PRINCIPIO DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PRINCIPIO DE LA SUMA
Cuando afrontemos casos en los cuales dos situaciones no pueden darse simultáneamente, entonces usamos el principio de la adición.
Si un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes (Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, es decir no se pueden realizar a la vez) , entonces el evento compuesto A ó B se puede realizar de m+n maneras diferentes
EJEMPLO 1 :
En el estante de una biblioteca hay cinco libros de estadística de autores diferentes y siete libros de matemática, también de distintos autores.
Si deseamos seleccionar un solo libro, ¿Cuántas opciones diferentes tenemos?
RESOLUCIÓN :
En este es suficiente sumar las opciones de cada tipo de libro: 5+7=12
Observa que si elegimos un libro de estadística ya no podemos elegir otro de matemática; luego, ambos casos no pueden ocurrir a la vez.
DEFINICIÓN: (Principio de la adición)
Si una tarea se puede desarrollarse de m maneras, mientras que una segunda tarea puede realizarse de n maneras, y no es posible realizar ambas tareas simultáneamente, entonces una o la otra pueden llevarse a cabo de m+n maneras diferentes.
GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
Si un evento E1 ocurre de n1 formas diferentes, un segundo evento E2 tiene n2 formas de ocurrir y, así sucesivamente, un evento Ek ocurre de nk formas, entonces el evento E que consiste en realizar E1 o E2 , o…. finalmente Ek , ocurre de:
n1 + n2 +…+ nk formas diferentes, siempre que los conjuntos de resultados posibles de cada evento no aparezca simultáneamente.
EJEMPLO 2 :
En tres mercados de una pequeña ciudad se venden arroz por saco; en el primer mercado hay disponibles seis tiendas, en el segundo cuatro y en el tercer mercado cinco tiendas.
¿De cuántas maneras puede realizarse la compra de un saco de arroz?
RESOLUCIÓN :
Es evidente que, si decidimos comprar el saco de arroz en el primer mercado, por ejemplo, ya no lo compraremos ni el segundo ni en el tercer mercado.
Luego, la compra puede realizarse de:
6+4+5=15 maneras diferentes.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
Si un evento A se puede realizar de m maneras diferentes y por cada una de estas, otro evento B se puede realizar de n maneras diferentes (Un evento después del otro o ambos a la vez), entonces el evento compuesto A y B se puede realizar de m×n maneras diferentes.
EJEMPLO 1 :
De cuántas maneras se puede nombrar un presidente, un secretario y un tesorero si los aspirantes son Pedro , Juan y Alberto.
Rpta. : 3×2×1=6
DEFINICIÓN : (Principio de multiplicación)
Si un evento E1 ocurre m formas diferentes , y para cada una de estas formas un segundo evento E2 tiene n formas de ocurrir , entonces el evento E , que consiste en realizar E1 y luego E2 , ocurre de m×n formas diferentes.
EJEMPLO 2 :
Supongamos que chary, que está buscando empleo, observa en un diario local que en cuatro tiendas mayoristas se solicitan trabajadores para venta en el mostrador, para almacén y para limpieza. ¿Cuántas oportunidades de empleo tiene chary?
RESOLUCIÓN :
En este caso hay dos conjuntos de elementos: tiendas mayoristas, que son cuatro, y tipos de empleo, que son tres.
Luego, existen tres tipos de empleo por cada una de las cuatro tiendas mayoristas; es decir:
4×3=12 oportunidades de empleo para Chary.
EJEMPLO 3 :
Consideremos el siguiente experimento: un club de 15 socios puede hacer la elección de su presidente de 15 maneras distintas (es decir, cada uno de los socios) y, por lo tanto, la elección de vicepresidente tendrá 14 posibilidades distintas; luego, la asignación de los dos cargos se podrá hacer de:
15×14=210 formas diferentes.
Para los casos en los que se realizan más de dos experimentos de manera simultánea, se puede ampliar el concepto anterior.
EJEMPLO 4 :
Una compañía constructora necesita un servicio de un ingeniero civil, un arquitecto, un jefe de personal y un topógrafo. Ante este pedido se presenta doce ingenieros civiles, siete arquitectos, cinco jefes de personal y diez topógrafos. ¿Cuántas opciones diferentes tendrá la compañía para cubrir esas plazas?
RESOLUCIÓN :
Si ampliamos el concepto anterior, podemos determinar fácilmente la respuesta:
Sea:
n1=12 ingenieros civiles
n2=7 arquitectos
n3=5 jefes de personal
n4=10 Topógrafos
Luego : n1×n2×n3×n4=12×7×5×10=4200
GENERALIZACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN
Si un evento E1 ocurre de n1 formas diferentes, y para cada una de estas formas un segundo evento E2 tiene n2 formas de ocurrir, y así sucesivamente, un evento Ek ocurre de nk formas, entonces el evento E, que consiste en realizar E1 , luego E2, …. y, finalmente, Ek, ocurre de: n1 + n2 +…+ nk formas diferentes
EJEMPLO 4 :
En una microempresa de confecciones un producto se elabora en tres etapas. Para la etapa de trazado se tiene disponibles a seis personas; para la etapa de corte a tres, y para la etapa de armado a cinco personas. ¿De cuántas maneras puede moverse el producto en el proceso de confecciones?
RESOLUCIÓN :
Por el principio de la multiplicación la solución es inmediata:
n1×n2×n3=6×3×5=90 formas diferentes
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Víctor tiene 5 buzos, 3 pares de zapatillas y 4 polos. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse para entrenar si dos buzos son iguales?
A) 48
B) 24
C) 12
D) 36
E) 72
Rpta. : "A"
PROBLEMA 2 :
Un club desea formar una bandera representativa de 3 franjas verticales una a continuación de la otra, disponiendo de 7 colores. ¿Cuántas banderas se podrá formar?
A) 35
B) 210
C) 5040
D) 21
E) 42
Rpta. : "B"
PROBLEMA 3 :
Roque puede viajar de Lima a Ayacucho por vía aérea o por vía terrestre. Para viajar por vía aérea puede comprar un boleto en tres compañías: Aerocóndor, Aerolenin o Lan Perú, y para viajar por vía terrestre puede comprar un boleto en cuatro compañías: Cruz del Sur, Ormeño, Expreso Ayacucho o Expreso Cóndor. ¿De cuántas maneras Roque puede viajar de Lima a Ayacucho?
A) 12
B) 7
C) 1
D) 64
E) 81
Rpta. : "B"
PROBLEMA 4 :
En un tablero de 4×4, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden colocar dos fichas sin que estén ni en la misma fila ni en la misma columna?
A) 144
B) 72
C) 240
D) 360
E) 300
Rpta. : "A"
PROBLEMA 5 :
En un grupo hay treinta mujeres y veinte hombres. ¿De cuántas maneras se pueden elegir presidente , vicepresidente, tesorero y secretario, si el tesorero debe ser mujer, el secretario hombre y una persona no puede ocupar más de un puesto?.
A) 12020
B) 13080
C) 1353600
D) 900
E) 105
Rpta. : "C"
PROBLEMA 6 :
De un grupo de 8 hombres y 10 mujeres se quiere formar una junta directiva: presidente y vicepresidente (varones) secretaria y tesorera (damas). ¿De cuántas formas se puede formar esta junta directiva?
A) 3500
B) 120
C) 5040
D) 5060
E) 5600
Rpta. : "C"
PROBLEMA 7 :
Si se selecciona cinco estudiantes de la UNI para que proponga cada uno diez preguntas de técnicas de conteo con por lo menos dos formas diferentes de solución, ¿cuántas soluciones se recopilará como mínimo?.
A) 120
B) 100
C) 220
D) 140
E) 90
Rpta. : "B"
PROBLEMA 8 :
Una clave de admisión de un banco consta de dos letras del alfabeto seguidas por dos dígitos. ¿Cuántas claves diferentes hay?.
A) 72000
B) 67000
C) 420
D) 840
E) 67600
Rpta. : "E"
PROBLEMA 9 :
En un tablero de ajedrez se desea colocar un rey negro y dos torres blancas. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá hacer esto sin que se produzca un jaque?
A) 64×49×24
B) 49×24×96
C) 81×64×25
D) 25×16×4
E) 16×4×1
Rpta. : "A"
PROBLEMA 10 :
Tres alumnos desean escuchar en la misma carpeta el seminario de razonamiento matemático. Si este se va realizar en dos locales, cada uno de 5 aulas y cada aula de 12 carpetas. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar? además cada carpeta tiene capacidad para 5 alumnos.
A) 720
B) 7000
C) 8960
D) 8750
E) 7200
Rpta. : "E"
PROBLEMA 11 :
¿Cuántos números capicúas existen, de 5 cifras, tales que el producto de sus cifras sea un cuadrado perfecto?
A) 270
B) 243
C) 119
D) 250
E) 188
Rpta. : "A"
PROBLEMA 12 :
¿Cuántos numerales de 4 cifras diferentes se pueden formar, si las cifras 3 y 8 no deben aparecer juntos?
A) 4125
B) 4228
C) 4200
D) 4382
E) 4536
Rpta. : "B"
PROBLEMA 13 :
Si N es la cantidad de números de 4 cifras diferentes del sistema quinario y M la cantidad de numerales capicúas de 5 cifras del sistema heptal; halle N×M.
A) 30 224
B) 28 224
C) 15 321
D) 14 112
E) 16 372
Rpta. : "B"
PROBLEMA 14 :
¿Cuántos numerales capicúas de 7 cifras y múltiplos de 25 existen ?.
A) 100
B) 120
C) 180
D) 200
E) 240
Rpta. : "D"
PROBLEMA 15 :
En un concurso, una dama debe adivinar el precio de un cierto producto. El animador le dice: El precio tiene 3 dígitos enteros y 2 decimales , los dígitos enteros pueden ser 1; 2; 3; 7; 8 y los dígitos decimales 6; 9, además el precio es mayor que 300. ¿De cuántas maneras se puede dar el precio, si se permite la repetición sólo de los dígitos 1 y 2?
A) 24
B) 48
C) 56
D) 84
E) 33
Rpta. : "D"
PROBLEMA 16 :
Una familia compuesta por papá, mamá, hijo, hija, abuelita , posan para una foto en 5 sillas alineadas. Si la abuelita ocupa la silla central, ¿de cuántas formas pueden distribuirse las personas para la foto?
A) 120
B) 4
C) 24
D) 20
E) 25
Rpta. : "C"
PROBLEMA 17 :
El número de elementos del conjunto de los números de 4 cifras tales que las cifras que ocupan la posición impar de izquierda a derecha son mayores en uno a la cifra siguiente, son:
A) 72
B) 81
C) 84
D) 90
E) 56
Rpta. : "B"
PROBLEMA 18 :
¿Cuántos números de 3 cifras no contienen al 2 ni al 5 en su escritura?.
A) 567
B) 512
C) 528
D) 448
E) 568
Rpta. : "D"
PROBLEMA 19 :
¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5 de manera que no aparezca el 3 en las decenas?
A) 72
B) 60
C) 24
D) 25
E) 48
Rpta. : "E"
PROBLEMA 20 :
¿Cuántos números pares de tres cifras se pueden formar utilizando los dígitos 1; 3; 6; 7; 8 y 9? .
A) 72
B) 36
C) 20
D) 84
E) 40
Rpta. : "A"
