LA PARÁBOLA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CANÓNICA GENERAL ORDINARIA APLICACIONES GEOMETRÍA ANALÍTICA
PRIMERA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Hallar la ecuación de una parábola con vértice (2;1) y foco (2;4). Determinar también la longitud de su lado recto.
A) 12
B) 20
C) 32
D) 4
E) 52
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas y directriz de la recta y – 5=0
A) x² = – 5y
B) x² = – 10y
C) x² = – 20y
D) x² = – 3y
E) x² = – 9y
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
Hallar la ecuación de la recta directriz de la parábola :
y² + 8x – 4y – 28 = 0
A) x =– 6
B) x = 4
C) x = – 8
D) x = 8
E) x=2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
Halle la ecuación de la parábola de vértice (6; – 2) y foco (1; – 2)
A) (y + 2)²= 16(x – 6)
B) (y – 2)²= 12(x – 6)
C) (y + 2)²=–20(x – 6)
D) (y – 2)²= 20(x+ 4)
E) (y + 2)²= 12(x – 6)
Rpta. : "C"
PREGUNTA 5 :
El foco de una parábola es el punto A(4;0) y un punto sobre la parábola es el punto P(2;2); entonces la distancia del punto P a la recta directriz de la parábola es :
A) √2
B) 2√3
C) 2√2
D) 4
E) 5√2
Rpta. : "C"
PREGUNTA 6 :
Calcule el radio focal del punto M de la parábola y²=20x si la abscisa del punto M es igual a 7.
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Rpta. : "C"
PREGUNTA 7 :
Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica. Cuando el nivel de agua alcanza una altura de 18 m, su ancho mide 24 m. Si el nivel de agua desciende 10 m, determine el nuevo ancho del nivel de agua.
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 :
En una parábola , su foco es (12;0) y la directriz es perpendicular al eje x e intercepta al eje x en (8;0), entonces la ecuación de la parábola es :
A) y² = 18(x – 10)
B) y² = 20(x – 10)
C) y²=6(x+10)
D) y² = 8(x – 10)
E) y² = 10(x – 8)
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Una parábola pasa por los puntos A(0; 0), B(8; –4) y C(3; 1). Si el eje focal es paralelo al eje de abscisas, obtenga el lado recto de la parábola.
A) 1
B) 2
C) 4
D) 1/2
E) 1/4
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Dada la ecuación de la parábola :
y²– 4y – 8x+44=0, entonces la suma de las coordenadas del foco de la parábola es
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Rpta. : "C"
PREGUNTA 11 :
Si la ecuación de la recta :
3x–4y–5= 0 es la directriz de la parábola, y el punto más cercano de la parábola a la recta es Q(4; 4), calcule la longitud de su lado recto.
A) 5,2
B) 6,2
C) 7,2
D) 4,8
E) 6,4
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Un depósito de agua tiene sección transversal parabólica, cuando el nivel del agua alcanza una altura de 10u su ancho mide 20u; cuando el nivel del agua desciende hasta la mitad, su nuevo ancho del nivel es:
A) 6√2
B) 6√3
C) 8√2
D) 4
E) 10√2
Rpta. : "E"
PREGUNTA 13 :
Una parábola cuyo vértice es (2;1) y su foco tiene como coordenadas el punto (5;1), halle la ecuación de la parábola.
A) 12x + y² + 2y = 0
B) 12x – y² + 2y – 25=0
C) 12x + x² + 2y + 61 = 0
D) 12x – y² + 2y – 61 = 0
E) 12x + 2y² + 2y – 61 = 0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 14 :
Dada la circunferencia cuyo diámetro es el lado recto de una parábola P que se extiende hacia el semieje negativo X , halle la ecuación de P .
A) y² 6y 8x 23=0
B) y² 6y+8x 23=0
C) y² 6x 8x+23=0
D) y²+6y 8x+23=0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 15 :
Una parábola pasa por P(4; – 2) y Q( – 2;4).
La recta tangente L:y+4=0 pasa por el vértice V de la parábola. Halle la ecuación de la parábola.
A) (x + 2)² = 2(y + 4)
B) (x – 2)² = 2(y + 4)
C) (x+ 2)² = 2(y – 4)
D) (x – 10)² = 18(y+ 4)
Rpta. : "B"
PREGUNTA 16 :
Un espejo parabólico tiene una profundidad de 35 cm en el centro y en el diámetro su parte superior es 66 cm. Calcule la distancia aproximada del vértice al foco.
A) 6,08
B) 6,58
C) 7,18
D) 7,78
E) 9,68
Rpta. : "D"
PREGUNTA 17 :
Se lanza una piedra , siendo su trayectoria una parábola. La máxima altura que alcanza la piedra es 8 metros y cae 32 metros más allá del punto en que se lanzó la piedra . Hallar la altura que alcanzó la piedra 24 metros más alla del punto en que fué lanzada.
A) 8m
B) 10m
C) 12m
D) 9m
E) 6m
Rpta. : "E"
PREGUNTA 18 :
Consideremos el punto Q(–2; –4), punto medio de una cuerda correspondiente a una parábola de ecuación y²+6x+10y +19= 0. Halle la ecuación de la recta que contiene a la cuerda.
A) 3x+ y +10=0
B) 3x–y +10=0
C) 3x–2y +10=0
D) 3x+2y +10=0
E) x+ y +10=0
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
La recta 2x – y – 13=0 contiene a los puntos P=(13;b) y Q=(4;a), los cuales pertenecen a una parábola cuyo vértice es V=(h;1); su eje focal es paralelo al eje x y su parámetro es p . Calcule a+b+h+p .
A) 10
B) 9
C) 16
D) 13
E) 12
Rpta. : "E"
PREGUNTA 20 :
Sea P : y² = 8x la ecuación de una parábola , halle la ecuación de la recta tangente a P y paralela a la recta 2x + 2y – 3 = 0
A) x +y + 1 = 0
B) x + y + 2 = 0
C) x + y – 2 = 0
D) x + y – 3 = 0
E) x + y + 5 = 0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 21 :
El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m del piso describe una curva parabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se observa que se ha alejado 10 m de la recta vertical que pasa por el grifo, calcule a qué distancia de esta recta vertical tocará el agua el suelo.
A) 25 m
B) 27 m
C) 30 m
D) 35 m
E) 40 m
Rpta. : "A"
PREGUNTA 22 :
Se tiene una parábola cuyo vértice es (0;0). Sea P un punto de la parábola y F su foco. M es un punto de la directriz PM es tangente a la curva. Halle la medida del ángulo MFP.
A) 45°
B) 60°
C) 75°
D) 90°
E) 120°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 23 :
Si el foco de una parábola está ubicado en F( – 5; – 1) y su directriz x + y – 2=0
Además la ecuación de la parábola es :
ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0
Halle a + b + c
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rpta. : "A"
PREGUNTA 24 :
Una pelota describe una curva parabólica alrededor de un punto F (foco de la parábola). Cuando la pelota está a 10 m del punto F, el segmento de recta de F a la pelota hace un ángulo de π/3 rad con el eje de la parábola. Calcule la ecuación de la parábola.
A) y²=5x
B) y²=10x
C) y²=15x
D) y²=3x
E) y²=20x
Rpta. : "B"
PREGUNTA 25 :
Sea la parábola P : y² – 12x+2y+1=0. Halle el área de la región triangular que forman los ejes de coordenadas con la recta tangente a dicha parábola , la cual es paralela a L1:
3x – 2y + 32 = 0
A) 1/2
B) 1/3
C) 2/3
D) 3/5
E) 4/9
Rpta. : "B"
PREGUNTA 26 :
Halle la ecuación de la recta tangente a la parábola y²=12x que es paralela a la recta 3x – 2y + 30 = 0
A) 3x – 2y + 5 = 0
B) 2x – 3y – 10 = 0
C) 3x – 2y + 4 = 0
D) 2y – 3x + 30 = 0
Rpta. : "C"
PREGUNTA 27 :
Se tiene una parábola P de ecuación y=x². Desde un punto fijo A(1;0) se trazan segmentos a un punto P de la parábola. Halle la ecuación del lugar geométrico respectivamente que describen los puntos medios de los segmentos AP cuando P se mueve a lo largo de la parábola P .
A) y = (x – 1)²
B) 2y = (2x – 1)²
C) y = (2x + 1)
D) 2x = (2y – 1)
E) x = (y + 1)²
Rpta. : "B"
PREGUNTA 28 :
Halle el lugar geométrico de un punto P(x; y) que se mueve en el plano XY, de tal forma que la suma del cuadrado de su distancia al punto A(–1; 0) y el doble del cuadrado de su distancia al punto fijo B(2; 3) es igual a 30.
A) (x–1)²+ y²=6
B) (x–1)²+ (y–2)²=6
C) (x+ 1)²+ y²=6
D) x²+ y²=6
E) (x–2)²+ y²=6
Rpta. : "B"
PREGUNTA 29 :
La circunferencia con centro en el punto (4;–1) pasa por el foco de la parábola x² + 16y=0 y es tangente a la directriz de esta parábola. Calcular la suma de las coordenadas del punto de tangencia.
A) 8
B) 6
C) 10
D) 4
E) 12
Rpta. : "A"
PREGUNTA 30 :
Se tiene la parábola :
y² – nx–10y+41=0
Si se sabe que el foco es F(5; 5) y que n es un número positivo menor que 7; hallar el valor de n y la longitud del lado recto.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 31 :
El vértice de una parábola es V(2; –3) y pasa por el punto A(4; –1). Si el eje focal es la recta de la ecuación x–2= 0, determine la ecuación de la parábola.
A) (x–1)²= 4(y + 3)
B) (x–2)²= 2(y + 3)
C) (x–2)²= 4(y + 3)
D) (x+ 2)²= 4(y + 3)
E) (x+ 2)²= 2(y + 3)
Rpta. : "B"
PREGUNTA 32 :
Si el centro de la circunferencia y representada por
x² + y² – 2x – 4y – 15=0 , es el vértice de la parábola cuyo foco es F(3; a). Halle la ecuación de su directriz, si .
A) 2x+y+3=0
B) x+2y – 3=0
C) x+2y+3=0
D) 2x-y+5=0
E) x+2y+5=0
Rpta. : "E"
PREGUNTA 33 :
La entrada de una iglesia tiene forma parabólica de 9m de alto y 12m de base. Toda la parte superior es una ventana de vidrio cuya base es paralela al piso y mide 8m. ¿Cuál es la altura de la ventana?.
A) 2,5
B) 3
C) 4
D) 4,5
E) 5
Rpta. : "E"
PREGUNTA 34 :
El techo de un pasillo de 8 m de ancho tiene la forma de una parábola, con 10 m de altura en el centro y 6 m de altura en las paredes laterales. Calcule la altura del techo a 2 m de una de las paredes.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
PREGUNTA 35 :
Determine la ecuación de la parábola cuyo eje focal es paralelo al eje de abscisas y pasa por los puntos (0; 0), (8; – 4) y (3; 1).
A) y² – x+2y =0
B) y²+2x+ y =0
C) y² – x – 2y =0
D) y² – 2x+2=0
E) y² – 8x+1=0
PREGUNTA 36 :
El eje de una parábola es paralelo al eje X, la longitud de su lado recto es 12, el foco es (4; 10) y se abre hacia la izquierda. Halle su ecuación.
A) (y – 10)²= 16(x+ 7)
B) (y – 10)²=– 12(x – 7)
C) (y – 10)²= 12(x – 7)
D) (y – 10)²=– 16(x – 7)
E) (y – 10)²=– 20(x – 7)
PREGUNTA 37 :
El lado recto de una parábola tiene por longitud 4 u. Además el punto M(–1; –2) pertenece a la parábola, cuyo eje focal es paralelo al eje X. Se sabe que su vértice de ordenada positiva pertenece a la recta de la ecuación x=3.
Determine la ecuación de la parábola.
A) (y + 2)²=–4(x–3)
B) (y–2)²=–4(x–3)
C) (y + 2)²=–2(x–3)
D) (y–2)²=–2(x–3)
E) (y–2)²=–8(x–3)
PREGUNTA 38 :
El punto A(–2; 4) pertenece a una parábola, tiene su vértice en el origen de coordenadas y su eje focal es coincidente con el eje X. Calcule la ecuación de la parábola.
A) y²=–8x
B) y²=–4x
C) y²=–16x
D) y²=–x
E) 2y²=–x
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
En la figura se representa un pozo de agua que tiene forma parabólica, donde A(8 ; y) , B(12 ; 0), C( – 12 ; 0) y el vértice de la parábola V(0 ;– 18).
Halle el valor de y.
A) – 8
B) – 12
C) – 9
D) – 10
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
La recta ℒ : x – 2y + 4 = 0 interseca a la parábola P: y²=4px en el punto (a ;4).
Calcule la distancia del foco de P a la recta ℒ.
A) 3 u
B)√5 u
C) 2 u
D) 2√5 u
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Sea el triángulo AVB, donde A y B son los puntos de intersección de la recta
ℒ : 3x – 2y – 24= 0 con la parábola
ℙ : y²=9x, y V es el vértice de la parábola.
La suma de los dígitos del número que representa el área del triángulo es:
A) 15
B) 9
C) 12
D) 8
E) 7
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
SEGUNDA GUÍA
PROBLEMA 1 :
Dada la parábola de ecuación
y²–6y–8x+17= 0, calcule la suma de las coordenadas del foco.
A) 2
B) 4
C) 6
D) 7
E) 8
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12 cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32 m. Calcule la distancia del vértice al foco.
A) 16/3 cm
B) 8/3 cm
C) 14/3 cm
D) 8 cm
E) 5 cm
Rpta. : "A"
PROBLEMA 3 :
¿Cuál es el mayor valor de r para que las coordenadas del foco de la parábola de ecuación x²+4x–4ry–8=0 sumen cero?
A) –1
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
Rpta. : "E"
PROBLEMA 4 :
Determine el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano cartesiano que equidistan del punto P(2; 6) y de la recta y = 2.
A) (x–2)²=–8(y–4)
B) (x–2)²= 8(y–4)
C) (x+ 2)²= 8(y + 4)
D) (x+ 2)²=–8(y + 4)
E) (x–2)²= 8(y–2)
Rpta. : "B"
PROBLEMA 5 :
El foco de una parábola es F(–6; 10) y la recta directriz es L : x–y +12= 0. Calcule la longitud del lado recto.
A) √2
B) 2√2
C) 4√2
D) 2
E) 4
Rpta. : "C"
PROBLEMA 6 :
Calcule el área de la región triangular cuyos vértices son los extremos del lado recto y el vértice de la parábola cuya ecuación es y²–4y–4x+8=0
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Rpta. : "E"
PROBLEMA 7 :
Calcule la suma de los valores de m, de modo que la recta y =mx es tangente a la parábola
(y–1)²= 4(x–2)
A) 4/3
B) 1
C) 1/2
D) − 1/2
E) –1
Rpta. : "C"
PROBLEMA 8 :
Un arco parabólico tiene 24 m de altura y 24 m de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿a qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de 12 m?
A) 12 m
B) 10 m
C) 18 m
D) 16 m
E) 9 m
Rpta. : "C"
PROBLEMA 9 :
Determine la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0; 0) y su foco es el punto (–1; 1).
A) x²–2xy + y²+4x–4y =0
B) x²–2xy + y²+8x–8y =0
C) x²+2xy + y²–8x–8y =0
D) x²+2xy + y²+8x–8y =0
E) x²+2xy + y²+8x+8y =0
Rpta. : "D"
PROBLEMA 10 :
Sea la parábola x²=20y, se traza la cuerda MN que contiene al punto A(1; 4), tal que AM=AN. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos M y N.
A) x–y +3=0
B) 2x–y +2=0
C) x–3y +13=0
D) x–10y +39=0
E) x–3y +11=0
Rpta. : "D"
PROBLEMA 11 :
Halle el lado recto de la parábola horizontal con vértice en el origen de coordenadas, que pasa por el punto de intersección de la recta 4x–3y–23=0 y la circunferencia con centro (–2; –2) y radio 5.
A) 25/4
B) 25/2
C) 15/2
D) 15/4
E) 4/5
Rpta. : "B"
PROBLEMA 12 :
Se tiene una parábola cuya directriz es la recta L : y –1= 0 y tiene por foco a F(– 3; 7). Si la ecuación de dicha parábola es x²+Mx+Ny+57= 0, calcule M+N.
A) 6
B) 12
C) 0
D) –12
E) – 6
Rpta. : "E"
PROBLEMA 13 :
¿En qué punto de la parábola de ecuación y²=x –1 se cumple que la distancia a la recta
y =0,5x + 3 es mínima?
A) (2; 1)
B) (2; 3)
C) (1; 2)
D) (1; 3)
E) (3; 1)
Rpta. : "A"
PROBLEMA 14 :
Dada la directriz 2x – y +1=0 de una parábola, se sabe que la ecuación vectorial
ℒ: (x; y) = (5; 6) +T(1; 2), T ∈ ℝ, es la recta tangente en el vértice V de la parábola; además, la parábola pasa por el punto (7; 5). Halle la longitud de su lado recto.
A) 4 5
B) 5
C) 2 5
D) 5 5
E) 3 5
Rpta. : "A"
PROBLEMA 15 :
Sean las ecuaciones
y =x²–3x+4 ∧ y =mx+3
Determine los valores reales de m para que nunca se intersequen.
A) 〈–5; –1〉
B) 〈–5; 1〉
C) 〈1; 5〉
D) [–5; – 1]
E) ℝ\〈–5; –1〉
Rpta. : "A"
PROBLEMA 16 :
Si desde el punto P(0; 2) se trazan las rectas tangentes a la parábola (y –1)²=8(x – 2). Determine la suma de las pendientes de dichas rectas tangentes.
A) –1
B) 1/4
C) –1/2
D) 1
E) 1/2
Rpta. : "C"
PROBLEMA 17 :
Sea ABCD un rectángulo donde B(–1; 7) y C(7; 7). Calcule la ecuación de la parábola cuyo lado recto es AD y su directriz contiene al lado BC. Dé como respuesta una de las ecuaciones.
A) (x–3)²=–8(y–5)
B) (x–3)²= 8(y–5)
C) (x–5)²=–8(y–3)
D) (x–5)²= 8(y–3)
E) (x–3)²=–4(y–9)
PROBLEMA 18 :
Dos postes de alumbrado público, ubicados en bordes opuestos de una avenida distantes 8 m entre si y con 10 m de altura cada uno, sostienen en sus extremos superiores un cable que forma un arco parabólico, cuya proyección en el suelo es perpendicular a los bordes de la avenida. A 1 m de la base de cada poste, el cable está a 7 m del suelo. ¿Cuánto dista de la avenida el punto más bajo del cable?
A) 22/7 m
B) 2 m
C) 3 m
D) 23/4 m
E) 25/2 m
PROBLEMA 19 :
Halle la ecuación de la recta con pendiente m= 3 que pasa por el foco de la parábola x²+4x–6y +16=0
A) 3x–y +19=0
B) 3x–y +1=0
C) 6x–2y +19=0
D) 9x–3y–19=0
E) 6x–2y–19=0
PROBLEMA 20 :
Dada la parábola cuya ecuación cartesiana es ( y + 4)( y – 4) = 8(x – 2), determine la ecuación de la cuerda focal de pendiente positiva, cuya longitud sea 5 veces el lado recto.
A) x – 2y –1=0
B) x – y – 2=0
C) 3x – 2y – 2=0
D) x – 2y – 2=0
E) 2x – y – 2=0
PROBLEMA 21 :
Si x²+Dx+Ey+F= 0 es la parábola que pasa por los puntos A(2; –1), B(4; 0) y C(5; 3), calcule D+E+F.
A) 1
B) 2
C) 3
D) –1
E) –2
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar, comprobar y graficar las ecuaciones de la parábola así como sus aplicaciones en el análisis matemático.
• Contextualizar la parábola en el ámbito cotidiano y en la ingeniería.
• Aplicar la teoría en los diversos problemas
Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana.
Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis.
En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica.
Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal “x” la altura “y” alcanzada por la pelota.
La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual.
Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite.
Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo.
Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los coches.
LA PARÁBOLA
Una parábola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de una línea particular (la directriz) Y un punto particular ( foco) en el plano.
LA PARABOLA
Dada la recta fija ℒ , denominada directriz y un punto fijo F, denominado foco, que no pertenece a dicha recta, se define la parábola como el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x ; y) que equidistan del foco F y la recta ℒ .
ELEMENTOS ASOCIADOS A LA PARÁBOLA
Foco
Directriz
Eje focal
Vértice : V(h ; k)
Lado recto
Parámetro : p
Cuerda focal
Cuerda
VÉRTICE
Es el punto donde se intersecta la parábola con el eje de simetría.
FOCO (F)
Es el punto sobre el eje de simetría a unidades del vértice.
EJE DE SIMETRÍA
Es una recta que pasa por el foco , por el vértice y es perpendicular a la directriz.
DIRECTRIZ
Es una recta perpendicular al eje de simetría y que está a unidades del vértice opuesto al foco.
CUERDA
Es un segmento que une dos puntos de la cuerda
CUERDA FOCAL
Es una cuerda que pasa por el foco .
LADO RECTO
Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría .
RADIO VECTOR
Es un segmento que une el foco con un punto de la parábola
EJERCICIO 1 :
¿Qué ecuaciones de las expuestas a continuación determinan una parábola , una recta horizontal , una recta vertical , dos rectas horizontales ,rectas verticales, el conjunto vacío? de ser una parábola determinar p y el vértice.
A) x² – 4x + 8y + 28=0
B) y² – 8y + 7=0
C) x² – 2x + 5 = 0
D) x² + 4x – 21=0
E) y² + 8y + 16 =0
F) x² – 6x + 9=0
G) y² + 6y – 2x +11=0
EJERCICIO 2 :
Hallar la ecuación de la parábola:
i) Con vértice (2; 5) y foco (2; –3)
ii) Con vértice en (5; 2) y foco (7; 2)
iii) Con recta directriz ℒ : y = 5 y foco (7; –2)
iv) Con recta directriz ℒ : x = –2 y vértice en (5; –1)
v) Con vértice (2 ; 6) y extremos del lado recto: (6; 8) y (–2; 8)
PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA PARÁBOLA
Vamos a suponer que se gira una parábola sobre su eje de simetría , el resultado es una superficie llamada paraboloide de revolución .
Si una fuente emisora de luz se coloca en el foco de un espejo que tiene la forma de un paraboloide de revolución, todos los rayos de luz que emanen de esta fuente se reflejarán en el espejo siguiendo líneas paralelas al eje de simetría.
Esta propiedad se utiliza en los reflectores, faros buscadores, lámparas y otros dispositivos. De manera contraria , supongamos que de una fuente lejana emanan rayos de luz u otras señales prácticamente paralelos entre sí.
Si estos rayos de luz u otras señales tocan la superficie de un espejo parabólico , cuyo eje de simetría es paralelo a ellos , se reflejarán hacia un solo punto que es el foco de la parábola .
Esta propiedad se utiliza en los espejos usados en telescopios, lupas, antenas parabólicas, algunos dispositivos solares y otros dispositivos .
OTRAS APLICACIONES DE LA PARÁBOLA
I) El cable de un puente colgante adquiere la forma de una parábola.
II) Todo cuerpo que es lanzado con una velocidad determinada formando con la horizontal un ángulo diferente de 90° , describe un movimiento parabólico.
Si un avión vuela horizontalmente y abandona un proyectil (bomba); la trayectoria que describe la bomba con respecto a un punto fijo en la tierra , es una parábola .
* Los cometas periódicos tienen como trayectorias elipses muy alargados . aquellos cometas cuya vuelta al sistema solar no está demostrada al parecer describen una parábola o una hipérbola .
* Si un recipiente cilíndrico , parcialmente lleno de líquido , gira alrededor de su eje , todo el líquido adquiere un movimiento de rotación y en su interior se forma una superficie ahuecada cuyo perfil es una parábola .
PROPIEDAD INTRINSECA DE LA PARÁBOLA
La relación que existe en una parábola en su forma canónica entre la distancia que separa un punto de la parábola de su eje y la distancia que separa el mismo de la tangente en el vértice es el mismo
TEOREMAS SOBRE PARÁBOLAS
TEOREMA 1 :
La recta tangente a la parábola en un punto de ella es bisectriz del ángulo formado por el radio vector de ese punto y por la paralela al eje trazado por dicho punto.
CONSECUENCIA :
La tangente a la parábola forma ángulos iguales con el radio focal del punto de contacto y la recta que pasa por el punto de contacto y es paralela al eje de la parábola
TEOREMA 2 :
La normal a la parábola en cualquier punto P de la parábola forma ángulos iguales con el radio focal y la recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola
CUERDA DE CONTACTOS DE LA PARÁBOLA
Si desde un punto exterior se trazan tangentes a una parábola , el segmento de recta que une los puntos de contacto se llama cuerda de contacto y su ecuación es la cuerda de contacto de cualquier punto de la directriz de una parábola pasa por su foco.
TEOREMA 3 :
El segmento de recta tangente a la parábola comprendido entre el punto de tangencia y el punto de intersección con el eje de la parábola se divide por la mitad por la recta tangente trazada en el vértice de la parábola.
DIÁMETRO DE UNA PARÁBOLA
Dada una familia de cuerdas paralelas de una parábola , se llama diámetro de la parábola relativa a la familia de cuerdas , al lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas paralelas
TANGENTES A UNA PARÁBOLA
Usaremos el método del discriminante que sirve para resolver problemas sobre tangente a cualquier cónica , es un método general.
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Las diversas formas de la ecuación cartesiana de una parábola dependen de la ubicación del eje focal con respecto a los ejes coordenados.
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y
La ecuación ordinaria cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h; k) y su eje focal es paralelo al eje Y
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EL EJE FOCAL EN EL EJE Y (CANÓNICA)
La ecuación cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(0; 0) y su eje focal en el eje Y
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL PARALELO AL EJE X
La ecuación ordinaria cartesiana de la parábola cuyo vértice es V(h; k) y su eje focal es paralelo al eje X
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON EJE FOCAL EN EL EJE X (CANONICA)
ECUACIÓN GENERAL DE UNA PARÁBOLA
La ecuación general de una parábola resulta del desarrollo de la forma ordinaria. Forma ordinaria de una parábola de eje horizontal:
