Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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COMBINATORIA EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

Un determinado modelo de automóvil se fabrica con dos tipos de motores: diésel y gasolina. En cinco colores: blanco, rojo, azul, verde y negro, y con tres terminaciones: básica, semilujo y lujo. ¿Cuántos modelos diferentes se fabrican? Formamos el siguiente diagrama de árbol. Por tanto, se fabrican 30 modelos diferentes de coches. Se lanzan al aire 2 dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6 y, cuando caen al suelo, se anota el resultado de la cara superior. Forma un diagrama en árbol para calcular los diferentes resultados que se pueden obtener. ¿Y si se lanzan tres dados cúbicos? Por tanto, se pueden obtener 6 6 36 resultados diferentes. Para el caso de tres dados, el número de resultados diferentes que se pueden obtener es: 6 6 6 216. Un partido político tiene 18 candidatos para formar las listas de unas elecciones. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar a los 4 primeros de las listas? Se trata de obtener las variaciones sin repetición de 18 elementos tomados de 4 en 4: V18,4 18 17 16 15 73 440 formas 14.3 14.2 14.1 MOTOR COLOR TERMINACIÓN Diesel Gasolina Blanco Rojo Azul Verde Negro Blanco Rojo Azul Verde Negro Básica Semilujo Lujo · · · · · · · · 2 motores 5 colores 3 terminaciones 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 En una clase con 30 alumnos, se van a elegir el delegado, el subdelegado y el secretario. ¿De cuántas formas se pueden asignar los tres cargos? Se trata de obtener las variaciones sin repetición de 30 elementos tomados de 3 en 3: V30,3 30 29 28 24 360 formas ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5? Se trata de obtener las variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3: VR5,3 53 125 números ¿Cuántos números de tres formas se pueden formar con los dígitos del 0 al 9? Como ha de ser un número de tres dígitos, el primer dígito tiene que ser distinto de 0. Así que el primer dígito puede ser cualquier cifra del 1 al 9, y el segundo y el tercer dígito pueden ser cualquier cifra del 0 al 9. Luego habrá 9 10 10 900 números distintos. En España, las matrículas de los coches están representadas por 4 números, repetidos o no, seguidos de tres letras consonantes repetidas o no, exceptuando la ñ, q, ll y ch. ¿Cuántos coches se podrán matricular con este sistema? Formaciones diferentes de los 4 números: VR10, 4 104. Formaciones diferentes de las 26 letras: VR26, 3 263. Matrículas diferentes que se pueden formar 104 263 175 760 000. Calcula las siguientes operaciones con factoriales. a) 5! b) —6 4 ! ! — c) —9 7 ! ! — d)— 6! 10 ! 4! — a) 5! 5 4 3 2 1 12 b) 6 4 ! ! 6 5 4! 4! 6 5 30 c) 9 7 ! ! 9 8 7! 7! 9 8 72 d) 6! 10 ! 4! 1 6 0 ! 9 4 8 3 7 2 6 1 ! 210 Pedro tiene que colocar en una estantería 24 libros y un diccionario. a) ¿De cuántas formas diferentes los puede colocar? b) ¿De cuántas maneras distintas los puede ordenar si quiere que el diccionario quede siempre el primero por la izquierda? a) Se trata de hallar las diferentes maneras de ordenar 25 elementos; por tanto, P25 25! 1,55 1025. b) Se coloca el diccionario a la izquierda, y se trata de hallar las diferentes maneras de ordenar 24 elementos; por tanto, P24 24! 6,2 1023. ¿Cuántos números diferentes se pueden obtener si permutamos de todas las formas posibles las cifras del número 2323? Escríbelos. Se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 4 elementos que se repiten 2 veces cada uno: P4 2,2 2! 4 ! 2! 6 formas Los números son los siguientes: 2233, 2323, 2332, 3223, 3232 y 3322. ¿De cuántas formas distintas se puede alinear ocho signos más y seis signos menos? Se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 14 elementos que se repiten 8 y 6 veces: P14 6,8 6! 14 ! 8! 3003 formas 14.11 14.10 14.9 14.8 14.7 14.6 14.5 14.4 Escribe el enunciado de un problema que se resuelva calculando las P6 1,2,3. ¿Cuántos números diferentes se pueden obtener al permutar de todas las formas posibles las cifras del número 888776? Para resolver el problema es necesario obtener el número de permutaciones con repetición de 6 elementos que se repite un elemento tres veces, otro elemento dos veces y un elemento una vez. P6 1,2,3 3! 6 2 ! ! 1! 60 formas En una bolsa hay cuatro bolas blancas y tres negras. Se sacan las bolas una a una. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener? Se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 7 elementos que se repiten 4 y 3 veces: P7 4,3 4! 7 ! 3! 35 resultados distintos Se añade una bola a la bolsa del ejercicio anterior y se repite el experimento. Calcula cuántos resultados distintos se pueden conseguir dependiendo del color de la nueva bola. Si la bola es blanca, se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 8 elementos que se repiten 5 y 3 veces: P8 5,3 5! 8 ! 3! 56 resultados distintos Si la bola es negra, se trata de obtener el número de permutaciones con repetición de 8 elementos que se repiten 4 veces cada uno: P8 4,4 4! 8 ! 4! 70 resultados distintos Se han reunido 5 amigos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado si se han saludado todos entre sí? Como no influye el orden, se trata de hallar el número de combinaciones de 5 elementos tomados de 2 en 2. C5,2 V P 5 2 ,2 5 2 4 10 saludos ¿Cuántas carreteras hay que construir para comunicar siete pueblos de manera que cada dos pueblos queden unidos por una carretera? Se trata de hallar el número de combinaciones de 7 elementos tomados de 2 en 2. C7,2 V P 7 2 ,2 7 2 6 21 carreteras Una ONG dedicada a la conservación del medio ambiente necesita elegir entre sus 96 miembros un equipo compuesto por 4 personas. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar? Se trata de hallar el número de combinaciones de 96 elementos tomados de 4 en 4. C96,4 V P 96 4 ,4 96 4 95 3 9 4 2 93 3 321 960 equipos Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, ¿cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar? ¿Y cuántos números de cuatros cifras diferentes se pueden formar? Números de cinco cifras: Como influye el orden e intervienen todos los elementos, se trata de una permutación de 5 elementos: P5 5! 120 números Números de cuatro cifras: Como influye el orden, no intervienen todos los elementos y estos no se pueden repetir, se trata de obtener las variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 4 en 4: V5,4 5 4 3 2 120 números 14.18 14.17 14.16 14.15 14.14 14.13 14.12 ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de una clase? ¿Y si el primer puesto está reservado siempre para el delegado? Hay 12 alumnos y hay que seleccionar a 4. Como no influye el orden, se trata de calcular el número de combinaciones de 12 elementos tomados de 4 en 4: C12,4 V P 12 4 ,4 12 4 1 3 1 2 10 1 9 495 formas Si el primer puesto está reservado para el delegado, hay que seleccionar 3 alumnos de un grupo de 11. Como no influye el orden, se trata de calcular el número de combinaciones de 11 elementos tomados de 3 en 3: C11,3 V P 11 3 ,3 11 3 1 2 0 1 9 165 formas R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S En un tablero de ajedrez un rey hace un recorrido desde la casilla A-1 hasta la casilla H-8, de forma que en cada paso va de una casilla a otra contigua de color diferente. ¿Cuántos caminos distintos puede seguir teniendo en cuenta que nunca retrocede? La condición de ir alternando colores impide que el rey vaya en diagonal. Moviendo el rey, se puede comprobar que hay que hacer 7 movimientos hacia la derecha y 7 hacia abajo, es decir, 14 en total. No tiene sentido un movimiento hacia arriba o hacia la izquierda, que aleja del objetivo. La solución, al igual que en el problema resuelto, es P14 7,7 7! 14 ! 7! 3432 caminos posibles. En Braille se utiliza como base un rectángulo como el de la figura, en el que en cada casilla se puede colocar un punto en relieve o dejarla vacía. Si cada combinación representa un carácter, ¿cuántos se pueden representar? En cada rectángulo se pueden colocar 0, 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos. Colocando 0 puntos hay 1 posibilidad. Colocando un punto, hay que dejar cinco huecos libres y uno ocupado. Por tanto, se trata de una permutación con repetición de 6 elementos, donde un elemento se repite una vez y otro se repite cinco veces. P6 1,5 5! 6 ! 1! 6 posibilidades Colocando dos puntos, hay que dejar cuatro huecos libres y dos ocupados. Por tanto, se trata de una permutación con repetición de 6 elementos, donde un elemento se repite dos veces y otro se repite cuatro veces. P6 2,4 4! 6 ! 2! 15 posibilidades Colocando tres puntos, hay que dejar tres huecos libres y tres ocupados. Por tanto, se trata de una permutación con repetición de 6 elementos, donde cada elemento se repite tres veces. P6 3,3 3! 6 ! 3! 20 posibilidades Colocando cuatro puntos, hay que dejar dos huecos libres y cuatro ocupados. Por tanto, se trata de una permutación con repetición de 6 elementos, donde un elemento se repite dos veces y otro se repite cuatro veces. P6 4,2 4! 6 ! 2! 15 posibilidades Colocando cinco puntos, hay que dejar un hueco libre y cinco ocupados. Por tanto, se trata de una permutación con repetición de 6 elementos, donde un elemento se repite una vez y otro se repite cinco veces. P6 1,5 5! 6 ! 1! 6 posibilidades En total hay 1 6 15 20 15 6 1 64 posibilidades. 14.21 14.20 14.19 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Diagrama en árbol. Recuento El código de un candado consta de 2 letras (A y B) y de 2 números (1 y 2). Realiza el diagrama en árbol y calcula el número de códigos posibles. Número de códigos posibles: 2 2 2 2 16 Los partidos de semifinales de una competición europea de baloncesto son Grecia-España y Alemania- Francia. Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a las posibles finales. 14.23 14.22 A B 2 1 2 1 A 1 2 2 1 2 1 1 2 Resultados A B 2 1 2 1 B 1 2 2 1 2 1 1 2 AA 11 AA 12 AA 21 AA 22 AB 11 AB 12 AB 21 AB 22 BA 11 BA 12 BA 21 BA 22 BB 11 BB 12 BB 21 BB 22 Grecia G España E Alemania A Francia F A G F G - A A E F G - F E - F E - A Finales Utilizando un diagrama en árbol, calcula el número de resultados posibles al extraer una bola de una urna que contiene una azul y otra roja, y a la vez que se lanza un dado cúbico y una moneda. Número de resultados posibles: 2 6 2 24. Una ONG quiere escoger una nueva junta directiva. Al cargo de presidente optan 3 personas: María, Julia y Pedro; al de secretario, 2: Belén y Luis, y al de tesorero, otras 2: Vanesa y Carlos. Representa en un diagrama en árbol todas las posibilidades de elección. Número de elecciones posibles: 3 3 2 12. 14.25 14.24 A Resultados 1 C X 2 C X 3 C X 4 C X 5 C X 6 C X A 1 C A 1 X A 2 C A 2 X A 3 C A 3 X A 4 C A 4 X A 5 C A 5 X A 6 C A 6 X R 1 C X 2 C X 3 C X 4 C X 5 C X 6 C X R 1 C R 1 X R 2 C R 2 X R 3 C R 3 X R 4 C R 4 X R 5 C R 5 X R 6 C R 6 X Urna Dado Moneda María M Julia J Pedro P Belén B Luis L Vanesa V Carlos C B M L Presidente V C V C B J L V C V C B P L V C V C M B V M B C M L V M L C J B V J B C J L V J L C P B V P B C P L V P L C Secretario Tesorero Resultados El código de la taquilla del instituto de Zaira está formado, en primer lugar, por 2 números (1 y 2) y, posteriormente, por 3 símbolos (*, ?, @). Con ayuda de un diagrama en árbol, describe y calcula el número de posibles códigos que se pueden utilizar para abrir la taquilla. Número de códigos posibles: 2 2 3 12 Permutaciones, variaciones y combinaciones Un chico coloca cada día los libros de texto en su estantería al llegar a casa. En ella dispone los 6 libros que utiliza con mayor frecuencia. ¿Cuántas ordenaciones distintas puede realizar? Número de ordenaciones distintas: P6 6! 720 Con las letras de la palabra FLAMENCO, ¿cuántos grupos diferentes de 8 letras se pueden formar? Grupos diferentes de 8 letras: P8 8! 40 320 En un juego de azar se eligen 6 números del 1 al 49, ambos inclusive. ¿Cuántas jugadas distintas pueden efectuarse? Número de jugadas distintas: C49, 6 6! 49 4 ! 3! 13 983 816 El AVE que une las ciudades de Madrid y Zaragoza está formado por 6 vagones: 4 de clase turista y 2 de business class. ¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse los vagones detrás de la locomotora? P6 4,2 4! 6! 2! posibles ordenaciones de los vagones La comida básica de un poblado está basada en el arroz, las judías, el maíz y la patata. ¿Cuántos platos distintos pueden realizar mezclando 3 alimentos a la vez? Número de platos distintos: C4, 3 3! 4! 1! 4 14.31 14.30 14.29 14.28 14.27 14.26 2 1 2 * ? @ * ? @ 1 1 2 * ? @ * ? @ El aula de informática de un instituto tiene 10 ventanas. Teniendo en cuenta que sus posiciones posibles son abiertas o cerradas, y que debe haber 6 abiertas y 4 cerradas, calcula el número de posiciones distintas que pueden tener las ventanas. P10 6,4 6 1 ! 0 4 ! ! 30 posiciones de las ventanas En un juego de cartas, una mano está compuesta por 4 naipes. ¿Cuántas manos distintas se pueden formar con una baraja española (40 cartas)? Número de manos distintas: C40,4 4! 40 3 ! 6! 91 390 En una clase de 4.º de ESO se realiza la elección del delegado y del subdelegado entre 5 alumnos. a) ¿Cuántos resultados posibles existen? b) Si Juan Gómez es uno de los candidatos, ¿en cuántos de los resultados anteriores es elegido como subdelegado? a) Resultados posibles: V5, 2 5 4 20 b) Juan Gómez sería subdelegado con 4 posibles delegados; por tanto, estaría en 4 elecciones. En un juego de mesa se utilizan 15 tarjetas de 3 colores distintos. Si cada uno de los chicos coge 3 tarjetas, ¿cuántas posibilidades hay de que los dos tengan la misma combinación de colores? Número de posibilidades de que los chicos tengan la misma combinación: P3 3! 6 Cierto alfabeto está formado por los siguientes símbolos: %, $, € y @. ¿Cuántas posibles palabras de 8 símbolos se pueden formar teniendo en cuenta que debe haber dos símbolos de cada tipo? P8 2,2,2,2 2!2! 8 2!2! 2520 posibles palabras El diseño de un nuevo circuito de velocidad debe incluir 9 curvas, de las que cuatro deben ser hacia la derecha y cinco hacia la izquierda. ¿De cuántas formas distintas pueden distribuirse las curvas en el circuito? P9 4,5 4! 9! 5! 126 disposiciones distintas de las curvas en el circuito Los alumnos del último curso de un centro escolar desean formar una comisión con 3 alumnas y 2 alumnos para organizar el viaje de fin de curso. El número total de alumnas es de 25 y el de alumnos es de 20. ¿De cuántas formas distintas pueden completar dicha comisión? Formas de completar la comisión: C25,3 C20,2 22 2 ! 5! 3! 18 2 ! 0! 2! 20 437 000 2 25 3 14.38 14.37 14.36 14.35 14.34 14.33 14.32 Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántos grupos de 4 letras se pueden formar? ¿Cuántos de ellos acaban en vocal? Se pueden formar en total: V6, 4 360 grupos de 4 letras. En vocal acaban: 4 V5, 3 240 grupos. Fayna dispone de 5 faldas, 4 camisetas y 3 pares de zapatos. ¿Cuántas posibilidades tiene para elegir el conjunto que vestirá mañana? ¿En cuántas de ellas no intervienen ni el rojo ni el negro? Posibilidades para elegir el conjunto que vestirá: 5 4 3 60. Posibilidades en las que no intervienen ni el rojo ni el negro: 4 2 1 8. Halla el valor de x en estas igualdades. a) 3Vx,2 10Cx 1,2 b) 5Vx,3 Vx 2,3 c) — 1 5 2—Px 2,3 Px 1 d) 8Px 1 2,4 Px a) 3Vx,2 10Cx 1,2 (x 1, 2, pues si no, Cx 1,2 no tendría sentido). 3 x (x 1) 10 (x 1) 2 (x 2) ⇒ 3 x (x 1) 5 (x 1) (x 2) ⇒ 3x 5 (x 2) ⇒ x 5 b) 5Vx,3 Vx + 2,3 (x 0, pues si no, Vx + 2,3 no tendría sentido). 5 x (x 1) (x 2) (x 2) (x 1) x ⇒ 5 (x 1) (x 2) (x 2) (x 1) ⇒ 5x 2 – 15x + 10 x 2 3x 2 ⇒ 4x 2 18x 8 0 ⇒ 2x 2 9x 4 0 ⇒ x 9 8 4 1 3 2 9 4 7 Como x 1 2 no tiene sentido, entonces x 4. c) 1 5 2 Px 2,3 Px 1 x 1, pues si no, Px 1 no tendría sentido. Además, x 2 3 5 para que Px 2,3 esté correctamente definido. Veamos: 1 5 2 2! x ! 3! (x 1)! ⇒ 1 5 2 x (x 12 – 1)! (x – 1)! ⇒ 5 x 1 ⇒ x 5 d) 8Px 1 2,4 Px x 0, pues si no, Px no tendría sentido. Además, para que 8Px 1 2,4 esté definido, x 1 2 4, luego x 5. Veamos: (x 2! 4 1 ! )! x! ⇒ (x 6 1) x! x! ⇒ x 6 1 1 ⇒ x 5 4 2/4 1/2 14.41 14.40 14.39 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Con estos símbolos: #, @, &, $, ¿cuántos posibles grupos de 6 símbolos se pueden formar teniendo en cuenta que no hace falta que intervengan todos? Utiliza un diagrama en árbol y establece el recuento de resultados. Se pueden formar todos los grupos de 6 elementos con 4 integrantes distintos, es decir, los grupos correspondientes a las VR4, 6 4096. ¿De qué forma se obtienen más grupos diferentes de 4 letras distintas: permutando las de la palabra CANOA o las de la palabra LIBRO? ¿Por qué? Permutando las letras de la palabra LIBRO, ya que todas sus letras son distintas, y las P5 palabras posibles son todas diferentes. La palabra CANOA, sin embargo, tiene dos letras iguales que generan palabras repetidas. ¿Por qué 7! es múltiplo de 2, 3 y 5 a la vez? 7! 7 6 5 4 3 2 1 ⇒ 7! es múltiplo de 2, 3 y 5 a la vez porque tiene estos tres números entre sus factores. Si 9! 362 880, calcula de forma inmediata el valor de 10! ¿Qué relación existe entre n! y (n 1)!? 10! 10 9! 3 628 800 Relación entre n! y (n 1)! (n 1)! (n 1) n! Si x! 479 001 600 y (x 1)! 43 545 600, halla el valor de x. 11 4 4 7 3 9 5 0 4 0 5 1 6 6 0 0 0 0 (x x! 1)! x ( x (x 1) 1 ! )! x ¿Tiene sentido calcular el número de variaciones de 3 elementos tomados de 5 en 5? Razona tu respuesta. No, ya que es imposible formar grupos de 5 miembros con tan solo 3 integrantes si no se pueden repetir. Con los dígitos 3, 5 y 9 se forman todos los números posibles de 4 cifras. ¿Cómo hallamos el número de resultados, con VR3, 4 o con V4, 3? Con VR3, 4, pues es inevitable que haya repetición, al ser mayor el número de cifras que el número de los dígitos disponibles. 14.48 14.47 14.46 14.45 14.44 14.43 14.42 # @ & $ # @ & $ # @ & $ # @ & $ # @ & $ # @ & $ Relaciona en tu cuaderno las operaciones de la columna de la izquierda con la herramienta combinatoria correspondiente de la derecha. 74 P7 —4 7 !3 ! ! — VR7, 4 7! V7, 4 7 6 5 4 C7, 4 74 VR7, 4 4 7 !3 ! ! C7,4 7! P7 7 6 5 4 V7,4 Calcula: a) V5, 5 b) P5 c) P8 d) V8, 8 ¿Qué observas? ¿Cuál es la relación entre las variaciones de n elementos tomados de n en n y las permutaciones de n elementos? a) V5, 5 5 4 3 2 1 120 b) P5 5 4 3 2 1 120 c) P8 8 7 6 5 4 3 2 1 40 320 d) V8, 8 8 7 6 5 4 3 2 1 40 320 Se observa que V5, 5 P5 y que P8 V8, 8. Se deduce, pues, que, en general, Pn Vn, n. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) En las variaciones con repetición no importa el orden. b) En las variaciones sin repetición sí importa el orden. c) En las permutaciones importa el orden. d) En las combinaciones importa el orden. a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Falso a)¿Qué relación existe entre P6 2,4, C6,2 y C6,4? b) ¿Qué diferencia hay entre las permutaciones con repetición y las combinaciones? c) ¿Cómo han de ser las permutaciones con repetición y las combinaciones para que ocurra lo del apartado a)? a) Aplicando las fórmulas correspondientes a cada expresión, obtenemos: P6 2,4 4 6 !2 ! ! 15 ; C6,2 V P 6 2 ,2 15 ; C6,4 V P 6 4 ,4 15 Por tanto, se deduce que valen lo mismo las tres expresiones. b) En las permutaciones con repetición importa el orden a la hora de formar los grupos de elementos, mientras que en las combinaciones el orden no importa. c) La estructura ha de ser la siguiente: Pn a,b Cn,a o Pn a,b Cn,b 14.52 14.51 14.50 14.49 P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Una persona ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Sólo recuerda que empieza por 9 y que es un número par. ¿Qué posibilidad tiene de encontrarla sabiendo que las claves son de 4 cifras con posible repetición? Las posibilidades en cada cifra son las siguientes: 1 10 10 5 500. En un intercambio cultural, el monitor responsable desea distribuir por parejas a los 24 alumnos que participan para completar los asientos del autobús que van a utilizar en los desplazamientos. ¿De cuántas formas puede realizarlo? Si hay 8 alumnos del mismo país, ¿en cuántas disposiciones estos 8 alumnos no están emparejados entre ellos? En total hay C24, 2 276 agrupamientos posibles. En C8, 2 28 de esos agrupamientos están los alumnos del mismo país juntos. Por tanto, en 276 – 28 248, los alumnos del mismo país están mezclados con el resto. Uniendo 5 vértices de un heptágono se obtiene un pentágono. ¿Cuántos pentágonos distintos se pueden conseguir siguiendo este procedimiento? Número de pentágonos: C7,5 2! 7! 5! 21 Los números escritos en base ocho solo permiten el uso de las cifras del 0 al 7. ¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas? Números de 4 cifras: V8,4 8 4 ! ! 1680 Un equipo de balonmano está formado por seis jugadores de campo y por un portero. Si un entrenador dispone de 12 jugadores de campo y de 2 porteros, ¿cuántas alineaciones distintas puede completar? Número de alineaciones distintas: 2 C12,6 6 1 ! 2 6 ! ! 1848 La contraseña de acceso a la cuenta de cierto correo electrónico está formada por 8 caracteres: los 5 primeros son dígitos del 1 al 9, y los 3 últimos son vocales. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? Número de contraseñas distintas: VR9,5 VR5,3 95 53 7 381 125 Un programa de ordenador descifra claves secretas en tiempo récord. Una agencia de investigación necesita descubrir un código de 5 dígitos y 3 letras (y en ese orden). Sabiendo que emplea una milésima de segundo en analizar cada código, ¿cuántos días tardará en desvelar el código secreto? Número de códigos posibles: VR10,5 VR27,3 105 273 1 968 300 000 El tiempo que se tarda en descifrarlos será igual a: 1 968 300 000 0,001 1 968 300 segundos 22,8 días, aproximadamente La codificación de los libros de una biblioteca se establece de la siguiente manera: los 3 primeros dígitos del código hacen referencia a la sección a la que pertenecen; los 2 siguientes, al número de la estantería en la que se encuentran, y los 2 últimos, a la posición que ocupan dentro de dicha estantería. Teniendo en cuenta que se utilizan las cifras del 0 al 9, ¿cuántos libros se pueden codificar? Número de libros que se pueden codificar: VR10,7 107 10 000 000. 14.60 14.59 14.58 14.57 14.56 14.55 14.54 14.53 Entre las actividades de fin de curso de un centro se organiza un partido y se premia a quien adivine el resultado del encuentro. Contabiliza todos los tanteos que en principio se pueden producir si se ha decidido imponer un tope de 7 goles por equipo. Si han apostado 4 personas por cada resultado y cada apuesta cuesta un euro, ¿cuánto recibe cada uno de los que ganen? Tanteos posibles: VR8, 2 82 64. Dinero recaudado: 64 4 256 €. Por tanto, cada uno de los cuatro ganadores recibirá 256 4 64 €. Con las 27 letras independientes del alfabeto: a) ¿Cuántos grupos de 5 letras distintas se pueden formar? b) ¿Cuántos empiezan y terminan con vocal? c) ¿Cuántos empiezan por consonante y terminan con vocal? a) Grupos de 5 letras distintas: V27, 5 9 687 600 b) Grupos que empiezan y terminan con vocal: V25, 5 (las 3 letras del centro) V 5,2 (las posibles ordenaciones de las 5 vocales en el inicio y final) 276 000 c) Grupos que empiezan por consonante y terminan con vocal: 22 (posibles consonantes) V25, 3 (ordenaciones en puestos del centro de todas las letras menos 2) 5 (posibles vocales al final) 1 518 000 R E F U E R Z O Diagramas de árbol Disponemos de los colores rojo, verde, amarillo y negro para formar todas las banderas posibles con 3 franjas verticales. Dibuja un diagrama en árbol que represente todas las banderas resultantes de tal manera que no se repitan colores en la misma bandera. 14.63 14.62 14.61 R A N V N V A V A N V A N R A N R V N R V A A N R N A R V N R N R V V A R A R V R V A R V N R A V R A N R N V R N A V R A V R N V A R V A N V N A V N R A R V A R N A V R A V N A N R A N V N R V N R A N V R N V A N A R N A V Franja 1 Franja 2 Franja 3 Bandera Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas de un euro. Hacemos girar una ruleta que contiene números del 1 al 3, y a continuación otra con los números del 4 al 6. Calcula cuántos números de dos cifras se pueden formar al girar cada ruleta, en el orden indicado. Forma un diagrama de árbol que ilustre este experimento. Hay 3 3 9 números. 14.65 14.64 Dado C 1 2 3 4 5 6 X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X 1.a Moneda 2.a Moneda Resultados 1 C C 1 C X 1 X C 1 X X 2 C C 2 C X 2 X C 2 X X 3 C C 3 C X 3 X C 3 X X 4 C C 4 C X 4 X C 4 X X 5 C C 5 C X 5 X C 5 X X 6 C C 6 C X 6 X C 6 X X 4 5 6 1 4 5 6 2 4 5 6 3 Permutaciones, variaciones y combinaciones a) ¿Cuántos números distintos de 6 cifras existen en los que aparezca dos veces el 3, dos veces el 4 y dos el 5? b) ¿Cuántos de esos números son pares? a) P6 2,2,2 2! 6 2 ! ! 2! 90 números distintos b) La única manera de que sean pares es que acaben en 4; por tanto, fijamos uno de los cuatros en la última posición, y obtenemos: P5 2,2,1 2! 5 2 ! ! 1! 30 números son pares Cierta comarca está formada por 15 pueblos, y todos sus ayuntamientos deciden rehabilitar sus carreteras. Si todas las localidades se encuentran comunicadas entre sí, ¿cuántas carreteras deberán rehabilitarse? Número de carreteras que se deben rehabilitar: C15,2 2! 15 1 ! 3! 105 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 amigos que acuden a un concierto de música clásica en una fila de 7 butacas? Formas de sentarse: P7 7! 5040 En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación 3 veces. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar? Número de resultados distintos: VR8,3 83 512 Con las cifras impares: a) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar? b) ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden conseguir? c) ¿Cuántos productos de 3 factores distintos se pueden realizar? Tenemos 5 cifras impares {1, 3, 5, 7, 9}. a) Números de 3 cifras distintas: V5,3 5 4 3 60 b) Números de 5 cifras diferentes: P5 5! 5 4 3 2 1 120 c) Productos de 3 factores distintos: C5,3 3! 5! 2! 10 Se define un byte como una combinación de 8 dígitos que solo pueden ser ceros y unos. ¿Cuántos bytes distintos hay que tengan 6 ceros y 2 unos? ¿Cuántos de estos bytes terminan en 1? El número de bytes que podemos formar con esas condiciones es: P8 6,2 6! 8! 2! 28 Para que acaben en uno, en la última posición fijamos uno de los unos, y obtenemos: P7 6,1 6! 7! 1! 7 bytes que terminen en uno. 14.71 14.70 14.69 14.68 14.67 14.66 A M P L I A C I Ó N Con los números del 1 al 6 (ambos inclusive), ¿cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse que sean divisibles por 3? Podrán formarse 8 3! 48 números de 3 cifras distintos. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son menores que 3200? Números capicúas de 4 cifras: VR10, 2 102 100. Ahora, 100 – 10 (los que empiezan por 0) 90. Números capicúas pares: 4 10 40 Números capicúas múltiplos de 5 son solo los que terminan por 5. Hay 10 que empiezan o terminan por 5. Números capicúas menores que 3200 son los que empiezan por 1 (hay 10), los que empiezan por 2 (hay 10) y los que empiezan por 31 (hay 1). En total tendremos 21. De todos los resultados posibles al lanzar 3 dados cúbicos, ¿en cuántos de ellos aparece al menos un 5? Todas las posibilidades son: VR6, 3 63 216. (Salir al menos un cinco) U (Salir ningún cinco) Total. Salir ningún cinco: VR5, 3 53 125. Salir al menos un cinco: 216 – 125 91. Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9: a) ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al sumar las cifras de 3 en 3? b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar, ¿cuántos son mayores que 70 000? c) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden conseguir? Averigua la suma de todos ellos. a) Número de resultados distintos al sumar de 3 en 3 las cifras C5, 3 10. b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar son mayores que 70 000: 2 P4 48. c) Números de 3 cifras distintas V5, 3 60 Para calcular la suma de todos ellos: Al ser números de tres cifras, serán de la forma C D U (centenas, decenas y unidades). U V4,2 9 V4,2 7 V4,2 5 … V4,2 1 300 D 10 300 3000 C 100 300 30000 Total 33 300 Determina cuál de las siguientes relaciones es la correcta, siendo n un número natural mayor que 1, y justifica tu respuesta. n! < nn n! nn n! > nn La relación correcta es la primera, ya que n! n (n 1) (n 2) … 1 nn n n n n ... n (n factores) (n factores) Halla todos los valores de n que verifican la siguiente igualdad. — P P n n 4 ,2 2 2,2 , , 1 1 — —2 6 1— 2 6 1 ⇒ 2 6 1 ⇒ n (n 12 1)! 2 6 1 ⇒ n2 n 42 0 ⇒ n 1 2 13 Descartamos la solución n –6, pues no tiene sentido. Luego n 7. 7 6 4! n 2! ! 1! 2 ( ! n 2! 2 ) 1 ! ! 14.77 14.76 14.75 14.74 14.73 14.72 0000000 000000 000000 ( n 4 2)! n (n 1) (n 2)! 48 El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es igual a Cm,n — V P m n —,n , pero hay otra manera de calcular este número en la que la expresión obtenida depende solo de factoriales. Obtén esta fórmula y, a partir de ella, deduce una expresión para hallar las Vm,n en la que solo aparezcan factoriales. Cm,n V P m n ,n n! (m m ! n)! Por tanto, Cm,n n!(m m ! n)! Partiendo de la expresión inicial, tenemos: Cm,n V P m n ,n ⇒ Vm,n Cm,n Pn, sustituyendo la expresión obtenida anteriormente, llegamos a: Vm,n (m m! n)! n! n! (m m ! n)! P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Un nuevo lenguaje de programación Un grupo de aficionados a la informática ha ideado un lenguaje de programación al que han llamado Artex. Las palabras reservadas en este lenguaje, que sirven para establecer todo tipo de órdenes de forma automática, son las que se obtienen al permutar las letras de Artex, y se clasifican en: a) ¿Cuántas palabras reservadas diferentes tiene este lenguaje? b) Calcula el número de órdenes de cada tipo que se pueden establecer. c) ¿Existen palabras reservadas no utilizadas en ninguna de las órdenes? En caso afirmativo, calcula su número y descríbelas. a) P5 5! 120 palabras reservadas diferentes b) Instrucciones aritméticas básicas: 3 3 2 1 2 36 Instrucciones algebraicas: 1 3 2 1 3 18 Instrucciones condicionales: 1 3 2 1 1 6 Instrucciones de iteración: 1 3 2 1 2 12 Procedimientos y funciones: 2 3 2 1 1 12 c) Hay 120 84 36 permutaciones no utilizadas que corresponden con las palabras que empiezan por consonante y acaban por vocal. Es decir: 3 3 2 1 2 36. 14.79 m … (m n 1) (m n)! n! (m n)! m (m 1) … (m n 1) n! 14.78 Tipo de orden Empiezan por Acaban en Instrucciones aritméticas Consonante Consonante básicas Instrucciones algebraicas A Consonante Instrucciones condicionales E X Instrucciones E Consonante de iteración distinta de X Funciones y procedimientos Vocal Vocal Santi, Pilar, Ana, Rodrigo y Elena van a ir de viaje en un coche de 5 plazas con dos asientos delanteros y tres traseros. Solo las chicas tienen el carnet de conducir y, además, Santi tiene que ir en los asientos delanteros porque se marea. Teniendo en cuenta estas condiciones: a) ¿De cuántas formas diferentes pueden ocupar los asientos del coche? b) ¿En cuántas de estas formas irá Rodrigo sentado al lado de una de las cuatro ventanillas? c) ¿En cuántos casos irá Ana sentada entre Pilar y Rodrigo? a) Santi debe ir en el asiento delantero y una chica conduciendo. Luego las posibilidades son: 3 1 3 2 1 18. b) Hacemos el diagrama en árbol que describe esta situación: c) Para que Ana vaya sentada entre Pilar y Rodrigo, estos tres deben ir en el asiento trasero del coche. Por tanto, Elena tiene que ir conduciendo, y Santi, en el asiento del copiloto. En el asiento trasero, para que se dé la condición del enunciado, pueden ir sentados Pilar-Ana-Rodrigo o Rodrigo-Ana-Pilar. Por tanto, hay dos posibilidades. 14.80 A R E E A A E R R P S E A · P: Pilar · A: Ana · E: Elena · S: Santi · R: Rodrigo Conductor Copiloto Ventanilla Central Ventanilla Parte Trasera P E R E P P E R E A S R P A R P P A A E S R P P A R 12 posibilidades A U T O E V A L U A C I Ó N Se organiza una fiesta solidaria con el fin de recaudar fondos para el centro de personas mayores del barrio. En dicha fiesta se disponen 4 tipos de bocadillos, 2 clases de refrescos y 2 postres. Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a la elección de un bocadillo, un refresco y un postre. ¿Cuántas posibilidades distintas existen? Hay 4 2 2 16 posibilidades distintas. La primera fila del palco presidencial de un estadio de fútbol se halla compuesta de 11 asientos. ¿De cuántas formas pueden completarse con los miembros de los equipos directivos de manera que los dos presidentes se sienten juntos? Número de formas de sentarse de modo que los dos presidentes estén juntos: 2 P10 2 10! 7 257 600 Juan quiere irse de viaje el fin de semana, y dispone de 5 camisetas de las cuales desea llevar 3. ¿De cuántas formas distintas puede realizar la elección? Número de formas distintas de hacer la elección: C5,3 3 5 !2 ! ! 10 14.A3 14.A2 14.A1 Bocadillo B1 B2 B3 B4 R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 Refresco Postre Resultados B1 R1 P1 B1 R1 P2 B1 R2 P1 B1 R2 P2 B2 R1 P1 B2 R1 P2 B2 R2 P1 B2 R2 P2 B3 R1 P1 B3 R1 P2 B3 R2 P1 B3 R2 P2 B4 R1 P1 B4 R1 P2 B4 R2 P1 B4 R2 P2 ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger 3 figuras de entre todas las existentes en una baraja española de 40 cartas? Número de formas distintas de hacer la elección: C12,3 3 1 ! 2 9 ! ! 220 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden constituir con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9? ¿Cuántos de ellos son pares? ¿Cuántos se podrían formar sin repetir ningún dígito? Números de 4 cifras: VR5,4 625 Números pares: 4 VR5,3 500 Números con cifras distintas: V5,4 120 Calcula el valor de x en estas igualdades. a) Vx, 4 6Vx, 2 b) Px 20Px, 2 c) Px 20Px 2 d) Vx,3 4Cx 1,2 a) (x – x! 4)! 6 (x – x! 2)! ⇔ x 2 5x 0 ⇒ x 5 b) x! 20 (x 2)! ⇒ x 2 x 20 0 ⇒ x 5 c) x! 20 (x 2)! ⇒ x 2 x 20 0 ⇒ x 5 d) x (x 1) (x 2) 4 (x 2 1) x ⇒ x 5 Los 4 refugios de un parque natural están comunicados todos ellos dos a dos. ¿Cuántos caminos diferentes hay? Caminos diferentes: C4,2 4 2 3 6 Los 7 miembros de un grupo scout llevan gorra, siendo 4 rojas y 3 azules. ¿Cuántas posibles ordenaciones por colores pueden hacer cuando caminan en fila? Posibles ordenaciones P7 4,3 4! 7! 3! 35 M A T E T I E M P O S El precio de la gasolina La capacidad media de un barril de petróleo es de 158,98 litros. El coste medio del barril en el mercado de Londres durante un determinado mes es de 70 dólares. Si el precio de la gasolina, en ese mismo mes, fue de 1 euro por litro y un dólar se cotizó a 0,7 euros, ¿cuál fue la diferencia entre el precio de coste y el de venta? Precio de un litro de petróleo en dólares: 15 7 8 0 ,98 0,4403 Precio de un litro de petróleo en euros: 0,4403 0,7 0,3082 Diferencia, en euros, entre el precio de un litro de gasolina y el de un litro de petróleo: 1 0,3082 0,6918 16 COMBINATORIA E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S Una pastelería elabora galletas de tres sabores: sencillas, cubiertas de chocolate y rellenas de mermelada, y las envasa en cajas de 100, 200 y 400 gramos. Forma un diagrama en árbol. ¿Cuántos productos diferentes se pueden escoger? Formamos el diagrama en árbol: Por tanto, el consumidor puede escoger entre 3 3 9 tipos de paquetes de galletas diferentes. Se lanzan al aire 2 dados cúbicos con las caras numeradas del 1 al 6 y se anota el resultado de las caras superiores. Forma un diagrama en árbol. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener? ¿Y si son 3 los dados lanzados? Formamos el diagrama en árbol: Por tanto, se pueden obtener 6 6 36 resultados diferentes. Para el caso de tres dados, el número de resultados diferentes que se pueden obtener es: 6 6 6 216. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números diferentes de seis cifras se pueden formar sin que se repita ninguna? Se podrán formar P6 6! 720 números diferentes. 16.3 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 16.2 Sabores Envase Sencilla De chocolate De mermelada 100 g 200 g 400 g 100 g 200 g 400 g 100 g 200 g 400 g 16.1 Con las letras de la palabra TEMA, ¿cuántos grupos diferentes de 4 letras puedes escribir sin que se repita ninguna letra? ¿Y si la primera ha de ser la T ? Grupos diferentes de cuatro letras: P4 4! 24. Grupos diferentes cuya primera letra sea la T: P3 3! 6. En una carrera participan 16 caballos y solo se adjudican 3 premios. Suponiendo que no pueden llegar a la meta al mismo tiempo, ¿de cuántas maneras se pueden conceder los premios? Como influye el orden, se tiene: V16, 3 16 15 14 3360 formas diferentes de adjudicar los premios. Una asociación ecologista se constituye con 30 socios fundadores. Si tienen que elegir presidente, vicepresidente, secretario y tesorero, ¿de cuántas formas diferentes se pueden cubrir esos cargos? V30, 4 30 29 28 27 657 720 formas diferentes de cubrir los cargos de la junta directiva. Se lanzan 2 dados cúbicos de diferentes colores con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener? ¿Y si son 3 dados? Si lanzamos dos dados, obtenemos VR6, 2 62 36 resultados distintos. Si lanzamos tres dados, obtenemos VR6, 3 63 216 resultados distintos. Las matrículas de los coches en España están representadas por 4 números seguidos de 3 letras, tomadas de entre 20 consonantes. ¿Cuántos automóviles se podrán matricular con este sistema? Formaciones diferentes de los números: VR10, 4 104. Formaciones diferentes de las letras: VR20, 3 203. Matrículas diferentes que se pueden formar 104 203 80 000 000. Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿cuántos productos distintos se pueden realizar multiplicando 4 de ellos que sean diferentes? ¿Y si multiplicamos 5 diferentes? Como no influye el orden, resulta: C9, 4 126 productos de cuatro cifras diferentes. C9, 5 126 productos de cinco cifras diferentes. Mediante caminos, 10 aldeas se encuentran comunicadas de forma que hay uno que une entre sí cada par de pueblos. ¿Cuántos caminos diferentes existen? Existen C10, 2 45 caminos diferentes. Calcula el valor de: a) b) c) a) 3! 6! 3! 20 b) 1 c) 50 32 49 32 49 31 77 63 49 32 49 31 77 63 16.11 16.10 16.9 16.8 16.7 16.6 16.5 16.4 Halla el valor de x(x 6) en esta igualdad: Por la propiedad 2 de los números combinatorios: ⇒ x 6 14 ⇒ x 8 Desarrolla estas potencias. a) (a2 2b)3 b) (a2 2b)5 a) (a 2b)3 a3 6 a2b 12 ab2 8b3 b) (a 2b)5 a5 10 a4b 40 a3b2 80 a2b3 80 ab4 32 b5 Desarrolla las siguientes potencias. a) (3x 2y)4 b) (3x 2y)6 a) (3x 2y)4 81x4 216x3y 216x2y2 96xy3 16y4 b) (3x 2y)6 729x6 2916x5y 4860x4y2 4320x3y3 2160x2y4 576xy5 64 y6 R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S ¿Cuántos caminos diferentes llevan de A a B en la siguiente figura si solo se puede caminar de izquierda a derecha y de arriba abajo? Colocamos el número de caminos sobre cada punto del diagrama: De A a C hay 60 caminos diferentes. De C a B hay 20 caminos diferentes. Por tanto, de A a B hay 6 20 120 caminos diferentes. 2 3 3 6 2 3 3 6 4 10 A B 16.15 16.14 16.13 14 x 14 6 14 x 14 16.12 6 Considera el rectángulo formado por 6 cuadrados de la figura. ¿Cuántas maneras hay en total de colocar sobre él 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 puntos en relieve? (Siempre a lo sumo un punto en cada cuadrado.) Si no se coloca ningún punto sobre la figura, solo habrá una forma. Las formas de colocar un punto pueden ser 6 del siguiente modo: De lo anterior vemos que: De forma simétrica a la anterior, por ejemplo, ¿de cuántas formas se pueden colocar 6 puntos? Existe una única forma: C6, 6 1 ¿Y cinco puntos? Habrá 6 formas del siguiente modo: Es decir, C6, 5 6 Así pues, veamos de cuántas formas se pueden colocar 2 puntos en la figura: Es decir, 15 C6, 2 De forma simétrica, 4 puntos se podrán colocar de C6, 4 15 formas diferentes. Y por último, 3 puntos se pueden colocar de C6, 3 20 formas diferentes. Por tanto, el número total será: 1 6 15 20 15 6 1 64. 16.16 N.º de puntos colocados Formas posibles 0 1 C6, 0 1 6 C6, 1 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Diagrama en árbol. Recuento El código de un candado consta de 2 letras (A y B) y de 2 números (1 y 2). Realiza el diagrama en árbol y calcula el número de códigos posibles. Número de código posibles: 2 2 2 2 16 Los partidos de semifinales de una competición europea de baloncesto son Grecia-España y Alemania- Francia. Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a las posibles finales. Grecia G España E Alemania A Francia F A G F G - A A E F G - F E - F E - A Finales 16.18 A B 2 1 2 1 A 1 2 2 1 2 1 1 2 Resultados A B 2 1 2 1 B 1 2 2 1 2 1 1 2 AA 11 AA 12 AA 21 AA 22 AB 11 AB 12 AB 21 AB 22 BA 11 BA 12 BA 21 BA 22 BB 11 BB 12 BB 21 BB 22 16.17 Utilizando un diagrama en árbol, calcula el número de resultados posibles al extraer una bola de una urna que contiene una azul y otra roja, y a la vez que se lanza un dado cúbico y una moneda. Número de resultados posibles: 2 6 2 24 Una ONG quiere escoger una nueva junta directiva. Al cargo de presidente optan 3 personas: María, Julia y Pedro; al de secretario, 2: Belén y Luis, y al de tesorero, otras 2: Vanesa y Carlos. Representa en un diagrama en árbol todas las posibilidades de elección. Número de elecciones posibles: 3 2 2 12 María M Julia J Pedro P Belén B Luis L Vanesa V Carlos C B M L Presidente V C V C B J L V C V C B P L V C V C M B V M B C M L V M L C J B V J B C J L V J L C P B V P B C P L V P L C Secretario Tesorero Resultados 16.20 A Resultados 1 C X 2 C X 3 C X 4 C X 5 C X 6 C X A 1 C A 1 X A 2 C A 2 X A 3 C A 3 X A 4 C A 4 X A 5 C A 5 X A 6 C A 6 X R 1 C X 2 C X 3 C X 4 C X 5 C X 6 C X R 1 C R 1 X R 2 C R 2 X R 3 C R 3 X R 4 C R 4 X R 5 C R 5 X R 6 C R 6 X Urna Dado Moneda 16.19 Permutaciones, variaciones y combinaciones Halla el valor de x en estas igualdades. a) 3Vx, 2 10Cx 1,2 b) 5Vx, 3 Vx 2,3 c) Px 30Px 2 d) 2Cx, 2 Vx, 2 a) 3 (x x ! 2)! 1 2 0 ! ( ( x x 1 3 ) ) ! ! ⇔ x2 6x 5 0 ⇒ x 5 b) 5 (x x! 3)! ( ( x x 2 1 ) ) ! ! ⇔ 2x2 9x 4 0 ⇒ x 4 c) x! 30 (x 2)! ⇔ x2 x 30 0 ⇒ x 6 d) 2 2! (x x ! 2)! (x x! 2)! ⇒ 1 1 Es cierta para todo número natural. Un chico coloca cada día los libros de texto en su estantería al llegar a casa. En ella dispone los 6 libros que utiliza con mayor frecuencia. ¿Cuántas ordenaciones distintas puede realizar? Número de ordenaciones distintas: P6 6! 720 Con las letras de la palabra FLAMENCO, ¿cuántos grupos diferentes de 8 letras se pueden formar? Grupos diferentes de 8 letras: P8 8! 40 320 La comida básica de un poblado está basada en el arroz, las judías, el maíz y la patata. ¿Cuántos platos distintos pueden realizar mezclando 3 alimentos a la vez? Número de platos distintos: C4, 3 3! 4 ! 1! 4 En un juego de azar se eligen 6 números del 1 al 49, ambos inclusive. ¿Cuántas jugadas distintas pueden efectuarse? Número de jugadas distintas: C49, 6 6! 4 9 4 ! 3! 13 983 816 En un juego de cartas, una mano está compuesta por 4 naipes. ¿Cuántas manos distintas se pueden formar con una baraja española (40 cartas)? Número de manos distintas: C40, 4 4! 4 0 3 ! 6! 91 390 16.26 16.25 16.24 16.23 16.22 16.21 En una clase de 4.º de ESO se realiza la elección del delegado y del subdelegado entre 5 alumnos. a) ¿Cuántos resultados posibles existen? b) Si Juan Gómez es uno de los candidatos, ¿en cuántos de los resultados anteriores es elegido como subdelegado? a) Resultados posibles: V5, 2 5 4 20 b) Juan Gómez sería subdelegado con 4 posibles delegados; por tanto, estaría en 4 elecciones. En un juego de mesa se utilizan 15 tarjetas de 3 colores distintos. Si cada uno de los chicos coge 3 tarjetas, ¿cuántas posibilidades hay de que los dos tengan la misma combinación? Número de posibilidades de que los chicos tengan la misma combinación: P3 3! 6 Los alumnos del último curso de un centro escolar desean formar una comisión con 3 alumnas y 2 alumnos para organizar el viaje de fin de curso. El número total de alumnas es de 25 y el de alumnos es de 20. ¿De cuántas formas distintas pueden completar dicha comisión? Formas de completar la comisión: C25, 3 C20, 2 22 2 ! 5 ! 3! 18 2 ! 0 ! 2! 437 000 Con las letras de la palabra EUROPA, ¿cuántos grupos de 4 letras se pueden formar? ¿Cuántos de ellos acaban en vocal? Se pueden formar en total: V6, 4 360 grupos de 4 letras. En vocal acaban: 4 V5, 3 240 grupos. La mesa de un colegio electoral se halla compuesta por el presidente, el vicepresidente, dos vocales y dos interventores. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse si el presidente y el vicepresidente han de situarse juntos? El presidente y el vicepresidente pueden sentarse juntos de 10 formas diferentes. En total, tendremos 10 4! 240 maneras distintas de sentarse. 16.31 16.30 20 2 25 3 16.29 16.28 16.27 Fayna dispone de 5 faldas, 4 camisetas y 3 pares de zapatos. ¿Cuántas posibilidades tiene para elegir el conjunto que vestirá mañana? ¿En cuántas de ellas no intervienen ni el rojo ni el negro? Posibilidades para elegir el conjunto que vestirá: 5 4 3 = 60 Posibilidades en las que no intervienen ni el rojo ni el negro: 4 2 1 = 8 Números combinatorios Calcula el valor de de dos formas distintas: utilizando la fórmula de obtención de los números combinatorios y usando las propiedades de dichos números. 8! 15 ! 7! 9! 15 ! 6! 6435 5005 11 440 9! 16 ! 7! 11 440 Determina el valor de estos números combinatorios. a) c) b) d) a) 1 c) 1 b) 10 000 d) 1010 Halla el valor de x en estas igualdades. a) b) a) ⇒ x 52 6 46 b) ⇒ x 32 14 x 46 32 x 14 52 x 52 6 x 32 x 14 52 x 52 6 16.35 1010 1 10 000 9999 5252 5252 8000 0 16.34 16 9 15 9 15 8 15 9 15 16.33 8 16.32 Binomio de Newton Desarrolla las siguientes potencias. a) 1 —1 x — 5 c) 3x —2 x — 4 b) (2a b)6 d) (y2 2z3)3 a) 1 5 x 1 x 0 2 1 x 0 3 x 5 4 x 1 5 b) 64a6 192a5b 240a4b2 160a3b3 60a2b4 12ab5 b6 c) 81x4 216x2 216 9 x 6 2 1 x 6 4 d) y6 6y4z3 12y2z6 8z9 Sin realizar todo el desarrollo, halla: a) El término situado en quinto lugar en el desarrollo del binomio (x 4y)16. b) El término colocado en octava posición en el desarrollo del binomio (a 3b)14. a) x12 (4y)4 465 920x12y4 b) a7 ( 3b)7 7 505 784a7b7 En el desarrollo de este binomio de Newton: 5x —y 4 — 9 Averigua sin desarrollarlo: a) El coeficiente del monomio x2y7. b) El coeficiente del monomio x5y4. c) Los coeficientes de los monomios que solo tienen x o y. a) (5x)2 4 y 7 40 2 9 2 6 5 x2y7 ⇒ Coeficiente 40 2 9 2 6 5 b) (5x)5 4 y 4 19 1 6 2 8 8 75 x5y4 ⇒ Coeficiente 19 1 6 2 8 8 75 c) (5x)9 1 953 125x9 ⇒ Coeficiente 1 953 125 4 y 9 26 2 1 1 44 y9 ⇒ Coeficiente 26 2 1 1 44 99 90 94 97 16.38 14 7 16 4 16.37 16.36 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Con estos símbolos: # @ & $ Forma todos los grupos posibles del siguiente tipo: ###&&$ @@#&$$ &&&$@& Utiliza un diagrama en árbol y realiza el recuento de resultados. Se pueden formar todos los grupos de 6 elementos con 4 integrantes distintos, es decir, los grupos correspondientes a las VR4, 6 4096. ¿De qué forma se obtienen más grupos diferentes de 4 letras distintas: permutando las de la palabra CANOA o las de la palabra LIBRO? ¿Por qué? Permutando las letras de la palabra LIBRO, ya que todas sus letras son distintas, y las P5 palabras posibles son todas diferentes. La palabra CANOA, sin embargo, tiene dos letras iguales que generan palabras repetidas. ¿Por qué 7! es múltiplo de 2, 3 y 5 a la vez? 7! 7 6 5 4 3 2 1 ⇒ 7! es múltiplo de 2, 3 y 5 a la vez porque tiene estos tres números entre sus factores. Si 9! 362 880, calcula de forma inmediata el valor de 10! ¿Existe una relación entre n! y (n 1)!? 10! 10 9! 3 628 800 Relación entre n! y (n 1)! : (n 1)! (n 1) n! Si x! 479 001 600 y (x 1)! 43 545 600, halla el valor de x. 11 4 4 7 3 9 5 0 4 0 5 1 6 6 0 0 0 0 (x x 1)! x (x (x 1 1 )! )! x ⇒ x 11 ¿Tiene sentido calcular el número de variaciones de 3 elementos tomados de 5 en 5? Razona tu respuesta. No, ya que es imposible formar grupos de 5 miembros con tan solo 3 integrantes si no se pueden repetir. Con los dígitos 3, 5 y 9 se forman todos los números posibles de 4 cifras. ¿Cómo hallamos el número de resultados, con VR3, 4 o con V4, 3? Con VR3, 4, pues no queda más remedio que haya repetición, al ser mayor el número de cifras del número que los dígitos disponibles. Relaciona en tu cuaderno las operaciones de la columna de la izquierda con la herramienta combinatoria correspondiente de la derecha. 74 P7 —4 7 !3 ! ! — VR7, 4 7! V7, 4 7 6 5 4 C7, 4 74 VR7, 4 4 7 !3 ! ! C7, 4 7! P7 7 6 5 4 V7, 4 16.46 16.45 16.44 16.43 16.42 16.41 16.40 16.39 Calcula: a) V5, 5 c) P8 b) P5 d) V8, 8 ¿Qué observas? ¿Cuál es la relación entre las variaciones de n elementos tomados de n en n y las permutaciones de n elementos? a) V5, 5 5 4 3 2 1 120 c) P8 8 7 6 5 4 3 2 1 40 320 b) P5 5 4 3 2 1 120 d) V8, 8 8 7 6 5 4 3 2 1 40 320 Se observa que V5, 5 P5 y que P8 V8, 8. Se deduce, pues, que, en general,Vn, n Pn . Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) En las variaciones con repetición no importa el orden. b) En las variaciones sin repetición sí importa el orden. c) En las permutaciones importa el orden. d) En las combinaciones importa el orden. a) Falso. b) Verdadero. c) Verdadero. d) Falso. Indica qué otro número combinatorio de la misma fila del triángulo de Pascal vale lo mismo que: a) b) a) , ya que 15 0 15 b) , ya que 13 2 15 P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Una persona ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Sólo recuerda que empieza por 9 y que es un número par. ¿Qué posibilidad tiene de encontrarla sabiendo que las claves son de 4 cifras con posible repetición? Las posibilidades en cada cifra son las siguientes: 1 10 10 5 500. En un intercambio cultural participan 24 alumnos. El monitor responsable desea distribuirlos por parejas para completar los asientos del autobús que van a utilizar en los desplazamientos. a) ¿De cuántas formas puede realizarlo? b) Si hay 8 alumnos del mismo país, ¿en cuántas disposiciones estos 8 alumnos no están emparejados entre ellos? a) En total hay C24, 2 276 agrupamientos posibles. b) En C8, 2 28 de esos agrupamientos están los alumnos del mismo país juntos. Por tanto, en 276 28 248 los alumnos del mismo país están mezclados con el resto. 16.51 16.50 15 13 15 15 15 2 15 0 16.49 16.48 16.47 Uniendo 5 vértices de un heptágono se obtiene un pentágono. ¿Cuántos pentágonos distintos se pueden conseguir siguiendo este procedimiento? Número de pentágonos: C7, 5 2! 7 ! 5! 21 Los números escritos en base ocho solo permiten el uso de las cifras del 0 al 7. ¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas? Números de 4 cifras: V8, 4 8 4 ! ! 1680 Un equipo de balonmano está formado por seis jugadores de campo y por un portero. Si un entrenador dispone de 12 jugadores de campo y de 2 porteros, ¿cuántas alineaciones distintas puede completar? Número de alineaciones distintas: 2 C12, 6 2 6! 12 ! 6! 1848 La contraseña de acceso a la cuenta de cierto correo electrónico está formada por 8 caracteres: los 5 primeros son dígitos del 1 al 9, y los 3 últimos son vocales. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? Número de contraseñas distintas: VR9, 5 VR5, 3 95 53 7 381 125 Un programa de ordenador descifra claves secretas en tiempo récord. Una agencia de investigación necesita descubrir un código de 5 dígitos y 3 letras (y en ese orden). Sabiendo que emplea una milésima de segundo en analizar cada código, ¿cuántos días tardará en desvelar el código secreto? Número de códigos posibles: VR10, 5 VR27, 3 105 273 1 968 300 000 El tiempo que se tarda en descifrarlos será igual a: 1 968 300 000 0,001 1 968 300 seg 32 805 min 546,75 h 22,8 días aproximadamente La codificación de los libros de una biblioteca se establece de la siguiente manera: los 3 primeros dígitos del código hacen referencia a la sección a la que pertenecen; los 2 siguientes, al número de la estantería en la que se encuentran, y los 2 últimos, a la posición que ocupan dentro de dicha estantería. Teniendo en cuenta que se utilizan las cifras del 0 al 9, ¿cuántos libros se pueden codificar? Número de libros que se pueden codificar: VR10, 7 107 10 000 000. 16.57 16.56 16.55 16.54 16.53 16.52 Entre las actividades de fin de curso de un centro se organiza un partido y se premia a quien adivine el resultado del encuentro. Contabiliza todos los tanteos que en principio se pueden producir si se ha decidido imponer un tope de 7 goles por equipo. Si han apostado 4 personas por cada resultado y cada apuesta cuesta un euro, ¿cuánto recibe cada uno de los que ganen? Tanteos posibles: VR8, 2 82 64 posibles resultados Dinero recaudado 64 4 256€ Por tanto, cada uno de los cuatro ganadores recibirá 256 4 64€. Con las 27 letras independientes del alfabeto: a) ¿Cuántos grupos de 5 letras distintas se pueden formar? b) ¿Cuántos empiezan y terminan con vocal? c) ¿Cuántos empiezan por consonante y terminan con vocal? a) Grupos de 5 letras distintas: V27, 5 9 687 600 b) Grupos que empiezan y terminan con vocal: V25, 3 (las 3 letras del centro) V5, 2 (las posibles ordenaciones de las 5 vocales en el inicio y final) 276 000 c) Grupos que empiezan por consonante y terminan con vocal: 22 (posibles consonantes) V25, 3 (ordenaciones en puestos del centro de todas las letras menos 2) 5(posibles vocales al final) 1 518 000 R E F U E R Z O Diagramas de árbol Disponemos de los colores rojo, verde, amarillo y negro para formar todas las banderas posibles con 3 franjas verticales. Dibuja un diagrama en árbol que represente todas las banderas resultantes de tal manera que no se repitan colores en la misma bandera. Franja 1 Franja 2 Franja 3 Bandera 16.60 16.59 16.58 Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a lanzar un dado con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas de un euro. Permutaciones, variaciones y combinaciones ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 amigos que acuden a un concierto de música clásica en una fila de 7 butacas? Formas de sentarse: P7 7! 5040 Cierta comarca está formada por 15 pueblos, y todos sus ayuntamientos deciden rehabilitar sus carreteras. Si todas las localidades se encuentran comunicadas entre sí, ¿cuántas carreteras deberán rehabilitarse? Número de carreteras que se deben rehabilitar: C15, 2 2! 1 5 1 ! 3! 105 En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación 3 veces. ¿Cuántos resultados distintos se pueden dar? Número de resultados distintos: VR8, 3 83 512 16.64 16.63 16.62 Dado C 1 2 3 4 5 6 X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X C X 1.a Moneda 2.a Moneda Resultados 1 C C 1 C X 1 X C 1 X X 2 C C 2 C X 2 X C 2 X X 3 C C 3 C X 3 X C 3 X X 4 C C 4 C X 4 X C 4 X X 5 C C 5 C X 5 X C 5 X X 6 C C 6 C X 6 X C 6 X X 16.61 Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9: a) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar? b) ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden conseguir? c) ¿Cuántos productos de 3 factores distintos se pueden realizar? Tenemos 5 cifras impares {1, 3, 5, 7, 9}. a) Números de 3 cifras distintas V5, 3 5 4 3 60 b) Números de 5 cifras diferentes: P5 5! 5 4 3 2 1 120 c) Productos de 3 factores distintos: C5, 3 3! 5 ! 2! 10 Números combinatorios. Binomio de Newton Completa en tu cuaderno los recuadros con el número combinatorio correspondiente. a) b) a) b) ¿Qué número de fila del triángulo de Pascal es la siguiente? 1 6 15 20 15 6 1 Es la fila número 6 del triángulo. La que corresponde a la serie de números combinatorios 0 n 6, al tener 7 elementos. Completa en tu cuaderno los recuadros correspondientes en este desarrollo del binomio de Newton. 2a —1 a — 3 a a — a — 2a 1 a 3 8a3 12a 6 a a 1 3 El término 13 del desarrollo de este binomio de Newton es un número natural. ( 3 3 2 )15 ¿De qué número se trata? El número natural buscado es: 3 3 3 2 12 15 87 360 12 16.69 16.68 6n 16.67 11 8 86 12 9 11 9 96 85 16.66 16.65 A M P L I A C I Ó N Con los números del 1 al 6 (ambos inclusive), ¿cuántos números de 3 cifras distintas pueden formarse que sean divisibles por 3? Podrán formarse 8 3! 48 números de 3 cifras distintos. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son múltiplos de 5? ¿Cuántos son menores que 3200? Números capicúas de 4 cifras: VR10, 2 102 100. Ahora, 100 10 (los que empiezan por 0) 90. Números capicúas pares: 4 10 40 Números capicúas múltiplos de 5 son solo los que terminan por 5. Hay 10 que empiezan o terminan por 5. Números capicúas menores que 3200 son los que empiezan por 1 (hay 10), los que empiezan por 2 (hay 10) y los que empiezan por 31 (hay 1). En total tendremos 21. De todos los resultados posibles al lanzar 3 dados cúbicos, ¿en cuántos de ellos aparece al menos un 5? Todas las posibilidades son: VR6, 3 63 216. (Salir al menos un cinco) (Salir ningún cinco ) Total. Salir ningún cinco: VR5, 3 53 125. Salir al menos un cinco: 216 125 91. Con las cifras impares 1, 3, 5, 7 y 9: a) ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al sumar de 3 en 3 las cifras? b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar, ¿cuántos son mayores que 70 000? c) ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden conseguir? Averigua la suma de todos ellos. a) Número de resultados distintos al sumar de 3 en 3 las cifras C5, 3 10. b) De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar son mayores que 70 000: 2 P4 48. c) Números de 3 cifras distintas V5, 3 60 Para calcular la suma de todos ellos: Al ser números de tres cifras, serán de la forma C D U (centenas, decenas y unidades). U V4, 2 9 V4, 2 7 V4, 2 5 ... V4, 2 1 300 D 10 300 3000 C 100 300 30 000 Total 33 300 Determina cuál de las siguientes relaciones es la correcta, siendo n un número natural mayor que 1, y justifica tu respuesta. n! < nn n! nn n! > nn La relación correcta es la primera, ya que n! n (n 1) (n 2) ... 1 nn n n n ... n (n factores) (n factores) 16.74 16.73 16.72 16.71 16.70 Halla todos los valores de n que verifican la siguiente igualdad. — C C n n, 1 4 —, 3 —6 5 — C C n n, 1 4 , 3 6 5 ⇒ 6 (n 2 4(n 2) (n 1 ) 3) 6 5 ⇒ n 8 o n 1 3 La solución es n 8, al ser el único número natural. En el triángulo de Pascal suma todos los términos de cada fila y averigua qué tipo de sucesión forman los resultados. Calcula su término general. Las sumas de los términos de cada fila son: S1 2 S2 4 S3 8 S4 16 … Se observa que estos sumandos forman una progresión geométrica de razón 2. Su término general es Sn 2n. Halla los coeficientes desconocidos en este desarrollo del binomio de Newton. (2x2 x3)5 x10 (ax5 bx4 cx3 dx2 ex f ) (2x2 x3)5 x15 10x14 40x13 80x12 80x11 32x10 x10 ( x5 10x4 40x3 80x2 80x 32) P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R El circuito En el circuito eléctrico de la figura, los interruptores pueden estar abiertos (no dejan pasar la corriente) o cerrados (permiten que fluya). Se considera la siguiente notación: [A], si el circuito A está cerrado, y (A), si se encuentra abierto. a) Indica, en cada uno de los siguientes casos, si la bombilla lucirá o no. 1. (A) (B) [C] [D] 2. [A] (B) (C) (D) b) Escribe todas las posibilidades que se pueden dar de circuitos abiertos y cerrados, y especifica en cuántos de ellos lucirá la bombilla y en cuántos no. a) En el caso 1, la bombilla no lucirá. En el caso 2, la bombilla sí lucirá. b) Las posibilidades son: 16.78 16.77 16.76 16.75 (A) (B) (C) (D) no (A) (B) [C] (D) no (A) (B) (C) [D] no (A) (B) [C] [D] no (A) [B] (C) (D) no (A) [B] [C] (D) sí (A) [B] (C) [D] sí (A) [B] [C] [D] sí [A] (B) (C) (D) sí [A] (B) [C] (D) sí [A] (B) (C) [D] sí [A] (B) [C] [D] sí [A] [B] (C) (D) sí [A] [B] [C] (D) sí [A] [B] (C) [D] sí [A] [B] [C] [D] sí Equipo propio Elena quiere montar un equipo informático. Para ello debe realizar las siguientes actividades. Para completar el montaje del equipo es necesario establecer un determinado orden y cumplir obligatoriamente las siguientes condiciones. • La primera actividad debe ser la A. • Antes de realizar la E, deben terminarse la B y la D. • Es imprescindible completar las actividades B, C, D y E antes de ejecutar la F. • Antes de desarrollar la actividad G, deben quedar terminadas todas las demás. Suponiendo que no se pueden realizar dos actividades a la vez, indica todos los órdenes diferentes en los que se puede completar el montaje. ¿En cuántos se efectúa la actividad E antes que la C? Dibujamos dos diagramas en los que queden reflejados tanto el orden como las condiciones que deben cumplirse para completar el montaje: Del segundo diagrama se deduce que se pueden llevar 8 órdenes diferentes. En dos de ellos se realiza E antes que C. A B C D E F G D C E F G E C F G B D E F G D B E F G C B E F G B E C F G C E F G C D A D B E C F G 16.79 A Adquirir los componentes fundamentales: placa base, memoria, disco duro, lector de DVD, etc. B Disponer los periféricos principales: monitor, teclado, ratón e impresora. C Comprar el software básico. D Componer la unidad central. E Conectar los periféricos principales. F Instalar los programas esenciales. G Instalar los periféricos principales. A U T O E V A L U A C I Ó N Se organiza una fiesta solidaria con el fin de recaudar fondos para el centro de personas mayores del barrio. En dicha fiesta se disponen 4 tipos de bocadillos, 2 clases de refrescos y 2 postres. Dibuja el diagrama en árbol correspondiente a la elección de un bocadillo, un refresco y un postre. ¿Cuántas posibilidades distintas existen? Hay 4 2 2 16 posibilidades distintas. La primera fila del palco presidencial de un estadio de fútbol se halla compuesta de 11 asientos. ¿De cuántas formas pueden completarse con los miembros de los equipos directivos de manera que los dos presidentes se sienten juntos? Número de formas de sentarse de modo que los dos presidentes estén juntos: 2 P10 2 10! 7 257 600. Juan quiere irse de viaje el fin de semana, y dispone de 5 camisetas de las cuales desea llevar 3. ¿De cuántas formas distintas puede realizar la elección? Número de formas distintas de hacer la elección: C5, 3 3! 5 ! 2! 10. 16.A3 16.A2 Bocadillo B1 B2 B3 B4 R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1 R2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 Refresco Postre Resultados B1 R1 P1 B1 R1 P2 B1 R2 P1 B1 R2 P2 B2 R1 P1 B2 R1 P2 B2 R2 P1 B2 R2 P2 B3 R1 P1 B3 R1 P2 B3 R2 P1 B3 R2 P2 B4 R1 P1 B4 R1 P2 B4 R2 P1 B4 R2 P2 16.A1 ¿De cuántas formas diferentes se pueden escoger 3 figuras de entre todas las existentes en una baraja española de 40 cartas? Número de formas distintas de hacer la elección: C12, 3 3! 12 ! 9! 220. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden constituir con los dígitos 2, 4, 6, 8 y 9? ¿Cuántos de ellos son pares? ¿Cuántos se podrían formar sin repetir ningún dígito? Números de 4 cifras: VR5, 4 54 625 Números pares: 4 VR5, 3 500 Números con cifras distintas: V5, 4 120 Calcula el valor de x en estas igualdades. a) Vx, 4 6Vx, 2 b) Px 20Px 2 a) (x x! 4)! 6 (x x! 2)! ⇔ x2 5x 0 ⇒ x 5 b) x! 20 (x 2)! ⇔ x2 x 20 0 ⇒ x 5 Halla el valor de x (x 13) en esta igualdad. ⇒ x 24 13 11 Desarrolla las siguientes potencias. a) (3a 5b)4 b) (2x 3y)5 a) (3a 5b)4 81a4 540a3b 1350a2b2 1500ab3 625b4 b) (2x 3y)5 32x5 240x4y 720x3y2 1080x2y3 810xy4 243y5 16.A8 24 x 24 13 24 x 24 13 16.A7 16.A6 16.A5 16.A4 M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S Lanzar dados Al lanzar dos dados equilibrados, el resultado de sumar sus caras superiores puede ser el mismo de formas distintas. Si se juega con tres dados, el número de formas diferentes en las que aparecen los mismos resultados aumenta. Entonces, ¿por qué al lanzar dos dados se obtiene 9 como resultado con mayor frecuencia que 10, y, al lanzar tres, 10 con mayor frecuencia que 9? Si lanzamos dos dados, obtenemos sumas 9 y 10 de dos formas diferentes: 9 3 6 4 5 10 4 6 5 5 Pero se han de tener en cuenta todas las permutaciones: 9: 3 6 10: 4 6 6 3 6 4 4 5 5 5 5 4 4 formas diferentes 3 formas diferentes Al lanzar tres dados, la suma de 9 y 10 se puede obtener de 6 formas, pero al contar las permutaciones se tiene: 9: 1 2 6 → 3! 6 10: 1 3 6 → 3! 6 1 3 5 → 3! 6 1 4 5 → 3! 6 1 4 4 →3 2 2 6 → 3 2 2 5 →3 2 3 5 → 3! 6 2 3 4 → 3! 6 2 4 4 → 3 3 3 3 → 1! 1 3 3 4 → 3 25 casos diferentes 27 casos diferentes Por tanto, con dos dados, de las 36 posibilidades se obtiene suma 9 en 4 casos y suma 10 en 3 casos. Al lanzar 3 dados, de los 216 casos, la suma 9 se obtiene en 25 casos, y la 10, en 27 casos.