TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES DE COORDENADAS PROBLEMAS RESUELTOS DE TRIGONOMETRIA PDF

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  • ECUACIÓN COMPLETA DE SEGUNDO GRADO EN LAS VARIABLES “x” e “y” 
    Una ecuación completa de segundo grado en las variables x e y es de la forma: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 Donde los coeficientes A, B y C no pueden ser iguales a cero a la vez. Cuando B=0 siempre representa una cónica (o casos especiales), en la que sus ejes son paralelos a los ejes de abscisas y ordenadas, de ahí su importancia, ya que al carecer del término xy pueden representarse de forma más sencilla. Usando rotación de ejes probaremos que una ecuación de segundo grado con B0 puede reducirse a otra en donde B=0, es decir, a la siguiente forma: SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
    Es verdad que, por una traslación o una rotación de los ejes coordenados, es posible transformar muchas ecuaciones en formas más simples. Entonces es lógico inferir que se puede efectuar una simplificación mayor aún aplicando ambas operaciones a la vez. Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una rotación de los ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama simplificación por transformación de coordenadas.
    PROPIEDAD III :
    Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslación y una rotación, tomadas en cualquier orden, es decir, cuando una rotación vaya seguida de una traslación, y las coordenadas de cualquier punto P referido a los sistemas original y final son (x;y) y (x’’;y”), respectivamente las ecuaciones de transformación del sistema de coordenadas son:
    En donde q  es el ángulo de rotación y (h;k) son las coordenadas del nuevo origen referido a los ejes coordenados originales.
    De la propiedad II resolviendo el sistema tenemos:             
    El grado de una ecuación no se altera por transformación de coordenadas.
    Aunque las ecuaciones de transformación de la propiedad iii pueden emplearse cuando se van a efectuar simultáneamente una traslación y una rotación, es generalmente mas sencillo efectuar estas operaciones separadamente en dos pasos diferentes. Sin embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la cual los términos en x2, y2  y  xy  forman un cuadrado perfecto, los ejes deben girarse primero y trasladarse después.
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