PRINCIPIO MULTIPLICATIVO EJERCICIOS RESUELTOS PDF TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS COMBINATORIO
Si un procedimiento se puede descomponer en dos etapas y si existen m resultados posibles de la primera etapa, y para cada uno de estos resultados, existen n resultados posibles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden dado, de m×n formas.
PREGUNTA 1 :
Se tienen 3 cajas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden distribuir dos objetos A y B en dichas cajas ; pudiendo ser que ambos queden en una misma caja?.
A) 3
B) 6
C) 1
D) 9
E) 2
RESOLUCIÓN :
Dado que se tiene 3 cajas, entonces:
El objeto A puede ser ubicado en cualquiera de las tres cajas (3 posibilidades).
El objeto B se puede ser ubicado en cualquiera de las tres cajas (3 posibilidades).
Por lo tanto, por principio de multiplicación (eventos independientes), ambos objetos pueden ser ubicados de 3×3=9 maneras
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Ana y Rosa recogieron 10 margaritas, 15 claveles y 14 violetas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden dividir estas flores , si cada señorita debe recibir no menos de 3 flores de cada tipo?
A) 210
B) 2100
C) 924
D) 90
E) 450
RESOLUCIÓN :
Bajo esta condición, las margaritas se pueden dividir sólo de 5 formas, es decir el primer niño puede quedarse con 3 flores, con 4 flores, con 5, con 6 ó 7 flores.
De igual forma los claveles se pueden dividir de 10 maneras distintas y las violetas de 9 formas.
Por lo tanto, el número total de formas de dividir o distribuir estas flores es:
5×10×9=450
Rpta. : "E"
PREGUNTA 3 :
En un baile escolar, la profesora forma parejas extrayendo de una bolsa el nombre de un niño y de otra bolsa el nombre de una niña. Si en el aula hay 9 niños y 7 niñas, ¿cuántas posibles parejas distintas se podrían formar?.
A) 63
B) 5 040
C) 45 360
D) 181 440
E) 196
RESOLUCIÓN :
Analizando el enunciado se deduce, que por cada niño se tiene la opción de formar 7 parejas (dado que hay 7 niñas), entonces como hay 9 niños, se puede formar un total de 9×7=63 parejas distintas.
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
Dos niños recogieron 10 margaritas, 15 claveles y 14 jazmines. ¿De cuántas formas distintas pueden dividir estas flores?
A) 2780
B) 2870
C) 2490
D) 2980
E) 2640
RESOLUCIÓN :
Se entiende que las margaritas se pueden dividir de 11 maneras distintas, es decir el primero de los niños puede no tomar ninguna, o tomar 1; o tomar 2; ..., o tomar las 10 margaritas.
De igual forma los claveles se puede dividir de 16 formas distintas, y los jazmines de 15 maneras.
Como las flores de cada tipo pueden distribuirse independientemente de las de los otros tipos, entonces:
Número de formas distintas de dividir las flores
= 11×16×15=2640
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
¿Cuál es el máximo número de maneras diferentes de matricular a 3 niños en 5 colegios diferentes?
A) 625
B) 125
C) 243
D) 343
E) 81
RESOLUCIÓN :
El primer niño puede estar en cualquiera de los 5 colegios, es decir este niño puede estar matriculado en uno de los 5 colegios y lo mismo ocurre con los demás niños.
Entiéndase que puede darse el caso de los tres niños pueden estar en un mismo colegio.
Por lo tanto, número de formas:
5×5×5=125
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
¿números 1: 2: 3 y 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3 y 4, si no se permite repeticiones?.
A) 24
B) 32
C) 64
D) 80
E) 90
RESOLUCIÓN :
Observamos que los números pueden ser de uno , dos, tres o cuatro dígitos
Luego:
Números de un dígito: 4 opciones
Números de dos dígitos:
4×3 =12 opciones
Números de tres dígitos:
4×3×2=24 opciones
Números de cuatro dígitos:
4×3×2×1=24 opciones
Entonces, podemos formar:
4 + 12 + 24 + 24 =64
Rpta. : "C"
PREGUNTA 7 :
Calcular el número de enteros positivos menores que 10 000 que se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3 y 4, si se permiten repeticiones.
A) 120
B) 240
C) 124
D) 340
E) 420
RESOLUCIÓN :
Nota que los números pueden ser de uno, dos, tres o cuatro dígitos
Luego:
Números de un dígito: 4 opciones.
Números de dos dígitos:
4×4 = 16 opciones
Números de tres dígitos:
4×4×4 = 64 opciones
Números de cuatro dígitos:
4×4×4×4=256 opciones
Entonces, podemos formar:
4 + 16 + 64 + 256 = 340 números.
Rpta. : "D"
PREGUNTA 8 :
¿De cuántas formas diferentes se puede escoger dos fichas de dominó, de las 28 que hay, de modo que se encuentre el mismo número de tantos en ambas fichas?
A) 252
B) 198
C) 173
D) 298
E) 294
RESOLUCIÓN :
i) Si escogemos una primera ficha, esto se puede hacer de 28 maneras diferentes. Aquí, en 7 casos, la ficha elegida será un doble, es decir tendrá la forma 00; 11; 22; 33; 44; 55; 66 y en 21 casos será una ficha con distintos números.
Entonces, si la primera ficha elegida es un doble, se deduce que la segunda se podrá elegir de 6 maneras distintas.
Por ejemplo: si la primera ficha fue: “11” entonces la segunda ficha puede ser:
01; 12; 13; 14; 15; 16.
Por lo tanto elegir estas dos fichas podrá ocurrir de: 7×6=42 formas distintas.
ii) Si la primera ficha elegida tiene distintos números entonces esta se puede elegir de 21 formas distintas.
En tanto que la segunda ficha se podrá elegir de 12 formas diferentes.
Por ejemplo: si la primera ficha es “35” entonces la segunda ficha puede ser:
03; 13; 23; 33; 34; 36; 05; 15; 25; 45; 55; 56.
Por lo tanto, ambas fichas se puede elegir de:
21×12=252 formas distintas.
Por lo tanto, número total de formas diferentes de elegir ambas fichas:
42 + 252=294
Rpta. : "E"
PREGUNTA 9 :
En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se desea elegir un presidente, vicepresidente, tesorero y un secretario. La condición es que el tesorero sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. Entonces el número de maneras en que puede elegirse ese grupo directivo es igual a:
A) 2644800
B) 2844600
C) 2866400
D) 3088400
E) 3244800
RESOLUCIÓN :
Dado que hay 40 damas y 20 varones:
El número de maneras de elegir su secretario varón es 20.
El número de maneras de elegir una tesorera es 40.
De las 60 personas que habían, ya se eligió 2 (un varón y una dama), quedando aún por elegir entre 58 personas al vicepresidente y presidente.
El número de maneras de elegir un vicepresidente es 58.
El número de maneras de elegir un presidente es 57.
Entonces: El número de maneras de elegir un grupo directivo es:
20×40×58×57=2644800
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
En una librería hay 6 ejemplares de una novela “A”; 3 ejemplares de la novela “B”; y 4 de la novela “C”. Además hay 5 tomos que contienen a las novelas “A” y “B” y 7 tomos que contienen a las novelas “B” y “C”. ¿De cuántas formas diferentes se puede efectuar una compra que contenga un ejemplar de cada una de estas novelas?
A) 140
B) 90
C) 134
D) 168
E) 210
RESOLUCIÓN :
Al salir de la librería debemos tener en las manos las 3 novelas y no necesariamente 3 textos.
En ese sentido podemos adquirir un texto (tomo) que contiene a las novelas “A” y “B” y un texto que contiene la novela “C” y esto se puede hacer de:
5×4=20 formas diferentes.
En forma similar, se puede adquirir un texto que contiene a las novelas “B” y “C” y un texto de la novela “A”, y esto se puede hacer de 7×6=42 formas distintas.
Por último, se puede comprar una de cada tipo:
6×3×4=72 es decir, se puede hacer esto de 72 modos distintos.
Por lo tanto, cantidad de formas diferentes de comprar las tres novelas:
20+42+72=134
Rpta. : "C"
