APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A PROBLEMAS DE FISICA EJERCICIOS RESUELTOS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MASA, MOMENTOS ESTÁTICOS Y DE INERCIA Y CENTRO DE MASA Caso 1: sistemas de puntos materiales Dado un sistema de n puntos materiales de masas m, ... , m_n, ubicados en un plano de la recta fija E, llamada eje, definimos a) La masa total del sistema b) El momento estático respecto del eje E c) El momento de inercia respecto del eje E

1. Calcule el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es r y altura h.

curvas planas Sea un alambre delgado (o hilo) que tiene la forma de una curva e contenida en un plano de una recta fija E y supongamos que en cada punto de la curva es dada una densidad cr de masa por unidad de longitud. La masa de un arco elemental de longitud ds es dM = crds. sólidos Sea S un sólido (o cuerpo) de densidad constante cr de masa por unidad de volumen en el espacio xrz, comprendido entre los planos x= a y x= b. Si A(x) designa el área de la sección de S paralela al plano }Z en el punto x, a ~ x ~ b, entonces la masa del cilindro elemental de base A(x) y altura dx es dM=crA(x)dx. Cuando se trata de calcular los momentos estáticos o de inercia, es conveniente descomponer la masa del cuerpo dado en elementos de masa para los cuales se conocen estos momentos y a continuación se integran dichos elementos. Teoremas de Pappus Teorema 1 El área de la superficie obtenida al rotar un arco de una curva plana alrededor de un eje, que se encuentra en el plano de la curva y que no la corta, es igual al producto de la longitud de la curva por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masa del arco de la curva Teorema 2 El volumen de un sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de un eje que se encuentra en el plano de la región y que no la corta, es igual al producto del área de la región por la longitud de la circunferencia descrita por el centro de masa de la región 2. Encuentre el área de la superficie y el volumen de un toro obtenido por rotación de un círculo de radio a alrededor de un eje en el plano del círculo y a una distancia b > a de su centro. Teorema de Steiner o de los ejes paralelos Sea un cuerpo con masa M y E un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo. Se cumple entonces 3. Determine las coordenadas del centro de masa de un arco completo de la cicloide: x=a(t-sent) y=a(1-cost) 4. Pruebe que el centroide de un triángulo coincide con el punto de intersección de las medianas.