PERMUTACIONES CIRCULARES EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PERMUTACIÓN CIRCULAR
Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto .
En estas ordenaciones , no hay primer ni último elemento , por hallarse todos en línea cerrada.
EJEMPLO 1 :
Permutar A , B y c en forma circular.
Para determinar el número de permutaciones circulares de n elementos distintos , basta fijar la posición de uno de ellos y los n – 1 restantes podrán ordenarse de :
(n–1)! maneras
Si se toma otro elemento como fijo , las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados
Para diferenciar una permutación circular de otra , se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario.
Si se encuentran los elementos en el mismo orden , entonces ambas permutaciones serán iguales y en caso contrario , diferentes.
EJEMPLO 2 :
¿De cuántas maneras diferentes 4 amigos se podrán ubicar alrededor de una mesa circular?
RESOLUCIÓN :
Se toma un lugar como punto de referencia, eso implica que a los otros tres lugares se les tomará como si fuese una permutación lineal.
(4 – 1)! = 3! = 6
APLICACIÓN DE LA PERMUTACIÓN CIRCULAR
Cuando nos piden ordenar un grupo de elementos alrededor de un objeto .
En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, para calcular el número de permutaciones circulares , basta fijar la posición de uno de ellos y los n– 1 restantes se podrán ordenar de (n–1)! , maneras.
EJERCICIO 1 :
¿De cuántas maneras distintas , se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa?
Rpta. : "24"
EJERCICIO 2 :
¿De cuántas maneras se pueden sentar 8 niños alrededor de una fogata, de modo que 4 de ellos siempre estén juntos?
A) 5!×4!
B) 16!
C) 3!×4!
D) 4! ×4!
E) 144×3!
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PERMUTACIONES CIRCULARES
Son las diferentes permutaciones que pueden formarse con n elementos distintos de modo que no hay ni primero ni último elemento, ya que todos forman un círculo (o cualquier otra figura plana cerrada). El número de permutaciones circulares distintas que pueden formarse con n objetos se obtiene mediante la fórmula: (n–1)!
En estos ordenamientos no hay primero ni último elemento, por hallarse en un círculo cerrado.
La idea es mantener un elemento fijo y permutar los restantes, es decir de ‘‘n’’ elementos solo se mueve ‘‘n – 1’’ elementos; para diferenciar un arreglo circular de otro, a partir del elemento fijo (referencia); leemos en sentido horario o antihorario si encontramos 2 lecturas iguales, entonces los arreglos serán iguales.
EJERCICIO 2 :
¿De cuántas maneras se pueden sentarse diez personas alrededor de una mesa ovalada?
Rpta. : "362880"
EJERCICIO 3 :
Un equipo de sonido tiene un reproductor de discos compactos con capacidad para seis discos. Si el reproductor tiene forma circular, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar los CD en el reproductor del equipo?
Rpta. : "120"
EJERCICIO 4 :
En las fiestas navideñas Lenin confeccionó una corona para una ventana a la cual adoptó ocho dispositivos para igual número de focos. Si dispone de ocho focos de diferente color, ¿de cuántas maneras diferentes puede disponer los focos en la corona?
Rpta. : "5040"
PREGUNTA 1 :
¿De cuántas maneras pueden sentarse alrededor de una mesa, 10 personas si 5 de ellas deben de estar juntas?
A) 18000
B) 12000
C) 144000
D) 12000
E) 14040
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
¿De cuántas maneras distintas se puede ubicar 5 parejas de esposos alrededor de una fogata, tal que cada matrimonio siempre permanezca juntos?
A) 362
B) 144
C) 1236
D) 768
E) 760
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
¿De cuántas formas distintas podemos sentar a 6 niños alrededor de una mesa circular, de modo que 2 de ellos, (M y N) ya determinados previamente no estén juntos?
A) 18
B) 42
C)70
D) 72
E) 120
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Antonio invita a su novia y a los 3 hermanos de ella a un almuerzo a un restaurante donde las mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuántas maneras distintas se podrán ubicar si Antonio y su novia siempre estan juntos?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 120
E) 96
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
En una reunión hay 8 personas. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 de ellas alrededor de una mesa si dos personas en particular (A y B) no pueden estar en la mesa a la vez?
A) 864
B) 924
C) 720
D) 900
E) 800
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
En un centro infantil se reúne a cuatro niñas y cuatro niños para que hagan una ronda tomados de las manos.
Determinar número de formas diferentes en que se pueden ubicar a los niños tal que:
I) pueden ubicarse de cualquier manera
II) las niñas estén juntas:
RESOLUCIÓN :
I) Como se trata de un arreglo circular, entonces el número de arreglos diferentes será:
(8 –1)! = 7! = 5040 formas diferentes
II) En este caso se pueden considerar como dos elementos distintos que se pueden presentar de: (2 –1)! = 1! = una forma diferente
Además, cada grupo se puede ordenar de 4! Formas diferentes.
Entonces, el número total de formas diferentes está dado por: 4! × 4! × (2 –1)! = 576 formas
PREGUNTA 7 :
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse doce personas alrededor de una mesa circular, si dos personas necesariamente deben estar una al lado de la otra?.
A) 82056
B) 7200
C) 10!
D) 11!
E) 7257600
RESOLUCIÓN :
Se considera a las dos personas que se encuentran juntos como ocupando una sola posición.
Luego, hay once personas que se sentarán alrededor de la mesa, y pueden hacerlo de 10! Formas.
Además, las dos personas juntas pueden ordenarse de 2! Formas
Entonces, el número de ordenamientos con la condición dada es igual a:
10!×2!=7257600
Rpta. : "E"
PREGUNTA 8 :
Victor y Manuel invitan a 10 de sus amigos a una cena que se llevará acabo en la casa de Victor, cada uno de los invitados van con sus respectivas esposas. ¿De cuántas formas se podrán sentar en una mesa redonda, si los matrimonios deben estar siempre juntos y además Victor y Manuel deben estar siempre juntos?.
A) (10!)×20
B) (10!)×2¹⁰
C) 10!×2¹¹
D) 2¹²×(10!)
RESOLUCIÓN :
Victor y Manuel forman un grupo, los 10 amigos, con sus respectivas esposas forman 10 grupos cuyos componentes no pueden separarse.
En cada grupo, los componentes pueden acomodarse de 2 formas; los 11 grupos de 2¹¹ formas. Luego, alrededor de la mesa:
2¹¹×(11 – 1)!=10!×2¹¹
Rpta. : "C"