AREAS TRIANGULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EXAMEN ADMSIÓN UNIVERSIDAD PDF
Hoy en día el uso de aplicativos como el Google Earth nos permite calcular áreas de regiones planas.
Con nuestro Android o iPhone y la App necesaria ahora podremos hacer algo que antes podía ser complicado, como medir el área de un terreno, el perímetro y todo lo que se desee.
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular se calcula como el semi producto de la longitud de un lado por su altura relativa.
Resolver problemas relacionados al cálculo de áreas de regiones desconocidas , ya sea sumando , restando o trasladando regiones , para formar regiones conocidas
ÁREAS DE REGIONES PLANAS ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
• DEFINICIÓN.
• TEOREMAS FRECUENTES.
• TEOREMAS DE RAZONES DE ÁREAS.
NOCIONES PREVIAS
En la imagen mostrada, observamos que se ha lotizado un terreno para su posterior venta. Esta es una situación cotidiana, seguramente serán terrenos de 120 𝑚² o quizás 150𝑚2 o tal vez más, pero que entendemos de esta situación, la delimitación del terreno que nos representa, ¿El área o la región?, ¿Que significa 𝑚2?. Éste terreno (porción de tierra), nos representa a una región, el valor numérico que cuantifica el tamaño de esa región, por ejemplo 120𝑚2, nos representa el área, y 𝑚2 es la unidad de medida. NOTA: Ten en cuenta que; se denominan regiones equivalentes a aquellas que tienen áreas iguales. ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR (Fórmula básica) • Veamos otras situaciones que se pueden presentar para poder aplicar El área de una región triangular es igual al semiproducto entre la longitud de uno de sus lados con la longitud de la altura relativa a dicho lado. 𝐵 Se cumple: este teorema: ∆𝑅𝑃𝑄: Obtusángulo 𝑃 Se cumple: h 𝔸𝑹𝑷𝑸 = 𝒃 ∙ 𝒉 𝟐 h 𝐴 Donde: 𝒃 ∙ 𝒉 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝟐 𝐶 𝑅 𝑏 𝑄 𝑆 ⊿𝑇𝑆𝐾: Recto en T h Se cumple: 𝔸𝑻𝑺𝑲 = 𝒃 ∙ 𝒉 𝟐 𝔸𝐴𝐵𝐶 , se lee: Área de la región triangular ABC 𝑇 𝑏 𝐾 TEOREMA (Fórmula trigonométrica) El área de una región triangular es igual al semiproducto entre las longitudes de dos de sus • Por fórmula básica, sabemos: 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒃 ∙ 𝒉 𝟐 … (𝑖) lados con el seno de la medida angular que éstos determinan. TENER EN CUENTA: • En el ⊿𝐴𝐵𝐻: ℎ = 𝑎 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝜙 … (𝑖𝑖) • Reemplazamos 𝑖𝑖 en 𝑖 : C 𝑄 𝑁 • Si Δ𝑀𝑁𝐿 es equilátero, se tiene: ceviana 𝑛 Se cumple: 𝑙 𝑙 𝐶 60° 𝔸𝑴𝑵𝑳 𝒍 ∙ 𝒍 = 𝟐 (𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°) 𝛼 𝑃 𝑚 𝑅 𝑀 𝑙 𝐿 (Teorema) • En el gráfico, se cumple: 𝑟 = 6𝑐𝑚, si 𝑀 es el punto que divide al 60° 6 𝑀 120° Piden 𝔸𝐴𝑀𝐵 𝐵 60° 6 • Como 𝑀 es punto medio del arco 𝐴𝐵: → 𝑚𝐵𝑀 = 𝑚𝑀𝐴 = 60° • Por circunferencia, sabemos: 𝐴) 8 3 𝐵) 9 3 𝐶) 10 3 60° 6 𝐴 60° 60° 𝑀𝐵 = 𝑀𝐴 = 6 • Además, como 𝐴𝑀𝐵𝐶 es inscrito → 𝑚∢𝐴𝑀𝐵 = 120° • Por fórmula trigonométrica: 𝐶 6 ∙ 6 𝔸𝐴𝑀𝐵 = 𝑠𝑒𝑛120° 2 TEOREMAS (En función de sus radios asociados) Cálculo del área en función a la longitud del inradio. 𝐵 Cálculo del área en función a la longitud del Se cumple: 𝑐 𝑎 𝑟 𝐴 𝑏 Se cumple: 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑 ∙ 𝒓 Donde: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑝 = 2 𝐶 exradio. 𝐵 𝑐 𝑎 𝐴 𝑏 𝐶 𝑟𝑎 Donde: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑝 = 2 Cálculo del área en función a la longitud del circunradio. TEOREMA (Cálculo del área en función a la longitud de sus lados) 𝑭ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑯𝒆𝒓ó𝒏 Se cumple: 𝐵 Se cumple: 𝔸𝑨𝑩𝑪 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝟒𝑹 𝑐 𝑎 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Donde: 𝑝 = 2 𝐴 𝑏 𝐶 Veamos: 𝐵 • Unimos el incentro con los vértices y calculamos el área total como la suma de las regiones triangulares parciales 𝐵 • Aplicamos la fórmula básica y luego para relacionar al circunradio, aprovechamos el teorema del 𝔸 = 𝔸 + 𝔸 𝑐 + 𝔸 𝑎 producto de dos lados. 𝑐 𝑟 𝑎 𝑟 𝐼 𝑟 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐼𝐵 𝑐ฐ∙ 𝑟 2 𝐵𝐼𝐶 𝑎ฑ∙ 𝑟 2 𝐴𝐼𝐶 𝑏ฑ∙ �� 2 ℎ 𝔸𝐴𝐵𝐶 𝑏 ∙ ℎ = 2 … (𝑖) • Luego: ℎ 2𝑅 = 𝑎 ∙ 𝑐 𝑟 → 𝔸𝐴𝐵𝐶 = · 𝑟 𝐴 𝑏 𝐶 𝑎 ∙ 𝑐 → ℎ = 2𝑅 … (𝑖𝑖) 𝐴 𝑏 𝐶 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑅 • Reemplazamos 𝑖𝑖 𝑒𝑛 𝑖 : 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∴ 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝟒𝑹 Prueba: • Sabemos: 𝑚 = 𝑝 − 𝑎 , 𝑛 = 𝑝 − 𝑐 , 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑡 = 𝑝 − 𝑏 𝐴 Caso particular, si 𝜃 = 90° Se cumple: 𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎 ∙ 𝒏 𝑚 𝑛 RELACIÓN DE ÁREAS TEOREMAS Mediana Se cumple: Base media Se cumple: Ceviana Se cumple: 𝑡 𝑙 𝑵 𝟏 𝑨𝟏 = 𝑨𝟐 𝑎 𝑎 𝑴 = 𝟑 𝑡 𝑙 𝑏 𝑎 Baricentro Se cumple: En ambos gráficos mostrados, las regiones triangulares determinadas son equivalentes EJEMPLOS Calcule A+B 𝐴 2𝑎 Calcule 𝑆1 𝑆2 • Como observamos dos medianas, entonces: 𝑛 𝑚 Baricentro 𝑀 𝑀 2𝑎 5𝑎 3𝑎 𝑛 𝑀 𝑀 𝑚 𝐵 Calcule 𝔸𝑨𝑩𝑪 Se observa: 𝐵 • 𝑀 𝑀 𝑎 𝑎 𝐴 𝑏 𝑏 𝐶 Trazamos la tercera mediana y tenemos que, las seis regiones triangulares determinadas son equivalentes • Se observa: 𝑆1 = 𝑆2 = 2𝑀 𝐴 𝑏 𝑏 𝐶 PROBLEMA Piden relación entre las áreas. En el gráfico mostrado, si 𝐼 es incentro de ∆𝐵𝐴𝐶 indique la relación entre 𝑆1, 𝐴 60° • Como 𝐼 es incentro: 𝐵𝐹 𝑦 𝐶𝐸: son bisectrices • Notamos que: 𝛼 + 𝜃 = 60° → 𝑚∢𝐹𝐼𝐶 = 60° • Trazamos 𝐼 ഥ𝐿 (𝐿 ∈ 𝐵𝐶), tal que: 𝐹𝐶 = 𝐶𝐿 → ∆𝐼𝐹𝐶 ≅ ∆𝐼𝐿𝐶 (𝐿 − 𝐴 − 𝐿) 𝐸 𝐹 También: ∆𝐼𝐸𝐵 ≅ ∆𝐼𝐿𝐵 (𝐴 − 𝐿 − 𝐴) 𝐼 𝒏 • Por relación de áreas: 60° 60° 𝒎 𝛼 𝛼 𝐵 60° 60° 𝐿 𝑎 𝑆3 𝑎 𝜃 𝜃 𝐶 𝑆3 + 𝑆2 𝑆3 𝑆1 𝑆3 + 𝑆2 𝑆2 𝑚 = 𝑛 𝑚 = 𝑛 … (𝑖) … (𝑖𝑖) • Igualamos (𝑖) y (𝑖𝑖) = 𝑆1 𝑆2 ∴ 𝟏 𝑺𝟏 𝟏 = 𝑺𝟐 𝟏 + 𝑺𝟑 TEOREMAS En el gráfico, si 𝜔 = 𝜙 ó 𝜔 + 𝜙 = 180° 𝑏 … (∗) Razón de áreas para regiones triangulares semejantes. 𝜔 𝑎 Se cumple: 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝑐 𝜙 𝑑 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒄 ∙ 𝒅 Prueba: De ∗ , se tiene que: 𝑠𝑒𝑛𝜔 = 𝑠𝑒𝑛𝜙 Por fórmula trigonométrica: 𝑎 ∙ 𝑏 Se cumple: La razón de áreas de 𝑺𝟏 = 𝑺𝟐 = 𝑠𝑒𝑛𝜔 2 𝑐 ∙ 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜙 2 (÷) 𝑺𝟏 𝑺𝟐 𝒃𝟐 = 𝒎𝟐 𝒉𝟐 = 𝒏𝟐= 𝑹𝟐 𝒓𝟐 … regiones semejantes es igual a la razón de longitudes de elementos homólogos elevados al cuadrado. APLICACIÓN En el gráfico el área de la región sombreada es 9, calcule el área de la región 𝐴𝐵𝐶. • Del dato: 𝑀𝑁 = 3𝑎, 𝐴𝐶 = 5𝑎 Piden 𝔸𝐴𝐵𝐶 𝐵 𝜃 = 𝑆 • Notamos que: 𝐴𝑁𝑀𝐶 es un cuadrilátero inscriptible 𝑁 𝛼 3𝑎 • Completando medidas angulares, tenemos que: 𝐵 𝐵 𝜃 𝜃 ~ 𝛼 𝑀 𝑁 3𝑎 𝑀 𝐴 𝛼 5𝑎 𝐶 𝛼 • Por razón de regiones semejantes: 𝐴 5𝑎 𝐶 𝑆 9 = 5𝑎 2 25 3𝑎 2 = 9