LUGAR GEOMÉTRICO EJERCICIOS RESUELTOS PDF
ECUACIÓN DE UN LUGAR GEOMÉTRICO – GRÁFICAS DE ECUACIONES EN GEOMETRÍA ANALÍTICA
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición que sólo pueden cumplir ellos.
Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos.
• La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo.
• La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.
• La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas.
• El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de dos puntos dados, es la mediatriz del segmento que los une.
• El lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a distancia fija de una recta, es un conjunto formado por dos rectas paralelas a la recta dada.
• El lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto dado es una circunferencia que tiene por centro al punto dado y por radio a la distancia dada.
• El lugar geométrico de los extremos de segmentos tangentes de la misma longitud a una circunferencia es otra circunferencia concéntrica a la primera.
• El lugar geométrico de los puntos cuyo par de tangentes comunes a una circunferencia forman el mismo ángulo es una circunferencia concéntrica a la primera.
• El lugar geométrico de los centros de todas las circunferencias de radio dado, tangentes a una circunferencia dada, está formado por dos circunferencias concéntricas a la circunferencia dada, cuyos radios son la suma y la diferencia de los radios dados.
• El lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia dada de una recta dada esta formado por dos rectas, paralelas a la recta dada y situadas a la distancia dada de ellas.
• El lugar geométrico de todos los triángulos equivalentes con la misma base es una recta paralela a esa base; lo mismo para los triángulos con la misma altura.
• El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos puntos dados es una recta perpendicular a la recta que une los dos puntos y pasa por su punto medio.
• El lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de dos rectas dadas está formado por dos rectas perpendiculares entre sí que bisecan los ángulos comprendidos entre las dos rectas dadas.
• El lugar geométrico de todos los puntos tales que las rectas que lo unen con los extremos de un segmento dado comprenden un ángulo dado, es un arco de circunferencia que tiene por cuerda al segmento dado.
Se le llama arco capaz del ángulo dado y se dice que que el segmento se ve desde todos puntos del arco bajo un ángulo dado.
GUIA DE CLASE
PROBLEMA 1 :
Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto fijo F(2;3) y del eje X.
PROBLEMA 2 :
Un punto se mueve de tal manera que su distancia al origen es siempre igual a 3. Hallar la ecuación de su lugar geométrico .
PROBLEMA 3 :
Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y disminuida en 5 es igual al doble de su distancia del eje x . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
PROBLEMA 4 :
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P = (x;y) equidistantes de A=(2;2) y B (6;–8).
PROBLEMA 5 :
Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P=(x;y) cuya distancia a la recta L:y+4=0 sea igual a dos tercios de su distancia al punto (3;2)
PROBLEMA 6 :
Hallar la ecuación del lugar geométrico cuyos simétricos respecto del origen forman la gráfica de la ecuación : xy² – 2x²y + y = 3
PROBLEMA 7 :
Un segmento rectilíneo de longitud 6 se mueve de tal manera que uno de sus extremos permanece siempre en el eje x y el otro extremo en el eje y ; hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio de dicho segmentos.
PROBLEMA 8 :
Dado los puntos a =(0;–2),B=(0;4) y c=(0;0) hallar la ecuación del lugar geométrico (L.G.) de los puntos P=(x;y) tales que el producto de las pendientes de PA y PB sea igual a la pendiente de PC .
PROBLEMA 9 :
Hallar el lugar geométrico del punto P(x;y) que se mueve de tal manera que la pendiente de la recta que lo une con (0;2) es 1/2 de la pendiente de la recta que lo une con (1;1).
PROBLEMA 10 :
Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A=(0;0) y B=(3;0). Hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto C si este se mueve de tal manera que el ángulo en la base CAB es siempre igual al doble del ángulo en la base CBA.
PROBLEMA 11 :
La base de un triángulo es AB en donde A( – 5;0) y B(5;0). Hallar el lugar geométrico del tercer vértice C , si la suma de los ángulos de la base es de 45°, sabiendo que C está el primer cuadrante.
PROBLEMA 12 :
Encontrar el lugar geométrico de un punto que sea en todo momento equidistante de los extremos del segmento AB , A(–1;4) y B(2;2)
PROBLEMA 13 :
Dado los puntos A(–6;0),B(–2;0),C(4;0) .Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos desde los cuales los segmentos AB y BC se ven bajo el mismo ángulo .
PROBLEMA 14 :
Halle el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a los puntos (3;4) y (–3;–4) es igual a 2√26
PROBLEMA 15 :
Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe un punto P situado en el primer cuadrante, desde el cual se ve el segmento AB bajo un ángulo de 45° , siendo A (– 3; 4) y B(3; 8).
PROBLEMA 16 :
Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² =9, con centro en el origen y radio igual a 3. Un punto P de la circunferencia se une con los extremos de un diámetro cualquiera .
Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por el baricentro del triángulo formado.
SOLUCIONARIO
ECUACION DE UN LUGAR GEOMÉTRICO (L.G.)
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma: f(x;y)=0
Cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas las coordenadas de aquellos puntos ,que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.
El procedimiento para determinar la ecuación del lugar geométrico es el siguiente :
I) Se toma un punto genérico P(x;y) del plano que satisface la condición o condiciones dadas del lugar geométrico (L.G.).
II) Mediante esta condición o condiciones , se debe expresar analíticamente la expresión del lugar geométrico en las variables x e y .
CRITERIOS PARA GRAFICAR ECUACIONES DE L.G.
Cuando se tiene que graficar una ecuación en dos variables x , y , es conveniente tener en cuenta ciertas consideraciones o criterios preliminares:
INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS
Se ubican los puntos en los que la gráfica debe intersectar a los ejes , para lo cual si se desea encontrar los interceptos con el eje Y, se hace x=0 en la ecuación y se despejan los valores reales de y correspondientes ; y para hallar los interceptos con el eje X , se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran todos los posibles valores reales de x correspondientes .
EJEMPLO :
En la ecuación 4x² + 9(y– 2)² = 36
Si x = 0: 9(y – 2)² = 36
⇒ y = 0 ∨ y = 4 y se dice que 0 y 4 son los interceptos con el eje Y ;
y si y = 0: 4x² = 0 ⇒ x = 0, y se dice que 0 es el único intercepto con el eje X.
EXTENSIÓN :
Con esto se quiere indicar un previo análisis de la ecuación para encontrar los intervalos en los cuales las variables x , y toman valores reales ..
EJEMPLO :
En la ecuación : 4x² + 9(y – 2)² = 36
SIMETRÍA DE UNA CURVA CON RESPECTO AL EJE X :
Si la ecuación de una curva no varía cuando se sustituye y por –y entonces se dice , que la curva es simétrica con respecto al eje X, pues ello indicará que los puntos (x;y) y (x;–y) pertenecen a la gráfica y tienen como eje de simetría al eje X .
SIMETRÍA CON RESPECTO AL EJE Y :
Si la ecuación no varía cuando se sustituye x por –x entonces la curva es simétrica con respecto al eje Y , pues ello indicará que los puntos (x;y) y (–x;y) pertenecen a la gráfica y tendrá como eje de simetría al eje Y.
SIMETRÍA CON RESPECTO AL ORIGEN :
Si la ecuación no varía cuando se sustituye simultáneamente x por –x , y y por –y entonces la curva es simétrica con respecto al origen , pues ello indicará que los puntos (x;y) y (–x;–y) pertenecen a la gráfica y tendrán como centro de simetría al origen
ASÍNTOTAS :
Si para una curva se encuentran una recta L tal que la distancia de un punto de la curva a la recta L va disminuyendo tendiendo a cero conforme el punto se aleja ilimitadamente del origen entonces dicha recta se llama ASÍNTOTA de la curva.
Consideraremos por ahora solamente asíntotas que sean horizontales o verticales.
EJEMPLO :
Dada la ecuación : xy – x– y = 0
REGLA PARA HALLAR ASÍNTOTAS POSIBLES:
I) Para las asíntotas verticales se despeja y en función de “x” y se igualan a cero los factores lineales del denominador y si es que no se obtiene para tales valores x la expresión 0/0 , entonces dichas ecuaciones corresponderán a las asíntotas verticales.
II) Para las asíntotas horizontales se despeja x en términos de y , se igualan a cero los factores lineales del denominador (si existiera, claro está ) y se procede como en (I).
CONSTRUCCIÓN DE LA CURVA
Habiéndose determinado algunos detalles de la curva con los criterios anteriores se tabulan algunos puntos .
EJEMPLO :
graficar la ecuación : 4x² + 9y²= 36
ECUACIONES FACTORIZABLES
Son aquellas que pueden expresarse como producto de dos o más factores igualados a cero , como: x² – (y –1)² =0
Para determinar el lugar geométrico donde el enunciado del problema nos diga L.G. de tal punto ; en ese punto, pondremos las coordenadas (x;y).
A cualquier otro punto que aparezca en el problema le pondremos cualquier coordenada pero nunca (x;y) ya que (x;y) es solo para el L.G.