TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES DE COORDENADAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
TRANSFORMACIÓN DE UN SISTEMA DE COORDENADAS
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES - ECUACIÓN COMPLETA DE SEGUNDO GRADO
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar las transformaciones de coordenadas: rotación y traslación de ejes coordenados , y aplicarlas para simplificar ecuaciones de las curvas en la resolución de problemas.
• Analizar la ecuación general de segundo grado para determinar el género de la cónica que representa.
INTRODUCCIÓN
En todos los temas tratados en relación con la línea recta, y los que veremos con respecto a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se considerada el sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, con tendencia a simplificar las ecuaciones, particularmente las curvas cónicas, se opta por trazar un nuevo sistema rectangular determinado, si cambiamos los ejes de las coordenadas que nos permita trabajar con las ecuaciones más simples.
Este cambio es la traslación paralela de los ejes, el cual es el desplazamiento de uno o ambos ejes de un sistema de coordenadas rectangulares, de tal manera que el origen quede en una nueva posición pero permaneciendo cada eje paralelo a los ejes originales
“la traslación y rotación de ejes lo aplicaremos principalmente para reducir expresiones Complejas en simples de analizar”
PROBLEMA 1 :
Sea F=(a;b) el foco de la parábola P de ecuación:
x²– 2xy+y² – 8x – 16y+64= 0
Calcule: a+b
A) 8
B) 2
C) 6
D) 4
E) 10
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
GUIA DE EJERCICIOS
PREGUNTA 1 :
Sea la ecuación y=5x– 8 al sistema X’Y’ obtenido al trasladar paralelamente al punto (2;2)
PREGUNTA 2 :
Usando traslación de ejes simplificar la ecuación:
9x² + 36x + 4y² – 8y +4=0
PREGUNTA 3 :
Determinar las nuevas coordenadas del punto (2;–3), cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 45°.
PREGUNTA 4 :
Por medio de una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación 4x+3y=12 en otra que no tenga término en y’.
PREGUNTA 5 :
Transformar la ecuación xy =1/2 en el sistema X’Y’ rotando los ejes XY un ángulo de 45°.
PREGUNTA 6 :
El origen de coordenadas se traslada al punto (3;2) y luego se hace una rotación de 45°. Determine en este nuevo sistema las coordenadas de (10;5) dado en el sistema original.
PREGUNTA 7 :
Dada la ecuación: 7x² – 4xy+4y²=240, al eliminar el término mixto “xy” mediante un giro “θ” (θ es un ángulo aproximado) se obtiene en el nuevo sistema X’Y’ la ecuación:
PREGUNTA 8 :
Determine la nueva ecuación de la parábola 𝑥² − 2𝑥 − 4𝑦 = 3
Luego que el sistema se traslade al vértice de la parábola
PREGUNTA 9 :
La ecuación 𝑦 + 2𝑥² + 𝑥²𝑦 = 1 + 2𝑥𝑦 + 4𝑥 mediante una traslación de ejes se transforma en m x′ 2(y′) = 1.Calcule m.
PREGUNTA 10 :
Eliminar el término xy de la ecuación 4𝑥² − 4𝑥𝑦 + 𝑦² − 8√5𝑥 − 16√5𝑦 =0 mediante una rotación de ejes coordenados.
PREGUNTA 11 :
Después de una rotación de ejes, la ecuación
5x² − 8xy + 5y² − 9 = 0 representa una elipse Cuyos focos tienen como coordenadas F1(a;b) , F2(c;d) .
Calcule ac + bd
A) − 2
B) − 3
C) − 4
D) − 6
E) − 8
PREGUNTA 12 :
La ecuación de la cónica que sigue:
x² + 2√3xy + 3y² + 8√3x − 8y + 32 = 0
Corresponde a:
A) Hipérbola
B) Elipse
C) Circunferencia
D) parábola
E) punto
PREGUNTA 13 :
La ecuación cuadrática
2x² + 4xy + 5y² − 6y + 3 = 0
Corresponde a:
A) Hipérbola
B) Elipse
C)Circunferencia
D) recta
E) punto
PREGUNTA 14 :
Dada la ecuación de segundo grado: 8x²–12xy+13y²=20
I) Determinar el tipo de cónica que representa.
II) Simplificar la ecuación usando una rotación de los ejes.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Determine el ángulo de giro de los ejes coordenados de modo que no contengan el término xy .
4x²+4xy+y²+2x+y=0
A) 45°/2
B) 53°/2
C) 45°
D) 37°/2
E) 30°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
Transforme la ecuación:
y²+x²– 6y+2x+6=0
Trasladando los ejes coordenados al nuevo origen (–1 ; 3).
A) (x’)² – (y’)² = 2
B) (x’)² + (y’)² = 4
C) (x’)² + (y’)² = 8
D) (x’)² – (y’)² = 12
E) (x’)² + (y’)² = 16
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Transforme la ecuación:
4x² – y² – 8x – 10y – 25 = 0
a un nuevo sistema X’Y’ trasladando al origen de coordenadas al punto O’(1 ; –5)
A) x’² + 4y’² = 4
B) 4x’² + 4y’² = 4
C) x’² – y’² = 1
D) 4x’² – y’² = 4
E) x’² – 4y’² = 1
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
La gráfica de la ecuación x²+y²– 3xy+1=0 luego de una rotación de los ejes para eliminar el término xy corresponde a :
A) dos rectas que se cortan
B) una elipse
C) una parábola
D) una hipérbola
E) dos rectas paralelas
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Halle la nueva ecuación de : x² – y² – 4x+2y+3=0 luego de trasladar el origen al punto A(2 ;1)
A) x’² –2y’=2
B) x’² – y’²=4
C) x’² –y’²=4
D) x’² –y’²=3
E) x’² – y’²=6
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 :
Transforme la ecuación :
3x²+2y²+12x+4y+8=0
Luego de trasladar los ejes al nuevo origen (–2 ;1)
A) x’²+y’²=6
B) 3x’²–2y’²=6
C) 2x’²–3y’²=6
D) 3x’²+2y’²=6
E) 2x’²+3y’²=6
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Por una rotación de 45° de los ejes cartesianos xy , una cierta ecuación se trasforma en 2x’²+6y’² =12 . Halle la ecuación original .
A) x² –xy+y²=–3
B) x²–xy–y²=3
C) x²+xy+y²=3
D) x²–xy+y²=3
E) x²–5xy+y²=3
Rpta. : "D"
PREGUNTA 8 :
Por una traslación de ejes al eliminar los términos lineales de la ecuación:
xy + ax + by + c = 0, se obtiene
A) x’y’ = c – ab
B) x’y’ = ab – c
C) x’y’ = a + bc
D) x’y’ = ac – b
E) x’y’ = ab + c
Rpta. : "B"
PREGUNTA 9 :
Sea la ecuación:
16x² – 24xy + 9y² + 85x + 30y +175 = 0
¿Qué medida del ángulo debe girar al sistema XY en sentido antihorario para que elimine el término en xy?
A) 16°
B) 37°
C) 32°
D) 53°
E) 106°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 10 :
Dada la ecuación de segundo grado
x²+ y²+6x–4y +12=0
Halle la ecuación en un nuevo sistema X'Y', cuando el origen de coordenadas (0; 0) se traslada al punto (–3; 2).
A) (x ')²+ (y ')²=2
B) (x ')²+ (y ')²=3
C) (x ')²+ (y ')²=4
D) (x ')²+ (y ')²=6
E) (x ')²+ (y ')²=1
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Halle la suma de las coordenadas del punto P(15; – 10) en el nuevo sistema X 'Y ', luego de rotar los ejes coordenados en un ángulo de 37° (sentido antihorario).
A) –12
B) –11
C) –19
D) 11
E) –14
Rpta. : "B"
PREGUNTA 12 :
La nueva ecuación de una curva después de una traslación al origen (3; – 2) es
(x')²– 2(y')²= 8
Halle la ecuación original de la curva.
A) x²–y²–3x–4y–1=0
B) x²–y²–3x+4y +1=0
C) x²–2y²–6x–8y +7=0
D) x²–3y²+2x–4y–5=0
E) x²–2y²–6x–8y–7=0
Rpta. : "E"
PREGUNTA 13 :
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación x²+ xy + y² – 7x – 8y +18= 0 en otra que no posee términos lineales.
A) x'²+3y'² – x'y' – 2=0
B) x'²+y'² – x'y'+2=0
C) x'²+y'²+x'y' –1=0
D) x'² – y'² – x'y'+1=0
E) x'²+y'²+x'y'+2=0
Rpta. : "C"
PREGUNTA 14 :
Mediante una traslación de ejes, transforme la ecuación x²–xy + y²=3–x en otra que no tenga términos de primer grado.
A) (x')²–(x' y') + (y')²=10
B) 3(x')²–3(x' y') + 3(y')²=10
C) 2(x')²–2(x' y') + 2(y')²=5
D) 3(x')²–3(x')(y') + (y')²=10
E) (x')²–(x' y') + (y')²=9
Rpta. : "B"
PREGUNTA 15 :
El origen de coordenadas se traslada al punto (3; 2) y luego se hace una rotación de 45º en sentido antihorario. Calcule en este nuevo sistema las coordenadas de P(10; 5).
A) (5√2; − 2√2)
B) (5√2; − 3√2)
C) (3√2; − 5√2)
D) (7√2; − 5√2)
E) (5√2; −√2)
Rpta. : "A"
PREGUNTA 16 :
Mediante una rotación de ejes coordenados, en un ángulo de 45° se obtuvo la ecuación 3(x')²–(y')²= 6 en un nuevo sistema X' Y'. Halle la ecuación en el sistema original XY.
A) x²+2xy + y²–3=0
B) x²+4xy + y²–6=0
C) x²–4xy + y²+3=0
D) x²+4xy + y²+6=0
E) x²+8xy + y²–9=0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 17 :
Dada la ecuación de una cónica 4x²+3xy–18=0 halle la excentricidad.
A) √5
B) √10
C) √3
D) √2
E) 2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 18 :
Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x; y) del plano tales que su distancia al punto A(2; 2) es siempre igual que la distancia a la recta x–y +1= 0.
Dé como respuesta la longitud del lado recto.
A) 2√2
B) 2
C) 1/2
D) √2
E) √2/2
Rpta. : "D"
PREGUNTA 19 :
Mediante una rotación de ejes coordenados, transforme la ecuación
5x²+4√3 xy + y²–12= 0 en otra.
A) 7(x')²–(y')²=12
B) 7(x')²–(y')²=6
C) (x')²–7(y')²=12
D) (x')²–7(y')²=6
E) 7(x')²+ (y')²=12
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
Dada la ecuación de la curva C: xy = 8, calcule la ecuación resultante en el sistema x'y' luego de aplicar una rotación de ejes.
A) x'² – y'²=9
B) x'² – y'²=12
C) x'² – y'²=15
D) x'² – y'²=8
E) x'² – y'²=16
Rpta. : "E"
PREGUNTA 21 :
Halle el vértice de la parábola cuya ecuación es
4x²+4xy + y²–5x+10y–25=0
A) (–2; 1)
B) (–1; 2)
C) (–1; 1)
D) (–3; 1)
E) (–1; 3)
Rpta. : "B"
PREGUNTA 22 :
La ecuación cuadrática
3x²–2√3 xy + y²+2x+2√3 y = 0 representa
A) una elipse.
B) una hipérbola.
C) una parábola.
D) dos rectas paralelas.
E) dos rectas que se cortan.
Rpta. : "C"
PREGUNTA 23 :
Por una rotación de un ángulo de medida 45° de los ejes coordenados, una cierta ecuación se transformó en:
4(x’’)² –9(y’’)² = 36
Determine la ecuación original
A) 5x² + 5y² – 25xy + 70 = 0
B) 5x² + 5y² – 25xy + 50 = 0
C) 5x² + 5y² – 26xy + 72 = 0
D) 5x² + 5y² – 26xy + 90 = 0
E) 5x² + 5y² – 52xy + 72 = 0
Rpta. : "C"
ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE EJES
Puesto que una sección cónica está contenida en un plano, a dicha curva se le asociará una determinada ecuación de dos variables x e y respecto del sistema XY
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Para esta ecuación sus ejes principales (eje focal, eje mayor ) serán paralelos a los ejes XY.
Antes de explicar en qué consiste la traslación y rotación de ejes debemos recordar que una posición referencial es la ubicación o lugar desde el cual se van a considerar eventos, características, situaciones gráficas, etc., de algunos elementos.
Para nuestro caso en la traslación y rotación de ejes, algunos puntos geométricos del plano XY los expresamos de una forma en dicho plano, pero de otra diferente manera para otro plano distinto del XY, aunque los mencionados puntos siempre estén estáticos.
TRASLACIÓN DE EJES
Dado el sistema de coordenadas XY, consideramos además el sistema X’Y’ con origen de coordenadas en el punto (h;k) y con los ejes paralelos a los ejes X’e Y’, respectivamente.
ECUACIONES DE TRASLACIÓN DE EJES
Si dos sistemas de coordenadas XY , X’Y’ satisfacen la relación (I) diremos que el sistema XY ha sido trasladado paralelamente al punto (h;k).
ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS
Hemos visto que una traslación de ejes simplifica muchas veces las expresiones de ciertas ecuaciones permitiendo efectuar el dibujo de la gráfica con mayor facilidad.
Sin embargo en otros casos la traslación es insuficiente o inaplicable para conseguir la simplificación deseada y necesitamos recurrir a una rotación de ejes.
Esta última transformación nos permitirá también completar el estudio de la ecuación de segundo grado en las variables “x” e “y”.
PROPIEDAD I
Si (x ; y) son las coordenadas de un punto antes de girar los ejes un ángulo “θ”, y si (x’; y’), son las coordenadas después de la rotación, las ecuaciones de transformación del sistema original al nuevo sistema de coordenadas
PROPIEDAD II :
De la propiedad anterior, resolviendo el sistema, se deduce que éste tiene solución única para x’ y y
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS
SIMPLIFICACIÓN DE ECUACIONES POR TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Es verdad que, por una traslación o una rotación de los ejes coordenados, es posible transformar muchas ecuaciones en formas más simples.
Entonces es lógico inferir que se puede efectuar una simplificación mayor aún aplicando ambas operaciones a la vez.
Si una ecuación es transformada en una forma más simple por una rotación de los ejes coordenados, o por ambas, el proceso se llama simplificación por transformación de coordenadas.
PROPIEDAD III
Si efectuamos un cambio de ejes coordenados mediante una traslación y una rotación, tomadas en cualquier orden, es decir, cuando una rotación vaya seguida de una traslación, y las coordenadas de cualquier punto P referido a los sistemas original y final son (x;y) y (x’’;y”), respectivamente las ecuaciones de transformación del sistema de coordenadas son: El grado de una ecuación no se altera por transformación de coordenadas.
Aunque las ecuaciones de transformación de la propiedad III pueden emplearse cuando se van a efectuar simultáneamente una traslación y una rotación, es generalmente mas sencillo efectuar estas operaciones separadamente en dos pasos diferentes.
Sin embargo, en el caso de una ecuación de segundo grado en la cual los términos en x², y² y xy forman un cuadrado perfecto, los ejes deben girarse primero y trasladarse después.
ECUACIÓN COMPLETA DE SEGUNDO GRADO EN LAS VARIABLES “x” e “y”
Una ecuación completa de segundo grado en las variables x e y es de la forma: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 Donde los coeficientes A, B y C no pueden ser iguales a cero a la vez.
Cuando B=0 siempre representa una cónica (o casos especiales), en la que sus ejes son paralelos a los ejes de abscisas y ordenadas, de ahí su importancia, ya que al carecer del término xy pueden representarse de forma más sencilla.
En los casos en que una ecuación cuadrática representa un punto, una pareja de rectas paralelas, una pareja de rectas que se intersecan o no tiene gráfica; se dice que la ecuación representa una sección cónica degenerada.
TEOREMA:
La ecuación general de segundo grado :
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 representa lo siguiente :
* Una Parábola , una recta , dos rectas paralelas o el conjunto vacío si B² – 4AC=0
* Una Elipse , una circunferencia , un punto o un conjunto vacío , si B² – 4AC<0
PROPIEDADES :
I) Por 5 puntos pasa una y solo una cónica , que será degenerada si por lo menos 3 de los puntos son colineales .
II) Las coordenadas del centro de una cónica Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 , si existe , es :
III) El centro (x0;y0) de una cónica , Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 , si existe , satisface el siguiente sistema ***
IV) La ecuación de la recta tangente a la curva Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 en el punto P(x0;y0) tiene la forma :
