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ESTADÍSTICA EJERCICIOS QUINTO DE SECUNDARIA PDF





















Definición: Es la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, lo cual sirve para sacar conclusiones que permitan tomar decisiones y aplicar los correctivos en caso fuera necesario. 2.Población Es un conjunto de elementos con una característica común. Por ejemplo: Todos los alumnos matriculados en un Colegio. CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2   **** 3. Muestra Es una parte o subconjunto de la población. Generalmente se elige en forma aleatoria (al azar). Por ejemplo: una muestra de 1 000 alumnos de un Colegio elegidos al azar.

4. Variable Estadística Es una característica de la población y puede tomar diferentes valores. Se clasifican en: A. Cualitativa.- Son variables cuyos valores son cualidades que representa la población. Por ejemplo: la variable "profesión" puede adoptar las modalidades: Ingeniero, Médico, Profesor, etc. B. Cuantitativa.- Son variables que pueden ser expresadas mediante números. Por ejemplo: número de alumnos matriculados, estatura, peso, edad, etc. Las variables cuantitativas pueden ser a su vez: B.1. Discretas Cuando toma valores enteros. Por ejemplo: número de alumnos, número de colegios en el distrito de Miraflores, etc. B.2. Continuas Cuando puede tomar cualquier valor numérico, enteros o decimales. Por ejemplo: el peso, la talla, el tiempo, etc.

5. Distribución de Frecuencias Consideramos una muestra de tamaño "n" (número de elementos de la muestra) y la variable estadística "x" que puede tomar “k” valores diferentes: x1, x2, x3, ...., xk. 5.1.Frecuencia absoluta (f1) También llamado simplemente frecuencia, es el número de veces que aparece repetido el valor “x”i. 5.2.Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias absolutas. 5.3.Frecuencia Relativa (hi) Es el cociente de la frecuencia absoluta y el número total de datos. Sus valores son números reales que oscilan entre 0 y 1. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a 1. 5.4.Frecuencia Relativa Acumulada (Hi) Es la que resulta de acumular sucesivamente las frecuencias relativas.

6. Representación de Datos Los datos pueden ser representados por: 6.1.Tablas Estadísticas Es un arreglo de filas y columnas en los cuales se encuentran distribuidos los datos. 6.2.Gráficos Estadísticos Se pueden representar mediante barras o sectores circulares.

Enunciado: Se tiene los promedios ponderados (PP) de 10 estudiantes del curso de Matemática I: 10,2; 12,6; 11,2; 14,4; 10,8; 16,4; 13,6; 14,0; 12,5; 11,5. Se pide clasificar los datos para un k = 4, para los problemas 9 y 10.

* ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con promedio ponderado correspondiente a la segunda clase? a) 25 % b) 15 % c) 10 % d) 20 % e) 40 %

* ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con promedio ponderado inferior al límite inferior de la tercera clase? a) 80 % b) 75 % c) 60 % d) 50 % e) 45 %

Estadística Desde la antigüedad, reyes y emperadores se preocuparon por conseguir datos sobre sus posesiones. El censo, por ejemplo, es un vasto proyecto de recopilación de datos y no es una idea nueva; hace 2 mil años el emperador Augusto mandó realizar una gran encuesta sobre las riquezas del imperio Romano: soldados. navíos, recursos , rentas , etc. Mucho antes los egipcios habían registrado información numérica que aún se . estudia, al igual que los misteriosos quipus que almacenaban información para la administración del imperio Inca. Durante mucho tiempo se entendió por "estadística" a la información relacionada con el gobierno. La palabra se deriva del latín "statisticus" que significa "del Estado" y este término pasó a referirse, durante el siglo XIX, a otros tipos de información numérica y más tarde a los métodos para analizar dicha información. 14.0 OBJETIVOS • Saber qué significa Estadistica y sus campos de estudio. Diferenciar entre una variable cualitativa y una variable cuantitativa. Organizar los datos en una distribución de frecuencias. Presentar datos empleando histogramas y otros gráficos. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda para datos agrupados y no agrupados . Calcular otras m~c}ídas de centralizaCión corno la media ponderada, media geométrica y armónica. 14.1 ESTADÍSTICA Es la parte de la matemática que estudia los fenómenos que se pueden cuantificar y generan un conjunto de datos. El especialista en esta área debe simplificar al máximo la información disponible para que pueda ser clara y útil; y cuando sea posible tratará de inferir las leyes que explique el comportamiento de este fenómeno. El estudio de la estadística puede dividirse en dos áreas principales: Estadística descriptiva.- que comprenden las técnicas que se emplean para la recopilación, organización, resumen y presentación de los datos (o información). Estadística inferencial.- comprende técnicas que con base únicamente en una muestra o subconjunto de la población sometida a observación. se torna decisiones sobre toda la población. Dado que esta decisión se torna en condiciones de incertidumbre. supone el uso de conceptos de probabilidad . . Se entiende por población la totalidad de elementos de la variable en estudio. 14.2 VARIABLES ESTADÍSTICAS Al estudiar una población o muestra nos concentrarnos en una característica de los individuos u objetos que le conforman; si esta caracteristica tiene variabilidad o variación se denomina variable estadística y el resultado de las observaciones o mediciones de la caracteristica se llama dato estadístico. Cuando la característica o variable en estudio es no numérica se le denomina variable cualitativa o atributo. Así por ejemplo: el estado civil de una persona. su nacionalidad. tipo de automóvil que posee. etc. son variables cualitativas. Cuando la variable de estudio se puede expresar numéricamente. entonces se denomina variable cuantitativa. Así por ejemplo: el saldo de una cuenta bancaria; la estatura de una persona. el número de hijos en un familia . son variables cuantitativas. Además. estas variables pueden ser discretas. cuando solo pueden tomar ciertos valores. por lo general números enteros . pues resultan casi siempre de un conteo (número de habitaciones de una casa. número de empleados de una empresa. número de ruedas de un vehículo) o continuas. cuando la variable puede tomar todos los valores reales de un intervalo y se expresan con decimales (pesos y estaturas de personas. tiempo de duración de un proceso. etc.). Cuadro de Clasificaci6n de Variables 14.3 PRESENTACIÓN Y ORDENACIÓN DE DATOS La información que se ha recopilado pero que aún no se organiza se debe ordenar. Si los datos incluyen valores repetidos se puede organizar una distribución de frecuencias que es una tabla o lista de los distintos valores de la variable (x) junto con su respectiva frecuencia (ij. La frecuencia designa al número de veces que el valor correspondiente aparece en el conjunto de datos y se le denomina frecuencia absoluta. También es útil presentar la frecuencia relativa (h) de cada valor, esto es la frecuencia expresada como fracción o porcentaje del total. Si N es en número de datos, la frecuencia relativa h está dado por: A esta forma de presentar los datos se le denomina tabla de datos no agrupados. Ejemplo 1: Se realizó una encuesta entre los 50 empleados de una empresa, consultando sobre el número de hijos en edad escolar que tenía cada empleado, a fin de estimar el pago de una bonificación por gastos escolares que proyecta hacer la empresa. Estos fueron los resultados: . o 2 103 2 O O 1 124 1 O 2 ~ O O 3 O O O 024110 1 103 5 1 2 1 1 1 1 1 1 O 1 O 2 1 2 O 3 2 Organizar los datos en una distribución de frecuencias, enlistanda cada valor diferente (xl en una columna, luego empleamos marcas para contar el número de veces que aparece cada valor de x y al acabar, anotamos la frecuencia absoluta (f) y luego calculamos la frecuencia relativa (hl. o ~~~\ 16 16/50 = 0.32 = 32% ~~~\\\ 18 18/50 = 0 .36 = 36% 2 ~ \\\\ 9 9/50 = 0.18 = 18% 3 \\\\ 4 4/50 = 0 .08 = 8% 4 \\ 2 2/50 = 0 .04 = 4% 5 \ l/50 = 0.02 = 2% n = 50 Total = 100% Tabla l. N° de hijos por empleados de una empresa El total de frecuencias absolutas debe ser el total de datos y el total de frecuencias relativas debe ser el 100%. Ambos totales permiten verificar los cálculos realizados. Observando la tabla podemos afirmar lo siguiente: Cerca de 1/3 de los empleados no requieren bonificación por escolaridad (32%) Los restantes 2/3 de los empleados tienen por lo menos 1 niño en edad escolar y se benefician con la bonificación. La tendencia más común. es decir el valor con frecuencia más alta es 1 (tener un niño. 36%). 14.4 DATOS AGRUPADOS Cuando los datos consisten en solo unos cuantos valores dis- . tintos (es el caso de los datos del ejemplo anterior que tomaba solo los valores O. 1. 2. 3. 4 Y 5). podemos organizarlos fácilmente y determinar cualquier tendencia. sin embargo cuando los datos consisten en muchos valores en su mayoría no repetidos es conveniente agrupar los datos y determinar las frecuencias absolutas y relativas de cada grupo que llamaremos clase. Necesitamos estas definiciones: 1. Rango o Recorrido (R). Es la diferencia entre el mayor de los datos xmáx Y el menor de los datos xm¡n. 2. Intervalo de clase [ai' b¡) Son cada una de las categorías excluyentes (o clases) en los que se pueden clasificar los datos. Los extremos de un intervalo (aj. b¡ > son a¡ y b¡. donde a¡ = límite inferior del intervalo de clase b¡ = límite ~uperior del intervalo de clase Cada intervalo excepto el último es cerrado por la derecha y abierto por la izquierda. 3. Marca de clase (xli) Son los puntos medios de cada clase. así en el intervalo ( a j, b¡) la marca de clase xi será: X l = 1 4. Número de intervalos (k) No existen reglas fijas para establecer el valor de k . Una regla sugiere que sea un número próximo a JN y otra dice que el número ideal es k = 1 + 3 .3 Lag N (Regla de Sturges), siendo N el total de datos. En muchos casos. entre 5 y 10 intervalos puede ser el número adecuado. 5. Amplitud del intervalo (A) Es la diferencia entre sus extremos. Es conveniente que todos los intervalos tengan la misma longitud A A=Rk Es preferible redondear el valor de "A" por exceso para no perder datos. 6. Frecuencia absoluta (f¡) Es el número de datos que corresponden al i-ésimo intervalo de clase. 7. Frecuencia acumulada (Fi) Se define para cada i-ésimo intervalo de clase. como la. suma de todas las frecuencias absolutas fl desde el primero hasta el i-ésimo intervalo: 8. Frecuencia relativa (h¡) Es el cociente entre la frecuencia absoluta del i-ésimo intervalo y el número total de datos. f i h. = - 1 N 9. Frecuencia relativa acumulada (H¡) Es el cociente entre la frecuencia acumulada absoluta correspondiente al i-ésimo intervalo y el número total de datos. Ejemplo 2: El administrador del gimna sio ABe es tá interesado en conocer la distribución de las edades de las 42 personas inscritas y recopiló las siguientes edades: 26 16 21 34 45 18 41 38 22 48 27 22 30 39 62 25 25 38 29 31 28 20 56 60 24 6 !J 28 .' 32 33 18 23 27 46 30 34 ( 6~ 49 59 19 20 23 24 La distribución de frecuencias requiere los siguientes cálculos: 1. Determinación del rango: El dato mayor es 62 y el menor 16, por lo tanto R = 62 - 16 = 46 años 2. Número de intervalos: Según una de las reglas elegimos K = 6 intervalos (un valor próximo a J42) 3. Amplitud: el cociente por exceso de R entre k : R = k ~6 = 7,6 ~ A = 8 4. Intervalos de' clase: elegimos [16; ... ) el menor dato como límite inferior del primer intervalo, el límite superior se obtiene al sumarle la ampli~ud : 16 + 8 = 24. queda así establecido [16;24) como primer intervalo; [24 ;32) el segundo y así sucesivamente. '. Frecuené':ia [16;24) ~~\ 20 11 2 [24;32) ~~\\\ 28 13 3 [32;40) ~ \\ 36 7 4 ;48) \\\ 44 3 5 [48, 56) \\ 52 2 6 [56;64 ] ~ \ 60 6 Tabla 2. Edades de asistentes al gimnasio . a .+b. 5. Marca de clase: se obtiene por la fórmula xi = T , _ 16 + 24 _ 20 xl - 2 - X 2 ' = 24 + 32 = 28' 2 ' etc 6. La frecuencia de cada intervalo se obtiene contando las marcas que resultan del conteo. Si se consideran además las frecuencias relativas y las frecuencias acumuladas, se obtiene la siguiente tabla: ·<1 < liitefYalt( ...... :-:',:::::::.-:<::;::::::::::.::::::;!:::::::::::::>: ·:U*h·'· .... H . ~ J ·> · » ·~f ·· '. .H t <.) 1 [16;24) 20 11 11 0 ,26 0 .26 2 [24;32) 28 .. 1·3 24 0 .31 0 .57 3 [32;40) 36 7 31 0 ,17 0 ,74 4 [40;48) 44 3 34 0,07 0 .81 5 [48;56) 52 2 36 0,05 0 ,86 6 [56;64] 60 6 42 0 ,14 1.00 n = 42 1,00 Tabla 3. Edades de asistentes al gimnasio Ahora con estos datos organizados se puede afirmar: '. Las edades de 24 a 32 son las más comunes (31 % es la frecuencia relativa más alta) Las edades de 48 a 56 son las menos comunes (50/0 es la menor frecuencia) Cerca de la mitad de la gente van de los 16 a 32 años (57%) 14.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA Un gráfico estadístico debe ser una representación clara. fácil de leer y de entender. y ajustado a los datos. Es simple si se refiere a frecuencias absolutas o relativas y acumulativo si representa los valores de las frecuencias acumuladas. Los tipos más utilizados son: Diagrama de sectores Tiene forma circular. cada característica viene representada por un sector circular de área proporcional a la frecuencia. Es conveniente para representar variables cualitativas. Diagrama de Barras Asignan a cada valor de la variable una barra de altura proporcional a su frecuencia. Griifico 1. N° de hijos en ed~d escolu de los 50 emple~dos de un~ empres~ 20,--------------------------------, 16 15 10 5 O 2 3 5 N° de hijos Histogramas Son gráficos específicos para datos agrupados por intervalos. Los histogramas asocian a cada intervalo un rectángulo de superficie proporcional a la frecuencia. Los límites de clase se marcan en el eje horizontal y determinan las bases de los rectángulos y las frecuencias se anotan en el eje vertical y determinan sus alturas. Polígono de frecuencias Es la línea que une los puntos correspondientes a las frecuencias de cada elemento. Si los datos están agrupados por intervalos. se construye de modo similar al histograma. pero los puntos que se unen son los correspondientes a las marcas de clase. "- '" • "r:: o il c::Io Z , 1 12 10 8 6 4 2 O " Grtfico 2. Histograma de edades de un grupo de personas que asisten a un Gimnasio Edades 111 ¡":: el 111 ' lo< CI 1=10 .C.,I Z Gráfico 3. Polígono de Frecuencias de las edades de un grupo de personas que asisten a un gimnasio 14 12 10 8 6 4 2 O 20 28 , 36 44 52 60 Edades Ojivas Son gráficos de frecuencias acumuladas. En el eje vertical se anotan la frecuencias acumuladas asociadas a cada límite superior de clase (acumula frecuencias "menores que" un valor dado). En algunos casos se grafican las frecuencias acumuladas de todos los valores mayores o iguales al límite inferior de cada intervalo (ojivas "mayor que"). Siempre que se mencione una ojiva sin especificar su tipo. se entenderá que es de tipo "menor que". Gráfico 4. Ojiva "menor que" de la gente por edad que asiste al gimnasio Frecuencias acumuladas 50 40 30 20 10 Frecuencias a cumuladas relativas (en%) y~ 74% 7% 26% O+--'~~----r---~r---~-----r-----r----h 16 24 32 40 48 56 64 Edades Observación Si "f' es la frecuencia en el intervalo de clase la, b> y se considera que los datos se distribuyen de manera "uniforme" en ese intervalo, entonces podemos considerar por ejemplo que en el intervalo la, c) contenido en la, b> existen aproximadamente: f' = c - a . f datos b-a Por semejanza Igualmente para una frecuencia relativa h: a e b -f- - f' b-a c-a Ejemplo: En el intervalo 124; 32> la frecuencia es 13 (hay 13 datos). luego en el intervalo 124; 27) habrá f'= 27-24. 13 = 4 .875=5 datos 32-24 14.6 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Los números que describen de manera concisa el comportamiento y las características generales de un conjunto de datos son los parámetros estadísticos . Los parámetros que miden la tendencia central de los datos se llaman medidas de centralización y los más representativos son la media, la mediana y la moda. Media Aritmética Se calcula dividiendo la suma de los vaÍores de todos los datos entre el número de datos. "x. - ~ 1 Para datos no agrupados: x = N , ' f.x·. ~ 1 1 Para datos agrupados: x = -NEn la última fórmula fi es la frecuencia de cada intervalo y x'i es la marca de clase. Media Aritmética Ponderada Se aplica cuando no todos los datos tienen la misma importancia o peso. Su fórmula es similar a la de los datos agrupados. cambiando fi por los pesos Pi y el denominador N por la suma de todos los pesos; en este caso xi sería el valor de cada dato. x1P¡ +x2P2 + ... +xkPk = Mediana Es el valor del dato que ocupa la poslclOn central cuando éstos se ordenan de menor a mayor (o viceversa) . Divide a la lista de datos en dos grupos de igual número de elementos. Si el número de datos es par la mediana es la media de los dos que ocupan las posiciones centrales. Si el número de datos es impar la mediana es el dato central. Ejemplo: Sean los datos: 9. 7 . 8 . 10. 8 . 11; al ordenar se tiene: 7 . 8 . 8 . 9. 10. 11. La mediana es: 8 + 9 = 8,5 2 Para datos agrupados debe encontrarse primero el intervalo mediano, y luego ubicar en dicho intervalo la mediana (Me) con la fórmula: = límite inferior del intervalo mediano = número de datos i F¡_} = f¡ A el menor intervalo que cu~ple F¡ > n/Z frecuencia acumulada del intervalo i - ]: frecuencia absoluta del intervalo mediano amplitud del intervalo Ejemplo: En el caso de la gente que va al gimnasio, de la tabla 3, la mediana es: 42 -11 2 Me=24+ 13 · 8=30·15 Es decir, la mitad de las personas tienen 30 años o menos y la otra mitad supe~a esta edad. Moda Se define como el valor que más veces se repite en el conjunto de datos. Si hay dos valores que se repiten mayoritariamente y con igual frecuencia, la distribución se llama bimodal. Para datos agrupados la moda es: Mo= a¡+d d·A 1 + 2 a¡ límite inferior de la clase modal (la que tiene la mayor frecuencia) dI exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase inmediatamente anterior a la clase modal d2 exceso de la frecuencia modal sobre la frecuencia de la clase que sigue inmediatamente a la clase modal A amplitud del intervalo de clase modal. Ejemplo: En el caso de la gente del gimnasio la clase modal es la segunda. Mo = 24+_2-·8 = 26 2+6 Es decir tienen 26 años la mayoría de las personas que va a ese giInnasio. Media Geométrica Es la raíz n-ésima del producto de los n datos. la media geométrica es siempre menor o igual que la media aritmética. Media Armónica Es el inverso de la media aritmética de los inversos de los datos. Sus fórmulas son: Para N datos: Para datos que se repiten: (fi es el número de veces que cada valor xi se repite) La media armónica es siempre menor o igual que la media geométrica. Ejemplo: en los datos : 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10; 11 La media aritmética es: 5 6 3 = 8 .833 La media geométrica es: 6J7.8.8.9.1O.11 = 8 .63 = 8 .63 14.7 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de tendencia central determinan el centro de los datos estadisticos. pero no nos indican nada acerca de la posición respecto al centro. Por lo tanto se necesita una medida que nos indique el grado de dispersión o variación respecto al centro con la finalidad de tener una comparación y ampliar la descripción de los datos. Las medidas de dispersión son: El rango. rango intercuartil. la varianza. la desviación estándar y el coeficiente de variación. En este curso solo veremos la varianza y la desviación estándar. Varianza y Desviación estándar Definición: La varianza es una medida que indica el grado de dispersión o variación de los valores de una variable cuantitativa respecto a la media aritmética. Si los valores de la variable tienden a acercarse alrededor de la media, la varianza es pequeña. Si los valores de la variable tienden a estar lejos de la media, la varianza es grande. Definición Matemática La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos respecto a su media aritmética. Sus unidades están elevadas al cuadrado. Definición Matemática La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La varianza calculada a partir de un conjunto de datos se denota s2 y la desviación estándar es j;,2 = s Varianza para datos no agrupados Si xl ' X2 ' .... , Xn son variables estadísticas cuantitativas y x es su media, entonces la varianza es : 2 s n _ 2 L (Xi -X) i; l N aplicando propiedades de sumatorias. se obtiene: 2 s n 2 L Xi i ; l - 2 = --- - X N Ejemplo: Si: {18, 19, 20, 16, 17, 22} son datos que represenlan las edades de los alumnos del CEPRE-UNl. La varianza y la desviación estándar son: Resolución n n n = 6, LXi = 112 . i = 1 x = 18.6 :¿ xt = 2114 1 = 1 Luego la varianza es: n 2 LXI s 2 = -i =- 1- -x-2 n 2114 _ 18 62 = 6,373 años 8 ' La desviación estándar es: S = .fs2 = J6,373 = 2,52 años. Varianza para datos agrupados por Intervalos Si xl" X2" ............ . Xk'. son las marcas de cIase de k intervalos, f1 . f2, .... , fk, son las frecuencias absolutas de una variable X y x es la media, entonces la varianza s2 es: 2 s = k L - 2 f¡(xi' -X) i = 1 N Ejemplo: aplicando propiedadt:s de sumatorias, se obtiene: 2 s = k L fiX'~ i = 1 N -2 -X El siguiente cuadro representa el número de hijos de una urbanización A, se desea saber. cuál es la varianza y desviación estándar. [0,2) 1 15 15 15 [2,4) 3 12 36 108 [4,6) 5 7 35 175 [6,8) 7 1 7 49 [8, 10) 9 3 27 243 [10, 12] 11 2 22 242 40 142 832 k k 2 - 142 n = 40. k = 6 . L f¡x'¡ = 142. L f¡x'j = 832 x = - = 3 .55 40 ¡ = 1 i = 1 hijos Luego la varianza es: K L f¡x,2 52 = ¡ = 1 -x- 2 = ~302 _ 3 ,552 = 8 .1975 hijos2 n La desviación estándar es: s = j;,2 = J8.1975 = 2 .86 hijos. => J8.1975 = 2 .86 hijos 14.8 PROBLEMAS RESUELTOS 1. El ingreso percápita anual de un país es de SI. 4000. El sector obrero que constituye el 60% de la población recibe l/5 del ingreso total. Calcular el ingreso percápita del sector no obrero. Resolución: