BINOMIO DE NEWTON FÓRMULAS Y EJEMPLOS RESUELTOS PDF COEFICIENTES BINOMIALES

La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. 
Así tenemos: 
(a+b)¹=a+b 
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ 
(a+b)=a+4a³b+6a²b²+4ab³+b

Estas igualdades presentan el desarrollo binomial de (a+b) cuando n es 1; 2; 3 y 4
Para estas expresiones se observan ciertas propiedades especiales que a continuación vamos a ver en detalle
PRIMERA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
En el desarrollo de ( x² + x² ) , calcula el cuarto termino. 
A) 27 
B) 20 
C) 15 
D) 28 
E) 26 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
En el desarrollo de ( x² + x²) , calcula el quinto termino. 
A) 105x² 
B) 126x² 
C) 109x 
D) 145x² 
E) 87x³ 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Halla “n” si en el término 28 del desarrollo de (x + 3y) el exponente de “x” es 3 
A) 30 
B) 28 
C) 25 
D) 15 
E) 12 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
El noveno término del binomio (x+x³) es de grado 8, halla el grado del quinto término. 
A) 6 
B) 14 
C) 18 
D) 24 
E) 28 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 5 :
Halla el término independiente del desarrollo de (x³–x³)¹
A) 252 
B) 16 
C) 168 
D) 206 
E) 300 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
En la expansión de: B(x;y)=(x²+y³)²⁰
Determine el grado absoluto del noveno término 
A) 24 
B) 48 
C) 60 
D) 32 
E) 44 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Halla el grado absoluto del séptimo término del desarrollo de: 
(3x³y + 2z²)¹⁵
A) 48 
B) 51 
C) 52 
D) 24 
E) 96 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 8 :
Halla n si en el término 28 del desarrollo de (x+3y) el exponente de x es 3. 
A) 30 
B) 28 
C) 25 
D)15 
E)12 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 9 :
¿Qué lugar ocupa el término de grado absoluto 48 en el desarrollo de: (x² + y³)¹⁸ 
A) 10 
B) 11 
C) 12 
D) 13
E) 14
Rpta. : "D"
TRIÁNGULOS DE PASCAL 
Al considerar sólo los coeficientes de las sucesivas potencias de (a+b), obtenemos un arreglo de números en forma de triángulo 
Este arreglo se llama Triángulo de Pascal en memoria del matemático francés Blaise Pascal, que tiene propiedades interesantes con relación a la fórmula del Binomio de Newton y al Cálculo de Probabilidades.

¿QUÉ ES EL BINOMIO DE NEWTON? 
Es una expresión algebraica que está formada exactamente por dos términos separados por + o, como x+y o ab – cd

El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio cualquiera, como 
(x +y) 
El desarrollo completo contiene n+1 términos, empezando con el término cero y terminando con el término n-ésimo. 

EXPANSIÓN GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON 
Se puede desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios. 
La Expansión del Binomio (x+a)
☛ Presenta n+1 términos. 
☛ Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a).

Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676) para exponentes fraccionarios por el científico inglés Isaac Newton, lo que le permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver muchos problemas difíciles. 
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría de la probabilidad.

DEDUCCIÓN DEL BINOMIO PARA EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO 
De estos desarrollos observamos : 
☛ El desarrollo es un polinomio homogéneo, cuyo grado es igual al exponente del binomio. 

☛ El número de términos que tiene el desarrollo es igual al exponente del binomio más uno. 
☛ Los exponentes en el desarrollo varían consecutivamente desde el exponente del binomio hasta el expediente cero en forma descendente y ascendente con respecto a “a” y “b”. 
☛ Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos en el desarrollo son iguales.

☛ En el desarrollo, cada coeficiente es igual al coeficiente anterior multiplicado por el exponente de “a” y dividido entre el exponente de “b” más uno. 

☛ La suma de los coeficientes del desarrollo es igual al número 2 elevado al exponente del binomio. 
☛ Si en el binomio, su signo central es negativo, los signos en el desarrollo, son alternados. De acuerdo a estas observaciones tendríamos la forma genérica. 

COEFICIENTES BINOMIALES 
Son los coeficientes de los términos del desarrollo de (a+b), donde n puede ser entero, fraccionario, positivo y/o negativo.

DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO
En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario. 

FÓRMULA DE LEIBNITZ 
Así como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz.
COMENTARIO
El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad. 
En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio. 
Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios. 

Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. 

PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Respecto a: (a+b)ⁿ ; n∈ es FALSO: 
A) el polinomio obtenido en su desarrollo tiene (n+1) términos 
B) el polinomio obtenido es homogéneo 
C) el polinomio obtenido tiene (n–1) términos 
D) el polinomio obtenido es homogéneo de grado n 
E) si a es positivo, todos los términos de su desarrollo son positivos 
PROBLEMA 2 :
¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de 
( x² – 3y⁵)⁶ 
A) el desarrollo consta de 7 términos 
B) los términos son alternativamente positivos y negativos 
C) la suma de los exponentes que afectan a x e y en cada término es constante 
D) el coeficiente del segundo término es –18 
E) el coeficiente del cuarto término no es 540 
PROBLEMA 3 :
La fórmula del binomio es válida para n, si y solo si: 
A) n>0 
B) n es un entero 
C) n es entero positivo 
D) n es racional 
E) n es cualquier número real 
PROBLEMA 4 :
El exponente de un binomio exceden 3 al de otro. Determinar la suma de estos exponentes, sabiendo que la suma de los coeficientes de ambos binomios es 144. 
A) 14 
B) 9 
C) 15 
D) 11 
E) 13

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad