SECCIONES CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
CÓNICAS
Si cortamos a uno de ellos, la forma de la sección cortada es un círculo , si se hacen cortes trasversales o longitudinales en algunas frutas, se obtienen curvas que se asemejan a cónicas.
Cuando un cono se corta con un plano se forma una curva en la intersección de la superficie cónica y el plano, esta curvas reciben el nombre de secciones cónicas o simplemente cónicas. Piensa en una naranja o en un limón, o una fruta de forma casi esférica.
SECCIONES CÓNICAS
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano.
Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
La intersección de un plano con un cono circular recto de dos hojas es una curva denominada sección cónica.
Dependiendo del modo de cómo el plano interseca al cono, se generan las curvas y circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
CIRCUNFERENCIA :
Si el plano es perpendicular a la directriz y no pasa por el vértice , entonces la intersección del plano con el vértice es una circunferencia.
ELIPSE :
Si el plano cortante no es paralelo a una generatriz ni a la directriz y no pasa por el vértice del cono , entonces la intersección es una elipse.
PARÁBOLA :
Cuando el plano cortante es paralelo a una generatriz y no para por el vértice, entonces lo interseca formando una parábola.
HIPÉRBOLA :
Si el plano secante es paralelo a la directriz del cono y no pasa por el vértice, entonces genera una hipérbola.
LUGAR GEOMÉTRICO
Se define un lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad.
Ejemplo de algunos lugares geométricos:
* La bisectriz de un ángulo
* La mediatriz de un segmento
* La circunferencia
* La superficie esférica, etc.
Las cónicas, son denominadas lugares geométricos, porque todos sus puntos cumplen una misma propiedad.
El cual es, el cociente de la distancia de cada uno de sus puntos P(x;y) a una recta fija LD denominada directriz y a un punto fijo denominado foco “F” que no pertenece a la directriz , es siempre una constante e denominada excentricidad de la cónica.
EXCENTRICIDAD DE UNA CÓNICA
La constante e se denomina excentricidad del lugar geométrico, y determina la forma y tipo de las curvas que se definen bajo estas condiciones:
Si : e=0, entonces la cónica es una circunferencia.
Si : e=1, entonces la cónica es una parábola.
Si: e<1, entonces la cónica es una elipse.
Si: e>1, entonces la cónica es una hipérbola.
Una cónica se puede considerar como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
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PROBLEMA 1 :
Una parábola tiene su foco en F(3;2) y recta directriz x= – 4. Su ecuación es:
A) y²–2y–14x+3=0
B) y²–2y – 6x+7=0
C) y²– 4y – 8x– 6=0
D) y²– 4y – 6x+7=0
E) y²– 4y –14x– 3=0
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PROBLEMA 2 :
Los focos de una elipse están en los puntos F1(1; 4) y F2(1; –4) y su excentricidad 1/2 , entonces la ecuación de la elipse es:
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PROBLEMA 3 :
La ecuación de la recta tangente trazada a la parábola x²=8y por el punto de contacto M(4;2), es
A) x+y – 2=0
B) x–y + 2=0
C) x–y – 2=0
D) x+y+2=0
E) –x+y –1=0
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
Un Poco de Historia:
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples
La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que estos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.
Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra.
En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
