UNMSM = AC = CD @ (Regiones) 30 no postulan a la CATÓLICA = BC = CD @ (Regiones) E) 15 15 no postulan a ninguna de estas Universidades - (A U B)e = CD (Región) x postulan a ambas universidades = A n B = CID (Región) u Evaluamos los datos: *CD => 15 *CD+@=45 15 +@ = 45 @ = 30 *CD +® = 30 15 + ® = 30 ®= 15 A B (]J 15 u = 80 = 15+ 15+30+X 80=60+X 20 = X I ~pta. B ~I (![J En una Conferencia Internacional hay 100 científicos; de los cuales 50 son físicos, 35 son matemáticos y 40 son biólogos, además se sabe que 10 son físicos - matemáticos, 8 son físicos - biólogos y 12 son biólogos matemáticos. ¿Cuántos son únicamente físicos? A) 17 B) 25 Resolución I ~ Graficando: FÍSICOS 50 C) 27 D) 18 E) 37 MATEMÁTICOS 35 U= 100 BIÓLOGOS = 40 a+b+c+x+y +z+ n = lOO 10 son Físicos - Matemáticos ~ F n M = 10 ~ Y + n = 10 8 son Físicos - Biólogos ~ F n B = 8 ~ x + n = 8 12 son Biólogos - Matemáticos ~ B n M = 12 ~ z + n = 12 -- - x + y + z + 3n = 30 Sumando miembro a miembro Luego: x + y + z + 3n = 30 ..... .. .... ... (1) x + y + z = 30 - 3n ....... (2) (Físicos) (Matemáticos) (Biólogos) a+x+y+n b+y+z+n c+x+z+n a + b+c+2(x+ y+ z) +3n 50 35 40 = 125 ~; a + b + c + x + y + z .+ x + y + z + 2n 125 100 + x + y + z + 2n = 125 x + y + z + 2n = 125 - 100 x + y + z = 25 - 2n .... .... ..... (3) Igualando (2) = (3) 25 - 2n = 30 - 3n I n = 5 I Finalmente reemplazando n = 5 en la gráfica: 10 B = 40 a = 50 - 13 = 37 Únicamente son físicos: 37 I Rpta. E (16) De un salón de clase de 80 alumnos se sabe que: 50 son mujeres y de ellas 30 son trigueñas. lOsan varones de ojos de color verde y de tez clara. 5 son mujeres de ojos color verde que no son ni trigueñas, ni de tez clara. 10 mujeres no tienen ojos de color verde 25 no tienen ojos de color verde 5 son mujeres trigueñas que no tienen ojos de color verde. ¿Cuántas personas de tez clara tiene ojos de color verde? A) 10 B) 20 C) 15 D) 25 Resolución I ~ Graficando y evaluando datos: mujeres = 50 varones tez trigueña U= 80 clara otra ojos de color verde CJ = 10 E) 18 (1) Sabemos que 30 mujeres tienen tez trigueña y 5 de ellas no tienen ojos de color verde (dato), entonces 25 sí lo tienen. (2) Sabemos que 10 mujeres no tienen ojos de color verde y 25 personas no tienen ojos de color verde, entonces 15 hombres no tienen ojos de color verde. (3) Sabemos que 10 mujeres no tienen ojos de color verde y el total de mujeres es 50, entonces 40 mujeres tienen ojos de color verde, de los cuales 25 son trigueñas y 5 son mujeres de ojos de color verde que no son ni trigueñas ni de tez clara, por lo tanto 10son mujeres de tez clara, de ojos de color verde. Colocando las deducciones en la gráfica: mujeres = 50 hombres = 30 tez trigueña 5 U=80 clara otra 20 personas tienen tez clara y ojos de color verde. I Rpta. B I [ZJ En un ómnibus interprovincial de 50 pasajeros, hay 20 hombres provincianos, 15 mujeres limeñas y el número de mujeres provincianas excede en 5 al número de hombres. Si el número de mujeres fuera el doble de las que hay. ¿Cuál sería la diferencia entre el número de mujeres y hombres? A) 5 B) 10 C) 15 Resolución I ~ Graficando y evaluando los datos: Hombres Mujeres Limeños X 15 Provincianos 20 X+5 x + 15 + 20 + x + 5 = 50 2x + 40 = 50 2x = 50 - 40 x = 10/2 ~ x = 5 D) 20 # Hombres = x + 20 ~ = 5 + 20 = 25 # Mujeres = x + 5 + 15 = 5 + 20 = 25 E) 25 Si las mujeres fueran el doble serían 50,mientras que los hombres se mantienen en 25 siendo la diferencia: 50 -25 = 25 I Rpta. E I rrn Para el ingreso a la UNI se inscribieron 2000 estudiantes ala Facultad de Ingeniería de Sistemas, de los cuales: 1000 aprobaron en solamente dos exámenes. 1500 aprobaron en el l er. examen. 1200 aprobaron en el2do. examen. 1000 aprobaron en el3er. examen. 100 no aprobaron examen alguno. ¿Cuántos estudiantes aprobaron únicamente un examen? A) 100 B) 300 C) 500 D ) 700 E) 1000 Resolución I éi1 Graficando: n(U) = 2000 u 1000 aprobaron en solamente dos exámenes: b + d + f = 1000 n(A) = a + b + d +e = 1500 ¡ + (n(B) = c + b + f + e = 1200 + n(C) = g + e + d + f = 1000 a + c + g + 2(b+ d+fl + 3e = 3700 1000 a + c + g +3e = 1700 .............. ....... (1) 1000 = b + d + f I reemplazando en el universo 2000 = a+g+c +d+b+f+e+ 100 2000 = a + g + C + 1000 + e + 100 2000 - 1100 = a + g + c + e 900 = a + g + C + e .......... ..... .. (2) Luego restando miembro a miembro (1) con (2) : _j ~ + i +1 + 3e = 1700 ji + i + i + e = 900 2e = 800 e = 400 Sustituyendo e = 400 en (2) a + g + c + 400 900 a + g + c = 500 I Rpta. e I C!2J En el conflicto con el Ecuador resultaron heridos 150 personas, 80 no fueron heridos en la cabeza, 100 no fueron heridos en el brazo y 85 fueron heridos en la pierna; 40 en la cabeza y la pierna, 25 en el brazo y la pierna y 30 en el brazo y la cabeza. ¿Cuántos no fueron heridos en la cabeza únicamente?, sabiendo, además que 30 fueron heridos en otra región diferente a las mencionadas. A) 60 Resolución I c:b Graficando CABEZA C B) 80 PIERNA C) 100 u 30 • Conjunto Universal = 150 personas = D) 120 = n+m+p+x+a+b+c+30 = 150 ...... (1) • 80 no fueron heridos en la cabeza ~ 70 fueron heridos en la cabeza: n+a+b+x=70 ... .. ... (2) • 100 no fueron heridos del brazo ~ 50 fueron heridos en el brazo: m+c+b+x = 50 ...... (3) E) 140 • 85 fueron heridos en la pierna ~ .. .. ~ p + a + c + x = 85 .. .............. .. .... ...... (4) • 40en la cabeza y la pierna ~ a + x = 40} • 25 en el brazo y la pierna ~ c + x = 25 a + b + c + 3x = 95 ...... .. . (5) • 30en el br¡l.Zo y la cabeza ~ b + x = 30 Sumando miembro a miembro (2)+(3)+(4): => n+m+p 2(a+b+c) + 3x = 205 Restando miembro a miembro con (1) : -1 m+n+p + 2(a+b+c) + 3x = 205 1- m+n+p + (a+b+c) + x = 120 a+b+c + 2x = 85 • Si 40 son menores de 17, entonces 45 son mayores de 17, ya que en total son 85. • 15 son mujeres que son menores de 17 años y de ellas 2 postulan a la Facultad de Medicina, entonces 13 no postulan a la facultad de Medicina y son menores de 17. • El total de mujeres que no postulan a la Facultad de Medicina son 21 , entonces 8 mujeres mayores de 17 no postulan a la facultad de Medicina. • 30 hombres son mayores de 17 años, por lo tanto las mujeres son mayores de 17, siendo 8 de ellas las que nos postulan a Medicina, 7 sí postulan. • 33 menores de 17 no postulan a la Facultad de Medicina, donde 13 son menores, entonces 20 son hombres menores de 17 que no postulan a Medicina. • 40 son menores de 17, entonces: 40 = y + 2 + 33 ~ 5 = y. Cinco hombres menores de 17 postulan a la Facultad de Medicina. • 13 hombres postulan a la Facultad de Medicina, por lo tanto, siendo 5 menores de 17, 8 son mayores de 17. HOMBRES MUJERES 8 45 30 > 17 años 8 7 5 2 40 < 17 años 20 13 Colocando las conclusiones podemos afirmar que 15 personas mayores de 17 postulan a la facultad de Medicina. I Rpta. e I @TI Si: A = {2x/x E N; 1 < x < 6} B = {2 ,{6,4}, {2,{3} },{8}} C = {x+ l/x E Z; -5 > x > -9} 0= {x/xessub-conjuntodeC} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? 1) { -5} e O 11) {5} e O I1I) -5 el: O IV) {6} e A V) {-5} EO VI) {2} EB VII){2{3}}E B VIII){-6, -7} e C IX) {{6,4}}eB X) {6,8} e A XI) {lO} e A XII) {8} e B XIII){ -7} E C XIV){6,4} E C XV) {{3}} e C A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 (02 ] ¿Cuál de las siguientes relaciones está representada en la región sombreada? A A) [(A u B) -C] u [(C u E) -B] B) [(A u B) - C] u [(B-E) nO] C) [(A-B)-C]u [AnBn C] u [(En D)-B] D ) [(Au B)-C] [AnBn C] [Bn Bn E] E) [(A- B)-E] u [C- (AuBl] [03 ] Oado el conjunto: A = {l,2,3,4,5} B = {x/x2 =36; x E N} C = {9, 6, {3}, 5} Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: A) VFVFVF D) FFFVW 2. {3}cA 5 . {6}EB B) FVFVFV E) FFWFF 3 . 6 EB 6 . {{3} }e C C) VWFFV [04] Sabiendo que: S = { 1, 0 , { 0 , {1} }, { 5 } ,5 } Señale cuántas afirmaciones son falsas 1) 0 ES 11) {l} E S I1I) {5} eS IV) {5} E S V){0, 1} eS VI){0 ,{l}} eS VII) {{5}} eS VIII) {l,5} e S IX) {l} E S A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 [05] Si: n[(Au B) - el = 30 n(AnB) = 10 n(AnBnC) =5 Hallar: n[(A.6. B) - C] A) 10 B) 15 C) 18 D) 20 E) 25 [06 ] Dado los conjuntos unitarios: B = {x/y,2} e = {(x + z), 15} D= {(y+z),9} Hallar: 2x- 5z-y A) 9 B) 8 C) 6 D) 3 E) 5 [07 ] Si:A = {a + b, 7, a - b + 2} , es un conjunto unitario B = ix/x = ak, k E N ~b} e = {x/x=bk,kEN ~ a} Hallar: n(A u B u e) A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 [08 ] A, B Y e, son tres conjuntos tales que satisfacen las condiciones siguientes: 1) A está contenido en By B está contenido en C. 2) Si x es un elemento de e, entonces x también es un elemento de A. Decir: ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero? A) B no está contenido en A. B) e no está contenido en B. C) A = B, pero enoes iguala B D)La intersección de A con B es el conjunto e E) La reunión de A con B tiene elementos que no pertenecen a C. [09 ] Sean A, B dos conjuntos contenidos en un universo. Si: (A-B) u (B-A) =AUB ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? A) A=A-B D) B e Ac B) B=B-A E) (AnB)C :::J Au B [10] Sabiendo que Ay B están contenidos en un mismo conjunto Universal. ¿Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta? A) (ACnB)cB B) (AuB)C c (ACuBC) C) (AnB)C c (ACuBC) D) (AnB)u (AnBC) =A E) (AnB)C c (AnBC)u(ACnB) [D Sean: A = {x E ZJX 2 + 7x + 12 = O} B = {x E ZJX2 - 7x + 12 = O} C = {x E ZJ4 < X2 < 25} 1) Be C 11) A u B = C I1I) A n B = 0 Son verdaderas: IV)AuB = {4} A) Sólo 1 B) I y III C) II y III D) 1, II y IV E) Todas, menos IV ~ Si A, By C son conjuntos no vacíos, A e B y A n C = 0 ¿Cuáles de las siguientes expresiones son correctas? 1) (B-C)nA=0 1I)(B-A)nC=0 I1I) (C-B)nA=0 A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D)lylIl E) I y II (ffi Sean: A = {x E Z/ Ix -41 < 4} B = {x E ZJ Ix + 2/24} ¿Cuántos elementos tiene A n B? A) 7 B) 6 C) 5 [14] Sean: a, bycenteros, K = a + b + C Si {{a 2+9),(b-c-S)} = {-1,-6a,(a 2+b 2-7)} Hallar la suma de todos los valores que tome K. D)4 E) 3 A) -15 B) -14 C) -7 D) 1 E) 8 [!ID Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1) Si n(A) = 2 y n(B) = 3, entonces el valor mínimo de elementos de C =P(A) uP(B) es 12. 11) SiA = {n 2 -l/n E Z, -1:::; n:::; 1}, entonces el n(A) = 3 I1I) SiAnB = o entonces A = 0y B = 0 A)VVV B) FFF C) FVF D) WF E) VFF [16] Respecto al conjunto: A = {(x/y)/2x + 3y -6 = O; 4x-3y -6 = O; x-l = 1; 3y = 2} Se puede decir: A) tiene 6 elementos Bl tiene 4 elementos Cl es el conjunto vacío D) tiene 1 elemento El tiene un número limitado de elementos (TI] Los conjuntos A, By C se determinan de la siguiente manera: A = {x E R/2x-1 = x2 } B=E C={xER/x3} ¿Cuántos elementos tiene A (\ B?: A) 2 B) 3 C)4 D)5 E) 6 [28] De 100 personas se sabe que: * 10 mujeres tienen ojos negros. * 32 mujeres no tienen ojos negros. * 28 mujeres no tienen ojos pardos. * 20 hombres no tienen ojos negros o pardos . . ¿Cuántos hombres tienen ojos negros o pardos? A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 [29] En una sala de emergencia registramos el 40% de personas enfermas por afección bronquial y el 60% de personas enfermas por parasitosis. De los que padecen afección bronquial el1 0% están graves y de los parasitados el 58% están graves. ¿Qué porcentaje de personas están en la condición de graves? A) 15% B) 12% C) 17% D) 7% E) 10% [301 En una fiesta hay 170 personas, se observa que de los hombres, los que tienen ojos pardos son la mitad de los que tienen ojos negros y a la vez la quinta parte de los que no tienen ojos negros ni pardos. Si se sabe que hay 90 mujeres. ¿Cuántos hombres de ojos negros hay? A) 20 B) 16 C) 18 D) 24 E) 25 1. A 2. e 3. e 4. B 5. E 6. D 7. e 8. D 9. e 10. E 11. E 12. e 13. B 14. B 15. B CLAVES 16. D 17. B 18. A 19. B 20. E 21. e 22.D 23. A 24. B 25. E 26. B 27.B 28. D 29. D 30. A