LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
La varianza estadística para datos tabulados o clasificados y no clasificados en intervalos de clase
En Estadística, la pretensión es que la medida descriptiva (media aritmética, varianza,..) calculada en una muestra de una población, sea lo más cercana posible a la medida equivalente en la población.
¿QUÉ ES LA VARIANZA EN ESTADÍSTICA?
La varianza es una medida que indica el grado de dispersión o variación de los valores de una variable cuantitativa respecto a la media aritmética.
☛ Si los valores de la variable tienden a acercarse alrededor de la media, la varianza es pequeña.
☛ Si los valores de la variable tienden a estar lejos de la media, la varianza es grande.
DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE VARIANZA
La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las diferencias de los datos respecto a su media aritmética. Sus unidades están elevadas al cuadrado.
La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
La varianza calculada a partir de una muestra se denota s² y la desviación estándar es √s²=s
OBSERVACIONES
☛ Cuando los valores tienden a concentrarse alrededor de su media la varianza será pequeña, si los valores tienden a distribuirse lejos de la media, la varianza será grande.
☛ No olvides que, por definición, tanto la varianza como la desviación estándar son dos valores positivos.
☛ S² y S son ambas medidas de dispersión, la diferencia radica en que S² está acompañada de las unidades originales elevadas al cuadrado, mientras que S está acompañada de las unidades originales.
☛ Se llama dispersión de un conjunto de datos , a la variabilidad que existe entre los datos y las medidas de tendencia central.
Generalmente estas medidas tienen que ver con la diferencia entre ellos y respecto a su media. Mientras más dispersos sean, más heterogéneo es el conjunto, y si es menos disperso es más homogéneo.
La dispersión se puede cuantificar utilizando el rango , la desviación media , la desviación estándar y la varianza .
CÁLCULO DE LA VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando se tienen los datos en un cuadro de distribución de clases y frecuencias, las fórmulas se modifican precisamente porque debemos hacer intervenir las frecuencias absolutas correspondientes a cada clase y el representante de la clase (más conocido como punto medio o marca de clase).
PROBLEMA 1 :
En un salón de 10 alumnos las notas de un examen fueron 08 ; 09 ; 09 ; 10 ; 10 ; 12 ; 14 ; 14 ; 15 ; 17. Hallar la media, la varianza y la desviación Stándard.
Dar como respuesta la suma de estas cantidades.
A) 19,08
B) 21,03
C) 23,05
D) 24,16
E) 25,01
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
De la tabla de distribución de frecuencias, calcule la varianza.
A) 6,15
B) 6
C) 6,24
D) 6,42
E) 6,3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
Las notas obtenidas en un examen de diez estudiantes son:
12 ; 14 ; 14 , 11 ; 15 ; 13 ; 14 ; 12 ; 14 ; 13
Halle la varianza de dichas notas.
A) 1,54
B) 1,63
C) 1,25
D) 1,30
E) 1,36
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
De la tabla de distribución de frecuencias, calcule la varianza:
A) 4,21
B) 5,32
C) 5,24
D) 3,25
E) 4,55
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PRACTICA DE CLASE
EJERCICIO 1 :
Calcula la varianza de la siguiente muestra de valores { 2, 8, 5, 9, 6 }
Rpta. : "7,5"
EJERCICIO 2 :
El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de las bolsas de cereal ( en gramos ), que empacan en una determinada presentación. Deciden para ello tomar al azar una muestra de 5 bolsas y pesarlas. Las medidas obtenidas en gramos fueron las siguientes: { 490, 500, 510, 515 y 520 }.
Calcula la varianza muestral.
Rpta. : "145"
EJERCICIO 3 :
Las calificaciones de Pedro, al final del año, en las 5 materias que cursó fueron: 7, 8, 7, 10, 8.
Al calcular la varianza obtienes:
a) 6
b) 1,5
c) 8
d) 1,2
Rpta. : "D"
EJERCICIO 4 :
Suponte que los precios de los pasajes de las rutas de transporte del país tienen actualmente una varianza de 50 centavos de dólar. Si se le aumentan 30 centavos al pasaje de todas las rutas, entonces la varianza de estos nuevos precios es:
a) 50
c) 30
b) 80
d) 20
Rpta. : "A"
EJERCICIO 5 :
Con referencia al ejercicio número 3, de arriba, suponte que las calificaciones de Juan, un amigo de Pedro, fueron de un punto menos en cada materia.
¿Cuál es la varianza de sus notas?
a) 6
b) 1,5
c) 8
d) 1,2
Rpta. : "D"
EJERCICIO 6 :
La varianza de los sueldos mensuales, en soles, en cierto mes para un grupo de empleados de una empresa, fue 100. Para el mes siguiente, el gerente decide hacer dos descuentos sucesivos del 10% y 20% al sueldo de cada empleado y al mismo tiempo aumentarles S/ 700 a cada uno. Determine la varianza de los nuevos sueldos.
A) 51
B) 49
C) 51,44
D) 50
E) 51,84
Rpta. : "E"
EJERCICIO 7 :
Los sueldos mensuales de ocho empleados de una empresa son 1951; 1950; 1954; 1955; 1954; 1951; 1953 y 1948 soles respectivamente. Si este mes, cada uno recibirá dos aumentos sucesivos del 20% y 50%, pero se le descontará 300 soles por refrigerio, determine la varianza del valor numérico de los sueldos en este mes.
A) 16
B) 15,8
C) 16,2
D) 16,25
E) 16,5
Rpta. : "C"
EJERCICIO 8 :
El gasto diario máximo, en pañales descartables, de un grupo de madres que tienen bebés, son las siguientes cantidades enteras de soles: 9; a; 12; 12; b; c; d; e; 16 y 16. La media, mediana y moda son 13; 13,5 y 14 respectivamente. Si dichos gastos están ordenados y cada madre recibió un bono semanal, en soles, equivalente a 10 veces la varianza de los números que representan esos gastos, ¿cuál es el monto de este bono?
A) 48
B) 42
C) 32
D) 38
E) 52
Rpta. : "A"
En esta lección has estudiado una de las medidas de dispersión o variabilidad de las más importantes en el análisis estadístico de datos.
Se te han presentado las expresiones de cálculo para la población y para una muestra, y has podido también comprobar la coincidencia de las fórmulas alternativas de calculo, tanto para la serie simple de datos como para la serie agrupada en clases y frecuencias.
Pero hay algo que quizá no has advertido de esta medida y que se puede considerar en esta etapa descriptiva como una desventaja de la varianza.
Esa es la desventaja, la varianza eleva al cuadrado las unidades de la variable; y esto dificulta la comparación con la media de los datos.
En la próxima unidad estudiarás la desviación típica, que no tiene ese problema ya que es la raíz cuadrada de la varianza.