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LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

















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1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Las razones trigonométricas son números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. TRIANGULO RECTANGULO Teorema de Pitágoras “La suma de cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. a2 + b2 = c2 Teorema “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios”. A + B = 90º 2. DEFINICION DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA UN ANGULO AGUDO. Dado el triángulo ABC, recto en “B”, según la figura, se establecen las sgts definiciones para el ángulo agudo “”: Sen  =  Cos  =  Tg  =  Ctg  =  Sec  =  Csc  =  Ejemplo: • En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que la suma de catetos es igual “k” veces la hipotenusa. Calcular la suma de los senos de los ángulos agudos del triángulo. Resolución: Nótese que en el enunciado del problema tenemos: a + b = k.c Nos piden calcular Luego: • Los tres lados de un triángulo rectángulo se hallan en progresión aritmética, hallar la tangente del mayor ángulo agudo de dicho triángulo. Resolución: Nótese que dado el enunciado, los lados del triángulo están en progresión aritmética, de razón “r” asumamos entonces: Cateto Menor = x – r Cateto Mayor = x Hipotenusa = x + r Teorema de Pitágoras (x-r)2+x2=(x+r)2 x2-2xr+r2+x2=x2+2xr+r2 x2-2xr=2xr x2=4xr x=4r Importante “A mayor cateto, se opone mayor ángulo agudo”. Luego, reemplazando en la figura tenemos: Nos piden calcular Tg= • Calcular el cateto de un triángulo rectángulo de 330m de perímetro, si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 2,4. Resolución: a) Sea “” un ángulo agudo del triángulo que cumpla con la condición: Ubicamos “” en un triángulo rectángulo, cuya relación de catetos guardan la relación de 12 a 5. La hipotenusa se calcula por pitágoras. Triáng. Rectangulo Triáng Rectángulo Particular General b) El perímetro del es: Según la figura: 5k+12k+13k = 30k Según dato del enunciado =330m Luego: 30k = 330 K =11m a) La pregunta es calcular la longitud del menor cateto es decir: Cateto menor = 5k = 5.11m = 55m 3. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS 3.1 Razones Trigonométricas Recíprocas. “Al comparar las seis razones trigono-métricas de un mismo ángulo agudo, notamos que tres partes de ellas al multiplicarse nos producen la unidad”. Las parejas de las R.T. recíprocas son entonces: Sen . Csc = 1 Cos . Sec = 1 Tg . Ctg = 1 Ejemplos: • Indicar la verdad de las siguientes proposiciones. I. Sen20º.Csc10º =1 ( ) II. Tg35º.Ctg50º =1 ( ) III. Cos40º.Sec40º=1 ( ) Resolución: Nótese que las parejas de R.T. recíprocas, el producto es “1”; siempre que sean ángulos iguales. Luego: Sen20º.Csc10º1 ; s No son iguales Tg35º.Ctg50º 1 ; s No son iguales Cos40º.Sec40º=1 ; s Sí son iguales • Resolver “x” agudo que verifique: Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1 Resolución: Nótese que en la ecuación intervienen, R.T. trigonométricas; luego los ángulos son iguales. Tg(3x+10º+).Ctg(x+70º+)=1 ángulos iguales 3x+10º+ = x+70º+ 2x=60º x=30º • Se sabe: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec= Calcular: E=Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc Resolución: Recordar: Cos.Sec = 1 Tg.Ctg = 1 Sec.Csc = 1 Luego; reemplazando en la condición del problema: Sen.Cos.Tg.Ctg.Sec = “1” Sen = ....(I) Nos piden calcular: E = Cos.Tg.Ctg.Sec.Csc E = Csc = , pero de (I) tenemos:  E= 3.2 Razones Trigonométricas de Angulos Complementarios. “Al comparar las seis R.T. de ángulos agudos, notamos que tres pares de ellas producen el mismo número, siempre que su ángulo sean complementarios”. Nota: “Una razón trigonométrica de un ángulo a la co-razón del ángulo complementario”. RAZON CO-RAZON Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Dado: x+y=90º, entonces se verifica Senx =Cosy Tgx = Ctgy Secx = Cscy Así por ejemplo: • Sen20º = Cos70º (20º+70º=90º) • Tg50º = Ctg40º (50º+40º=90º) • Sec80º = Csc10º (80º+10º=90º) Ejemplo: • Indicar el valor de verdad según las proposiciones: I. Sen80º = Cos20º ( ) II. Tg45º = Cgt45º ( ) III. Sec(80º-x) = Csc(10º+x) ( ) Resolución: Nótese que dado una razón y co-razón serán iguales al elevar que sus ángulos sean iguales. I. Sen80º  Cos20º (80º+20º90º) II. Tg45º = Cgt45º (45º+45º=90º) III. Sec(80º-x)= Csc(10º+x) (80º-x+10º+x=90º) • Resolver el menor valor positivo de “x” que verifique: Sen5x = Cosx Resolución: Dada la ecuación Sen5x=Cosx; luego los ángulos deben sumar 90º:  5x+x=90º 6x=90º x=15º • Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg2y.Ctg30º - 1 = 0 Resolución: Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Sen3x=Cosy  3x+y=90º ...(I) Tg2y.Ctg30º=1  2y=30º ...(II) y=15º Reemplazando II en I 3x+15º = 90º 3x =75º x = 25º • Se sabe que “x” e “y” son ángulos complementarios, además: Senx = 2t + 3 Cosy = 3t + 4,1 Hallar Tgx Resolución: Dado: x+y=90º  Senx=Cosy Reemplazando 2t+3 = 3t+4,1 -1,1 = t Conocido “t” calcularemos: Senx=2(-1,1)+3 Senx=0,8 Senx= ..... (I) Nota: Conocida una razón trigonométrica, luego hallaremos las restantes; graficando la condición (I) en un triángulo, tenemos: Tgx= 4. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS NOTABLES 4.1 Triángulos Rectángulos Notables Exactos I. 30º y 60º II. 45º y 45º 4.2 Triángulos Rectángulos Notables Aproximados I. 37º y 53º II. 16º y 74º TABLA DE LAS R.T. DE ANGULOS NOTABLES  R.T. 30º 60º 45º 37º 53º 16º 74º Sen 1/2 /2 /2 3/5 4/5 7/25 24/25 Cos /2 1/2 /2 4/5 3/5 24/25 7/25 Tg /3 1 3/4 4/3 7/24 24/7 Ctg /3 1 4/3 3/4 24/7 7/24 Sec 2 /3 2 5/4 5/3 25/24 25/7 Csc 2 2 / 3 5/3 5/4 25/7 25/24 Ejemplo: Calcular: Resolución: Según la tabla mostrada notamos:  EJERCICIOS 1. Calcular “x” en : Sen( 2x - 10º) = Cos( x + 10º) a) b) c) d) e) 2. Si : Tg (8x – 5º) Tg (x + 5º) = 1 Hallar: K = Sen23x – Ctg26x a) b) c) - d) - e) 1 3. Hallar “x” en : Cos (60º - x) Csc (70º - 3x) = 1 a) 5º b) 15º c) 25º d) 10º e) –5º 4. Si : Cosx = , Calcular “Sen x” a) b) 1 c) d) e) 5. Si : Tg = , Calcular : P = Sen3 Cos + Cos3 Sen a) b) c) d) e) 6. Dado: Secx = Calcular : E = a) b) c) d) e) 7. Si: Secx = 2 , Calcular : P = (Tgx–Senx)2 + (1–Cosx)2 a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 3 8. Si : Tg = a , Calcular : a) b) c) d) e) 9. En un triángulo rectángulo ABC, TgA= , y la hipotenusa mide 58cm, Hallar el perímetro del triángulo. a) 156cm. b) 116cm. c) 136cm. d) 140cm. e) 145cm. 10. Si en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a los del producto de los catetos, Hallar la tangente del mayor de los ángulos agudos de dicho triángulo. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 4 e) 6 11. Calcular : Sen1º+Sen2º+Sen3º+...+Sen89º Cos1º+Cos2º+Cos3º+...+Cos89º a) 0 b) 1 c) 2 d) e) 90 12. En un triángulo rectángulo recto en “A”. Calcular el cateto “b”, si se tiene que: SenBSenCTgB= a) 16 b) 8 c) 2 d) 4 e)9 13. En un triángulo rectángulo el semiperímetro es 60m y la secante de unos de los ángulos es 2,6 calcular la mediana relativa a la hipotenusa. a)5 b) 13 c) 12 d) 24 e) 26 14. De la figura, Hallar “x” si: Tg76º = 4 a) 6 b) 8 c) 12 d) 18 e) 24 15. En un cuadrado “ABCD” ; se prolonga el lado , Hasta un punto “E” , tal que : Calcular la tangente del ángulo EDC a) b) c) 1 d) e) 16. Hallar el valor reducido de: 4Tg37ºTg60º+Sen445º+Sen30º 17. Si: = 4 , Hallar “Ctg” a) b) c) d) e) 18. Calcular Ctg. a) b) c) d) e) 19. Del gráfico, calcular Tg(Sen) si el área sombreada es igual al área no sombreada. 1. En un triángulo rectángulo ABC , se cumple: cotC+ cotB=4. Calcule: M = 16senB.senC.cosB.CosC. A) B) C) 1 D) 2 E) 4 2. En un triángulo rectángulo si: Calcular el perímetro del triángulo A) 90 B) 120 C) 150 D) 75 E) 136 3. En un triángulo rectángulo si la hipotenusa es el doble de la media geométrica de los catetos. Calcule la suma de las tangentes trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo. A)2 B) 3 C) 4 D)5 E) 6