ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS PDF
ECUACIÓN DE LA ELIPSE - CANÓNICA GENERAL Y ORDINARIA - APLICACIONES - GEOMETRÍA ANALÍTICA
APLICACIONES DE LA ELIPSE
Las elipses tienen varias aplicaciones en la ingeniería y en todas las ciencias.
Por ejemplo , las órbitas de los planetas son elípticas y el sol se encuentra en uno de los focos. Algunos puentes tienen un arco semielíptico.
En máquinas se usan engranajes elípticos cuando se requiere de una razón de movimiento variable.
Las elipses tienen una importante propiedad de reflexión.
Si una fuente de luz o sonido se coloca en un foco, las ondas trasmitidas por la fuente se reflejarán en la elipse y se concentrarán en el otro foco .
En este principio se basan las «galerías murmurantes», que son salones diseñados con techos elípticos ; de tal manera que si una persona se encuentra en uno de los focos y murmura algo será escuchado por otra persona que está en el otro foco, ya que el sonido que proviene de uno de sus focos y choca en cualquier punto del techo elíptico se refleja en el otro foco .
Además mencionaremos que en resistencia de materiales la elipse se presenta como elipse de inercia .
Sistema de elipses homofocales (elipses que tienen los mismos focos ) aparecen en la teoría de las corrientes eléctricas estacionarias , corrientes calorifícas e hidrodinámicas ; elipses aparecen en las teorías de doble refracción y polarización , etc.
☞ Los planetas alrededor del sol describen una trayectoria elíptica.
☞ Un recinto de forma elíptica tiene la propiedad de reflejar el sonido emitido en un foco con dirección al otro foco.
EJERCICIO :
Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una elipse , un punto o un conjunto vacío .
Si la gráfica es una elipse hallar su centro y los valores de a y b.
I) 4x² + 9y² –16x +18y – 11=0
II) 3x² + 2y² – 18x – 4y + 29=0
III) 5x² + 4y² – 10x – 40y +110=0
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
En la elipse de ecuación :
9x²+16y² = 576 se inscribe un cuadrado , halle la suma de las coordenadas del vértice del cuadrado , ubicado en el tercer cuadrante .
A) – 15
B) – 12,5
C) – 9,6
D) – 8,4
E) – 4,5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Un arco de 80m de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es 30m, calcular la altura del arco en un punto situado a 15m del centro.
A) 15√55/4
B) 12√55
C) 9√55/5
D) √55
E) √37
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
El techo de 14u de altura es el centro de un pasillo de 10u de ancho, tiene la forma de una semielipse , las paredes laterales tiene una altura de 10u, encontrar la altura del techo a 2u de cualquier pared.
A) 13
B) 13,1
C) 13,2
D) 13,3
E) 13,5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 :
Un arco en forma de media elipse tiene 40 pies de ancho y 16 pies de altura en el centro. Encuentre la altura del arco de 10 pies del extremo derecho .
A) 8√3
B) 2√5
C) 3√3
D) 7√3
E) 4√3
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Dada la ecuación de la elipse :
4x² + 9y² = 36 , halle el área de la región cuadrangular que se obtiene al unir los puntos de intersección de la elipse con el eje “Y” y los focos de la misma.
A) 8√5
B) 2√5
C) 3√3
D) 7√3
E) 4√5
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 :
Dada la elipse de ecuación :
4x²+9y² – 48x+72y+144=0 entonces la suma de la longitud de sus ejes es:
A) 16
B) 20
C) 40
D) 36
E) 18
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Los vértices de una elipse son: V1(3;5), V2(3; – 1), además su excentricidad es 1/3. Halle la longitud del lado recto.
A) 4
B) 2
C) 3
D) 8/3
E) 8/5
Rpta. : "D"
PREGUNTA 8 :
Halle la ecuación de la elipse de de centro (0;0) y de eje mayor 2a sobre el eje X en la que el eje menor, se vea bajo un ángulo que mide 90° desde uno de los focos.
A) x² + 2y² = a²
B) 2y² + x² = a²
C) 4y² + x² = a²
D) x² + 2y² = 2a²
E) 4y² + x² = 2a²
Rpta. : "A"
PREGUNTA 9 :
El punto (3 ;–1) es un extremo del eje menor de una elipse cuyos focos están en la recta y+6=0. La excentricidad es √2/2 Hallar la ecuación de la elipse.
A) x²+2y² – 6x+24y+31=0
B) x² – 2y² – 6x+24y – 30=0
C) x² - y² + 6x – y =0
D) x² + y² – 5x – 12y – 15=0
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Calcular la ecuación de la elipse, cuyo eje mayor mide 26u y los focos son los puntos F1(–10;0) y F2(14;0).
A) 25x² + 169y² – 100x – 4125 = 0
B) 9x² + 169y² +100x – 4225 = 0
C) 16x² + 169y² +100x – 4125 = 0
D) 16x² + 169y² +100x – 4225 = 0
Rpta. : "A"
PREGUNTA 12 :
Un puente está diseñado de tal manera que su base tiene forma de semielipse con una luz de 150m, siendo su máxima altura 45m. Hallar la longitud de dos soportes verticales cuya distancia entre sí y a sus respectivos extremos es la misma.
A) 30√3
B) 30√2
C) 13√3
D) 17√3
E) 24√3
Rpta. : "B"
PREGUNTA 13 :
Determine la distancia de la recta :
4x + 3y – 12 = 0 al foco más cercano de la elipse
9y² + 13x² = 13.
A) 4
B) 2
C) 3
D) 8/3
E) 8/5
Rpta. : "B"
PREGUNTA 14 :
Desde el punto (0;9) se traza una recta tangente a la elipse 2x² + y²=9.
Halle el intercepto de esta recta tangente con la parte positiva del eje X.
A) 14/5
B) 2
C)11/3
D) 8/3
E) 9/4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 15 :
Si la ecuación de una elipse horizontal es nx²+4y²+6x – 8y = 5 y la longitud de su eje mayor es 4, halle el valor de n.
A) 1
B) 4
C) 3
D) 5
E) 2
Rpta. : "C"
PREGUNTA 16 :
Halle el lado recto de la elipse
9x²+4y²–18x+16y–11=0
A) 4/3
B) 10/3
C) 5/3
D) 5/2
E) 8/3
Rpta. : "E"
PREGUNTA 17 :
El arco de un túnel es de forma semielíptica, tiene un ancho en la parte más baja de 48 m y una altura en el centro de 20 m. ¿Qué ancho tiene el túnel a la mitad de su altura?
A) 8√3
B) 10√3
C) 20√3
D) 24√3
E) 18√3
Rpta. : "D"
PREGUNTA 18 :
Un techo de 14 m de altura en el centro de un pasillo de 10 m de ancho tiene la forma de una semielipse, las paredes laterales tienen una altura de 10 m, calcule la altura del techo a 2 m de cualquier pared lateral.
A) 13,2 m
B) 9,7 m
C) 12,4 m
D) 10,3 m
E) 11,6 m
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
El punto medio de una cuerda de la elipse x²+4y²–6x–8y = 3 es el punto (5; 2). Halle la pendiente de la cuerda.
A) 1/2
B) 1/3
C) − 1/2
D) − 1/3
E) − 1/4
Rpta. : "C"
PREGUNTA 20 :
Determine la ecuación de una elipse cuyo centro es el punto (2; 1), la distancia focal es 4 u, la distancia entre sus directrices es 16 u y su eje focal es paralelo al eje de abscisas.
A) 3x²–12x+4y²–8y–16=0
B) 2x²–4x+6y²+12y–18=0
C) 4x²–8x+3y²–12y–16=0
D) 3x²–12x+4y²–8y–32=0
E) 4x²–8x+3y²–12y–32=0
Rpta. : "D"
PREGUNTA 21 :
Los focos de una elipse son los puntos F1= (3; 8) y F2= (3; 2) y la longitud de su eje menor es 8. Halle la excentricidad.
A) 4/5
B) 1/2
C) 3/5
D) 3/4
E) 1/4
Rpta. : "C"
PREGUNTA 22 :
Un techo de 16 m de ancho tiene la forma de una semielipse. ¿Cuál es la altura del techo a 2 m de las paredes laterales si este tiene una altura de 14 m en el centro y de 10 m en las paredes?
A) 12 m
B) 12,32 m
C) 13 m
D) 12,64 m
E) 13,21 m
PREGUNTA 23 :
Desde el foco izquierdo de la elipse de ecuación E : 4x²+9y²=180, se ha dirigido un rayo de luz con un ángulo de inclinación α tal que tanα =–2, llegando el rayo al punto P (x0; y0) ∈E, con y0> 0. Halle la ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado.
A) 2x+11y +10=0
B) 2x+11y–10=0
C) x–y +8=0
D) 2x+ y +10=0
E) 3x+ y +16=0
PREGUNTA 24 :
Un satélite se mueve alrededor de la Tierra describiendo una órbita elíptica, donde la Tierra es un foco y la excentricidad es 1/3. La distancia más grande a la que se aleja el satélite de la Tierra es 900 km. Halle la distancia más corta a la Tierra.
A) 225 km
B) 250 km
C) 450 km
D) 300 km
E) 400 km
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Encuentra la ecuación estándar de una elipse cuyos focos son (– 3;2) y (5;2) y eje mayor de longitud 10.
RESOLUCIÓN :
Por dato:
F1= (–3; 2)
F2= (5; 2)
→ 2c = 5–(–3)
→ c =4
Luego eje mayor =10
2a=10
→ a=5
→ b=3
El centro de la elipse es (1;2)
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es la de la E
Rpta. : "E"
PREGUNTA 2 :
La ecuación de la elipse es
La distancia del centro de la elipse a una cuerda AB paralela al eje mayor y de longitud a es
A) √3b/2
B) √5b/7
C) 3b/2
D) b/2
E) b/4
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
El objetivo será conocer la definición , propiedades y aplicaciones de la Elipse , así como saber resolver problemas afines con ello.
El hombre siempre se ha sentido atraído por los astros y sus movimientos.
Esto, tanto por fines científicos como para conocer el futuro. Tan es así que la astrología es la precursora de la astronomía.
Este interés llevó a los astrónomos y matemáticos a buscar un modelo algebraico que explicara los movimientos de los planetas y el Sol.
Fue así como el alemán Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, donde el Sol no está en el centro sino en uno de sus focos.
La primera ley de Kepler establece que la órbita descrita por cada planeta es una elipse, donde el Sol es uno de los focos.
LA ELIPSE
Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos 𝐹1 𝑦 𝐹2 llamados focos, es constante.
El punto medio del segmento de recta que une a los puntos 𝐹1 𝑦 𝐹2 se llama centro de la elipse.
DEFINICIÓN :
Dados dos puntos fijos F1 y F2 distintos, denominados focos, se define la elipse como el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x;y) tales que la suma de distancias de P a los focos F1 y F2 es igual a una constante convencional 2a. Según la definición, sean F1 y F2 los puntos fijos denominados focos de la elipse y P(x ; y) es un punto cualquiera de la elipse, luego:
ELEMENTOS ASOCIADOS A LA ELIPSE
Centro
Focos
Eje mayor
Eje menor
Vértices de la elipse
Lado recto
Cuerda focal
Directriz
Eje focal
Eje normal
Los ejes Focal y Normal de toda elipse son sus respectivos ejes de simetría.
Radio vector : es el segmento que une el foco con un punto cualquiera de la elipse.
PROPIEDADES BASICAS DE LA ELIPSE ECUACIONES DE LA ELIPSE
Las ecuaciones cartesianas de la elipse para todo punto de coordenadas genéricas (x;y); depende de la ubicación del eje focal respecto a los ejes coordenados.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X :
La ecuación ordinaria cartesiana de la elipse cuyo centro es C(h; k) y con eje focal paralelo al eje X
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL EN EL EJE X (CANONICA ) :
La ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen de coordenadas C(0; 0) y con eje focal en el eje X.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
La ecuación ordinaria de la elipse con centro C(h; k) y con eje focal paralelo al eje Y
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EJE FOCAL EN EL EJE Y (CANÓNICA ) :
La ecuación cartesiana de la elipse con centro en el origen de coordenadas C(0; 0) y con eje focal en el eje Y
ECUACIÓN GENERAL DE UNA ELIPSE
La ecuación general de una elipse resulta del desarrollo de la forma ordinaria.
Generalizando: Para que sea una elipse deben ser de igual signo
La ecuación general de la elipse Ax²+Cy²+Dx+Ey +F=0 se puede reducir a la forma ordinaria de la elipse .
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
I) Si N>0 , se trata de una elipse ordinaria horizontal o vertical .
II) Si N=0, la ecuación (I) es un punto de coordenadas:
III) Si N<0; la ecuación (I) representa un conjunto vacío .
TANGENTES A UNA ELIPSE
Usaremos el método del discriminante que sirve para resolver problemas sobre tangente a cualquier cónica , es un método general.
PROCEDIMIENTO :
i)A una de las ecuaciones le debe faltar 1 dato.
ii) Intersectar : elipse∩Tangente.
iii) A la ecuación que resulta de la intersección , le aplicaremos el discriminante : b² – 4ac=0
iv) Al aplicar el discriminante, hallaremos el valor que deseamos encontrar .
La elipse es una ecuación de segundo grado , como lo es ax²+bx+c=0 .
USANDO UNA PROPIEDAD :
Esta propiedad cumple para todo tipo de elipse , sea canónica u ordinaria .
El producto de la distancia de los focos de una elipse a una misma recta tangente es igual a b².
ECUACIÓN DEL DIÁMETRO DE UNA ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos medios de cualquier sistema de cuerdas paralelas.
DIÁMETROS CONJUGADOS
Sean dos diámetros tales que si cada uno de ellos biseca a las cuerdas paralelas del otro , se les llama diámetros conjugados.
CUERDA DE CONTACTO
Si desde un punto exterior P1 trazan tangentes a una elipse, el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama CUERDA DE CONTACTO de P1 para dicha elipse.
PROPIEDAD INTRÍSENCA DE LA ELIPSE
Es obvio que hasta ahora se ha considerado elipses que están en posiciones ordinarias en particular sus ecuaciones carecen del término xy.
Si una elipse está en su forma canónica entonces nos permite notar la siguiente relación :
Es decir la misma que sea la posición de sus ejes mayor y menor .
Esta propiedad intríseca describe la forma de la elipse sin referirse a los ejes coordenados y por consiguiente, se puede emplear para hallar la ecuación del eje focal sea la recta y la del eje menor la recta
OBSERVACIÓNES :
La excentricidad e es un parámetro que determina el grado de desviación de una seción cónica con respecto a una circunferencia .
La excentricidad de una elipse puede entenderse como la medida de su aplastamiento o cómo se aleja de la circularidad.
• Cuando la excentricidad de la elipse tiende a cero , la elipse tiende a ser una circunferencia.
• Si dos elipses tienen la misma excentricidad , las longitudes de sus semiejes mayor y menor son proporcionales
PROPIEDADES SOBRE ELIPSES
PROPIEDAD 1 :
La recta tangente a una elipse es bisectriz del ángulo formado por el radio vector del punto de contacto y la prolongación del punto.
CONSECUENCIAS :
La tangente a una elipse en el punto P forma ángulos iguales con los radios focales de ese punto .
PROPIEDAD 2 :
El producto de las de las distancias de los focos a una recta tangente de la elipse es constante e igual al cuadrado del semieje menor .
PROPIEDAD 3 :
Si desde un punto exterior se trazan rectas tangentes a una elipse , el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto.
PROPIEDAD 4 :
Si P(x1;y1) es un punto de tangencia de una elipse canónica , entonces con respecto a la ecuación de la recta tangente .
PROPIEDAD 5 :
Si la recta tangente a una elipse , tiene pendiente m , entonces con respecto a la ecuación de la recta tangente
PROPIEDAD 6 :
En toda elipse de eje horizontal , las tangentes en los extremos de los lados rectos tienen pendientes que son numéricamente iguales a la excentricidad
