CÁLCULO DE VOLUMENES POR INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Definición del volumen de un sólido en términos del área secciona! Volumen de un sólido de revolución Método del disco circular Método del anillo circular Método del tubo cilíndrico Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares CLICK AQUI PARA VER PDF 1   **** Definición Sea § una región del espacio X1Z que se encuentra entre dos planos perpendiculares al eje X x=a y x= b. Entonces el volumen del sólido § se define por la fórmula donde lA(x) es el área de la sección de § trazada perpendicularmente al eje X en el punto x, y donde se supone que lA(x) es una función continua. Interpretación geométrica El cilindro elemental R de la derecha tiene árealA(x) en la base y altura dx. Luego, su volumen es dV=IA(x)dx. Las sumas de los volúmenes de tales cilindros elementales se aproximan al volumen del sólido ya que Análogamente, el volumen de un sólido S del espacio comprendido entre dos planos perpendiculares al eje Y: y=c e y=d, se define mediante w = J: lA(y)dy donde IA(y) es el área de la sección plana de S trazada perpendicularmente al eje Yen el punto y. Ejemplo 1 Una cuña se corta de un sólido en forma de cilindro recto circular de radio r, por un plano que pasa a través del diámetro de la base y forma un ángulo de 45° con el plano de la base. Halle el volumen de la cuña. Ejemplo 2 Calcule el volumen de una esfera de radio a. Solución La sección plana de la esfera trazada perpendicularmente al eje X en el punto x, es un círculo de radio PQ=y, y por tanto, su área es .lA(x)n/=n(a2 _x2). La esfera se obtiene cuando x varía desde x=-a hastax=a. Luego, el volumen de la esfera es Teorema Sea y=y(x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] tal que y(x) ~ o. Sea S el sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje Xla región limitada por la curva y= y(x) , el eje X y las rectas x=a y x= b. Entonces, el volumen de S es dado por Prueba Al rotar la región PQab del plano XY alrededor del eje X, se genera el sólido de revolución PQRT. En la figura se muestra un cilindro o disco circular de radio = y, altura = dx, área de la base .lA(x) = ni, y volumen dW = ni dx. Por tanto, el volumen del sólido es Ejemplo 1 Pruebe que el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h es Ejemplo 2 Halle el volumen del sólido engendrado cuando se rota alrededor del eje Xla región acotada por un arco completo de la curvay=a senx. En forma análoga, el volumen del sólido de revolución S obtenido al rotar al rededor del eje Y la región limitada por la curva X=X(Y), el eje Y y las rectas y=c e y=d es dado por En este caso, dV=nx2dy es el volumen de un disco circular elemental (ver figura). Teorema El volumen del sólido de revolución engendrado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por las curvas Yl = Yl (x) e Y2 = Y2(x) , donde Yl (x) 2': Y2(x) 2': 0, Y las rectas x= a y x= b, es dado por la fórmula En la figura se muestra un rectángulo elemental R determinado por la abscisa x, las ordenadas JI' J2' Al rotar R alrededor del eje X se obtiene un anillo circular, como el que se ilustra en el lado derecho de la figura, cuya base tiene un área LA(x) = n(yf - Ji), Y cuyo volumen es dW=LA(x)dx=n(Jf - Ji )dx. Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución obtenido cuando x varía desde x= a hasta x= b, es Ejemplo Encuentre el volumen del anillo sólido (o toro) obtenido cuando se rota un círculo de radio r alrededor de un eje exterior en su plano y a b unidades de su centro. Definición El volumen del sólido de revolución S engendrado por rotación alrededor del eje Y de la región acotada por las curvas Yl = Yl (x) e Y2 = Y2(x) , donde Yl (x) ~ Y2(X) , y las rectas x= a y x= b, es dado por la fórmula Al rotar alrededor del eje Yel rectángulo R, se obtiene un tubo cilíndrico, como el que se ilustra en el lado derecho de la figura, cuyo volumen aproximado es dW = (perímetro de la base) . (ancho) . (altura) =2(nx)(dx)(y¡-Y2). El volumen del sólido obtenido al rotar la región PQRT alrededor del eje Yes entonces W = s: dW = 2n s: x(y¡ - Y2)dx. Ejemplo Calcule el volumen del sólido engendrado al rotar alrededor de la recta x= a la región acotada por esta recta y la parábolal=4ax, (a> O). Teorema El volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar alrededor del eje X la región acotada por la curva p = p(8) Y los ángulos polares 8 = 81 Y 8 = 82, es dado por la fórmula Ejemplo Calcule el volumen de un sólido obtenido por rotación de región acotada por la curva p = a coi8 alrededor del eje polar. Problemas resueltos Problema 1 Halle el volumen de un sólido formado por rotación alrededor del eje X de la región acotada por el eje Xy la parábolay=2x-x2. Problema 2 Encuentre el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje X la región acotada por la parábola semicúbica l=x3 , el eje X y la recta x= 1. Problema 3 Calcule el volumen de un sólido obtenido por rotación, alrededor del eje X de la región comprendida entre las parábolas y=x2 e y = J;o Problema 4 Halle el volumen del sólido generado por rotación de la cisoide 3 2 x y = -4-- alrededor de su asíntota x=40 ProblemaS x Pruebe que el volumen del sólido obtenido por rotación alrededor del eje X de la regl.O , n lI' mI. tad a por 1a h'I pe'rb o 1a eqUl' 1a' tera x2- y2 = a2 y 1a recta x= 2a, es' Ig U al al volumen de una esfera de radio a. Problema 6 Encuentre el volumen de un cono recto elíptico cuya base es una elipse con semiejes 4 y 3, y altura 5. Problema 7 La base de un sólido es un círculo de radio a. Si todas las secciones planas del sólido perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadradas, halle el volumen del sólido. ProblemaS Calcule el volumen del sólido formado por rotación de la figura acotada por un arco completo de la cicloide x=a(t-sen t), y=a(1-cos t) yel eje X, alrededor del (1) eje Y (2) eje de simetría de la figura. Problema 9 Encuentre el volumen del sólido común a dos cilindros rectos circulares de radio a, cuyos ejes se intersecan en ángulos rectos. Problema 10 Un círculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de su circunferencia se encuentra en el eje X el centro describe una elipse x2 i 2+2=1 a b y el plano del círculo es perpendicular al eje X Calcule el volumen del sólido. Problema 11 Halle el volumen de un segmento de esfera de radio a y altura h. Problema 12 Una esfera de radio a tiene un hueco cilíndrico recto de base circular de diámetro a. Si el eje del cilindro es un diámetro de la esfera, halle el volumen de la esfera hueca. Problema 13 Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por 2/3 2/3 2/3 . x + y = a alrededor del eje Y. Problema 14 Sobre las cuerdas de la curva x 2/3 + y2/3 = a2/3, paralelas al eje X, se construyen cuadrados perpendiculares al plano XY y cuyos lados son iguales a las longitudes de tales cuerdas. Encuentre el volumen del sólido formado. Problema 15 Calcule el volumen engendrado al rotar la región acotada por la recta y=x y la parábolay=3x-x2, alrededor de la recta . Problema 16 Halle el volumen del sólido obtenido por rotación alrededor del eje polar de la Tt figura acotada por la cardiode p = 4 + 4 cos8 y las rectas 8 = O Y 8 = -. Problema 17 Calcule el volumen del sólido formado por rotación alrededor del eje polar de la curva p=3 sen28. Problema 18 Calcule el volumen del sólido limitado por el paraboloide 2 2 x y -+-= z y los planos z=2 y z=5. Problema 19 Halle el volumen de un cono recto de altura h, cuya base es una elipse de semiejes a y b. Problema 20 Halle el volumen del sólido encerrado por la elipsoide 2 2 2 x y z 2+2+2=l. Problema 3 Halle el volumen de un obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A, B ya, b, respectivamente, y la altura es h. Problema 4 Un triángulo móvil de altura constante h se mueve con un plano perpendicular a un diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es una cuerda del círculo. Encuentre el volumen del sólido engendrado cuando el triángulo se desplaza desde un extremo del diámetro hasta el otro.
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