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ESTADISTICA Y PROBABILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA PDF

Histograma , Polígono de Frecuencia , Medidas de tendencia central , Medidas de posición , Técnicas de conteo , Relación entre las medias muestrales y la media poblacional , Probabilidad teórica y experimental La media aritmética y la moda se conocen como medidas de tendencia central. La media aritmética o promedio en tablas de datos agrupados se calcula como: Donde fi es la frecuencia absoluta del intervalo i; xi la marca de clase del intervalo i, i es el i-ésimo intervalo y n la cantidad total de datos de la tabla. Una muestra es un subconjunto de individuos de una población. A través de las muestras se pueden inferir datos de la población. Dos o más sucesos son equiprobables si tienen la misma probabilidad de ocurrencia. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Comprender el concepto de población y muestra. 3 Analiza si las siguientes muestras son representativas de la población de estudio. a. Se seleccionan al azar 100 estudiantes, de un colegio de 300 alumnos, para calcular el promedio de notas de la población. b. Se les pregunta sobre la calidad del servicio a las primeras 100 personas que toman el metro en la mañana. c. Se escogen los niños más altos y los más bajos de un curso para determinar el promedio de la estatura de los alumnos. Identificar experimentos aleatorios y eventos equiprobables. 4 Identifica en cuál de estos experimentos los eventos son equiprobables. a. Se lanza un dado y se define el evento “obtener el número dos”. b. Se lanza una moneda y de define el evento “obtener cara”. c. Se extrae una bolita desde una urna con 4 bolitas de color azul y una bolita de color verde, y se define el evento “extraer una bolita verde”. d. Se lanzan dos dados y se define el evento “la suma de los valores de los dados”. Identificar el espacio muestral de un experimento aleatorio. 5 Determina el espacio muestral en los siguientes experimentos aleatorios. a. Lanzar una moneda y un dado y anotar los resultados. b. Sacar una bolita de una urna con 10 bolitas numeradas del 0 al 9 y anotar el número. c. Escoger a una persona en la calle al azar y anotar su género. d. Lanzar dos dados y anotar la suma de sus caras. e. Escoger un número entero positivo del conjunto de los números enteros. f. Escoger al azar un vértice de un triángulo ABC y se anotan sus coordenadas. Relacionar la probabilidad teórica y el modelo de Laplace. 6 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras al lanzar tres monedas? b. Si se lanzan dos dados, ¿es más probable que la suma de las caras de los dados sea 10 o 7? c. En una bolsa hay 2 bolitas rojas, 15 amarillas y 12 verdes. Si se saca una bolita al azar, calcula cuál es la probabilidad de: • Extraer una bolita roja. • Extraer una bolita verde. • Extraer una bolita amarilla. • Extraer una bolita roja o amarilla. d. Se lanza un dado cargado cuyas caras tienen las siguientes probabilidades, P(1) = P(2) = P(3) = 2a, P(4) = 5a, P(5) = 6a y P(6) = a: • ¿Cuál es el valor de a? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número menor o igual que 3? ¿ Cómo representar datos agrupados? • Por lo general, cuando se realiza un estudio o una encuesta, la información obtenida se organiza en tablas y gráficos ¿Por qué piensas que es necesario presentarla de esta manera? En varios colegios de una comuna se encuestó a los estudiantes de educación media y se les preguntó si eran usuarios de celular. La encuesta arrojó la cantidad de celulares que poseen los estudiantes por curso y los resultados fueron los siguientes: 40 35 41 34 44 37 44 45 39 30 41 32 31 45 43 32 35 39 38 39 43 20 32 33 34 38 37 48 35 27 40 30 29 25 30 45 18 25 25 19 14 26 30 45 37 34 14 17 14 39 39 25 16 24 19 30 53 22 15 10 15 29 13 ¿Cuál es la variable involucrada en la encuesta? ¿Cómo organizarías la información para realizar un informe que dé cuenta del uso de celulares en los colegios? La variable involucrada en la encuesta es la cantidad de celulares que hay por cada curso encuestado. Para organizar la información se puede construir una tabla de frecuencias con datos agrupados, ya que los valores de la variable son muy distintos entre sí y una tabla simple quedaría con muchas categorías. Para construir una tabla de datos agrupados puedes seguir los siguientes pasos: Construcción de Tabla de frecuencia para datos agrupados Paso 1 Determinar los intervalos de la tabla de frecuencias. Rango: Máx – Mín = 53 – 10 = 43 Cantidad de intervalos: 5 Amplitud: 43 ÷ 5 = 8,6 9 Primer intervalo: [10, 10 + 9[ → [10, 19[ Segundo intervalo: [19, 19 + 9[ → [19, 28[… Luego se calcula la cantidad de datos que hay en cada intervalo que corresponde a la frecuencia absoluta. Paso 2 Calcular la marca de clase de cada intervalo. Lo logras, calculando la semisuma de los extremos del intervalo, es decir, + = 10 19 2 14,5 Repasa § El rango es la diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo. § La amplitud de un intervalo es la diferencia entre el límite superior e inferior. La amplitud (A) de los intervalos puede calcularse mediante la expresión: A = Rango n° de intervalos § La marca de clase de un intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y el límite superior. § Tabla de frecuencias es un tipo de representación que permite organizar datos. § Frecuencia absoluta (f): es el número de veces que se repite un dato o el número de datos incluidos en un determinado intervalo. Palabras clave Ü Construcción de tablas con datos agrupados, histogramas y polígonos de frecuencia. Cantidad de celulares Frecuencia absoluta [10, 19[ 10 [19, 28[ 11 [28, 37[ 18 [37, 46[ 22 [46, 55] 2 Total 63 Cantidad de celulares Marca de clase Frecuencia absoluta [10, 19[ 14,5 10 [19, 28[ 23,5 11 [28, 37[ 32,5 18 [37, 46[ 41,5 22 [46, 55] 50,5 2 Total 63 Paso 3 Calcular las frecuencias absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada. F: frecuencia acumulada. 10 + 11 = 21 10 + 11 + 18 = 39… fr: frecuencia relativa. ≈ 10 63 0,16 ≈ 21 63 0,17 Fr: frecuencia relativa acumulada. 0,16 + 0,17 = 0,33… Histograma y polígono de frecuencias ¿Qué gráfico permitiría vizualizar la concentración de los datos? ¿Qué gráfico muestra directamente que en la mayoría de los cursos hay aproximadamente 41,5 celulares? A través de un histograma es posible vizualizar la concentración de los datos, y con el polígono de frecuencias podemos observar que la marca de clases que posee la mayor frecuencia absoluta es 41,5. Para construir estos gráficos puedes seguir los siguientes pasos. Paso 1 Representar en el eje horizontal los intervalos de la variable cantidad de celulares por curso. Paso 2 Representar en el eje vertical las frecuencias absolutas de cada intervalo. 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 10 19 28 37 46 55 Cantidad de celulares por curso de los colegios de una comuna Cantidad de celulares por curso Frecuencia absoluta Paso 3 Construir las barras para cada intervalo cuya altura dependerá de la frecuencia absoluta correspondiente. Paso 4 Para obtener el polígono de frecuencias se unen las marcas de clase de cada intervalo de acuerdo con su frecuencia absoluta. Cantidad de celulares Marca de clase f F fr Fr [10, 19[ 14,5 10 10 0,16 0,16 [19, 28[ 23,5 11 21 0,17 0,33 [28, 37[ 32,5 18 39 0,29 0,62 [37, 46[ 41,5 22 61 0,35 0,97 [46, 55] 50,5 2 63 0,03 1 Total 63 Lección Praáctica e) ¿Qué fracción representan los alumnos que practican una vez por semana deporte con respecto al total de alumnos? Práctica guiada 2. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas. a) No es necesario utilizar tablas de datos agrupados para ordenar una gran cantidad de datos discretos. b) Existen tablas de frecuencias que no se pueden representar mediante un gráfico. c) En las tablas de datos agrupados, un dato se puede repetir en dos intervalos diferentes. d) Una tabla de datos agrupados es más precisa si se aumenta la cantidad de intervalos. Repaso 1. Se realizó una encuesta de Elige vivir sano para saber cuántas veces por semana los alumnos de un curso practican deporte. Los resultados fueron los siguientes. 2 3 1 0 5 4 3 2 2 2 3 3 4 0 0 1 1 1 0 1 2 2 1 3 3 0 0 1 0 0 2 3 1 0 4 2 2 3 1 1 0 1 2 3 3 a) Representa la información entregada por la encuesta en una tabla de frecuencias de datos no agrupados. b) ¿Cuántos alumnos no practican deporte en la semana? c) ¿Cuántos alumnos practican deporte al menos dos veces por semana? d) Construye un gráfico de barras con los datos de la tabla. Paso 5 Graficar el polígono de frecuencias acumuladas. Para graficar el polígono de frecuencias acumuladas, debes considerar en el eje vertical la frecuencia acumulada y en el eje horizontal los límites superiores de los intervalos. Cantidad de celulares por curso de los colegios de una comuna 44 48 52 56 60 64 40 36 32 28 24 20 16 12 84 19 28 37 46 55 Cantidad de celulares por curso Frecuencia acumulada 0 39 En resumen Los datos agrupados en intervalos se pueden representar a través de una tabla de frecuencias, de un histograma, de un polígono de frecuencias y/o de un polígono de frecuencias acumulada. Un histograma es una representación gráfica en forma de barras, en las que sus alturas son proporcionales a la frecuencia absoluta de los intervalos representados. Un polígono de frecuencias corresponde a la línea poligonal, que se obtiene al unir los puntos referidos a las marcas de clase y frecuencias absolutas de cada intervalo. El polígono de frecuencias acumulada se representa uniendo los puntos referidos al límite superior y frecuencia acumulada de cada intervalo. También se conoce con el nombre de Ojiva. § ¿Por qué piensas que se organizaron los datos en 5 intervalos? ¿Cuántos intervalos habrías puesto tú? ¿Por qué? § Si se quisiera averiguar qué porcentaje de los cursos tiene menos de 30 celulares, ¿qué columna de la tabla serviría para obtener la respuesta directamente? § ¿Qué gráfico permitiría visualizar directamente la cantidad de celulares que posee el 70% de los cursos? Razona y comenta Practica 1 2 3 4 Aplico 3. Construye una tabla de datos agrupados en intervalos a partir del grupo de datos entregados. Determinar en ambos casos el número de intervalos. a) Los puntajes obtenidos en una prueba de matemática. 25 12 9 36 15 18 13 8 20 21 25 27 35 34 30 40 25 26 32 38 28 40 37 10 19 21 28 35 38 29 13 17 9 26 5 b) Las edades de las personas que asistieron al teatro. 15 19 21 25 64 51 60 23 28 36 32 35 42 45 24 27 31 37 46 48 56 26 33 51 65 49 52 25 21 36 40 62 70 c) Construye el histograma y el polígono de frecuencia asociado a cada una de la tablas de frecuencias construidas en a) y b). 4. Construye el histograma, polígono de frecuencia y de frecuencia acumulada para la siguiente tabla. Cantidad de agua consumida en un mes por cada familia de un edificio Cantidad de agua (m3) N° de familias [10, 13[ 5 [13, 16[ 6 [16, 19[ 9 [19, 22[ 10 [22, 25[ 8 [25, 28[ 4 [28, 31] 2 5. Construye una tabla de datos agrupados en intervalos a partir del gráfico. Cali caciones de 1° medio Cantidad de estudiantes 48 42 36 57 60 18 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 Cali cación 6. Construye en una planilla de cálculo un histograma a partir de los siguientes pasos. Distribución de discos Cantidad de discos f [80, 90[ 4 [90, 100[ 8 [100, 110[ 4 [110, 120[ 4 [120, 130] 5 Paso 1: Copia la tabla en la planilla de cálculo. Luego, presiona el icono y selecciona columnas. Paso 2: Elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Filas y aparecerá el gráfico pedido. 7. Construye un polígono de frecuencias en una planilla de cálculo siguiendo los pasos: Paso 1: Copia la tabla de la actividad 6 en la planilla de cálculo. Luego selecciona líneas en la opción tipo de gráfico. Se agregarán dos filas para poder generar el polígono. Paso 2: Elige el rango de datos que quieres graficar y luego selecciona la opción Columnas y aparecerá el gráfico pedido. Re exiono Refuerzo 1. Describe los pasos que se deben seguir para construir la tabla de datos agrupados a partir de un polígono de frecuencias acumuladas. 2. Realiza lo anterior para un histograma. § ¿Para qué situación es necesario construir un histograma? Da un ejemplo en que este sea necesario y otro en que no. § ¿Qué diferencia hay entre la construcción de un polígono de frecuencias y un polígono de frecuencias acumuladas? Lección ¿ Cómo interpretar gráficos y tablas de datos agrupados? • En los medios de comunicación aparecen distintos tipos de gráficos y tablas, ¿cómo podemos interpretar la información que nos entregan? Interpretación de histogramas y polígono de frecuencias En una prueba realizada a 300 estudiantes de 1.° medio se obtuvo el siguiente histograma y polígono de frecuencia. ¿En qué puntaje se concentran el mayor número de estudiantes? ¿Cómo fue el rendimiento de los estudiantes? Una manera de interpretar la información que aparece en el histograma y responder la pregunta, es a través de los siguientes pasos. Paso 1 Identificar las variables representadas en cada eje. • En el eje horizontal están representados los intervalos de puntajes. • En el eje vertical está representada la cantidad de estudiantes que fueron evaluados. Paso 2 Identificar el tipo de gráfico que representa los datos. • El gráfico corresponde a un histograma, ya que se están representado datos agrupados en intervalos. Las barras están pegadas unas a otras. Además, está trazado el polígono de frecuencia correspondiente al histograma indicado por la línea azul que une las marcas de clase de cada intervalo. Paso 3 Analizar la relación entre las variables representadas en el gráfico. • La altura de cada barra indica la cantidad de estudiantes que obtuvo un puntaje de acuerdo con el intervalo que le corresponde. Palabras clave Ü Interpretación de histogramas, polígonos de frecuencia y tablas con datos agrupados. 40 En resumen Podemos interpretar un histograma a partir de la forma de la distribución o concentración de los datos. Según esto se pueden diferenciar dos tipos: Distribuciones simétricas Distribuciones asimétricas negativas Distribuciones asimétricas positivas 0 Puntajes obtenidos en una prueba Cantidad de estudiantes 20 18 28 30 50 68 40 60 80 Puntaje 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 Paso 4 Comparar las barras y responder las preguntas. • Es posible observar en el polígono de frecuencia que la mayoría de los estudiantes (alrededor de 70) obtuvo un puntaje aproximado de 45 puntos. • Si se suma la cantidad de estudiantes que obtuvieron un puntaje sobre 45 se obtiene, aproximadamente, 155, en cambio los que obtuvieron menos de 45 puntos fueron 145 estudiantes. Se podría concluir que más del 50% de ellos obtuvo un puntaje sobre el 60% de exigencia. Por lo tanto, los datos están concentrados en el intervalo [40, 50[ y la distribución de los datos es aproximadamente simétrica. Interpretación de tablas con datos agrupados La siguiente tabla muestra las notas que obtuvieron en el examen de Lenguaje 180 estudiantes de 1° Medio. ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota inferior a 4,0? Para interpretar la información que aparece en la tabla y responder la pregunta, puedes seguir los siguientes pasos. Paso 1 Identifica la variable involucrada. La variable involucrada es la calificación, cuyas clases son los intervalos de notas, y la cantidad de estudiantes está representada por la frecuencia absoluta (f ). El resto de las columnas se obtienen de las ya mencionadas. Paso 2 Identificar las clases. Las clases o intervalos de notas tienen una amplitud de 1,0, las marcas de clase de cada intervalo aparecen en la segunda columna, siendo los representantes de cada clase, por ejemplo, para el intervalo [5,0; 6,0[ su representante es 5,5. Paso 2 Interpretar cada clase de acuerdo con su frecuencia. Al asociar a cada intervalo su frecuencia absoluta (f) podemos interpretar que 4 alumnos obtuvieron nota entre 1,0 y 2,0; 6 entre 2,0 y 3,0 y 17 entre 3,0 y 4,0. Al observar la frecuencia acumulada (F) podemos responder a la pregunta, ya que 27 estudiantes obtuvieron nota menor a 4,0. En resumen Una tabla de frecuencias es un tipo de representación que permite organizar datos. De acuerdo a la información que se desea obtener debemos observar la columna que sea más útil. Por ejemplo, si se desea conocer un porcentaje, la columna de la frecuencia relativa nos entregaría esta información más directamente, en cambio si se quisiera conocer la acumulación de datos hasta cierto intervalo, la columna que nos entrega esta información corresponde a la de la frecuencia acumulada. Calificación final de 180 estudiantes Calificación Marca de clase f F [1,0; 2,0[ 1,5 4 4 [2,0; 3,0[ 2,5 6 10 [3,0; 4,0[ 3,5 17 27 [4,0; 5,0[ 4,5 101 128 [5,0; 6,0[ 5,5 40 168 [6,0; 7,0] 6,5 12 180 Links Para reforzar la representación de datos en tablas y gráficos visita: http://goo.gl/1ARBS Lección Praáctica a) ¿En qué meses la variación fue positiva? b) ¿En qué meses la variación es negativa? Práctica guiada 2. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas. a) Un polígono de frecuencias es una representación de datos que muestra solo datos distribuidos asimétricamente. b) En un histograma se pueden representar solo datos agrupados en intervalos. c) Un polígono de frecuencias acumuladas muestra la concentración de los datos. Repaso 1. Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde. Índice de producción física industria manufacturera (Var. % 12 meses) Variación % 12 meses índice de producción física 4 2 –2 –8 –12 0 –6 –4 –10 –14 Oct. 08 (Base: promedio año 2002 = 100) Dic. Feb. 09 Abr. Jun. Ago. Oct. 09 Interpretación de polígono de frecuencia acumulada El colegio implementará un programa de reforzamiento si la mayoría de los estudiantes tienen nota menor o igual a 5,0. El colegio, ¿tendrá que implementar el plan para estos alumnos? Para responder interpretaremos el polígono de frecuencia acumulada asociada a la tabla. 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Cali cación Frecuencia acumulada Cali cación nal estudiantes de 1.º medio Nota 5,0 130 alumnos aprox. Por lo tanto, alrededor de 130 estudiantes obtuvieron calificación menor o igual 5,0 versus 50 estudiantes que obtuvieron sobre esa nota. Entonces, el colegio tendrá que implementar el programa de reforzamiento. 40 En resumen La interpretación de un polígono de frecuencias se utiliza para visualizar la frecuencia de los distintos intervalos en que están agrupados los datos. A su vez, en el polígono de frecuencias acumuladas es posible observar donde se concentran las observaciones. § ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de barras y un histograma? § ¿Para qué tipo de variables se utiliza un histograma? § ¿Cuándo es necesario utilizar el polígono de frecuencia? ¿Y el polígono de frecuencia acumulada? Razona y comenta Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo ¿Cómo están distribuidos los datos del histograma de la pregunta 4? § ¿Cuál es la importancia de aprender a interpretar gráficos y tablas? ¿Por qué? 3. Relaciona la tabla de datos con el gráfico que mejor lo represente. X X f f a) X X f f [10, 20[ 2 [20, 30[ 3 [30, 40[ 4 [40, 50[ 7 [50, 60[ 3 [60, 70[ 1 b) X f [10, 20[ 2 [20, 30[ 3 [30, 40[ 4 [40, 50[ 5 [50, 60[ 6 [60, 70[ 7 X f c) X f [10, 20[ 6 [20, 30[ 6 [30, 40[ 6 [40, 50[ 6 [50, 60[ 6 [60, 70[ 6 X f Aplico 4. Analiza el gráfico que muestra la población que puede llegar a sostener una conversación en inglés de acuerdo a la edad, según el Censo 2012 y responde las preguntas. 14 29 34 59 500 000 1 000 000 1 500 000 2 000 000 Edad Cantidad de personas Población que puede sostener una conversación en inglés a) ¿Cuántas personas menores de 30 años sostienen conversaciones en inglés? b) ¿Cómo es la distribución de los datos del polígono de frecuencias acumuladas? ¿Por qué? 5. Interpreta los siguientes gráficos y evalúa si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). a) El histograma representa los minutos de espera de los clientes de una tienda comercial. 5 10 15 20 25 30 35 1 5 9 13 17 20 Tiempo (minutos) Número de personas Espera de clientes (en minutos) • La mayoría de los clientes espera entre 15 y 25 minutos en la tienda comercial. • Existen entre 11 y 15 personas que esperan 10 a 25 minutos en la tienda. b) El histograma representa la cantidad de habitantes que hay según el grupo de edad establecido. Pirámide de población Censo 1992 Población (miles de personas) Grupos de edad (en años) 800 600 400 200 0 200 400 600 800 Hombres Mujeres 0–4 10–14 30–34 20–24 40–44 50–54 60–64 70–74 65–69 55–59 45–49 35–39 25–29 15–19 5–9 80–84 85–89 75–79 • Entre los 45 y 49 años, no existe diferencia entre la cantidad de hombres y mujeres. • Según el Censo 1992, la mayor cantidad de personas se encuentra en el tramo de 0 a 4 años de vida, tanto en hombres como en mujeres. Lección Palabras clave Ü Media aritmética. Ü Moda. Ü Mediana. ¿Cómo calcular medidas de tendencia central? • Al finalizar un semestre escolar ¿de qué manera calculas el promedio de tus calificaciones? ¿Cómo puedes saber tu rendimiento durante el año? Un nutricionista debe implementar un programa alimenticio para dos escuelas que tienen la misma cantidad de alumnos. Él decide efectuar el programa a partir del índice de masa corporal (IMC) de los estudiantes. Los resultados del IMC se encuentran en las siguientes tablas. Si la media aritmética o promedio de cada escuela supera los 25 kg/m², o la moda y mediana de los datos superan al promedio respectivo de cada curso, el nutricionista solicitará la implementación del plan alimenticio. ¿Cuál de las dos escuelas necesitará el nuevo programa alimenticio? Media aritmética o promedio Para responder a la pregunta de la situación calcularemos la media aritmética o promedio de los datos agrupados en intervalos de cada curso, llevando a cabo los siguientes pasos: Paso 1 Calcular la suma de los productos entre la frecuencia absoluta y la marca de clase de cada intervalo, tal como se indica en las siguientes tablas. Escuela N° 1 IMC Marca de clase f f • MC [13, 17[ 15 10 150 [17, 21[ 19 15 285 [21, 25[ 23 25 575 [25, 29[ 27 40 1080 [29, 33[ 31 50 1550 [33, 37] 35 70 2450 Total 210 6090 Escuela N° 2 IMC Marca de clase f f • MC [13, 17[ 15 60 900 [17, 21[ 19 50 950 [21, 25[ 23 40 920 [25, 29[ 27 30 810 [29, 33[ 31 20 620 [33, 37] 35 10 350 Total 210 4550 Paso 2 Dividir la suma obtenida en el paso anterior en la cantidad de datos. Escuela N° 1 Escuela N° 2 x = 6090 210 =29 x = 4550 210 22 Por lo tanto, el nutricionista solicitará que en la escuela N°1 se implemente el plan nutricional considerando en este caso que la media aritmética de la escuela es superior a 25 kg/m². Repasa Medidas de tendencia central La media aritmética o promedio es el valor central (no la mitad) del conjunto de datos. Para datos no agrupados la media se calcula como: x = x n i i=1 nΣ donde xi corresponde al dato “i” de los “n” datos. La moda es el valor que más se repite (que tiene la mayor frecuencia) dentro de un conjunto de datos. Puede existir más de una moda o ninguna moda. La mediana es el valor que se ubica en el centro del conjunto de datos cuando éstos fueron previamente ordenados de menor a mayor o de mayor a menor, de manera que el 50 % de ellos son menores o iguales que la mediana, y el otro 50 % son mayores o iguales. Observa El índice de masa corporal (IMC) mide el exceso de peso relacionando la altura y la masa de una persona. Escuela N° 1 IMC (kg/m2) Marca de clase f [13, 17[ 15 10 [17, 21[ 19 15 [21, 25[ 23 25 [25, 29[ 27 40 [29, 33[ 31 50 [33, 37] 35 70 Escuela N° 2 IMC (kg/m2) Marca de clase f [13, 17[ 15 60 [17, 21[ 19 50 [21, 25[ 23 40 [25, 29[ 27 30 [29, 33[ 31 20 [33, 37] 35 10 41 1 2 3 4 Moda Se necesita saber si en la escuela N°2 la moda supera a la media aritmética, por lo tanto, el nutricionista efectúa los siguientes pasos. Escuela N° 2 IMC (kg/m2) MC f [13, 17[ 15 60 [17, 21[ 19 50 [21, 25[ 23 40 [25, 29[ 27 30 [29, 33[ 31 20 [33, 37] 35 10 D1 = 60 – 0 D2 = 60 – 50 Intervalo modal Paso 1 Determinar el intervalo modal, es decir, el intervalo con mayor frecuencia absoluta. En este caso la mayor frecuencia es 60 alumnos que corresponde al intervalo [13, 17[. Paso 4 Calcular la diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia posterior a esta. La frecuencia del intervalo modal es 60 y la frecuencia posterior es 50. Por lo tanto, D2 = 60 – 50 = 10 Paso 2 Determinar el límite inferior del intervalo modal. El límite inferior del intervalo modal es L = 13 Paso 5 Calcular la amplitud del intervalo modal. A = 17 – 13 = 4 Paso 3 Calcular la diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia anterior a esta. La frecuencia del intervalo modal es 60 y no hay intervalo anterior. Por lo tanto, D1 = 60 – 0 = 60 Paso 6 Remplazar los datos obtenidos en la fórmula. = + + Mo 13 60 60 10 • 4 16, 43 Como conclusión, la moda no supera a la media (16,43 kg/m² < 22 kg/m²), es decir, la mayoría de los estudiantes tiene un IMC menor que el promedio de los alumnos de la escuela. En resumen Para calcular medidas de tendencia central en datos agrupados se puede obtener una aproximación de estas a partir de las siguientes expresiones: • La media aritmética o promedio para datos agrupados se calcula como: = + +…+ x f •x f • x f • x n 1 1 2 2 k k x f • x n i 1 k i i = = siendo xi la marca de clase de cada intervalo, fi es la frecuencia absoluta de cada intervalo e i es el i-ésimo intervalo. • La moda para datos agrupados se calcula como: Mo = L + D1 D1 D2 • A + L: Límite inferior del intervalo modal. D1: Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo anterior a éste. D2: Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia del intervalo posterior a éste. A: Amplitud del intervalo modal. Lección Mediana Para tomar la decisión final, el nutricionista calculará la mediana de la escuela N°2, y la comparará con el promedio para lo cual realiza los siguientes pasos: Límite inferior del intervalo de la mediana. IMC MC f F [13, 17[ 15 60 60 [17, 21[ 19 50 110 [21, 25[ 23 40 150 [25, 29[ 27 30 180 [29, 33[ 31 20 200 [33, 37] 35 10 210 Total 210 50 es la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana. 60 es la frecuencia acumulada anterior al intervalo de la mediana. Paso 1 Determinar el intervalo de la mediana, es decir, aquel en el que se ha acumulado el 50% de los datos. El 50% de los datos es 210 : 2 = 105, y la frecuencia acumulada mayor o igual a 105 se da en el intervalo [17, 21[. Paso 4 Determinar la frecuencia absoluta del intervalo de la mediana. La frecuencia absoluta del intervalo de la mediana es f = 50. Paso 2 Determinar el límite inferior del intervalo de la mediana. El límite inferior del intervalo de la mediana es L = 17. Paso 5 Calcular la amplitud del intervalo de la mediana. A = 21 – 17 = 4 Paso 3 Calcular la diferencia entre mitad de la cantidad de datos n 2 y la frecuencia acumulada del intervalo anterior (F) al intervalo de la mediana. = = n 2 210 2 105 y F = 60 Paso 6 Remplazar los datos obtenidos en la fórmula. Me = 17+ 105 – 60 50 • 4 20,6 Luego, el 50% de los estudiantes está bajo o sobre un IMC de 20,6 kg/m², y este valor no supera a la media del colegio: 22 kg/m². Por lo tanto, en la escuela N° 2 no se tendrá que implementar el plan, ya que la moda y la mediana no superan al promedio del IMC de los estudiantes de la escuela. Praáctica Repaso 1. Evalúa las proposiciones y escribe V si son verdaderas o F si son falsas. Justica las falsas. a) Los datos cualitativos no tienen promedio. b) Un conjunto de datos no puede tener dos modas. c) Un conjunto de datos cuantitativos siempre tiene promedio. d) Un conjunto de datos cuantitativos siempre tiene mediana. e) La moda de un conjunto de datos cualitativos no se puede determinar. 41 § ¿Cómo deberían variar los datos de la tabla del escuela N° 1 para que la media aritmética disminuya? § ¿Es necesario cambiar todos los valores de la tabla? Justifica tu respuesta. Razona y comenta En resumen La mediana para datos agrupados se calcula como: Me = L+ n 2 –F f • A L: Límite inferior del intervalo de la mediana. F: Frecuencia acumulada del intervalo anterior al intervalo de la mediana. f: Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana. A: Amplitud del intervalo de la mediana. n: Número total de datos Practica 1 2 3 4 Práctica guiada 2. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana para los datos de las siguientes tablas. Cantidad de hermanos = = M 3 M 2 x 2 o e a) Distancia de salto Longitud de salto (m) Marca de clase f [0,3; 0,6[ 0,45 2 [0,6; 0,9[ 0,75 3 [0,9; 1,2[ 1,05 5 [1,2; 1,5[ 1,35 12 [1,5; 1,8[ 1,65 13 b) Libros leídos en un año Cantidad de libros leídos f F [0, 2[ 100 100 [2, 4[ 80 180 [4, 6[ 50 230 [6, 8] 20 250 Aplico 3. Analiza la tabla y luego responde. Masa corporal estudiantes de primero medio Masa corporal (kg) Cantidad de estudiantes [50, 55[ 6 [55, 60[ 13 [60, 65[ 9 [65, 70[ 13 [70, 75] 4 a) ¿Cuál es la moda de los datos en la tabla anterior? ¿Cómo justificarías lo sucedido? b) Si ingresan tres alumnos nuevos al curso con masas entre los 70 y los 75 kg, ¿cuál es la media aritmética de la masa corporal del curso? 4. Analiza la información y responde. Un grupo de scouts quiere participar en dos ferias artesanales, pero solamente tienen dinero para la inscripción en una de ellas. Para decidir en cuál participar analizan los siguientes datos sobre las edades de los asistentes a cada una de las ferias durante los años anteriores. Rango de edades Feria A Feria B [10, 15[ 20 20 [15, 20[ 50 30 [20, 25[ 70 20 [25, 30[ 21 60 [35, 40[ 30 56 [45, 50] 25 55 a) ¿En qué feria les conviene participar si los productos que pretenden vender están dirigidos a niños menores de 10 años? b) ¿Y si los productos estuvieran orientados a clientes entre 15 y 30 años? Argumenta mediante el cálculo de las medidas de tendencia central. c) ¿Crees que con estos datos es suficiente para tomar una decisión sobre el tipo artesanía que se debería vender en cada feria? ¿Qué datos crees que es necesario considerar y que no están presentes en la tabla? 5. Descubre el error. Para una tarea de Educación Física Manuel diseñó una encuesta que le permitiera conocer la estatura de sus compañeros. Después organizó los datos recogidos en la siguiente tabla: Estaturas f F [1,55; 1,60[ 13 13 [1,60; 1,65[ 12 25 [1,65; 1,70[ 3 28 [1,70; 1,75[ 2 30 [1,75; 1,80[ 6 36 [1,80; 1,85] 4 40 Al sacar las conclusiones, Manuel afirma que, en promedio, el curso mide aproximadamente 1,66 cm, la estatura que más se repite está cerca del 1,61 cm y que sobre el 50% de los alumnos tiene una estatura superior a 1,63 cm ¿Cuál fue el error de Manuel en una de sus conclusiones? Re exiono Refuerzo Construye una tabla de datos de cinco intervalos que tenga como promedio 23,5 unidades. § ¿Por qué crees que es necesario realizar estudios estadísticos para tomar algunas decisiones? Lección Palabras clave Ü Interpretación de media aritmética. Ü Moda. Ü Mediana. Observa La distribución o concentración de los datos de una muestra o población corresponde a la tendencia que siguen los datos de acuerdo a su frecuencia. ¿Cómo interpretar medidas de tendencia central? • Cuando calculas el promedio, ¿qué representa este de tus calificaciones? ¿Qué crees que significan frases como: En promedio, los buses llegan con 2 minutos de retraso? En la empresa Labor trabajan 180 personas, de las cuales, 130 no tienen cargos administrativos y el resto sí. El contador desea obtener un valor que sea representativo del sueldo de los trabajadores de acuerdo al área en donde se desempeñan analizando la tabla de datos agrupados, el histograma y las medidas de tendencia central (MTC) de los sueldos de mayo en cada área. Caso 1: Trabajadores que no tienen cargos administrativos. 0 240 300 360 420 480 540 Sueldos en miles de pesos Distribución de sueldos Cantidad de trabajadores 10 20 30 40 50 Sueldos de trabajadores Sueldo en miles de pesos Frecuencia absoluta MTC [240, 300[ 23 Media: x = 373,38 Mediana: Me = 373,95 Moda: Mo = 380,625 [300, 360[ 32 [360, 420[ 43 [420, 480[ 22 [480, 540] 10 Para determinar qué valor de las MTC es más representativo del sueldo de los trabajadores, se pueden seguir los siguientes pasos. Paso 1 Comparar cada MTC con respecto a la concentración de los datos. • La media pertenece al intervalo en donde se concentran la mayoría de los datos, por lo tanto, podría ser un valor que represente mejor el conjunto de datos. • La mediana también describe el conjunto de datos, ya que la mayor parte de estos se acumula alrededor de este valor. • Al observar el histograma vemos que la concentración de los datos está alrededor de la moda, por lo tanto esta medida también es un buen representante del conjunto de datos. Relaciona ¿A qué intervalo pertenece la moda calculada para datos agrupados? ¿Cómo puedes verificar que el cálculo de este valor está correcto? 42 1 2 3 4 Paso 2 Comparar las MTC entre sí. Al comparar las MTC se puede concluir que son valores bastante cercanos y esto se debe a que los datos son homogéneos entre sí. El histograma nos muestra que los datos siguen una distribución aproximadamente simétrica lo que reafirma la conclusión anterior. En conclusión, el contador puede utilizar cualquiera de la MTC como un representante para este conjunto de datos. Caso 2: Trabajadores que tienen cargos administrativos. 540 600 660 720 780 840 2 4 6 8 10 12 14 16 Sueldos en miles de pesos Cantidad de trabajadores Distribución de sueldos Salarios de trabajadores administrativos Sueldo en miles de pesos Frecuencia absoluta MTC [540, 600[ 15 Media: x = 684 Mediana: Me = 675 Moda: Mo = 580,91 [600, 660[ 8 [660, 720[ 8 [720, 780[ 5 [780, 840] 14 Paso 1 Comparar cada MTC con respecto a la distribución de los datos. • La mayoría de los datos se concentra en el intervalo [540; 600[, aunque la media está por sobre los valores de ese intervalo, por lo tanto no es un valor que describa mejor el conjunto de datos. • La mayor parte de los datos se concentra alrededor del valor de la mediana, por lo tanto, esta medida describe mejor el conjunto de datos. • La moda representa, aproximadamente, solo a 15 de las 50 personas, por lo tanto, no describe al conjunto de datos. Paso 2 Comparar las MTC entre sí. Al comparar las MTC se puede concluir que la media y la mediana son valores cercanos, pero la moda está muy distanciada. Esto se debe a que los datos son heterogéneos entre sí. El histograma nos muestra que estos siguen una distribución no simétrica, ya que la mayoría se encuentra en los extremos. § ¿Cómo influyen los valores extremos en las medidas de tendencia central de un conjunto de datos? § ¿En qué situación la moda es un valor representativo del conjunto de datos? Busca un contexto relacionado con preferencias y analiza los datos. § Si no se incluyeran los sueldos de los administrativos que ganan menos de $600 000 y más de $780 000, ¿qué medida de tendencia central describirían de mejor manera los datos? ¿En qué cambiarían las conlcusiones obtenidas anteriormente? Razona y comenta Lección Praáctica Repaso 1. Verifica si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas. a) Es necesario utilizar tablas de datos agrupados para ordenar una gran cantidad de datos discretos. b) Existen tablas de frecuencias que no se pueden representar mediante un histograma. c) En las tablas de datos agrupados, un dato se puede repetir en tres intervalos diferentes. d) Una tabla de datos agrupados es más precisa si disminuye la cantidad de intervalos. 2. Resuelve los siguientes problemas. a) Pablo no recuerda una de sus 6 calificaciones de Biología. Si su promedio fue 5,3 y sus otras notas fueron: 4,5; 5,0; 6,0; 6,0; 5,5, ¿cuál es la calificación que falta? b) En el siguiente conjunto de datos: 2, 4, 5, 6, 2, 3, 12, x • ¿Cuál podría ser el valor de x para que el conjunto de datos no tenga una moda? • ¿Cuál debería ser el valor de x para que el conjunto de datos tenga dos modas? • ¿Cuál debería ser el valor de x para que el conjunto de datos tenga promedio 5? Práctica guiada 3. Relaciona las medidas de tendencia central con el gráfico asociado más adecuado. 4 8 12 16 2 0 4 6 8 10 Edad N.º de personas Distribución de edades a) x = 7,23 N.º de alumnos 10 0 20 30 3 5 7 9 11 13 Puntajes Prueba de Ciencias Me = 7,11 Mo = 7 b) x = 23,40 100 200 300 400 Edad N.º de personas Distribución de edades 18 21 25 28 32 35 39 0 Me = 22,65 Mo = 20,63 42 En resumen Para interpretar las medidas de tendencia central podemos considerar lo siguiente: Si las medidas de tendencia central son valores cercanos, es decir, x Me Mo, entonces el conjunto de datos tiene una distribución simétrica. El caso de distribuciones asimétricas, puede existir asimetría positiva, es decir, cuando el valor de la media es mayor que el valor de la mediana y la moda menor a la mediana. Ejemplo: Cuando la distribución tiene una asimetría negativa, se dice que la media es menor a la mediana y la moda es mayor a la mediana. Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo 1. Si un conjunto de datos es homogéneo, ¿cuál o cuáles medidas de tendencia central son más representativas? 2. Si la mediana es más representativa de un conjunto de datos, ¿qué características tiene este conjunto? § ¿Qué se puede inferir a través de las medidas de tendencia central de una muestra acerca de características de una población? Aplico 4. Analiza la siguiente información y responde. a) La siguiente información corresponde a las medidas de tendencia central sobre los atrasos registrados durante 30 días por los buses de las compañías “Buen viaje” y “Trayecto seguro”. Compañía Buen viaje Media Mediana Moda 2 horas 4 horas 1 hora Compañía Trayecto seguro Media Mediana Moda 3 horas 2 horas 30 Min • Basándote únicamente en los datos de arriba, ¿qué compañía escogerías para viajar? ¿Por qué? • ¿Piensas que con las medidas de tendencia central entregadas puedes tomar una decisión de este tipo? ¿Por qué? b) Mariela y Esteban deben realizar un informe respecto a la estatura de las competidoras de unas olimpiadas escolares en la que participan tres colegios. Ellos cuentan con los histogramas de cada colegio y las medidas de tendencia central, pero desconocen cuáles medidas corresponden a qué establecimiento. Las medidas de tendencia son: Medias Moda Mediana 186 cm 197 cm 177 cm 162 cm 157 cm 162 cm 177 cm 177 cm 187 cm 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 10 20 30 40 50 60 70 80 Estaturas Cantidad de competidoras Colegio Almendros 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 5 10 15 20 25 30 Estaturas Cantidad de competidoras Colegio Nogal 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 10 20 30 40 50 60 Estaturas Cantidad de competidoras Colegio Alerce • ¿A cuál colegio pertenece cada una de las medidas de tendencia central? • ¿Cuál es el colegio que tiene a las competidoras con mayor estatura? • ¿Qué puedes concluir respecto a la estatura de las competidoras de cada colegio a partir de los histogramas y las MTC? Lección Palabras clave Ü Percentiles, cuartiles y quintiles. ¿Cómo calcular medidas de posición? • Si tienes un hermanito o hermanita o conociste a un recién nacido, probablemente has escuchado hablar que el peso o la estatura de este corresponde a un percentil. ¿Qué significará que el recién nacido tenga un peso en el percentil 75? Una municipalidad está realizando un estudio acerca de los ingresos de las familias de la comuna para una asignación de beneficios. Obteniendo los resultados que aparecen en la tabla. Si la distribución de los datos se divide en 4 partes iguales, ¿cuál es el primer cuartil? Y si se divide en 5 partes iguales, ¿cuál es el primer quintil? Y si se divide en 100 partes iguales, ¿a qué percentil corresponden los valores anteriores? Las medidas de posición como los cuartiles, quintiles y percentiles dividen a una distribución ordenada en partes iguales. • Los cuartiles (Qn) son los tres valores de la variable de una distribución que la dividen en cuatro partes iguales. • Los quintiles son los cuatro valores de la variable de una distribución que la dividen en cinco partes iguales. • Los percentiles (Pn) son los noventa y nueve valores de la variable de una distribución que la dividen en cien partes iguales. En resumen Para calcular medidas de posición podemos considerar lo siguiente: • El 1er cuartil (Q₁) es el valor de la variable que supera a lo más el 25% de los datos y es superado por a lo más el 75% de ellos en la distribución ordenada de menor a mayor. El 2do cuartil (Q₂) es un valor que supera a lo más al 50 % de los datos y es superado por a lo más el 50% de ellos, es decir, Q₂ coincide con la mediana. El 3er cuartil (Q₃) es un valor que supera a lo más al 75 % de los datos y es superado por a lo más el 25% de ellos. • El 1er quintil es el valor de la variable separa el 20% de los datos de la distribución ordenada de menor a mayor, el 2do quintil separa el 40%, el 3er quintil separa el 60% y el 4to quintil el 80%. • El percentil p (Pp) es un valor de la variable tal que el p% de la muestra está por debajo y el (100–p)% está sobre. Q Q Q 25% 50% 75% Para responder a las preguntas calcularemos percentiles y a partir de estos determinaremos los cuartiles y los quintiles. Paso 1 Se determina el intervalo al cual pertenece el percentil por calcular. Si queremos calcular el primer cuartil, que corresponde al valor que separa el 25% de la distribución, entonces esto equivale a calcular el percentil 25 (P ). 43 Ingreso del grupo familiar Ingreso (miles $) Marca de clase f F fr Fr [180, 220[ 200 50 50 0,14 0,14 [220, 260[ 240 75 125 0,20 0,34 [260, 300[ 280 88 213 0,24 0,58 [300, 340[ 320 93 306 0,25 0,83 [340, 380[ 360 40 346 0,11 0,94 [380, 420] 400 24 370 0,06 1,00 1 2 3 4 Practica Observa La mediana de una distribución de datos coincide con Q2 y con P50. Repaso 1. Calcula y completa la tabla. Luego responde las preguntas. Longitud de un trozo de madera Longitud (cm) f F fr Fr f% F% [0, 50[ 20 [50, 100[ 35 87,5% [100, 150[ 0,95 7,5% [150, 200] 2 2 40 a) ¿Cuál es el porcentaje de trozos madera de 50 a 100 cm con respecto al total? b) ¿Cuál es el porcentaje de trozos de madera que miden hasta 150 cm con respecto al total? Práctica guiada 2. Identifica el cuartil representado en el diagrama. a) b) c) 3. Identifica los quintiles representado en el diagrama. Entonces determinamos el intervalo al que pertenece Pk de la siguiente manera. k •n 100 → En este caso k = 25 y n = 370, entonces 25•370 100 = 92,5. Buscamos este valor en la columna de la frecuencia acumulada que corresponde al segundo intervalo [220, 260[. Paso 2 Determinar el límite inferior del intervalo en el que se encuentra k. li = 220 Paso 5 Calcular la amplitud del intervalo donde se encuentra k. ai = 260 – 220 = 40 Paso 3 Determinar la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra k. fi = 75 Paso 6 Remplazar los datos obtenidos en la fórmula. P 220 40• ≈ 25•370 100 50 75 242,67 25= + – Paso 4 Determinar la frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra k. Fi – = 50 Paso 7 Interpretar este resultado. El percentil 25 es el valor aproximado de $242 670 es decir, el 25% de las familias tienen un ingreso menor o igual a esta cantidad. Este valor también corresponde al primer cuartil (Q ). Para calcular el primer quintil se puede determinar el percentil P20. Realízalo en tu cuaderno. § ¿Las medidas de posición corresponden a valores exactos de la variable de estudio? ¿Por qué? § ¿A qué percentiles corresponden Q₂ y Q₃? § ¿A qué percentiles corresponden el segundo, tercero y cuarto quintil? § Si se calcula el 10% de una distribución, ¿el valor obtenido corresponderá al P₁₀? ¿Por qué? Razona y comenta En resumen Para calcular el percentil Pk correspondiente al k% de los datos puedes utilizar la siguiente fórmula: li: Límite inferior del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. ai: Amplitud del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. fi: Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el k% de los datos. Fi– : Frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra el k% de los datos. n: Total de datos. P =l +a • k •n 100 –F f k i i i–1 i Practica Aplico 4. Analiza cada situación y luego calcula lo pedido. a) Tomás tiene un local de venta de ropa Presence. La cantidad de ventas realizadas durante 21 días se muestran a continuación: Tienda Presence 61 94 97 103 111 113 130 180 194 198 210 213 221 241 248 257 269 270 274 275 250 • Calcula el Q₂ y el P₈₀. • Calcula el cuarto quintil. • ¿Cuál es el máximo de ventas de ropa para el 50% de los días en la tienda Presence? • ¿Cuál es el mínimo de ropa que se vende en el 60% de los días? b) Durante una prueba realizada a un grupo de 100 alumnos se toma el tiempo que los alumnos demoran en responder toda la prueba. Los resultados se encuentran en la siguiente tabla: Tiempo (horas) 0 1 2 3 4 5 Frecuencia 2 34 45 11 4 4 • Calcula el Q₃ y el P₂₀. • Calcula el tercer quintil. • ¿Cuál es el máximo de horas que se demora el 45% de los alumnos que rindieron la prueba? • ¿En cuál percentil se encuentran los alumnos que se demoraron 2 horas o menos en responder la prueba? • ¿En qué percentil se encuentran los alumnos que se demoran 4 horas o menos? c) Una fábrica de luces de árbol de navidad, realiza un estudio sobre la cantidad de horas que duran sus luces, los resultados de una muestra de 50 luces se muestran en la siguiente tabla: Cantidad de horas Frecuencia absoluta [100, 150[ 5 [150, 200[ 15 [200, 250[ 11 [250, 300[ 9 [300, 350] 10 • Calcula el quintil 4 y el P₆₀. • ¿Cuál es el percentil 58 de la tabla de datos? • ¿Bajo qué hora se encuentra el 60% de los datos? • ¿Sobre qué horas se encuentra el percentil 45 de la cantidad de luces? • ¿Entre qué cantidad de horas se encuentra el percentil 35 y percentil 70 de los datos de la muestra? • El administrador de la fábrica decide realizar una optimización en el proceso de fabricación si existe una mayor diferencia entre el mínimo y la mediana que entre la mediana y el máximo de los datos. ¿Se realizará la optimización? Justifica. 5. Completa la tabla de frecuencias. Luego, responde. En un estudio se han tabulado los ingresos de un grupo de familias, obteniéndose los siguientes resultados. Ingresos (miles $) MC f F fr Fr [190, 230[ 36 [230, 270[ 61 [270, 310[ 20 [310, 350[ 17 [350, 390[ 12 120 [390, 430] Total a) ¿Cuál es el Q₃? ¿Cómo se interpreta? b) Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas están por sobre P₆₀? c) ¿Cuál es la diferencia entre el segundo y tercer quintil? ¿Qué puedes interpretar a partir de ello? d) Escribe 2 conclusiones con respecto a Q₁. 6. Analiza cada situación y responde las preguntas. a) El siguiente gráfico representa la cantidad de calculadoras compradas en una determinada tienda de acuerdo a la edad de los compradores. 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10 15 5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Edad Frecuencia absoluta Calculadoras vendidas • ¿Cuál es el valor de P₁₀?, ¿qué representa? • ¿Qué valor corresponde a Q₃? ¿Cómo se puede interpretar? • Escribe 3 conclusiones con respecto al P₅₀. Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo Calcula los percentiles 59 y 80 del siguiente conjunto de datos. 43 – 47 – 10 – 14 – 5 – 34 – 11 – 11 – 5 – 37 – 41 – 11 – 24 – 9 – 10 – 12 – 25 – 31 – 3 – 34 – 16 – 17 – 20 – 38 – 32 – 12 § Las medidas de posición ¿se pueden calcular para cualquier tipo de datos? ¿Por qué? § Las medidas de posición, ¿se ven afectadas por valores extremos? ¿Por qué? b) El gráfico representa los minutos que deben esperar los clientes de una determinada tienda comercial. 5 10 15 20 25 30 35 1 5 9 13 17 20 Tiempo (minutos) Número de personas Minutos de espera • Calcula P19. ¿Qué representa? • ¿Qué valor corresponde a Q₂? ¿Cómo se puede interpretar? • Escribe dos conclusiones con respecto al Q₃. c) Los 500 estudiantes de 1° medio de los colegios de una municipalidad rindieron una prueba. El gráfico muestra los puntajes, de un total de 100, obtenidos por los estudiantes. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 100 200 300 400 500 Puntaje Frecuencia acumulada Puntajes obtenidos por estudiantes de 1.° Medio • Determina en el gráfico los 4 quintiles. ¿A qué puntajes corresponde? • A los estudiantes que se ubican sobre el percentil 80 se les regalará un libro. ¿A cuántos alumnos les corresponderá el regalo? • Los estudiantes que se encuentran bajo el primer cuartil irán a un curso de nivelación. ¿Cuántos alumnos deberán ir a ese curso? d) El siguiente histograma representa los puntajes obtenidos en una prueba PSU de Matemáticas por alumnos de cuarto medio. • ¿Cuál es el percentil 35? • ¿Cuál es el tercer cuartil? • ¿Cómo se interpreta el percentil 75? 200 300 400 500 600 700 800 5 15 45 55 65 70 Puntaje Frecuencia Puntajes obtenidos en la PSU 7. Conecta. La beca Bicentenario que entrega el Ministerio de Educación consiste en financiar el arancel de referencia anual de la carrera a aquellos estudiantes pertenecientes al 60% de menores ingresos del país que hayan tenido un buen rendimiento académico y que se matriculen en una carrera regular de alguna de las 25 Universidades del Consejo de Rectores. Uno de los requisitos para postular, es que el estudiante pertenezca al primer, segundo o tercer quintil de ingreso socioeconómico de la población del país. ¿Qué significado tiene el requisito para postular? 8. Describe el procedimiento. En la siguiente tabla de frecuencias, se muestra la cantidad de hijos de 100 grupos familiares. Cantidad de hijos de 100 familias Número de hijos f F 0 5 5 1 30 35 2 40 75 3 25 100 Describe el procedimiento para calcular el P , el tercer quintil y el Q . Lección Palabras clave Ü Medidas de posición, polígonos de frecuencia acumulada. Ü Diagramas de caja. Repasa Porcentaje Para calcular el P % de N utiliza la siguiente expresión: x = P 100 •N Ejemplo: Calcular el 5% de 40. x = 5 100 • 40 x = 5 100 40 1 = 200 100 • = 2 Es decir, el 5% de 40 es 2. ¿Cómo se interpretan las medidas de posición? • Es posible que hayas conocido a recién nacidos que han nacido con una estatura por sobre el normal de los niños y lo más probable es que el doctor haya mencionado que está en el percentil 90. ¿Cómo interpretas esta información? Interpretación de medidas de posición a partir de polígonos de frecuencias acumuladas Milena es la nutricionista encargada de estudiar las masas de los recién nacidos en tres hospitales. Para realizar su estudio analiza el polígono de frecuencias acumuladas en el que se ha utilizado la marca de clase. 0 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 150 200 250 50 100 Masa de recién nacidos (kg) Cantidad de recién nacidos Distribución de recién nacidos Hospital C Hospital B Hospital A Milena determina que se debe proporcionar una incubadora al hospital donde el P₁₀ es menor que 2,25 kg, ¿cuál o cuáles hospitales deben recibirla? Además, Milena está diseñando un programa de seguimiento a todos los niños y niñas que al momento de nacer, lo hicieron con una masa hasta el primer cuartil de cada hospital. ¿Bajo qué masa deben estar los recién nacidos para pertenecer al programa? Paso 1 Calcular los porcentajes respectivos a las medidas de posición requeridas. P corresponde al valor bajo el cual está el 10% de los recién nacidos. P = Q corresponde al valor bajo el cual está el 25% de los recién nacidos. Luego, calculamos estos porcentajes: Total: 200 10% de 200 es 20 25% de 200 es 50 Paso 2 Estimar el valor de las medidas de posición respectivas a los porcentajes anteriores. Veamos para el hospital A, para determinar el valor de las medidas de posición debemos ubicar en la frecuencia absoluta los porcentajes encontrados. Las estimaciones requeridas corresponderán a los valores de la variable correspondientes a las frecuencias encontradas. • Al ubicar la frecuencia 20, la curva de color rojo pasa por 1,8 kg, por lo tanto, el P corresponde, aproximadamente, a ese valor. • Al ubicar la frecuencia 50, la curva de color rojo pasa por la masa 2,3 kg, por lo tanto, el primer cuartil corresponde, aproximadamente, a ese valor. 44 1 2 3 4 Repitiendo el procedimiento para los otros hospitales se tienen las siguientes medidas de posición. Hospital A Hospital B Hospital C P10 1,8 kg 1,25 kg 1,8 kg P25 = Q1 (1er cuartil) 2,3 kg 1,5 kg 2,5 kg Al determinar P₁₀ se observa que en todos los hospitales este es menor que 2,25 kg, por lo tanto, los tres deberían recibir la incubadora. Por otra parte, los recién nacidos que pertenecerán al programa del hospital A deben estar bajo los 2,25 kg. Los del hospital B deben estar bajo el 1,75 kg y los del hospital C, bajo los 2,25 kg, todos en forma aproximada. Interpretación de medidas de posición a partir de diagramas de cajas o Boxplot Para su estudio, Milena necesita comparar la mediana de las masas de los recién nacidos y determinar en qué hospital el rango intercuartil es menor. Para esto consulta el siguiente boxplot o diagrama de cajas donde se muestra la distribución de los datos según el hospital. Hospital A Hospital B Hospital C Masa de recién nacidos (kg) Distribución de recién nacidos 1,3 1,8 2,3 2,8 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 Máx. Máx. Mín. Máx. Mín. Mín. Me Me Me Q3 Q3 Q3 Q1 Q1 Q1 Paso 1 Comparar las medianas en los diagramas de caja. Al comparar las medianas se concluye que el Hospital B es el que tiene un valor menor (aproximadamente 1,75 kg) y el Hospital C el que tiene un mayor valor de (aprox. 3,75 kg). Paso 2 Comparar el rango intercuartil para cada boxplot. Al comparar el tamaño de las cajas se observa que el hospital B presenta un rango intercuartil menor que los otros hospitales. En resumen Podemos interpretar las medidas de posición a partir de un polígono de frecuencia acumulada o de un diagrama de cajas o Boxplot que es un gráfico que muestra la distribución de los datos, dividiendo estos en cuatro partes iguales mediante los cuartiles. Para construir un Boxplot se dibuja una caja que va desde Q₁ hasta Q3. Dentro de ella se traza una línea vertical en la mediana. Luego, se trazan líneas desde la caja a los valores mínimo y máximo. Mín. Máx. Q3 Q1 Me Se llama rango intercuartil a la diferencia entre el tercer cuartil (Q₃) y el primer cuartil (Q₁). § ¿Cuál es la utilidad de un diagrama de caja? ¿Qué se puede inferir sobre un conjunto de datos al analizar este tipo de gráfico? § ¿Cuál es la diferencia entre rango y rango intercuartil? ¿Cuál de las dos medidas dice más sobre la concentración de los datos? Razona y comenta Practica Repaso 1. Analiza la información presentada en la tabla y luego responde. Andrea realiza un estudio sobre la cantidad de hermanos que tienen los alumnos de tres cursos, y resume la información en la siguiente tabla. Número de hermanos Curso A Curso B Curso C 0 4 4 66 1 15 5 9 2 25 7 7 3 29 9 7 4 15 24 5 5 10 49 4 a) Construye el gráfico de frecuencia acumulada de la tabla de datos. b) ¿Cuál es el primer cuartil de los datos de cada curso? c) ¿Cuál es el segundo cuartil de los datos de cada curso? d) ¿Cuál es el tercer cuartil de los datos de cada curso? Práctica guiada 2. Relaciona el diagrama de caja con el conjunto de datos representados en él. a) 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 Mín. M Máx. e Q3 Q1 Mín: 3 Q₁: 4,5 Me: 6,75 Q₃: 8,25 Máx: 9,75 b) 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 Mín. M Máx. e Q3 Q1 Mín: 1,5 Q₁: 6 Me: 6,75 Q₃: 9,75 Máx: 12 c) 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 Mín. M Máx. e Q3 Q1 Aplico 3. Analiza la información presentada en el gráfico y luego responde. a) Patricio se encuentra estudiando la contaminación que producen dos fuentes: A y B a los ríos de una región. La cantidad de contaminación producida por cada fuente se encuentra representada en el siguiente gráfico. 70 80 90 100 110 120 130 140 10 20 30 40 50 60 70 80 Cantidad de contaminación (mg/L) Cantidad de ríos Fuentes contaminantes Fuente A Fuente B • Si Patricio necesita realizar un informe que describa la distribución de los datos y la comparación entre las fuentes A y B, ¿qué información debería contener el documento? Descríbela. b) Antonia debe determinar las remuneraciones de una empresa. Para esto utiliza el diagrama de caja que aparece a continuación. 100 200 300 400 500 600 700 800 Distribución de sueldos Monto en miles de pesos • ¿Cuál es el sueldo máximo que paga la empresa? • Si el número de trabajadores de la empresa es de 2000, ¿cuántos de ellos reciben un sueldo igual o inferior a $600 000? Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo En la empresa donde trabaja Antonia (pregunta 3 b.), trabajan 2000 personas, ¿cuántos de ellos están dentro del rango intercuartil? § ¿Qué ventajas y desventajas tiene analizar un conjunto de datos a partir de las medidas de posición, respecto a las medidas de tendencia central? c) Ramón es el encargado de realizar un estudio sobre los errores en la ortografía cometidos en dos departamentos de una editorial. Para esto construye el siguiente gráfico en el que se exhibe la distribución de los errores para una muestra de 100 trabajos para el departamento A y B. Depto. A Depto. B Cantidad de errores Distribución de errores 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 • Ramón realizará una capacitación a los trabajadores del departamento editorial cuyo Q₂ supere los 40 errores. ¿En cuál departamento se realizará la capacitación? • Ramón debe realizar un informe comparando los cuartiles y la media aritmética entre los departamentos. ¿Cuál sería dicho informe? • Si los departamentos A y B trabajan con la misma cantidad de personal y en las mismas condiciones, ¿cuál es el departamento más eficiente? d) Romeo y Elizabeth perdieron los datos de tres variables A, B y C correspondiente a los atrasos de tres turnos de una empresa. Solamente poseen el siguiente diagrama de caja: Cantidad de atrasos Distribución de turnos C B A Si deben confi rmar un informe que contiene las afi rmaciones que aparecen a continuación, ¿cuál de ellas es la correcta? Corrige aquellas que sean erróneas para que puedan ser incluidas en el informe. • El primer cuartil del turno A es mayor que el primer cuartil de turno B. • El segundo cuartil del turno C es mayor que la mediana de los datos de los turnos A y B por separado. • El segundo cuartil de A es mayor que el segundo cuartil de C. • La mediana de B es igual a la mediana de C. • El rango intercuartil del turno A es el mayor. 4. Conecta. Los pediatras utilizan ciertas tablas que permiten determinar la relación entre el peso y talla de un bebé, uno de estos gráficos corresponde a la curva de crecimiento fetal. A partir del grá co extrae 3 conclusiones relacionadas con medidas de posición. 5. Crea. Utiliza los datos del INE para analizar la distribución de algunos que sean de tu interés. ¿Consideras que es más sencillo analizarlos con medidas de posición? Lección Palabras clave Ü Uso de software. Observa Las funciones que utilizaremos se encuentran en el botón Fórmulas de la barra de herramientas, opción Más funciones, Estadísticas: Para seleccionar los datos debes hacer clic en la primera celda y luego mantener el botón del mouse apretado hasta llegar a la última celda que contenga un dato. ¿Cómo realizar un análisis estadístico utilizando una planilla de cálculo? • En el análisis estadístico existen muchos cálculos engorrosos como las medidas de tendencia central o de posición que se pueden simplificar utilizando una herramienta computacional. Tabla de datos agrupados Te presentamos el registro de las estaturas de 24 estudiantes de primero medio para que hagas un análisis descriptivo de los datos. En una planilla de cálculo puedes realizar los siguientes pasos. 1,55 1,61 1,70 1,59 1,49 1,71 1,81 1,53 1,56 1,54 1,65 1,74 1,56 1,68 1,63 1,76 1,45 1,62 1,67 1,72 1,54 1,69 1,57 1,80 Paso 1 Copiar los datos a una planilla de cálculo. Paso 2 Calcular el máximo y el mínimo de los datos. Puede utilizar las funciones MAX y MIN para determinar, respectivamente, el máximo y el mínimo de un conjunto de datos. Estas funciones necesitan como argumento el rango de datos (B3:B26). Paso 3 Calcular el rango y la amplitud. Para calcular el rango se restan las celdas que contienen al máximo y al mínimo aplicando la fórmula =E2-E3, luego enter. Para calcular la amplitud se divide la celda que contiene al rango en el número de intervalos que se desean, aplicando la fórmula =E4/4 para obtener 4 intervalos. 45 1 2 3 4 Observa Para calcular la marca de clase de los intervalos de la tabla puedes utilizar la fórmula =(E8+D8)/2 que corresponde al promedio de las celdas que contienen a los extremos de cada intervalo. Luego, cópiala hacia abajo, manteniendo apretado el botón izquierdo del mouse. Para calcular la frecuencia acumulada para el segundo intervalo puedes utilizar la fórmula =F8+F9, es decir, sumar las celdas que contienen las dos primeras frecuencias absolutas. Luego, cópiala hacia abajo manteniendo apretado el botón izquierdo del mouse. Paso 4 Construir los intervalos. Para construir los intervalos se copia (ctrl+C) el mínimo en otra celda (D9). En la celda que está a la derecha se escribe la fórmula =D9+E5, es decir, al mínimo se le suma la amplitud. Se repite el proceso en las siguientes celdas, pero ahora copiando el resultado obtenido en la celda anterior. Paso 5 Calcular las frecuencias. Para calcular la frecuencia se utiliza la función CONTAR.SI, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B3:B26) y la condición, para el primer intervalo serían todos los valores menores a 1,54 (“<1,54”). Para el siguiente intervalo se cuentan, con la misma función, todos los valores menores que 1,63 (límite superior del segundo intervalo) y se le resta la cuenta de todos los valores menores que 1,54, es decir, los contados en el intervalo anterior. Se repite el proceso para los siguientes intervalos. La tabla de datos agrupados quedaría como: Lección 45 Observa Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos se puede utilizar la función PROMEDIO, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B3:B26). Medidas de tendencia central Para calcular medidas de tendencia central puedes realizar los siguientes pasos en una planilla de cálculo. Paso 1 Calcular la moda. Para calcular la moda de un conjunto de datos se puede utilizar la función MODA, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B3:B26). Paso 2 Calcular la mediana. Para calcular la mediana de un conjunto de datos se deben ordenar los datos empleando el ícono , y puede hacerse de menor a mayor o viceversa. Luego se debe utilizar la función MEDIANA, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B3:B26). Las medidas de tendencia central serían: 1 2 3 4 Practica Aplico 1. Construye una tabla de frecuencias utilizando una planilla de cálculo. Luego, calcula las medidas de tendencia central y de posición. 1,5 0,8 2,7 0,5 3,5 1,8 1,9 2 0,9 2,2 4 1,2 1,4 2,3 2,1 1,7 2,6 3 0 1,8 3,6 2. Construye un histograma y un polígono de frecuencias para los datos anteriores. 3. Averigua cómo construir un diagrama de cajas o Boxplot en una planilla de cálculo. Observa Las medidas de posición obtenidas son: Medidas de posición Para calcular medidas de posición puedes realizar los siguientes pasos en una planilla de cálculo. Paso 1 Calcular percentiles. Para calcular el percentil k de un conjunto de datos se puede utilizar la función PERCENTIL, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B3:B26) y el porcentaje al cual corresponde el percentil que se está buscando escrito en forma decimal. Por ejemplo, para calcular el percentil 15 se escribe: Paso 2 Calcular cuartiles. Para calcular los cuartiles de un conjunto de datos se puede utilizar la función CUARTIL, la cual necesita como argumentos el rango de datos (B 3:B26) y el número del cuartil (1, 2 o 3) que se está buscando. Por ejemplo, para calcular el primer cuartil se escribe: Re exiono Refuerzo Construye un histograma y un polígono de frecuencias con los datos de las estaturas de primero medio presentadas en la lección. § ¿Cuál es la importancia del empleo de la tecnología en Matemáticas? Integración Integro mis aprendizajes 1 En la siguiente tabla se muestra la cantidad de palabras que lee un grupo de niños de primero básico en un minuto. Cantidad de palabras Frecuencia absoluta [27, 33[ 7 [33, 39[ 15 [39, 45[ 13 [45, 51[ 10 [51, 57[ 3 [57, 63] 2 a. ¿Cuál es el valor de la media, moda y mediana de los datos? b. ¿Qué porcentaje aproximado de niños leen más del promedio de los datos? c. ¿Qué porcentaje aproximado de niños leen menos que la moda de los datos? 2 Patricio debe hacer un estudio sobre los arriendos que ofrecen dos inmobiliarias. Los datos en miles de pesos son: Inmobiliaria A 576 680 236 286 587 496 525 680 163 708 215 302 253 357 666 151 191 488 646 471 279 194 732 394 608 632 570 315 135 229 551 139 100 236 716 208 750 216 328 461 Inmobiliaria B 484 100 258 505 120 409 413 602 678 380 115 228 650 521 362 521 437 740 115 402 271 421 288 234 462 517 243 511 142 442 584 280 194 578 172 369 181 416 750 256 a. Para realizar su estudio, Patricio decide hacer una tabla de frecuencia de 5 intervalos. Realízala. b. En promedio, ¿cuál inmobiliaria tiene el arriendo más bajo? c. ¿Existe alguna inmobiliaria en la que el 50% de los datos supere al promedio de los precios? d. Patricio se pregunta ¿es posible determinar cuál es la inmobiliaria que tiene los precios más altos? ¿Cómo lo harías? Representar un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos, y calcular medidas de tendencia central. (Lecciones 39 y 40) 3 Una encuesta realizada a cierta cantidad de personas acerca de la cantidad de horas que hacen deporte en una semana arrojó los siguientes resultados. Cantidad de horas Frecuencia absoluta [0, 2[ 30 [a, 4[ 20 15 32 [b, 10[ 18 [10, 12] c Total 120 a. Calcula el valor de a y b b. ¿Cuál es el rango de los datos? c. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos de la tabla? d. Si el promedio es 5,05 horas, ¿cuál es el valor de c? e. ¿Cuál es la cantidad de encuestados? f. ¿Se puede calcular la moda con los datos de la tabla? De ser así, calcúlala. g. Calcula la mediana del conjunto de datos. ¿Qué puedes concluir acerca de este valor? h. ¿Cómo podrías interpretar el valor de la mediana en los datos de la tabla? 4 Andrea y Joaquín discuten sobre el rendimiento de sus cursos, argumentando que tienen mejores calificaciones. Para esto comparan las calificaciones finales de cada curso. Curso de… Calificaciones Andrea Joaquín [1,0; 2,0[ 6 5 [2,0; 3,0[ 2 1 [3,0; 4,0[ 3 1 [4,0; 5,0[ 7 23 [5,0; 6,0[ 10 2 [6,0; 7,0] 12 8 a. Calcula la media, moda y mediana del curso de Andrea. b. Calcula la media, moda y mediana del curso de Joaquín. c. Escribe, al menos, dos argumentos que puede utilizar Andrea. Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 1 2 3 4 Obtener información mediante el análisis de datos presentados en tablas y gráficos a partir de la interpretación de medidas de tendencia central y de posición. (Lecciones 41 a 44) 5 En una fábrica de motores para bicicletas, el encargado de producción mide las emisiones de partículas de plomo en milígramos (mg) que generan tres líneas de ensamblaje como muestra la tabla. Pa Partículas de plomo (mg) Línea A (%) Línea B (%) Línea C (%) [70, 75[ 23 4 7 [75, 80[ 20 7 14 [80, 85[ 17 15 28 [85, 90[ 17 19 30 [90, 100[ 13 25 14 [100, 105] 10 30 7 a. ¿Cuál es el valor del percentil 90 y el primer cuartil en cada línea de ensamblaje? b. ¿Cuál es el mayor valor del percentil 85 de las líneas de ensamblaje? ¿Cómo se interpreta este valor? c. El jefe de producción decide implementar un plan de mejoramiento en aquellas líneas de ensamblajes cuyo P₂₀ de emisiones sea igual o inferior a 80 mg. ¿Cuáles serán incluidas en este plan? d. ¿Es correcto afirmar que la mediana de las emisiones de cada línea de ensamblaje es inferior a 90 mg? Justifica tu respuesta. e. ¿En cuál de las tres líneas de ensamblaje el P₈₀ de las emisiones supera los 100 mg? f. El jefe de producción, ¿puede afirmar que los niveles de plomo más altos se encuentran en la línea de ensamblaje B? ¿Estás de acuerdo con esta información? ¿Por qué? 6 Una fábrica de ampolletas presenta las siguientes horas de duración para tres tipos del mencionado artículo: Ho Horas A B C [200, 400[ 50 5 25 [400, 600[ 30 5 30 [600, 800[ 20 40 30 [800, 1000] 10 60 25 a. ¿Qué tipo de ampolleta tiene el mejor tiempo de duración? Utiliza las medidas de tendencia central para argumentar tu afirmación. b. ¿Cuál es el valor del tercer cuartil de cada tipo de ampolleta? ¿Y el primer quintil (P₂₀)? c. ¿Es correcto afirmar que el 20% de las ampolletas tipo C tienen una duración de 300 horas? Justifica tu respuesta. 7 Una empresa de repartos a domicilio tiene dos sucursales: A y B. La encargada de remuneraciones, debe hacer un informe que represente la situación respecto a los sueldos en ambas sucursales. Para esto analiza el siguiente gráfico donde se muestran las remuneraciones de cada sucursal. 200 250 300 350 400 450 500 550 5 10 15 20 25 30 35 40 Sueldo en miles de pesos Cantidad de empleados Sueldos en sucursales A y B B A a. ¿Es correcto afirmar que en la sucursal A los sueldos son más altos que en la sucursal B? ¿Por qué? b. Para los sueldos menores a $350 000, ¿cómo es la distribución de estos en ambas sucursales? c. La encargada de remuneraciones advierte grandes diferencias en los sueldos, por lo que decide aumentarlos en una de las dos sucursales. ¿A cuál de ellas se refiere? Argumenta tu respuesta. d. Escribe, al menos, dos argumentos que puede utilizar Joaquín. e. ¿Quién piensas que tiene el curso con mejor rendimiento? Explica. Aplico mis aprendizajes Resolución de problemas Problema Daniela trabaja en una agencia de viajes y desea vender un paquete turístico a un grupo de estudiantes y de trabajadores de un instituto. Para ello realiza una encuesta acerca de la cantidad de días (estadía) que dura el viaje, obteniendo los siguientes resultados por intervalo de edad. Si Daniela le ofrecerá un descuento extra al grupo cuya media no supere a la mediana para cada estadía y que tenga el mayor rango intercuartil, ¿qué grupo se llevará la oferta? Grupos por estadía Edad 10 días 30 días [18, 22[ 8 32 [22, 26[ 12 28 [26, 30[ 10 11 [30, 34[ 25 11 [34, 38] 34 7 Paso 1 Comprendo ¿Qué entendiste del problema? Se deben comparar la media, mediana y el rango intercuartil de cada grupo. Se llevará el descuento extra el grupo que tenga una media menor a la mediana y un rango intercuartil mayor. Paso 2 Planifico ¿Qué harías para resolver el problema? Graficar los histogramas correspondientes a cada grupo y comparar la media y la mediana a partir de la simetría o asimetría de estos. • Calcular Q₁, Q₂ (mediana) y Q₃. • Construir un diagrama de caja para cada grupo y compararlos. Paso 3 Resuelvo ¿Cómo ejecutarías la estrategia? Al observar los histogramas nos damos cuenta de que las distribuciones son asimétricas. En el caso del primer grupo tenemos una distribución asimétrica negativa y, por lo tanto, la media es menor que la mediana. 18 22 26 30 34 38 5 10 15 20 25 30 35 40 Edad Cantidad de personas Grupo que viaja durante 10 días 18 22 26 30 34 38 5 10 15 20 25 30 35 Edad Cantidad de personas Grupo que viaja durante 30 días Florence Nightingale (1820 – 1910) Fue una célebre inglesa, reformadora social y estadístico, fundadora de la enfermería moderna. Ella se convirtió en pionera en la presentación visual de la información y gráficos estadísticos. Se le atribuye el desarrollo del gráfico circular, con el fin de ilustrar las fuentes estacionales de la mortalidad de los pacientes en el hospital militar donde trabajó durante la guerra de Crimea. En 1859 Nightingale fue elegida como el primer miembro femenino de la Real Sociedad de Estadística y más tarde se convirtió en un miembro honorario de la American Statistical Association. http://www.agnesscott.edu/lriddle/ women/nitegale.htm Resolución de problemas 1 2 3 4 1. Carlos es el encargado de vender insumos eléctricos en empresas. Él tiene en su poder las características de la resistencia en kilogramos que soportan tres tipos de resorte, Resort, Boing y Saltos. Resistencia Resort Boing Saltos [200, 250[ 40 60 20 [250, 300[ 30 70 20 [300, 350[ 20 10 20 [350, 400] 10 5 10 Para justi car las ventas, Carlos debe hacer un informe con las resistencias que ofrece a cada empresa. a) ¿En qué medidas de tendencia central debe concentrarse para vender los resortes Resort? ¿Y Boing? ¿Y Saltos? Justifica en cada caso. b) ¿Cómo es la distribución de los datos de cada resorte? Compáralos. c) ¿Cuál de todos los resortes escogerías? Justifica tu elección. 2. Paulina está formando un negocio de pizzas y ofrece diferentes tipos, dependiendo de la cantidad de ingredientes y del tamaño de la masa. Ella lleva un conteo de lo que ha vendido en una semana, para luego sacar las ganancias. Tamaño de la pizza N° de ingredientes Personal Familiar Grande Extra grande [1, 3[ 2 6 5 4 [3, 5[ 15 25 32 21 [5, 7[ 12 36 26 15 [7, 9] 8 12 14 7 Paulina necesita reajustar los precios según el tamaño de las pizzas, y cuya media no supere a la mediana en cada intervalo de ingredientes. ¿Qué tamaño de pizza se reajustará en el precio? § ¿De qué otra forma habrías resuelto el problema? ¿Por qué? § ¿Qué paso de la resolución de problemas es el que te resulta más difícil resolverlo? Re exiona Resuelve los siguientes problemas. 10 días 30 días Q 26,90 20,78 Me 32,32 23,78 Q 35,38 28,45 Mín. 18 18 Máx. 38 38 Al comparar los diagramas de caja se observa que el rango intercuartil del primer grupo es un poco más grande que el del segundo grupo. Paso 4 Reviso ¿Cómo saber que es correcto el resultado? Se calculan las medias para cada grupo y se comparan con la mediana de cada grupo: x días = 2752 89 ≈ 30,92 < 32,32 x días = 2224 89 ≈ 24,98 > 23,78 Se calcula el rango intercuartil (RI) restando Q₃ – Q₁, para cada grupo y se comparan: RI días = 35,38 – 26,90 = 8,48 RI días = 28,45 – 20,78 = 7,67 Luego las deducciones anteriores son correctas. Paso 5 Comunico ¿Cómo interpretas el resultado obtenido? Daniela debe ofrecer el descuento extra al grupo que viajará durante 10 días. Estadía 10 días Estadía 30 días Edad Distribución de viajeros según estadía 16 20 24 28 32 36 40 Máx. Mín. Máx. Mín. Me Me Q3 Q3 Q1 Q1 Lección Palabras clave Ü Diagrama de árbol. Ü Principio multiplicativo. Repasa Un espacio muestral corresponde al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Si el experimento aleatorio es lanzar una moneda, su espacio muestral es {cara, sello} y la cardinalidad del espacio muestral es 2. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? • Cuando vas a un restorán y pides el menú que se compone de 2 platos de fondo y 3 acompañamientos, ¿de cuántas maneras puedes elegir tu almuerzo? Gabriela es la encargada de logística en una empresa de camiones que realiza recorridos desde Santiago a Concepción con una parada en Rancagua. Ella desea determinar la probabilidad de que un camión realice uno de los distintos recorridos posibles, ya que de Santiago a Rancagua estos vehículos pueden transitar por 3 caminos diferentes, de Rancagua a Concepción, por 4. ¿Cuántos recorridos pueden realizar los camiones para ir de Santiago a Concepción? Para calcular la cantidad de caminos diferentes que pueden recorrer los camiones, puedes seguir los pasos: Paso 1 Identificar los trayectos de Santiago a Rancagua y de Rancagua a Concepción, mediante un esquema. Santiago Rancagua Concepción A1 B1 B2 B3 B4 A2 A3 De Santiago a Rancagua existen 3 caminos, A1, A2 y A3. De Rancagua a Concepción existen 4 caminos, B1, B2, B3 y B4. Paso 2 Transformar el esquema anterior en un diagrama de árbol. A1 B1 B1 B1 B2 B2 B2 B3 B3 B3 B4 B4 B4 A2 A3 Mediante el diagrama de árbol podemos calcular que la cantidad de recorridos distintos que pueden realizar los camiones desde Santiago a Concepción es 3 • 4 = 12. Este cálculo se conoce como Principio multiplicativo. 46 1 2 3 4 Practica Gabriela desea analizar nuevos recorridos para los camiones, pasando por otras ciudades como Talca, Linares y Chillán, conociendo que: De Rancagua a Talca existen 4 caminos. De Talca a Linares existen 5 caminos. De Linares a Chillán existen 5 caminos. De Chillán a Concepción existen 3 caminos. ¿Cuántos recorridos pueden realizar los camiones? Paso 3 Calcular la cantidad de trayectos distintos utilizando el principio multiplicativo. Se multiplican las cantidades de caminos posibles a cada ciudad: Cantidad de caminos de Chillán a Concepción Cantidad de caminos de Linares a Chillán Cantidad de caminos de Rancagua a Talca Cantidad de caminos de Talca a Linares Cantidad de caminos de Santiago a Rancagua 3 • 4 • 5 • 5 • 3 = 900 Por lo tanto, los camiones pueden realizar 900 trayectos diferentes desde Santiago a Concepción pasando por las ciudades mencionadas anteriormente. Repaso 1. Construye un diagrama de árbol para representar las diferentes combinaciones. a) 2 pantalones (azul o negro) y 3 chalecos (rojo, amarillo o verde). b) 3 colores de blusas (blanca, roja o negra) y 3 pares de zapatos (cafés, negros o blancos). c) 2 proteínas (carne o pollo), 2 carbohidratos (arroz o fideos) y 2 postres (jalea o fruta). 2. Completa el siguiente diagrama de árbol. Azul Azul oscuro Rojo Verde claro Rojo En resumen La cardinalidad de un espacio muestral se puede calcular a través de las técnicas de conteo. Una de ellas es el diagrama de árbol que permite representar gráficamente todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Otra técnica es el principio multiplicativo que se define a continuación: La realización de un proceso que se divide en k etapas y cada etapa se puede realizar de n₁, n₂,…,nk formas, entonces todo el proceso se puede realizar de n₁ • n₂ • …• nk distintas maneras. § ¿Qué ventajas y desventajas tiene utilizar diagramas de árbol para determinar el espacio muestral de un experimento? ¿Y el principio multiplicativo? § Si el camión debe volver a Santiago escogiendo un camino al azar, y pasando por las mismas ciudades ¿cuántas posibilidades tiene para escoger de modo que no pase por el mismo camino que tomó para el trayecto de ida? Razona y comenta Practica Práctica guiada 3. Analiza la situación y luego responde las preguntas. En un restorán se ofrecen distintas alternativas de menú. Para el plato de fondo se ofrecen 3: pollo, carne o pescado; 3 acompañamientos: arroz, puré o ensaladas y 2 postres: pastel o fruta. Una persona debe escoger una opción de cada menú. A continuación se muestra un diagrama de árbol que muestra las distintas opciones. Pollo Arroz Pastel Pastel Pastel Fruta Fruta Fruta Puré Ensalada Carne Arroz Pastel Pastel Pastel Fruta Fruta Fruta Puré Ensalada Arroz Pastel Pastel Pastel Fruta Fruta Fruta Puré Ensalada Pescado a) Si una persona es vegetariana (no come carne ni pollo) ¿cuántas opciones podrá elegir? b) Si en un momento se acaba el pastel, ¿cuántas opciones para escoger tendrá un persona? ¿Y si se acaba el puré? 4. Completa el diagrama de árbol de acuerdo con la situación dada, y luego responde las preguntas. La letras de la palabra RIO, se pueden combinar para escribir distintas palabras con o sin sentido y sin que se repitan según el siguiente diagrama de árbol: R RI R O I IO O RO I RIO I O OI a) ¿Cuántas palabras sin importar su sentido, se pueden formar con la palabra RIO? b) ¿Cuántas palabras con sentido se pueden formar con la palabra RIO? c) Si se agrega la letra S a la palabra RIO, ¿cuántas palabras con o sin sentido y sin que se repitan se podrían formar? Comprueba con el principio multiplicativo. Aplico 5. Resuelve los siguientes problemas. a) En una repisa se quieren ordenar 3 libros. Uno de Biología, otro de Lenguaje y uno de Matemática. ¿De cuántas formas es posible hacerlo? b) Un estudiante tiene 5 chaquetas, 3 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatillas. ¿De cuántas formas puede combinar su ropa para vestirse? c) Con respecto a la palabra PLATO, ¿de cuántas maneras puede combinar las letras para escribir distintas palabras, con o sin sentido y sin que estas se repitan? d) ¿Cuántas patentes para automóviles es posible formar si estas deben constar de 4 letras, todas ellas consonantes seguidas de 2 dígitos? Considera que las letras y números se pueden repetir. e) Gastón realiza diferentes tipos de páginas web. Se especializa en páginas para comerciantes, deportistas, colegios, institutos y bancos. Para cada una de ellas tiene 10 opciones de diseño con 5 colores cada una. Para presentar sus productos, Gastón quiere hace un diagrama de árbol de las posibilidades que tiene un cliente para escoger, ¿cómo sería dicho diagrama? f) Andrés y Sofía piden una pizza que pueden tener los siguientes ingredientes; choricillo, pepinillos, queso extra, sardina, extra aliños y pasta de maní. Si además pueden elegir entre tres tipos de masas: fina, gruesa y encebollada, entonces: • ¿De cuántas formas pueden elegir la pizza? • Si Sofía es alérgica al maní, entonces ¿de cuántas formas distintas pueden pedir las pizzas? Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo ¿Cuántos números de 7 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, utilizando cada cifra solo en una ocasión? § ¿Por qué crees que es necesario conocer y analizar las combinaciones de diversos elementos? g) Vanesa se encuentra programando un juego que consiste en el viaje que debe hacer una hormiga desde el punto A hasta el punto B en diferentes laberintos. Además debe considerar que no puede devolverse en su camino. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar la hormiga en los siguientes laberintos? B A B A A B h) Lorena construye el siguiente circuito de tómbolas: Entrada Salida A B Compuerta 1 Compuerta 2 Compuerta 3 Todas las compuertas de la tómbola se encuentran cerradas y en cada tubo solamente puede pasar una bolita a la vez. Lorena deposita 4 bolitas numeradas del 1 al 4 en la entrada. • Si se abre la compuerta 1, ¿de cuántas formas pueden ordenarse las bolitas al caer en la tómbola A? • Si en la tómbola A se encuentran tres bolitas numeradas del 5 al 7 y se abre la compuerta 2, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse al caer las bolitas en la tómbola B? • Si en la tómbola B se encuentran tres bolitas numeradas del 8 al 10 y se abre la compuerta 3, ¿de cuántas formas pueden salir todas las bolitas? • ¿De cuántas maneras pueden ordenarse al salir las 10 bolitas numeradas del 1 al 10 si la bolita n° 2 debe ser la primera? • ¿De cuántas maneras pueden ordenarse al salir las 10 bolitas numeras del 1 al 10 si la bolita n° 2 debe salir en tercer lugar? 6. Conecta. Un elemento fundamental de la electrónica digital son los operadores lógicos, los cuales consisten en procesar señales eléctricas representadas por 0 y 1 cuyas combinaciones entregan, según estas señales, una respuesta, por ejemplo: Existen 2 posibilidades de salida, ya que en la entrada ingresa el 0 o el 1. Existen 4 posibilidades de salida, ya que pueden ingresar el 00, 01, 10 y 11. Existen 8 posibilidades de salida, ya que pueden ingresar el 000, 001, 010, 100, 110, 101, 011, 111. ¿Cuántas salidas diferentes tendrá un operador lógico de 100 entradas? Y si se pudieran ingresar tres señales en cada entrada como el 0, 1 y 2 ¿Cuántas combinaciones posibles se pueden obtener en la salida? 7. Descubre el error. Cristina tiene 5 libros de Lenguaje y 3 libros de historia. Los 5 libros de Lenguaje son distintos entre sí y los 3 libros de Historia son idénticos entre sí. Cristina dice que existen: 5 • 3 = 15 diferentes ordenamientos en fila de los libros. ¿Dónde está el error cometido por Cristina? 8. Desafío. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 dígitos, este quede formado solo por cifras impares? Lección ¿ De cuántas formas se pueden ordenar una cantidad de objetos? • Supongamos que estás limpiando tu habitación y quisieras ordenar 5 libros en una repisa, ¿de cuántas maneras podrías hacerlo? Permutación Rodrigo participa en un experimento que consiste en adivinar el orden de extracción, sin reposición, de 3 bolitas desde la urna que muestra la imagen. Si Rodrigo debe escoger un orden al azar, ¿cuántas posibilidades tiene para hacerlo? Paso 1 Realizar un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos posibles. Paso 2 Comprobar lo anterior utilizando el principio multiplicativo. Posibilidades para la 2.° extracción. Posibilidades para la 3.° Posibilidades para la 1.° extracción. extracción. 3 • 2 • 1 = 6 Esta situación se conoce como una permutación de 3 elementos (P ), es decir, la cantidad de formas distintas en que se pueden ordenar 3 elementos diferentes. P = 3! = 3 • 2 • 1 = 6 Rodrigo puede escoger entre 6 posibilidades para orden de extracción de 3 bolitas de una urna que contiene 3 bolitas de distinto color. En resumen Una permutación de n objetos diferentes (Pn) corresponde al número de ordenamientos lineales posibles de realizar con n elementos. Se expresa como n! (n factorial) Por ejemplo 5! (5 factorial) se calcula como: 5! = 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 Con n entero positivo se tiene n!=n • (n – 1) • (n – 2)... • 3 • 2 • 1. Por definición 0! = 1 Permutación con repetición Si el experimento varía y se remplaza la bolita amarilla por una de color rojo, ¿de cuántas formas puede escoger Rodrigo el orden de extracción? Paso 1 Realizar un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos posibles. Existen 6 formas de ordenamiento, sin embargo, solamente existen 3 ordenamientos diferentes, , y Repasa En las extracciones sin reposición se extrae la bolita y no se vuelve a ingresar a la urna. Palabras clave Ü Permutación. Ü Variación. 47 Se observa que Rodrigo puede escoger entre 6 ordenamientos distintos. 1 2 3 4 Observa Para calcular el factorial de un número debes ingresar la tecla x! de tu calculadora. Por ejemplo, para calcular 5!, en tu calculadora debes ingresar SHIFT x! Paso 2 Utilizar el cálculo de una permutación con elementos repetidos. Como existen 2 bolitas que se repiten, la cantidad de ordenamientos de 3 elementos se divide por la cantidad de elementos repetidos, es decir: Cantidad de permutaciones con 2 elementos. Cantidad de permutaciones con 3 elementos. P 3! 2! 3• 2 •1 2 •1 6 2 3 2 3 = = = = Por lo tanto, Rodrigo puede escoger entre 3 ordenaciones diferentes para la extracción de 3 bolitas de una urna con 3 bolitas donde 2 de ellas tienen el mismo color. Variación Ahora el experimento consiste en adivinar el orden de extracción de dos bolitas desde una urna con cuatro bolitas de distinto color. En este caso, ¿cuántos ordenamientos distintos puede escoger Rodrigo? Paso 1 Realizar un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos posibles. Paso 2 Utilizar el cálculo de la permutación de un subconjunto de un conjunto de elementos. En este caso, Rodrigo realiza el siguiente análisis a partir del principio multiplicativo, considerando que de 4 elementos se ordenan 2. 2da extracción 3era extracción 4ta extracción Ordenación de 2 elementos P 4 • 3• 2 •1 4! 4 • 3•2! 4! 4 • 3•(4 2)! 4! 4 • 3 4! (4 2)! V 4 2 4 = = = − = = − = Total menos los elementos a ordenar 1era extracción Esto se conoce como una variación de 2 elementos desde un conjunto de 4 elementos. Por lo tanto, Rodrigo puede escoger 12 ordenaciones diferentes de extracción de 2 bolitas de una urna que tiene 4 bolitas de diferente color. Existen 12 formas distintas de orden para la extracción. Según el principio multiplicativo se puede calcular como 4 • 3 = 12. En resumen • Una permutación de n elementos con a, b y c elementos repetidos se calcula mediante la siguiente expresión: • La permutación de r elementos de un conjunto de n elementos distintos se conoce como variación, y se calcula mediante la expresión: P n! a!•b!• c! (a,b,c) n = V n! (n r)! r n = − Lección Variación con reposición Si ahora el experimento consiste en extraer una bolita, anotar su color y devolverla a la urna, ¿de cuántas formas se podrán extraer 2 bolitas de la urna? Paso 1 Realizar un diagrama de árbol para visualizar todos los ordenamientos posibles. Existen 16 formas distintas de orden para la extracción con reposición, ya que la cantidad de ramas del diagrama de árbol no disminuye con cada extracción pues se devuelven las bolitas extraídas. En este caso, Rodrigo advierte que al aplicar el principio multiplicativo se tiene: 4 • 4 = 16 ⇒ 42 = 16 1era extracción 2da extracción Esto se conoce como una variación con reposición de 2 elementos desde un conjunto de 4 elementos distintos. Por lo tanto, Rodrigo puede escoger 16 ordenaciones de la extracción de 2 bolitas de una urna que tiene 4 bolitas de diferente color. Praáctica Repaso 1. Resuelve el siguiente problema, aplicando principio multiplicativo o diagrama de árbol. a) En un torneo de tenis se tienen cuatro equipos, A, B, C y D que se disputan el tercer y cuarto lugar. ¿De cuántas formas posibles estos equipos pueden quedar ubicados en la tabla de posiciones? b) ¿De cuántas maneras se pueden sentar tres niños en una fila con tres sillas? c) ¿Cuántas contraseñas de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra CLAVE? d) Un analista informático va a conectar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para conectar el servidor? e) Un producto antes de salir al mercado pasa por tres controles de calidad, en cada uno se inspecciona una cierta particularidad y se anota su conformidad; en el primer control hay 4 exámenes, en el segundo control hay 3 exámenes, y en el tercer control hay 2 exámenes. ¿De cuántas maneras se puede controlar la calidad de un producto? f) De una ciudad "A" a otra ciudad "B" hay 4 caminos diferentes y de la ciudad "B" a la ciudad "C" hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se podrá ir de "A" a "C"? Si Rodrigo quiere calcular la probabilidad de adivinar el orden de extracción de 3 bolitas con reposición de la última urna mostrada, ¿cómo lo calcularía? Razona y comenta 47 En resumen La permutación de r elementos de un conjunto de n elementos se conoce como variación con reposición y se calcula como: V n r n = r Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo ¿De cuántas maneras puedes ordenar en una repisa 8 libros de los cuales 3 son de Matemática? § ¿Por qué crees que es necesario conocer y analizar las permutaciones o variaciones de diversos elementos? Práctica guiada 2. Calcula el valor de las siguientes permutaciones y variaciones. a) P₂⁵ b) P₃⁷ c) P d) V₂⁴ e) V₅⁶ f) V₆¹⁰ Aplico 3. Resuelve los siguientes problemas. a) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sin que se repita ninguna? ¿Y si se repite cada uno en dos ocasiones? ¿Cuántos de esos números terminarán en 26? b) Amalia participa en un juego que consiste en adivinar el orden de extracción de 5 bolitas desde una urna que contiene 5 bolitas de colores. • ¿Cuántas extracciones distintas existen? • Si Amalia dice que la primera bolita es de color azul, ¿cuántas extracciones distintas existen para que ella gane? • Si Amalia dice que la primera bolita es azul y la segunda verde, ¿cuántas extracciones distintas existen para que ella gane? • Si Amalia dice que la última bolita es de color amarillo, ¿cuántas extracciones distintas existen para que ella gane? c) Carmen tiene una florería y ella es especialista en crear arreglos florales. ¿Cuántos arreglos florales distintos puede obtener con 10 flores diferentes si estos deben ser de 5 flores? • ¿Cuántos arreglos de 5 flores se pueden obtener de 10 flores, si 5 de ellas son rosas? • Continuando con la pregunta anterior, ¿cuántos arreglos se pueden obtener si 2 de las flores deben ser rosas? d) Isabel realiza el siguiente experimento en la feria de su colegio: desde una urna con 7 bolitas como muestra la figura, se debe adivinar el orden de extracción de 3 bolitas que realizará un compañero con los ojos vendados. Existen dos formas de extraer las bolitas: A: una a una y sin reposición B: una a una y con reposición • ¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas sin reposición? • ¿Cuántas extracciones distintas existen si se extraen tres bolitas con reposición? • Si un concursante adivina que en la primera extracción sin reposición la bolita es de color negro ¿cuántas extracciones posibles existen para que gane? ¿Y si la extracción se realiza con reposición? 4. Analiza la siguiente información y luego responde. A Carlos le gusta realizar anagramas, es decir intercambiar las letras de una palabra para crear otra, por ejemplo, al cambiar las letras de la palabra AMOR se pueden obtener palabras con y sin sentido, como ROMA y MARO. ¿Cuántos anagramas puede crear Carlos con las siguientes palabras? a) AMOR b) CASA c) PELEA d) GATO e) CHANCHO f) PERRO g) ANA h) CAMIONETA 5. Desafío. ¿Cuál es la cantidad de dígitos mínimos que necesitas para formar 90 números de seis cifras? Lección ¿ Cuántas combinaciones se pueden hacer? • Cuando compras yogurt de tres frutas distintas, es difícil determinar la combinación de frutas que será de tu agrado. ¿Has pensado cuántas posibilidades de sabores diferentes podrías escoger si combinaras 3 de 10 frutas posibles? ¿Cómo lo calcularías? Israel está realizando un estudio en el que debe entrevistar grupos de dos personas escogidas al azar de un total de 4, Andrés, Berta, Carla y Daniela. Esta situación se traduce a elegir muestras de 2 personas de una población de 4 personas. ¿De cuántas maneras podría Israel elegir estas muestras? Paso 1 Realizar un diagrama de árbol para las posibles combinaciones. Para ello, identificaremos a las personas con las letras Andrés, Berta, Carla y Daniela. 3 opciones para cada rama anterior. Existen 12 grupos de 2 personas de las 4 en total, sin embargo, Israel observa que es indiferente si se escoge a Andrés y Berta o a Berta y Andrés, ya que corresponde a la misma pareja. 1ª selección. 2ª selección. 4 opciones. B AB C AC D AD BA BC BD A C D CA CB CD A B D DA DB DC A B C A B C D Paso 2 Descartar las parejas que se repiten. Combinaciones descartadas Combinaciones que quedan AB = BA AC = CA CD = DC BC = CB AD = DA AB BC AC BD AD CD Israel puede elegir entre 6 combinaciones de personas para su entrevista, es decir, puede elegir 6 muestras distintas de una población de 4 individuos. Palabra clave Ü Combinación. 48 En resumen El número de combinaciones que se pueden efectuar con una cantidad r de elementos desde un conjunto de n elementos, no interesa el orden con el cual se extraen o escogen los elementos, solamente importa la cantidad de elementos que se puedan combinar. 1 2 3 4 Israel se pregunta si existe una fórmula o expresión matemática que permita calcular la combinatoria anterior sin necesidad de hacer el diagrama de árbol. Para buscar dicha expresión, Israel realiza los siguientes pasos: Paso 1 Analizar el diagrama de árbol de la situación, identificando permutaciones y variaciones. Variación de 2 elementos en un conjunto de 4 elementos, es decir: 2 V4 = 4! (4 –2)! Permutación de dos elementos, es decir: 2! Combinatoria de 2 elementos de un conjunto de 4 elementos, es decir: C AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC AB AC AD BC BD CD Paso 2 Israel establece que el producto entre la variación de 2 elementos en un conjunto de 4 elementos (V₂⁴), es igual al producto entre la permutación de 2 elementos (2!) y la combinatoria de 2 elementos en un conjunto de 4 elementos (C₂⁴), es decir: V 2!•C C V 2! 2 4 2 4 2 4 2 4 = = Al despejar C₂⁴ y desarrollar la variación se obtiene: C V 2! 4! 4 2 ! 2! C 4! 4 2 !• 2! 4! 2! 2! 4 •3• 2 • 1 2 • 1 • 2 • 1 6 2 4 2 4 2 4 2 ( ) ( ) = = − = − = = = Links Para reforzar los procedimientos para calcular permutaciones y combinaciones visita: http://goo.gl/HPdpL En resumen La combinación de r elementos de un total de n elementos, se calcula mediante la expresión: r Cn = n! (n–r)!•r! Donde n y r son números enteros positivos y n > r. § ¿Cuál es la diferencia entre una combinación de elementos y una variación de elementos? § ¿Cuál sería la probabilidad de que al elegir una pareja de personas al azar, Israel entreviste a Berta y Andrés? Razona y comenta Practica Repaso 1. Resuelve los siguientes problemas. a) ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra ELSA? b) ¿Cuántos números pares de cinco cifras se pueden formar utilizando los dígitos de uno al nueve? c) ¿De cuántas formas se pueden ordenar siete libros de Geometría, cinco de Aritmética y tres de Álgebra en un estante? d) Para ir a ver una obra de teatro se ordenarán tres hombres y cuatro mujeres por fila. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro mujeres no queden separadas? e) En un curso se quiere escoger a la directiva, compuesta por presidente, tesorero y secretario. Si para esta elección hay siete estudiantes que se disputan los tres puestos, ¿cuántas posibles ordenaciones hay? f) Un juego consiste en adivinar los dígitos que se encuentran en una urna con 10 bolitas numeradas del 0 al 9. 1 3 4 5 8 2 0 6 7 9 • ¿De cuántas maneras se pueden extraer dos bolitas? • ¿Cuántas extracciones de 4 bolitas se pueden realizar, si las 4 deben ser números pares? • ¿Cuántas extracciones se pueden realizar de 5 bolitas, de modo que sean números impares? • ¿Cuántas extracciones se pueden realizar de 4 bolitas, de modo que sean las bolitas marcadas con el 1, 2, 3 y 4? • ¿Cuántas extracciones se pueden realizar de 4 bolitas, para que sean números consecutivos? Práctica guiada 2. Calcula el valor de cada combinatoria a) C₃⁴ b) C₂⁴ c) C₃⁵ d) C₂⁵ 3. Analiza las siguientes expresiones. Luego, simplifícalas. a) k n k n P C b) k n k n C P Aplico 4. Resuelve los siguientes problemas. a) En una fiesta se dieron en 120 apretones de manos como saludo. ¿Cuál fue el número de personas presentes en la fiesta si todos se saludaron de mano en una ocasión? b) Se deben formar diferentes comisiones en un curso compuesto por 15 hombres y 16 mujeres. ¿De cuántas formas se puede armar una comisión de 4 personas? • ¿Cuántas comisiones de las anteriores estarán compuestas solamente por varones? ¿Y solamente por mujeres? • ¿Cuántas comisiones de 7 personas se pueden formar y en cuántas de ellas habrá al menos a un varón? • ¿Cuántas comisiones de 10 personas se pueden formar? ¿Cuántas de esas comisiones tendrán menos de 4 mujeres? ¿Y menos de 7 hombres? c) Una diseñadora debe pintar un cuadro utilizando solamente 10 colores de la paleta de su computador. Si la paleta de su computador tiene 100 colores diferentes, ¿cuántas combinaciones puede realizar? • ¿En cuántas de esas combinaciones estará el color rojo? • ¿En cuántas de esas combinaciones estará el color rojo y azul? • ¿En cuántas de esas combinaciones estará el color verde, rojo y azul? d) Un grupo de amigos se encuentra jugando con naipe inglés de 52 cartas. Si el juego consiste en obtener 13 cartas consecutivas, ¿de cuántas formas se pueden extraer las cartas? Practica 1 2 3 4 • Si el juego consiste en extraer solamente tres cartas: una jota, una reina y un rey, ¿cuántas extracciones se pueden realizar? • ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 cartas, de las cuales 6 son picas y 4 son corazones? e) El profesor de Física les toma una prueba de 20 preguntas a sus alumnos. ¿De cuántas formas pueden responder los alumnos si deben escoger 10 preguntas? • ¿De cuántas formas pueden contestar los alumnos si deben escoger 10 preguntas en las que deben figurar obligatoriamente la 2, la 3 y la 4? • ¿De cuántas formas pueden contestar los alumnos si deben escoger 10 preguntas de las cuales deben contestar las dos primeras? • ¿De cuántas formas pueden contestar los alumnos si deben escoger 10 preguntas y responder al menos 5 de las 6 primeras? f) En una bodega se encuentran almacenados 50 refrigeradores, de los cuales se sabe que 5 tienen defectos en el motor. Si se seleccionan al azar 4 refrigeradores, ¿cuántas de esas muestras tendrán dos refrigeradores defectuosos? • Si se seleccionan al azar a 4 refrigeradores, ¿cuántas de esas muestras tendrán tres refrigeradores defectuosos? • Si se seleccionan al azar a 4 refrigeradores, ¿cuántas de esas muestras tendrán 4 refrigeradores defectuosos? g) Una fundación decide regalar 30 paquetes de libros a escuelas de bajos recursos. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 30 paquetes de libros entre 10 escuelas si cada una debe recibir 3 paquetes? • ¿De cuántas maneras se pueden repartir 30 paquetes de libros entre 5 escuelas si cada una debe recibir 6? 5. Conecto. Para determinar los posibles resultados en las combinaciones de varios elementos químicos, los científicos utilizan el análisis combinatorio. Por ejemplo, para realizar un experimento con 100 sustancias diferentes se realizan combinaciones con tres de ellos. En este caso, ¿cuántas combinaciones se pueden realizar? 6. Describe el procedimiento. Describe el procedimiento que se debe seguir para calcular las siguientes combinaciones. a) C₂⁷ + C₈⁹ b) 3 7 2 4 3 6C –5C ( ) 7. Descubre el error. ¿Cuál es el error cometido por Mario al resolver el siguiente problema? “En la grá ca se muestra la cantidad de discos vendidos en un día por una disquera, según la nacionalidad del artista. ¿De cuántas maneras se pueden combinar 5 discos vendidos de artistas brasileños?” Chilenos Brasileños Ingleses Españoles 2 4 6 8 10 12 14 16 Nacionalidad N.º de discos Nacionalidad de cantantes 0 Respuesta de Mario: Si se realiza la combinación entre la totalidad de discos vendidos y la cantidad de discos vendidos de artistas brasileños resulta: C 46! 46 8 !• 8! 46! 38!• 8! 46• 45• 44 • 43• 42• 41• 40• 39 • 38! 38! • 8! 46• 45• 44 • 43• 42• 41• 40• 39 8 •7 • 6 • 5• 4 • 3• 2 •1 260 932 815 8 46 ( ) = − = = = = Re exiono Refuerzo 1. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en un campeonato de una rueda donde participan 20 equipos? 2. ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, de cinco letras se pueden formar con las letras de la palabra LEONARDO? § Si se extraen n elementos desde un conjunto de m, elementos, donde m > n, ¿cuál es la diferencia en el resultado si los n elementos son diferentes entre sí con respecto a si están repetidos? Lección Palabras clave Ü Relación entre el promedio de las medias muestrales y la media poblacional. Repasa § Una población es un conjunto de elementos que se desea estudiar. Estos pueden ser personas, animales, artículos, etc. § Una muestra es parte de la población que se selecciona para realizar el estudio. Esta debe ser representativa, es decir debe reflejar las características esenciales de la población que se desea estudiar. ¿Qué relación existe entre el promedio de las medias muestrales y la media de la población? • En años anteriores revisaste conceptos como población y muestra. Si se quiere conocer la cantidad de estudiantes de Educación Media que tienen celular, ¿cuál sería la población de interés y una posible muestra? Taller Reúnanse en grupos de 3 integrantes y realicen el siguiente taller. Este es el registro de la estatura de 20 estudiantes de 1° medio. 1,70 1,66 1,55 1,56 1,71 1,55 1,66 1,59 1,60 1,58 1,61 1,63 1,51 1,71 1,71 1,70 1,65 1,55 1,48 1,66 1. Calculen el total de muestras posibles que se pueden extraer de las estaturas de 5 estudiantes (con reposición). Utiliza una técnica de conteo. 2. Describan 20 de las muestras posibles que calculaste en la pregunta anterior. 3. Calculen la media aritmética de cada una de las muestras. 4. Calculen el promedio de las medias muestrales encontradas en la respuesta anterior. 5. Calculen el promedio de la estatura de los 20 estudiantes de 1° medio dadas en la tabla. § ¿Qué relación existe entre el promedio de las medias muestrales y el promedio de la población obtenido en la pregunta 5? Razona y comenta 6. Determinen las muestras posibles que se pueden extraer sin reposición de 5 estudiantes y descríban 20 de ellas. 7. Calculen la media aritmética de cada una de las muestras anteriores. 8. Calculen el promedio de las medias muestrales encontradas en la respuesta anterior. 9. Comparen este promedio con el obtenido en 5 § ¿Qué relación existe entre el promedio de las medias muestrales extraídas sin reposición y el promedio de la población? § ¿Qué puedes concluir acerca de la relación que existe entre el promedio de las medias muestrales y la media poblacional? Razona y comenta 49 En resumen Al extraer muestras de igual tamaño de una población, puedes calcular la media aritmética de cada una de estas y posteriormente obtener el promedio entre ellas. La relación que existe entre este promedio es que se aproxima a la media de la población, independientemente de si las muestras se escogieron con o sin reposición. Practica 1 2 3 4 Repaso 1. Resuelve los siguientes problemas. a) ¿Cuántas palabras de cuatro letras, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de la palabra LAPIZ? b) Si se tienen manzanas, peras, naranjas y uvas, ¿de cuántas maneras se pueden combinar dos de estas frutas en un postre? Práctica guiada 2. Resuelve el siguiente problema. Se tiene el conjunto: A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17}. a) ¿Cuántas muestras de tamaño 4, con y sin reposición, pueden obtenerse? b) ¿Cuál es la media aritmética de los elementos del conjunto y de las muestras de tamaño 4 obtenidas? Aplico 3. Resuelve los siguientes problemas. a) En un curso se obtuvieron las siguientes calificaciones en una prueba de matemática: 7,0 6,5 6,1 4,4 3,4 5,7 5,4 7,0 2,9 6,6 6,4 4,1 4,0 3,3 3,7 5,5 6,9 6,1 3,3 6,7 7,0 5,1 5,6 6,4 6,7 4,4 5,7 6,8 6,9 5,5 6,0 4,5 3,8 3,5 5,4 5,6 5,1 3,7 5,9 5,5 4,5 7,0 • ¿Cuántas muestras de 4 calificaciones, sin reposición, puedes obtener? • ¿Cuántas muestras de 7 calificaciones, con reposición, puedes obtener? • Escoge 3 muestras de 4 calificaciones, sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética del curso y anota 2 conclusiones. b) Los precios de distintos juegos de Play Station III se han registrado en el recuadro. $40 990 $39 990 $19 990 $28 990 $45 990 $36 890 $45 980 $29 990 $30 990 $31 990 $40 990 $39 990 $29 990 $41 990 $39 990 $35 990 $41 990 $33 990 • ¿Cuántas muestras de 5 precios, sin reposición, se pueden obtener? • Escoge 4 muestras de 5 precios sin reposición y calcula la media aritmética de cada una de ellas. Luego, compáralas con la media aritmética de todos los precios y anota 2 conclusiones. Comenta con tus compañeros. c) Se desean estudiar los distintos tipos de sueldos existentes en una empresa. Para dicho estudio se escogerán muestras de distintos departamentos de la empresa como muestra la tabla. En cada uno de estos departamentos trabajan 8 personas. Además, la empresa tiene un personal de 56 empleados distribuidos en 7 departamentos con igual número de trabajadores. Una vez determinada la media aritmética en estos distintos departamentos, se obtuvo lo siguiente: Departamentos Finanzas Bodega Contabilidad Informática $450 000 $410 000 $445 000 $480 000 Para completar el estudio se determinó la media aritmética de toda la empresa, resultando: $565.750. Con respecto a esta información, responde: • ¿Crees que la muestra obtenida es representativa? Explica. • ¿Qué crees que ocurriría si se escogen otras muestras? Fundamenta tu respuesta. • ¿En qué cambiaría si se consideran todas las muestras posibles de tamaño 7? Explica detalladamente. Re exiono Refuerzo Se tiene el siguiente conjunto A = {7, 8, 9, 10, 11} a) ¿Cuál es la media aritmética de los elementos de A? b) Si se tiene la siguiente muestra {7; 10; 11} y se calcula su media aritmética, ¿qué puedes concluir con respecto a la media aritmética de la muestra y de A? § ¿Para qué piensas que es útil saber que el promedio de las medias muestrales es un valor cercano a la media poblacional? Explica. Lección Palabras clave Ü Probabilidad teórica. Ü Modelo de Laplace. ¿Cómo calcular la probabilidad teórica? • El azar está presente en experimentos como lanzar una moneda o un dado, hacer girar una ruleta, etc., que reciben el nombre de experimentos aleatorios. ¿Qué otros experimentos aleatorios conoces? Joshua y Nadia están realizando un experimento aleatorio con el juego de cartas UNO. Se trata de sacar una carta sin mirar. Joshua afirma que la probabilidad de obtener una carta con un número es de 19 27 , mientras que Nadia indica que la probabilidad de extraer una carta que posea un símbolo es de 8 27 . ¿Es correcto lo que afirma cada uno? ¿Por qué? Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados posibles y no existe razón que privilegie un resultado por sobre otros, es decir, los resultados son equiprobables (todos poseen la misma probabilidad de ocurrir), se puede calcular la probabilidad de un evento aleatorio según la regla de Laplace, realizando los siguientes pasos: Paso 1 Definir los eventos del experimento aleatorio. Experimento aleatorio: Sacar una carta al azar del juego de cartas UNO. Evento A: Sacar una carta del naipe UNO y obtener un número. Evento B: Sacar una carta del naipe UNO y obtener un símbolo. Paso 2 Calcular el número de casos favorables para cada evento. Para el evento A existen 4 colores con los números del 0 al 9, y con los números del 1 al 9, por lo tanto, existen: 10 • 4 + 9 • 4 = 76 Cartas del 0 al 9 Cartas del 1 al 9 4 colores 76 cartas en total correspondientes a números. Para el evento B existen 3 símbolos con 2 cartas de cada color y 2 símbolos con 4 cartas cada uno, es decir, en total existen: 3 • 2 • 4 + 2 • 4 =32 Símbolos Símbolos 4 colores 32 cartas en total que corresponden a símbolos. Juego UNO • Cartas del 1 al 9 de colores rojo, verde, azul y amarillo. Cartas del 0 al 9 de colores rojo, verde, azul y amarillo. • Cartas con símbolos, 2 cartas por color. • Cartas con símbolos de los colores, 4 de cada tipo. 50 1 2 3 4 Paso 3 Calcular el número de casos totales. El naipe UNO tiene 108 cartas en total. Paso 4 Calcular el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos totales para obtener la probabilidad de cada evento. P(A) = n° de casos favorables n° de casos totales cantidad de cartas con números total de cartas del naipe 76 108 19 27 = = = P(B) = n° de casos favorables n° de casos totales cantidad de cartas con símbolos total de cartas del naipe 32 108 8 27 = = = Ambos estudiantes tienen razón, ya que como los eventos del experimento aleatorio son equiprobables (existe la misma probabilidad para sacar cualquier carta al azar) las probabilidades mencionadas son correctas. Luego, de jugar, Joshua y Nadia fueron a almorzar. De menú existía carne o pollo para el plato de fondo, arroz, puré o ensalada de acompañamiento y helado, flan, jalea o fruta de postre. ¿Cuál es la probabilidad de que Joshua elija carne con arroz y de postre, jalea? Para responder a la pregunta podemos realizar los siguientes pasos: Paso 1 Definir los eventos del experimento aleatorio. Experimento aleatorio: Elegir un plato de fondo, un acompañamiento y un postre al azar. Evento A: Elegir carne de plato de fondo, arroz de acompañamiento y jalea de postre. Paso 2 Calcular el número de casos favorables para cada evento. En este caso, es una opción de menú, por lo tanto, es 1 caso favorable. Paso 3 Calcular el número de casos totales. El total de casos corresponde a todas las maneras distintas que se pueden elegir un menú que consista en un plato de fondo, un acompañamiento y un postre. Para esto utilizaremos el principio multiplicativo. 2 • 3 • 4 = 24 2 opciones para el 3 acompañamientos plato de fondo 4 postres 24 opciones de menú en total. Observa Los términos evento y suceso se emplean para referirse a lo mismo. En resumen Cuando un experimento aleatorio tiene resultados equiprobables, se calcula la probabilidad de un evento mediante la regla de Laplace. Esto se conoce como probabilidad teórica. Para calcular la probabilidad teórica de un evento A se utiliza la expresión: P(A) = n° casos favorables n° casos totales Lección Paso 4 Calcular el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos totales para obtener la probabilidad de cada evento. P(A) = n° de casos favorables n° de casos totales 1 24 = Por lo tanto, la probabilidad de que Joshua elija carne con arroz y jalea es de 1 24 . § ¿En todos los experimentos aleatorios es posible aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad de un evento? ¿Por qué? Justifica tu respuesta. § ¿Por qué es posible utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilida de elegir un menú? Justifica tu respuesta. § En un experimento aleatorio, ¿es siempre posible definir el número de casos totales? ¿Por qué? Justifica tu respuesta. Razona y comenta Observa Para calcular el número de casos totales del espacio muestral de un experimento aleatorio puedes utilizar las técnicas de conteo. Praáctica Repaso 1. Resuelve los siguientes problemas. a) Se considera el experimento aleatorio “lanzar dos monedas” cuyo espacio muestral es: {CC, SC, SS, CS}. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos? • ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una cara y un sello? • ¿Cuál es la probabilidad de que al menos se obtenga una cara? b) Se considera el experimento aleatorio “Sacar una bolita de una urna” cuyo espacio muestral es: {12 bolitas verdes, 24 amarillas, 6 rojas} • ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja? • ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolita amarilla? • Si se extrae una bolita verde, sin reponerla, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bolita roja? Práctica guiada 2. Identifica en cuál de los siguientes experimentos aleatorios es posible aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad. a) Lanzar una moneda. b) Lanzar un dado cargado en una de sus caras. c) Hacer girar una ruleta que está divida en 4 sectores congruentes. d) Hacer girar una ruleta que está dividida en 3 sectores de distinta área. 3. Identifica en cuál de las siguientes ruletas es posible aplicar la regla de Laplace para obtener la probabilidad de que al girarla salga el color rojo. a) b) c) 50 Practica 1 2 3 4 4. Analiza las siguientes bolitas numeradas y responde. 1 5 15 9 3 11 7 17 13 2 6 16 10 4 12 19 20 8 18 14 a) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número mayor a 10? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado un número menor a 1? c) ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta tenga marcado el numero 21? d) ¿Qué bolita es más probable extraer? Justifica. Aplico 5. Resuelve los siguientes problemas. a) Los experimentos aleatorios se pueden realizar con o sin reposición. Por ejemplo, en una tómbola hay bolitas numeradas desde el 1 hasta el 15. Es posible realizar el experimento: “extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la tómbola”. • ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar el experimento dos veces se obtenga la misma bolita? • ¿Cómo determinarías la probabilidad de que al realizar 3 veces el experimento se obtengan 3 bolitas distintas numeradas con números impares? b) De un juego de naipe inglés se extrae al azar una carta. • ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta con un número par? • ¿Cuál es la probabilidad de extraer un as? c) Se lanzan 2 dados de seis caras. • ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, de los puntos obtenidos sea menor que 6? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 12? Re exiono Refuerzo ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un número de 5 dígitos, este quede formado solo por cifras impares? § Si se suman las probabilidades de todos los eventos de un experimento, ¿qué valor se obtiene? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 como producto? • ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 como cociente? d) En un colegio hay 8 primeros medios, de los cuales, 4 están compuestos por 38 estudiantes, 2 por 41 estudiantes y el resto de los cursos tiene 45 estudiantes cada uno. Si la probabilidad de escoger al azar a una alumna es 5 9 , ¿qué cantidad de alumnas y alumnos hay en el colegio? e) En una tómbola se tienen 36 bolitas numeradas del 1 al 36. Si se extrae aleatoriamente una bolita. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? • Con respecto a la probabilidad obtenida en la pregunta anterior, ¿es igual a la probabilidad de extraer una bolita con un número impar? • ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolita esta esté numerada con un múltiplo de 3? • ¿Qué evento tiene una mayor probabilidad de ocurrir? Justifica. 6. Describe el procedimiento. Para calcular las probabilidades pedidas a partir de la siguiente situación: “Una ruleta numerada del 1 al 20 y seccionada en partes iguales se hace girar hasta que pare en un número.” a) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número par? ¿Y un número impar? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número primo o compuesto? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un múltiplo de 3? 7. Descubre el error. La probabilidad de que salga el número 3 al hacer girar la ruleta de la imagen es 1 3 . ¿Cuál es el error de la afirmación anterior? 1 2 3 Lección Palabras clave Ü Probabilidad experimental Ü Frecuencia relativa. ¿Cómo calcular la probabilidad experimental? • Es posible que más de alguna vez tu mamá haya dicho: “es probable que hoy nos visite tu tía”. ¿Se podrá calcular realmente la probabilidad de que hoy te visite tu tía? ¿Cómo? Vicente y Nicol discuten sobre la probabilidad de ganar en dos juegos. Nicol dice que es más probable que al lanzar un dado aparezca el número 3, mientras que Vicente insiste que es más probable obtener cara al lanzar una moneda. Para determinar quién tiene la razón, deciden realizar los experimentos aleatorios en 500 ocasiones y registrar los resultados como muestran las siguientes tablas. Dado Frecuencia absoluta 1 90 2 81 3 84 4 96 5 80 6 69 Moneda Frecuencia absoluta Cara 263 Sello 237 Luego calcularon la probabilidad experimental de cada evento realizando los siguientes pasos: Paso 1 Definir los eventos de cada experimento aleatorio. Experimento aleatorio 1: lanzar un dado de seis caras y anotar el número. Evento A: lanzar el dado y que aparezca el número 3. Experimento aleatorio 2: lanzar una moneda y anotar el resultado. Evento B: lanzar la moneda y obtener cara. Paso 2 Calcular la frecuencia relativa en ambos experimentos. Dado Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 1 90 18% 2 81 16,2% 3 84 16,8% 4 96 19,2% 5 80 16% 6 69 13,8% Total 500 100% Dado Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Cara 263 52,6% Sello 237 47,4% Total 500 100% Repasa La frecuencia relativa, se calcula dividiendo la frecuencia absoluta por la cantidad total de datos, es decir, fr = f n tanto para una tabla de datos no agrupados como para una tabla con datos agrupados. Por ejemplo Cantidad de hermanos N° hnos f fr [2, 5[ 5 5/10 = 0,5 [5, 8[ 3 3/10 = 0,3 [8, 11[ 2 2/10 = 0,2 Total 10 51 En resumen La probabilidad experimental (o empírica) de un evento A, se calcula mediante el cociente entre la cantidad de veces que ocurre el evento y la cantidad de veces que se realiza el experimento, es decir, la frecuencia relativa: P(A) = Nº de veces que ocurre el evento A Nº de veces que se realiza el experimento 1 2 3 4 Paso 3 Comparar las frecuencias relativas obtenidas para cada resultado. La frecuencia relativa de lanzar un dado y obtener 3 es, aproximadamente, 16,8%, es decir, la probabilidad experimental es de 0,168. Por otro lado, la frecuencia relativa de lanzar la moneda y obtener cara es, aproximadamente, 52,6% que corresponde a una probabilidad experimental de 0,562. Por lo tanto, la probabilidad de lanzar esa moneda y que salga cara es mayor que la probabilidad de lanzar ese dado y obtener 3. Vicente tenía razón. Taller Reúnanse en grupos de 3 integrantes y realicen la siguiente actividad. Vicente y Nicol averiguan que la probabilidad teórica de obtener un 3 al lanzar un dado es igual a 1 6 y se preguntaron: ¿cuál es la relación entre la probabilidad experimental y la probabilidad teórica de dicho experimento? Para responder a la pregunta repitieron el experimento 100, 500, 700 y 1000 veces, registrando los resultados que aparecen en la siguiente tabla. Numero del dado Números de lanzamientos 1 17 94 118 163 2 13 85 107 191 3 22 89 123 155 4 15 77 118 153 5 23 73 112 176 6 10 82 122 162 total 100 500 700 1000 1. Calculen la probabilidad experimental de obtener el número 3 en cada iteración y completen la tabla. Número de lanzamientos 100 500 700 1000 Probabilidad experimental o frecuencia relativa 2. Confeccionen un gráfico con los resultados obtenidos en la pregunta anterior. 3. ¿A qué valor tiende la probabilidad si se aumenta la cantidad de repeticiones del experimento? 4. Si comparan el valor encontrado en la pregunta anterior con la probabilidad teórica, ¿qué sucede? ¿Qué pueden concluir? En resumen En un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de un evento A se aproxima a la probabilidad teórica del evento a medida que la cantidad de experimentos aumenta, esto se conoce como la Ley de los Grandes Números. § Con el experimento realizado por Nicol, ¿puedes asegurar que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda cualquiera es de 0,526? § Después de observar los experimentos anteriores, ¿cuál es la diferencia entre la probabilidad experimental y la probabilidad teórica? Razona y comenta Practica Repaso 1. Calcula la frecuencia relativa de cada conjunto de datos. a) Distribución de estudiantes según edad Edad Cantidad de estudiantes [13,1; 14[ 25 [14,1, 15[ 50 [15,1, 16[ 31 [16,1, 17[ 29 b) Recién nacidos según su estatura al mes de vida Estatura(cm) Cantidad de recién nacidos [40; 43[ 6 [43; 46[ 10 [46; 49[ 18 [49; 52[ 40 [52; 55[ 36 Práctica guiada 2. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) a partir de la siguiente situación. Se realiza un estudio sobre la cantidad de mascotas que tienen los alumnos de un colegio, y al recolectar los datos se obtiene la siguiente tabla. Numero de mascotas Frecuencia absoluta 0 350 1 200 2 125 3 50 4 175 5 100 a) La probabilidad de escoger un niño con una mascota es mayor que la probabilidad de escoger a uno con 5 mascotas. b) La probabilidad de escoger un niño con ninguna mascota es mayor que la probabilidad de escoger a uno con 2 o más mascotas. c) La probabilidad de escoger un niño con 3 mascotas es igual a la probabilidad de escoger a uno con 4 mascotas menos la probabilidad de escoger a uno con 2 mascotas. d) La probabilidad de escoger un niño con algún tipo de mascota aumenta a medida que la cantidad de mascotas aumenta. 3. Mediante una planilla de cálculo realiza una simulación del lanzamiento de tres monedas para calcular la probabilidad experimental o empírica de obtener exactamente 3 caras. Paso 1: Escribe en las celdas A1, B1 y C1, moneda 1, moneda 2 y moneda 3 respectivamente. Paso2: Genera la simulación del lanzamiento de una moneda escribiendo en la celda A2 la función =ALEATORIO.ENTRE(0;1), esta función generará de manera aleatoria, el número 0 o el número 1. Considera como 0 = sello y 1 = cara. Luego, copia esta función en las celdas B2 y C2. Paso 3: Escribe en la celda D2 la función =SUMA(A2:C2), la cual permitirá sumar la cantidad de ocasiones en que la suma de las caras de las monedas es 3. Paso 4: Escribe en la celda E3 la función =CONTAR.SI(D:D;3), la cual permitirá contar los lanzamientos en que aparezcan las tres caras o los tres valores de 1, cuya suma sea 3. Paso 5: Genera 100 lanzamiento de las monedas, copiando las celdas A2, B2, C2 y D2 hasta las celdas A102, B102, C102 y D102. De esta manera obtendrás la simulación para 100 lanzamientos 4. Aplica los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades y luego responde. a) Haz una simulación para 100 lanzamientos de tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad experimental para el evento “obtener tres caras”? b) Haz una simulación para 500 lanzamientos de tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad experimental para el evento “obtener tres caras”? c) Haz una simulación para 1000 lanzamientos de tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad experimental para el evento “obtener tres caras”? d) A medida que aumentas los lanzamiento, ¿a qué valor piensas que se acercará la probabilidad experimental? Corrobora tus conclusiones realizando una simulación para 2000, 3000, 5000 y 9000 simulaciones. Practica 1 2 3 4 Re exiono Refuerzo En la tabla se muestra la cantidad de personas que toman 5 bebidas diferentes. Bebida A B C D E Frecuencia 100 230 120 230 120 Si se escoge a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que beba de la marca A? ¿Y la B? ¿Y la C? § ¿En todos los experimentos aleatorios es posible calcular la probabilidad teórica? ¿Por qué? § ¿En qué experimento aleatorio solo es posible obtener la probabilidad a partir de la experimental? Da un ejemplo. Aplico 5. Analiza las siguientes situaciones y responde. a) Isabel vende calzado de mujer en una tienda, y le encargan que realice un sorteo entre sus clientas. El premio debe ser proporcional a la probabilidad de escoger una clienta que compre alguna de las marcas de calzado que se vende en la tienda. Isabel registra en una tabla la cantidad de calzado según la marca que se ha vendido en los últimos meses, como se muestra a continuación: Marca del calzado Ventas Juvenil 200 Infantil 1080 Coqueta y regalona 252 Tigresa del oriente 468 La dueña de la tienda dispone de $500 000 para premiar a sus clientas. • Si se escoge al azar una clienta, ¿a cuál marca de zapatos es más probable que se incline su preferencia? ¿Cuál es esa probabilidad? • ¿Qué cantidad de dinero debería destinarse para las compradoras de cada una de las marcas de calzado? b) Para el aniversario del colegio de Carlos se han preparado diversas actividades, una de ellas consiste en escoger al azar alumnos de educación media para la competencia de trivia. Los cursos participantes tienen la siguiente distribución respecto al área de interés. Curso Área de interés Música Ciencia Arte Literatura Tv 1.° 20 50 60 20 200 2.° 140 20 30 10 70 3.° 100 40 50 60 100 4.° 100 70 30 100 10 • Si se escoge al azar a un alumno de cualquiera de los cursos, ¿cuál es la probabilidad que sea de primero medio? • Si se escoge al azar a un alumno de cualquiera de los cursos, ¿cuál es la probabilidad que sea del tercero medio y prefiera Ciencia? • Si la trivia se centra en temas musicales, ¿qué curso es el que tendría mayor probabilidad de ganar? Justifica. c) En un supermercado se realizan diversas compras tanto en efectivo como tarjetas de crédito. El gerente pretende hacer un estudio acerca de la cantidad de personas que realizan compras en efectivo y de las que lo hacen con tarjetas de crédito en las seis cajas del supermercado, pero se le perdieron algunos datos tal como se indica en la tabla. Caja 1 2 3 4 5 6 Efectivo b c 56 17 101 12 Tarjeta 200 500 550 a 750 1000 • Si la probabilidad de escoger al azar a una persona que pague en la caja 4 con tarjeta es, aproximadamente, 0,236, ¿cuál es el valor de a? • Si la probabilidad de escoger a una persona que pague en efectivo en las cajas 1 o 2 es de aproximadamente 0,2, ¿cuáles pueden ser los valores de b y c? 6. Conecta. El gran colisionador de partículas que se encuentra ubicado en Suiza y Francia, experimenta con partículas atómicas y sub atómicas. Los experimentos consisten en realizar miles de colisiones entre ellas para estudiar la creación de otras partículas. Los datos recolectados permiten crear tablas de frecuencia con las que los científicos pueden sacar conclusiones sobre la naturaleza de los choques. Explica la relación de este tipo de experimentos y la probabilidad experimental. 7. Desafío. Explica de qué manera puedes demostrar que un dado o una moneda esta “cargada” es decir, que existe una cara del dado que tiene mayor probabilidad de salir o una moneda que tiene un lado más probable de salir. Integración Integro mis aprendizajes 1 Resuelve los siguientes problemas. a. Rony y Camila piden una copa de helado que puede tener los siguientes ingredientes; crema, fruta, salsa de chocolate, helado de frambuesa, merengue y trozos de chocolate. Si además pueden elegir entre tres tipos de copas: grande, mediana y chica, entonces • ¿De cuántas formas pueden elegir la copa? • Si Camila es alérgica al chocolate, entonces ¿de cuántas formas distintas pueden ordenar la copa? • Dibuja un diagrama de árbol que represente la situación anterior. b. Marta y Carlos están organizando un concurso de baile en el colegio. Una de las pruebas consiste en escoger al azar una pareja de baile por parte de los hombres. Si participan 10 mujeres y 11 hombres, ¿cuántas parejas distintas de baile se pueden formar? c. Los corredores de 100 metros planos de una competencia tienen la opción de obtener la medalla de oro, plata y bronce. Si participan 10 atletas, ¿de cuántas formas se pueden repartir las medallas? d. Patricia junto a su hermano Pedro discuten sobre la cantidad de ordenamientos distintos que se pueden hacer con 10 bolitas. Patricia afirma que existen más ordenamientos diferentes si todas las bolitas son distintas, mientras que Pedro indica que si existe al menos un elemento repetido existirán más ordenamientos distintos. ¿Quién tiene la razón? ¿Cómo lo averiguaste? e. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 4 premios al azar, dentro de un curso de 20 alumnos, considerando que los premios son iguales? f. Un alumno escoge al azar 15 preguntas de una prueba de 20. ¿De cuántas maneras puede elegirlas? ¿Y si las primeras 7 preguntas son obligatorias? g. ¿Cuántos resultados posibles existen al arrojar 100 monedas? Determinar la cardinalidad de un espacio muestral utilizando técnicas combinatorias. (Lecciones 46 a 48) h. Seis amigos quieren viajar a la universidad en un auto con capacidad para 4 pasajeros, incluyendo el conductor. Si escogen al azar a los que se irán en el auto, ¿de cuántas formas pueden viajar los amigos? i. Rodrigo participa en un juego que consiste en adivinar el orden de extracción de 7 bolitas desde una urna que contiene 7 bolitas con los siguientes colores. • ¿Cuántas extracciones distintas existen? • Si Rodrigo dice que la primera bolita será de color rojo, ¿cuántas extracciones distintas existen para que Rodrigo gane? • Si Rodrigo dice que las dos primeras bolitas son de color azul, ¿cuántas extracciones distintas existen para que Rodrigo gane? • Si Rodrigo dice que las últimas tres bolitas son azules, ¿cuántas extracciones existen para que Rodrigo gane? j. En el cumpleaños de Manuel lo visitaron sus abuelos, su tío, su sobrino, su hermana y sus padres. Manuel quiere sentarlos en fila frente a una gran mesa para cantar el cumpleaños feliz: • ¿De cuántas maneras se pueden sentar los invitados, si el abuelo debe estar sentado justo al medio de la mesa? • Si la abuela debe estar sentada al lado izquierdo del abuelo, ¿de cuántas maneras se pueden sentar los invitados? • Si la abuela debe estar sentada al lado, no importa si izquierda o derecha, del abuelo, ¿de cuántas maneras se pueden sentar? Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 1 2 3 4 Relacionar la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas de la población. (Lecciones 48) Resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidad a partir de la frecuencia relativa o Laplace. (Lecciones 49 y 50) 2 Resuelve los siguientes problemas a. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se pueden extraer desde una población de 5 elementos, sin reposición? ¿Y con reposición? b. Se extraen 5 muestras de tamaño 3 desde una población de tamaño 10. ¿En cuál de las siguientes situaciones el promedio de las muestras se encontraría más cercana a la media de la población? Justifica tu respuesta. • Las muestras son de la estatura de los integrantes de un equipo de básquetbol de 10 estudiantes. • Las muestras son de la estatura de 10 personas que caminan por la calle. 3 Evalúa las siguientes proposiciones y escribe V si son verdaderas o F si son falsas. Justifica. a. El promedio de los datos de una población es igual a los promedios de las medias de todas las muestras de mismo tamaño. b. En el tamaño de la muestra influye el tamaño de la población. c. La cantidad de muestras del mismo tamaño, extraídas de la población es mayor si la extracción es con reposición respecto a las extracciones sin reposición. d. El promedio de una muestra es siempre igual al promedio de la población. 4 Evalúa si las siguientes proposiciones son verdaderas V o falsas F a partir de la siguiente información: Las medias muestrales de 5 muestras de una población de tamaño n y media poblacional x son las siguientes: 6,5 6,2 4,1 7,0 2,3 a. Existe una muestra a de promedio a tal que: 6,5+ 6,2+ 4,1+ 7,0 + 2,3 5 + a= x . b. La media poblacional se calcula como 6,5+ 6,2+ 4,1+7,0 + 2,3 5 = x . c. Al calcular el promedio de las medias muestrales se obtiene que 6,5+ 6,2+ 4,1+7,0 + 2,3 5 > x . d. Siempre se cumple que 6,5 < nx. 5 Resuelve los siguientes problemas. a. Carmen y Josefina participan junto a 8 competidoras en una carrera de 100 metros planos. Si se premian a los 3 primeros lugares y todas tienen las mismas posibilidades de ganar; • ¿cuál es la probabilidad de que Carmen llegue en primer lugar? • ¿Cuál es la probabilidad de que Josefina llegue en primer lugar y Carmen en segundo? • ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos llegue entre los tres primeros lugares? b. Se realiza una encuesta acerca de la empleabilidad de los alumnos y sus padres. Los resultados se resumen en la tabla. Si se escoge a un alumno al azar: Trabajan No trabajan Alumnos 24 589 Padres 740 12 • ¿Cuál es la probabilidad de que sus padres no trabajen? • ¿Cuál es la probabilidad de que ni sus padres ni el alumno trabaje? • Si las frecuencias relativas fueron obtenidas de muestras representativas de la población, ¿cuál es la cantidad aproximada de alumnos que trabaja si la población es de 2500 estudiantes? 6 Evalúa si las proposiciones son verdaderas V o falsas F. a. La probabilidad experimental permite determinar exactamente la probabilidad teórica en experimentos aleatorios. b. En un experimento, la probabilidad experimental de un suceso, no puede superar en ningún ensayo a la probabilidad teórica de dicho suceso. Aplico mis aprendizajes Resolución de problemas Problema Carmen participa en un juego que consiste en adivinar la urna que escogerá una persona de las que aparecen a continuación. 1 2 3 4 Urna A 1 4 3 2 5 6 Urna B Luego debe adivinar el orden de extracción que realiza la misma persona de dos bolitas sin reposición de la urna elegida. Ella gana si adivina ambas cosas. ¿Cuántas posibilidades de elección tiene Carmen? Paso 1 Comprendo ¿Qué entendiste del problema? • Se debe escoger al azar una urna. • Luego, se debe extraer de esa urna dos bolitas sin reposición. Paso 2 Planifico ¿Qué harías para resolver el problema? • Calcular la cantidad de extracciones que se pueden realizar de 2 bolitas sin reposición en cada urna. • Luego, sumar ambos resultados. Paso 3 Resuelvo ¿Cómo ejecutarías la estrategia? Urna A Urna B La cantidad de posibles extracciones de 2 bolitas sin reposición se obtiene calculando una variación de 2 elementos de un conjunto de 4 elementos, es decir: V = 4! (4 –2)! = 4 • 3• 2 •1 2 •1 =12 2 4 La cantidad de posibles extracciones de 2 bolitas sin reposición se obtiene calculando una variación de 2 elementos de un conjunto de 6 elementos, es decir: V = 6! (6–2)! = 6 •5 • • 3•2 •1 •1 =30 4 2 6 4 •3•2 Ahora se suman las variaciones y se obtiene: V V 2 4 2 + 6 = 12 + 30 = 42 Es decir, Carmen tiene 42 posibilidades para escoger. El matemático suizo Jacob Bernoulli (1654 - 1705) realizó diversos aportes al estudio de la probabilidad, uno de sus aportes está relacionado con el número combinatorio expresado como n r , el cuál conocemos como la combinación de r elementos desde un conjunto de n elementos distintos. Este aporte permitió realizar grandes cálculos de manera que el cálculo de probabilidades se vio reducido. Resolución de problemas 1 2 3 4 § ¿Qué estrategia habrías utilizado para resolver el problema? § ¿De qué otra forma se podría haber comprobado que la solución era correcta? § ¿Estás de acuerdo con la interpretación del resultado? ¿Por qué? Re exiona Paso 4 Reviso ¿Cómo saber que es correcto el resultado? Para comprobar el resultado se puede utilizar un diagrama de árbol. Opciones de extracción si se escoge la urna A Opciones de extracción si se escoge la urna B Urna A Urna B 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 6 1 3 4 5 6 1 2 4 5 6 1 2 3 5 6 1 2 3 4 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 Al sumar la cantidad de opciones de extracción si se escoge la urna A o la urna B se tiene: 12 + 30 = 42 Paso 5 Comunico ¿Cómo interpretas el resultado obtenido? Si Carmen participa en el juego, tiene 42 opciones para escoger el orden de extracción de las bolitas al escoger una urna al azar. 1. Andrés y su hermana deben realizan una función de títeres en su casa, Andrés invita a los 10 niños de un jardín y la hermana de Andrés invita a un grupo scout compuesto de 15 niños. En un momento de la función tienen que participar 3 niños del jardín para ocupar el puesto del rey, cazador y panadero, respectivamente y 4 niños scout, para tomar, en ese orden, el papel de jinete, herrero, mercante y cocinero. a) ¿De cuántas formas se pueden escoger los integrantes del jardín? ¿Y del grupo de los scout? 2. ¿De cuántas formas puede escogerse un comité para que quede compuesto de 5 hombres y 7 mujeres, de un grupo de 20 hombres y 30 mujeres? 3. 15 personas pueden repartirse en 5 equipos. ¿De cuántas formas lo pueden hacer si cada grupo debe tener la misma cantidad de integrantes? 4. Los experimentos aleatorios se pueden realizar con o sin reposición. Por ejemplo, en una tómbola hay bolitas numeradas del 1 hasta el 15. Es posible realizar el experimento: “extraer una bolita, anotar su número y devolverla a la tómbola”. a) ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral de este experimento? b) ¿Cómo determinarías la probabilidad de obtener 3 bolitas distintas numeradas con números impares al repetir tres veces el mismo experimento? Resuelve los siguientes problemas. Estudio mis posibles errores Tratamiento del error Interpretación de medidas de posición Andrea y Javier están analizando la siguiente tabla que resume las estaturas del curso al cual pertenecen. Ambos calcularon e interpretaron el P de los datos. ¿Cuál de ellos realizó un procedimiento correcto e interpretó correctamente el resultado? Compara paso a paso los procedimientos. E Andrea Javier Paso 1 Obtener la mitad de los datos a partir de la expresión n 2 . Luego n 2 24 2 = = 12 . Paso 1 Obtener el 50% del total de datos. 50• 24 100 1200 100 = = 12 Paso 2 Calcular el Me reemplazando en la fórmula. Me = 1,54 + 0,09 • 12 6 6 − = 1,63. Paso 2 Calcular el P reemplazando en la fórmula. P₅₀ = 1,54 + 0,09 • 12 6 6 − = 1,63. Paso 3 Interpretar el resultado. La mitad de los estudiantes de primero medio mide hasta 1,63 m de estatura. Paso 3 Interpretar el resultado. La mitad de los estudiantes de primero medio mide 1,63 m de estatura. § ¿Qué procedimiento es correcto? ¿Por qué? § ¿Qué interpretación es correcta? ¿Por qué? § ¿Cómo influye en el resultado el error cometido? Razona y comenta 1 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y en el caso incorrecto explica el error. La tabla muestra el tiempo que deben esperar las personas para ser atendidas por telefonía móvil. ¿Cómo se interpreta P75 de los datos? Paulina Juan Paso 1 Obtener el 75% del total de datos. 75• 60 100 4500 100 = = 45 Paso 1 Obtener el 75% del total de datos. 75• 60 100 4500 100 = = 45 • No olvides algunas equivalencias entre percentiles, quintiles y cuartiles. Ejemplos: Q = P P = Me P = D Toma nota Estatura(m) Frecuencia Frecuencia acumulada [1,36;1,45[ 2 2 [1,45;1,54[ 4 6 [1,54;1,63[ 6 12 [1,63;1,72[ 7 19 [1,72;1,81] 5 24 Tiempo (seg) Frecuencia Frecuencia acumulada [3; 7[ 18 18 [7; 11[ 32 50 [11; 15] 10 60 Tratamiento del error 1 2 3 4 • En este tipo de ejercicio es fundamental que reconozcas el tipo de técnica combinatoria que debes utilizar. • Debes reducir al máximo los números que están expresados mediante el factorial, para posteriormente multiplicar o dividir. Toma nota Paso 2 Calcular el P reemplazando en la fórmula. P₇₅ = 7+ 4 • 45 18 32 − = 10,4 Paso 2 Calcular el P reemplazando en la fórmula. P₇₅ = 7+ 4 • 45 18 32 − = 10,4 Paso 3 Interpretar el resultado. El 25% de las personas esperaron 10,4 segundos. Paso 3 Interpretar el resultado. El 75% de las personas esperaron hasta 10,4 segundos. Obtención de la cardinalidad de espacios muestrales Desde una urna que contiene 4 bolitas rojas, 3 azules y 5 verdes, se extraen 4 bolitas, sin reposición. ¿Cuál de los siguientes procedimientos para calcular la cantidad de casos posibles fue realizado correctamente? Compara paso a paso los procedimientos. Caso 1 12! (12− 4)!•4! = 12! 8!• 4! = 8!• 9 •10 •11•12 8!•1• 2 • 3 • 4 = 9 •10 •11•12 1• 2 • 3• 4 = 495 Caso 2 − 12! (12 4)! = 12! 8! = 8!• 9 •10 •11•12 8! = 9 •10 •11•3 1 = 2970 § ¿Cuál procedimiento es correcto? ¿Por qué? § En el procedimiento equivocado, ¿cuál es el paso que tiene error? ¿Por qué? § ¿Cómo influye en el resultado el error cometido en el procedimiento? Razona y comenta 2 Analiza cuál de los siguientes procedimientos es el correcto y del incorrecto explica el error. Desde una urna que contiene 4 bolitas, numeradas del 1 al 4, se extraen tres bolitas. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral si… a) …las extracciones son sin reposición? b) …las extracciones son con reposición? Caso 1 4! (4 − 3)! = 4! 1! = 1• 2 • 3• 4 1 =24 Caso 2 4! (4 − 3)!•3! = 4! 1!•3! = 1• 2 • 3• 4 1• 2 •3 = 4 Caso 1 4³ = 4 • 4 • 4 = 64 Caso 2 3⁴ = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 3 Resuelve las siguientes situaciones. a) En un estante de una biblioteca hay 10 libros de álgebra, 20 de geometría y 4 de física. ¿De cuántas maneras se podrán ordenar en fila? b) Si se sacan 5 libros al azar del estante del problema a, ¿de cuántas maneras se pueden extraer sin reposición? ¿Y si es con reposición? § ¿Cuál es el error que cometes con frecuencia al resolver este tipo de ejercicios? § ¿Coinciden con los mostrados en esta página? § ¿Qué harás cuando te enfrentes a ejercicios de este tipo para evitar errores? Re exiona Conexión Recién nacidos En el año 2012 la cantidad de recién nacidos alcanzó la cifra de 225 225 en todo el territorio nacional, de los cuales, el 14,4% nació con bajo peso. La cantidad de recién nacidos ha disminuido desde 2009 al 2012, sin embargo, el porcentaje de recién nacidos con bajo peso se ha mantenido. Aún queda mucho para alcanzar las cifras de nacimientos con bajo peso como las que se producen en Suecia (4%), Dinamarca (6%), EEUU (8%) o Japón (10%). Pese a lo anterior, mucho se ha avanzado desde que se comenzaron a realizar estudios estadísticos en Chile, los avances en la medicina, cobertura, higiene y otros múltiples factores permiten hoy considerar la posibilidad de seguir disminuyendo esta cifra. La tabla muestra la cantidad de recién nacidos el año 2012 con bajo peso distribuidos según la región de procedencia. Región Recién nacidos Porcentaje con bajo peso Arica y Parinacota 3448 17,5 Tarapacá 5509 11,2 Antofagasta 9902 12,4 Atacama 4853 16,2 Coquimbo 9848 14,2 Valparaíso 21 855 5,93 Metropolitana de Santiago 98 355 6,14 Libertador B. O’Higgins 9976 14,7 Maule 10 827 14,8 Bíobío 24 321 14,9 La Araucanía 9748 16,4 Los Ríos 3852 19,3 Los Lagos 9212 19,3 Aisén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo 1412 19,4 Magallanes y de La Antártica Chilena 2107 19,3 § Según los gráficos mostrados en el inicio de la unidad, ¿qué peso se considera normal para niños y niñas? § ¿Con los datos de la tabla puedes llegar a alguna conclusión acerca de los recién nacidos en el país? ¿Qué datos piensas que necesitarías para poder establecer una conclusión más certera según tu criterio? § Averigua cuáles son las causas que provocan bajo peso en los recién nacidos. Re exiona Algunos bebés nacidos con bajo peso pueden sufrir de insuficiente cantidad de azúcar en la sangre (hipoglicemia) que puede causar daños cerebrales, su hígado puede tardar en comenzar a funcionar, anemia, o baja grasa para mantener la temperatura normal del cuerpo. Para saber más... Conecto con la Sociología Sintetizo mis aprendizajes Síntesis 1 2 3 4 ¿Cómo se hace? • Para calcular un percentil puedes utilizar la siguiente fórmula: k i i i-1 i P l a • k •n 100 –F f = + Ejemplo: Calcular el percentil 80 de los datos representados en la tabla. Cantidad de discos vendidos en 7 días N° de discos N° de ventas (fi) Fi [1, 6[ 2 2 [6, 11[ 3 5 [11, 16[ 1 6 [16, 21] 1 7 80 P 11 5• 80 •7 100 5 1 11 5• 3 5 = + 11 3 14 − = + = + = Luego, el P₈₀ es 14. • Para calcular una permutación de n objetos puedes utilizar la expresión n!. Ejemplo: Calcular la cantidad de palabras con y sin sentido que se pueden formar con las letras de la palabra LEO. 3! =3 • 2 • 1 = 6 Ahora refuerza • Calcula el P , P y el P9 de los datos representados en la tabla del ejemplo. • Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántas palabras con y sin sentido se pueden formar a partir de la palabra CAMINAR? b. Camila participa en un juego que consiste en adivinar el orden de extracción de 7 bolitas desde una urna. ¿Cuántas extracciones distintas existen? c. Se tienen 8 libros distintos. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en una repisa? § Para calcular la mediana y la moda en tablas de datos agrupados debes identificar previamente el intervalo de la mediana y el intervalo modal respectivamente. § Para interpretar medidas de posición puedes utilizar un diagrama de caja. § Para calcular probabilidades teóricas puedes utilizar la regla de Laplace y para calcular probabilidades experimentales puedes utilizar la frecuencia relativa. Tips para estudiar ¿Cómo se llama? • Organiza las siguientes palabras en el mapa conceptual. Polígono de frecuencias – Combinación – Probabilidad teórica – Probabilidad experimental – Tabla de frecuencias de datos agrupados – Permutación – Muestra – Medidas de tendencia central – Principio multiplicativo Medidas de posición Representar en Población Extrae Extrae Espacio muestral Se calcula Interpretar Calcular Se calcula Variación Se obtiene a través de Histograma § ¿Estás de acuerdo con los conceptos que se eligieron para construir el mapa conceptual? ¿Por qué? § ¿Cuáles habrías descartado y cuáles agregado? Compara con un compañero(a) los principales conceptos elegidos. Re exiona Refuerzo Refuerzo mis aprendizajes Interpretar información a partir de gráficos y tablas, mediante el uso de medidas de posición y de tendencia central. (Lecciones 39 a 45) 1 Analiza la información del gráfico y responde. El siguiente gráfi co muestra el consumo de frutas de un grupo de personas durante tres meses. 10 20 30 40 50 60 70 5 10 15 20 25 30 Cantidad de frutas Cantidad de personas Consumo de frutas a. ¿Cuál es el porcentaje de personas que come entre 20 y 50 frutas? b. ¿Cuántas personas comen menos de 30 frutas? c. ¿Qué porcentaje representa la cantidad anterior? 2 Compara las siguientes medidas de tendencia central y responde. a. Se realizó la misma encuesta con las siguientes medidas de tendencia central, x = 35, Mo= 30, Me = 40, a un grupo distinto al del gráfico anterior. Si la cantidad de encuestados en el segundo grupo es igual al del gráfico anterior, ¿cuál de los dos grupos consume más fruta? ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del análisis de estos datos? 3 Analiza la siguiente información y responde. La siguiente tabla indica el atraso en minutos de tres compañías de taxis. Minutos A B C [0, 5[ 12 1 12 [5, 10[ 2 3 2 [10, 15[ 3 28 3 [15, 20] 1 0 10 a. Calcula los cuartiles de las tres compañías. b. ¿Cuál compañía tiene mayor rango intercuartil? ¿Cómo interpretas esto? Un histograma es una representación gráfica de una variable continua o discreta que está agrupada en intervalos. La media aritmética de un conjunto de datos es el valor medio que los representa. La media aritmética o promedio en tablas de datos agrupados se calcula como: x = f • x n i i i=1 kΣ Donde fi es la frecuencia absoluta del intervalo i; xi la marca de clase del intervalo i, i es el i-ésimo intervalo y n la cantidad total de datos de la tabla. La mediana de un conjunto de datos es el valor que los separa en dos grupos de igual cantidad. La moda de un conjunto de datos es el valor que más se repite. Una tabla de frecuencias es una tabla que contiene el resumen de un conjunto de datos. Si un conjunto de datos se divide en 100 partes iguales, cada una engloba el 1% de las observaciones. Esto se conoce como percentil. Si un conjunto de datos se divide en 4 partes iguales, cada una engloba el 25% de las observaciones y divide el conjunto de datos en tres cuartiles. Refuerzo 1 2 3 4 El principio multiplicativo indica que la realización de un proceso que se divide en k etapas y cada etapa se puede realizar de n , n ,..nk formas, entonces para realizar todo el proceso se hace de n₁ • n₂ • …• nk formas. La permutación de r elementos desde n distintos se conoce como variación, y se calcula con la expresión: r Vn = n! (n - r)! La combinación de r elementos de un total de n elementos, se calcula mediante la expresión: r n ( ) C = n! n - r ! •r! Donde n y r son números enteros positivos y n > r. El promedio de todas las muestras de tamaño n desde una población se aproxima al promedio de la población. La probabilidad experimental de un evento A, corresponde al cociente entre la cantidad de veces que ocurre el evento y la cantidad de veces que se realiza el experimento. La probabilidad teórica de un evento A se puede calcular utilizando la regla de Laplace, mediante la expresión: P(A)= casos favorables casostotales 4 Representa los siguientes datos en una tabla de frecuencia según las indicaciones. 1 2 2 3 3 3 3 4 3 3 3 4 11 16 18 20 30 33 34 34 34 33 50 55 60 76 77 89 100 120 122 234 244 a. Construye una tabla de frecuencias de 6 intervalos. b. Construye un histograma y un polígono de frecuencia. c. Calcula las medidas de tendencia central del conjunto de datos y de la tabla de frecuencias ¿Qué puedes concluir? Calcular la cardinalidad de espacios muestrales y eventos. (Lecciones 46 a 48) 5 Resuelve los siguientes problemas. a. ¿Cuántos números de cuatro dígitos diferentes es posible formar sin considerar el cero? b. ¿De cuántas formas distintas es posible que se sienten 35 alumnos en 5 sillas? ¿Y en 10? c. ¿De cuántas formas distintas es posible vestirse con 5 pares de zapatos, 6 pantalones diferentes y 10 poleras? d. Si se escoge el orden de presentación de 6 banderas diferentes, ¿de cuántas formas distintas se pueden escoger? e. Un grupo de 20 personas quiere realizar un viaje en cuatro automóviles que tienen capacidad para 5 personas. ¿Cuántos grupos distintos es posible formar para el viaje? Formular conjeturas y verificarlas acerca de la relación entre la media aritmética de una población de tamaño finito y la media aritmética de las medias de muestras de igual tamaño, extraídas de dicha población. (Lección 49) 6 Analiza el siguiente conjunto de datos y responde. 3 4 5 6 a a. Si la media de la población es igual a 4,5, ¿qué valor puede tener a? b. ¿Cuántas muestras de tamaño 2 se pueden extraer, con y sin reposición? c. ¿Cuál es la media de mayor y menor valor que se puede obtener en las muestras anteriores? Resolver problemas referidos a cálculos de probabilidades. (Lecciones 50 y 51) 7 Resuelve los siguientes problemas a. Un dado se lanza 3000 veces y se obtienen las siguientes probabilidades experimentales P(1) = a, P(2) = P(3) = P(4) = 2a, P(5) = P(6) = 3a. ¿Cuál es la cantidad de veces que se obtuvo el número 6? El dado, ¿está cargado? ¿Por qué? b. Si se extrae una carta de una baraja española, ¿cuál es la probabilidad que salga un número menor que 5 y mayor que 2? ¿Y que salga una figura de bastos? ¿Y que salga un as o un 2? c. Con las letras de la palabra COMPUTADOR, se forman grupos de 3 letras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos letras sean O? Evalúo mis aprendizajes Evaluación 1 El histograma representa los sueldos de los empleados de una determinada empresa. ¿Cuál es el promedio redondeado a la unidad? 2 4 6 8 10 12 14 16 Sueldo (miles de pesos) Frecuencia Sueldos de la empresa 120 180 240 300 360 A. $240 000 B. $204 324 C. $225 135 D. $227 838 E. Ninguna de las anteriores. 2 Considerando el histograma de la pregunta 1, ¿cuál es la mediana? A. $127 500 B. $211 500 C. $232 500 D. $236 786 E. $240 000 3 Considerando el histograma de la pregunta 1, ¿cuál es la moda? A. $151 251 B. $240 000 C. $251 250 D. $258 000 E. $300 000 I. Marca con una x la alternativa correcta. Representar un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos y calcular medidas de tendencia central. (Lecciones 39 a 41) Obtener información mediante el análisis de datos presentados en tablas, gráficos y a partir de la interpretación de medidas de tendencia central. (Lección 42) Analiza el siguiente gráfico. Luego, responde las preguntas 4 y 5. Número de funciones de espectáculos de artes escénicas y otros, por tipo de espectáculos. 2006-2008 Tipo de espectáculo 0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 Teatro infantil Teatro público general Música popular Recital de poesía Ballet Danza moderna Danza folclórica Música docta Ópera Circo Otros Número de funciones 2006 2007 2008 4 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA? A. En el año 2006 la cantidad de espectáculos de balé fue mayor que los de ópera. B. Cada año el número de funciones de ópera es menor con respecto a otros espectáculos. C. Cada año el número de funciones de música docta es inferior que el de música popular. D. El año 2008 se representaron menos obras de teatro infantil que de teatro tradicional. E. Todas son verdaderas. 5 ¿Cuál(es) de la siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)? I. El número de funciones de música popular de cada uno de los 3 años se encuentra entre 2000 y 3000 II. Cada año, la cantidad de funciones de circo fue menor a 2000 III. El año 2007 en todas las artes escénicas y otros la cantidad de funciones fue inferior al de los otros dos años A. Solo I. B. Solo II. C. Solo III. D. I y II. E. II y III. Analiza la siguiente tabla y luego, responde las preguntas 6 y 7. Estatura de estudiantes de 1° medio Estatura (m) f F [1,5; 1,56[ 18 18 [1,56; 1,6[ A 43 [1,6; 1,65[ B 76 [1,65; 1,7] 44 C 6 ¿Cuál es el valor de A + B – C? A. 26 B. 32 C. 62 D. –62 E. Ninguna de las anteriores. Evaluación 1 2 3 4 Comparar información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y de posición y comunican sus conclusiones. (Lecciones 42 a 45) Determinar la cardinalidad de un espacio muestral utilizando técnicas combinatorias. (Lecciones 46 a 48) Con la siguiente tabla responde la pregunta 8. R Resultados ensayo PSU Puntaje f F [400; 45[ 8 8 [450; 500[ 9 17 [500; 550[ 18 35 [550; 600[ 33 68 [600; 650[ 55 123 [650; 700[ 50 173 [700; 750[ 20 193 [750; 800] 17 210 8 ¿Qué representa el percentil 45? A. 45% obtuvo entre 580 y 600 B. 45% obtuvo más de 606,31 C. 45% obtuvo menos de 614,09 D. 45% obtuvo menos de 624,09 E. 45% obtuvo menos de 611,04 9 ¿Qué representa que un estudiante haya obtenido un puntaje superior al P en una evaluación? I. Que su puntaje es menor que Q₃. II. Que está dentro del 20% de los puntajes más altos. III. Que supera al 80% de los puntajes de los otros estudiantes. A. Solo I. B. I y II. C. I y III. D. II y III. E. I, II y III. 7 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I. fr correspondiente al intervalo ]1,6; 1,65] es 11 40 II. fr correspondiente al intervalo ]1,65; 1,7] es 36,6 % III. El valor correspondiente a B es mayor que el valor de A y menor que el de C A. Solo I. B. Solo II. C. I y II. D. I y III. E. I, II y III. 10 ¿Cuántos números impares de 5 cifras se pueden formar con los dígitos del 0 al 9 sin que estos se repitan? A. 15 120 B. 22 680 C. 29 160 D. 52 448 E. 59 049 11 ¿Cuántas palabras de 10 letras distintas con o sin sentido pueden formarse con las letras de la palabra MATEMATICA? A. 40 320 B. 151 200 C. 302 400 D. 362 880 E. 3 628 800 12 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar utilizando los dígitos 5, 6, 7 y 8? A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 E. 256 13 ¿Cuál es el valor de C + P ? A. 20 B. 120 C. 140 D. 924 E. Ninguna de las anteriores. Relacionar la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas de la población. (Lección 49) 14 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) VERDADERA(S)? I. En una población de tamaño finito SIEMPRE es posible obtener una muestra II. La media aritmética de una población de tamaño finito es igual a la media aritmética de una muestra de esta III. De un conjunto de 10 elementos se pueden obtener 90 muestras de tamaño 2 sin reposición A. Solo I. B. Solo II. C. Solo III. D. I y III. E. II y III. Evalúo mis aprendizajes Evaluación Comparar información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y de posición y comunican sus conclusiones. Representar un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos y calcular medidas de tendencia central. Obtener información mediante el análisis de datos presentados en tablas, gráficos y a partir de la interpretación de medidas de tendencia central. II. Resuelve los siguientes problemas. 1 El siguiente conjunto de datos corresponde a la edad de un conjunto de trabajadores de una fábrica. 19 19 20 20 22 23 24 25 26 26 42 42 43 44 46 47 48 50 55 35 38 39 40 35 31 32 35 35 35 a. Construye una tabla de frecuencias con 4 intervalos. b. Construye un histograma y un polígono de frecuencia a partir de la tabla anterior. c. Repite a. y b. utilizando 6 intervalos. ¿Qué tabla representa de mejor manera la información? Argumenta. 3 Analiza cada información y luego responde. a. Dos primeros medios A y B, con igual cantidad de alumnos, tienen las siguientes medidas de tendencia central respecto a la cantidad de hermanos que tiene cada uno de ellos: 1.° Medio A 1.° Medio B Promedio 4 4 Moda 5 3,5 Mediana 3 4 • ¿Qué curso tiene una mayor cantidad de hermanos? Argumenta tu respuesta. b. En la siguiente tabla se muestra las ventas de dos tiendas durante dos meses. N° de días [10, 20] [21, 30] [31, 40] [41, 50] [51, 60] Tienda A 10 20 30 40 10 Tienda B 20 30 40 10 60 • Compara el promedio de las ventas de las tiendas. ¿Qué puedes concluir? • ¿Cuál dirías que es la tienda que ha tenido mejores resultados? c. En la siguiente tabla se muestra la duración en horas de tres tipos de ampolletas. Tiempo (horas) A B C [100, 500[ 10 100 10 [500, 1500[ 30 20 20 [1500, 2000[ 40 10 50 [2000, 2500[ 50 5 20 [2500, 3000] 60 6 10 • ¿Cuál de las ampolletas tiene el P₂₀ más alto? • Construye un diagrama de cajas de las ampolletas de la tabla. • ¿Cuál de los tipos de ampolletas tiene mejor rendimiento? Considera el boxplot y las medidas de tendencia central. b. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad que la suma de sus caras no sea 12? c. Desde una baraja de naipe inglés, se extraen 5 cartas al azar y sin reposición ¿Cuál es la probabilidad de que de las 5 cartas extraídas todas sean rojas? 5 Analiza la siguiente información y responde. La cantidad libros que lee mensualmente tres grupos de personas se encuentran resumidos en la siguiente tabla. Número de libros A B [0, 5[ 1000 1260 [5, 10[ 470 30 [10, 15[ 300 20 [15, 20] 100 200 Si se escoge a una persona al azar a. ¿en cuál grupo es más probable encontrar una persona que lee más de 10 libros? b. ¿cuál es la probabilidad de escoger a una persona que lea menos de 10 libros? Desafío La leyenda de la princesa enamorada Cuenta la leyenda que una princesa enamorada de un vasallo sufrió la reprobación del rey, que la quería casar con un noble. La princesa suplicó y suplicó a su padre que le permitiera casarse con su amado. Era tal su insistencia, que el rey, para contentarla, accedió a darles una oportunidad. En un papel escribió la palabra boda y en el otro, destierro, y los introdujo en una urna. El vasallo debía escoger al azar uno de los dos, y que la suerte eligiera sus destinos. El vasallo sabía que el rey haría trampa y que en los dos papeles pondría destierro, pero no podía acusarle. ¿Qué hizo el vasallo para casarse con la princesa? Integración Evaluación integradora I. Marca con una x la alternativa correcta. Identifican las regularidades al aplicar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. (Lecciones 31, 32 y 33) 5 Si el punto P (–1, 3) es rotado en 90° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (1, –3) B. (1, 3) C. (3, 1) D. (3, –1) E. (– 3, –1) 6 Si el punto P (–3, 7) es trasladado al punto P’(4, –1), ¿cuál es el vector v de traslación? A. v  = (1, 6) B. v  = (–4, 11) C. v  = (6, 1) D. v  = (7, –8) E. v  = (8, 7) 1 ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del polígono ABCD? 0 x y 0 –2 –3 –4 4 2 3 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 C D B A –1 1 A. A(–2, 2), B(1, 4), C(3, –2) y D(0, –2) B. A(2, –2), B(4, 1), C(3, –2) y D(–2, 0) C. A(–2, 2), B(1, 4), C(3, –2) y D(–2, 0) D. A(2, –2), B(4, 1), C(–2, 3) y D(–2, 0) E. A(2, –2), B(4, 1), C(–2, 3) y D(0, –2) 2 ¿Cuáles son las componentes del vector de la figura? u 0 x y 0 –1 –2 1 2 –2 –1 1 2 A. (–2, 3) B. (2, 3) C. (–2, –3) D. (–3, 2) E. (–3, –2) A partir de los vectores  u= (5,9) ,  v = (−3,7) y w = (−9,−1) responde las preguntas 3 y 4. 3 ¿C uáles son las componentes del vector resultante de + + u v w? A. (–7, 15) B. (–1, 15) C. (11, 17) D. (11, 15) E. (17, 17) 4 ¿Cuáles son las componentes del vector resultante de + 2v–w 4u ? A. (5, 49) B. (5, 51) C. (23, 51) D. (5, 51) E. (23, 17) Identifican y representan puntos, figuras y vectores en el plano cartesiano. (Lecciones 27 y 28) Representan en el plano cartesiano, adiciones, sustracciones de vectores y multiplicaciones de un vector por un escalar. (Lecciones 29 y 30) Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. 7 Si el punto M(–3, –5) es rotado en 270° con respecto al origen del plano cartesiano, ¿cuáles son sus nuevas coordenadas? A. (3, 5) B. (5, 3) C. (–5, 3) D. (5, –3) E. (–5, –3) 8 ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen del punto N (–18, 25) luego de reflejarlo con respecto al eje X? A. N’(18, –25) B. N’(18, 25) C. N’(–18, –25) D. N’(25, 18) E. N’(–25, 18) Realizan composiciones de transformaciones isométricas reconociendo la figura resultante. (Lección 34) Resolver problemas que involucren el cálculo de medidas en figuras planas y demostraciones de propiedades en polígonos a partir de los criterios de congruencia. (Lecciones 37 y 38) Comprender el concepto de congruencia y reconocer figuras congruentes a partir de los criterios de congruencia de triángulos. (Lecciones 35 y 36) 9 Si el punto M (–3, 5) es reflejado con respecto al eje Y se obtiene el punto M’. ¿Cuál es el vector v que permite trasladar el punto M’ al origen? A. v  = (3, 5) B. v  = (–3, –5) C. v  = (3, –5) D. v  = (5, –3) E. v  = (–5, –3) 10 El segmento AB de extremos A(5, 9) y B(–1, 1) fue trasladado según el vector u = (–b + a, –a) y la imagen del segmento se volvió a trasladar según el vector v = (–a,a –b). ¿Cuáles son las coordenadas de los extremos del segmento AB luego de las dos traslaciones aplicadas? A. A’’(b – 5, b – 9) y B’’(– 1 – b, 1 – b) B. A’’(5 – b, 9 – b) y B’’(– 1 – b, 1 – b) C. A’’(b – 5, b – 9) y B’’(1 – b, 1 – b) D. A’’(5 – b, b – 9) y B’’(– 1 – b, 1 – b) E. A’’(b – 5, b – 9) y B’’(–1 – b, –1 – b) 11 Si los cuadriláteros ABCD y PQRS son congruentes, ¿cuál es el lado homólogo al lado BC? C B S R Q P A D A. QR B. PQ C. RS D. SP E. QS 12 En la figura, DC  AC y CB  AB. Si DAC ≅ BAC, ¿en qué orden el triángulo DAC es congruente con el triángulo ABC? A. ACD A D C B B. ADC C. CAD D. DCA E. CDA 13 Si en el ABC de la figura, CE es transversal de gravedad y CE ≅ EA, ¿cuál es la medida del ángulo x? A. 20° 70° x B C E A 70° B. 40° C. 75° D. 90° E. 140° 14 Si ABCD es un rectángulo y AD ≅ DE ≅ EC ≅ CB, ¿cuál es la medida del x? A. 30° x D A E C B B. 45° C. 60° D. 90° E. Ninguna de las anteriores. Integración Evaluación integradora Obtener información mediante el análisis de datos presentados en tablas, gráficos y a partir de la interpretación de medidas de tendencia central y de posición. (Lecciones 40 y 42) Representar un conjunto de datos mediante tablas con datos agrupados y gráficos y calcular medidas de tendencia central. (Lecciones 39 y 41) Comparar información respecto a dos o más conjuntos de datos, utilizando medidas de tendencia central y de posición y comunican sus conclusiones. (Lecciones 42 a 45) Rango de precios de ciertos artículos Precios (P) f F [0, 1000[ 45 45 [1000, 2000[ 55 100 [2000, 3000] 90 190 18 ¿Cuál de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es (son) VERDADERA(S)? I. El 75% de los artículos tiene un valor bajo los $2472 II. El valor de la mitad de los artículos tiene un precio superior a $1909 III. En promedio, el precio de cierto artículo es de $1740 A. Solo I B. Solo II C. I, II y III D. I y II E. II y III 15 Respecto a la siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? Edad del encuestado X f F [10, 15[ 20 20 [15, 20[ 15 35 [20, 25[ 30 65 [25, 30] 28 93 I. La moda aproximada a la centena es 21,92 II. La mediana truncada a la centena es 24,41 III. El promedio aproximado a la centésima es 21,05 A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. I, II y III 16 Con respecto a la información entregada en la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERAS? Horas que una persona se dedica a ver TV N° de horas N° de personas (f) F [0, 2[ 60 60 [2, 4[ 72 132 [4, 6[ 55 187 [6, 8] 21 208 I. En promedio las personas dedican, aproximadamente, entre 3 y 4 horas a ver TV II. La mitad de las personas ve , aproximadamente, menos de 3 horas y 18 minutos de TV III. La mayor cantidad de personas ve TV entre 2 a 4 horas A. Solo III B. I y II C. I y III D. II y III E. I, II y III 17 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA con respecto al gráfico? Puntajes obtenidos en una prueba 0 100 200 300 400 Cantidad de estudiantes Puntaje 10 20 30 40 50 60 70 A. El valor de la media es mayor que el valor de la mediana B. El valor de la mediana es mayor que el valor de la media C. El gráfico representa las frecuencias acumuladas de datos agrupados D. Los menores puntajes obtenidos se encuentran entre los 60 y 70 puntos E. El gráfico tiene una distribución simétrica con respecto a los datos Integración Revisa tus respuestas en el solucionario al final del texto. Determinar la cardinalidad de un espacio muestral utilizando técnicas combinatorias. (Lecciones 47 a 49) Resolver problemas que involucren el cálculo de probabilidades a partir de la frecuencia relativa o la regla de Laplace. (Lecciones 49 y 50) Relacionar la media de una población y el promedio de cada uno de los promedios de muestras de igual tamaño extraídas de la población. (Lección 48) 20 El valor de la expresión 8! 5! es: A. 15 B. 48 C. 56 D. 336 E. 1680 21 Si B = {p ∈ / –3 p < 10} , ¿cuántas muestras de tamaño 3 sin reposición pueden obtenerse? A. 286 B. 810 C. 1336 D. 1504 E. 1720 22 De un curso de 30 alumnos se quiere elegir al presidente, tesorero y secretario. ¿De cuántas maneras se pueden escoger estos cargos? A. 90 B. 4060 C. 24 360 D. 27 000 E. 142 506 23 ¿Cuántas muestras de tamaño 3 se pueden extraer de una población de tamaño 15, sin reposición? A. 3375 B. 2730 C. 455 D. 45 E. 6 19 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) VERDADERA(S)? I. Q₃ = P₂₅ II. P₅₀ = Me III. P₁ = Q₁ A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. II y III 24 A partir del conjunto A = {4, 5, 6, 7, 2, 3}, ¿cuál es el mayor promedio que se puede obtener si se extrae una muestra de tamaño 2, sin reposición? A. 2,5 B. 3,5 C. 4,5 D. 5,5 E. 6,5 25 La probabilidad de que al escoger un número de 2 cifras sea primo y que termine en 2 es: A. 0 B. 0,5 C. 0,11 D. 0,01 E. 0,01 26 La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 monedas simultáneamente es: A. 2 3 B. 2 8 C. 3 8 D. 3 16 E. 2 32 27 Si se elige al azar un número de 5 cifras, ¿cuál es la probabilidad de escoger un número par? A. 0,1 B. 0,4 C. 0,5 D. 0,6 E. Ninguna de las anteriores. Adición y sustracción de vectores: Sumar o Restar vectores según el valor de sus componentes. Por ejemplo: Sean   u = (1,−2) y v = (5,1), entonces:   u+ v = (1,−2)+(5,1) = (1+5,−2+1) = (6,−1)   u− v = (1,−2)−(5,1) = (1−5,−2−1) = (−4,−3) Aproximación por defecto: Es el resultado de una aproximación que es menor que el número original. Por ejemplo, al aproximar 3,21 a la décima resulta 3,2, siendo 3,2 menor a 3,21. Aproximación por exceso: Corresponde a un número mayor que el original al ser aproximado. Por ejemplo, al aproximar 3,25 a la décima resulta 3,3, siendo 3,3 mayor a 3,25. Argumento: Razonamiento empleado para convencer a alguien o para demostrar algo. Argumento (estadística): En software computacional, el argumento corresponde a la información que necesita la función que se utilizará de la herramienta computacional. Calculadora científica: Es un aparato o máquina que se utiliza para realizar cálculos aritméticos, y que además permiten calcular funciones trigonométricas, estadísticas y de otros tipos, diferenciándose así de una calculadora convencional. Cardinalidad: Corresponde al número de elementos de un conjunto. Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} es 10. Cifra significativa: Es el número de dígitos que se consideran al redondear un número para expresar su precisión. Por ejemplo, si a p = 3,141592654…, se considera como 3,1416, se está usando 4 cifras significativas. Clausura: Propiedad referida a algunas operaciones en ciertos conjuntos numéricos la cual consiste en que si opera entre elementos de un conjunto, el resultado obtenido sigue siendo un elemento del mismo conjunto. Por ejemplo, se dice que el conjunto de los números racionales cumple con la propiedad de clausura con respecto a las operaciones. Coeficiente de posición: Corresponde al punto de intersección de una recta con el eje Y (eje de las ordenadas). Por ejemplo, en la función f(x) = 3x – 2, el coeficiente de posición es –2. Coeficiente numérico: Es el número que multiplica a un factor literal en un término algebraico. Por ejemplo, en el término 2x, el número 2 es el coeficiente numérico. Combinación: Una combinación Cr n es una selección de r (uno o más) objetos de un conjunto de n objetos, independientemente del orden. Cr n se lee: «una combinación de n elementos, tomando r a la vez», y se calcula con la fórmula ( ) = − C n! r!• n r ! r n donde n! es el factorial del número n. Componentes de un vector: Las componentes de un vector v = (v1,v2), son cada uno de los números v1 y v2. La primera componente es v1 y la segunda componente es v2. Por ejemplo, las componentes del vector v = (1,–6) son 1 y –6. Composición de funciones: g(x) = f (g(x)). Por ejemplo, sean f(x) = 3x y g(x) = 1 – x, entonces fog(x) corresponde a fog(x) = f (g(x)) = 3(1 – x) = 3 – 3x. Congruencia de polígonos: Dos polígonos son congruentes si es posible superponer uno sobre otro a través de una transformación isométrica. Conjunto de los números racionales: Conjunto numérico compuesto por aquellos números que solo se pueden escribir como fracción, y cuyo numerador y denominador (distinto de cero) son números enteros. Por ejemplo, − 9 7 . Conjunto de los números reales: Conjunto numérico que incluye al conjunto de los números racionales y al de los números irracionales. Por ejemplo, 2 pertenece al conjunto de los números reales. Constante: Cantidad cuyo valor se mantiene inalterable. Coordenada: Corresponde a números que indican la ubicación de un punto en el plano P(x, y). Por ejemplo, P(1, –6). Glosario Criterio: Norma, regla o pauta para conocer la verdad o la falsedad de una cosa. Por ejemplo, criterio de congruencia. Cuadrante: En un sistema de coordenadas rectangulares el plano queda dividido en 4 regiones. Cada una de esas regiones es un cuadrante. Cuartil: Valores que dividen a las mediciones realizadas en cuatro partes iguales. Demostración: Justificación de una afirmación, premisa o sentencia de una manera estructurada, lógica e irrefutable a partir de otras sentencias verdaderas. Densidad: Un conjunto de números es denso, si para cada par de números dentro de ese conjunto existe otro número del mismo conjunto entre ellos. Por ejemplo, el conjunto de los números racionales es denso, ya que siempre se encontrará un número racional entre dos números dados. Diagrama de árbol: Gráfica en la que se muestra la relación entre varios componentes. Diagrama de cajas o Boxplot: Gráfico que muestra información sobre los valores mínimo y máximo, los cuartiles 1, 2 (o mediana) y 3, para así conocer la existencia de valores atípicos y la simetría de la distribución de los datos. Diagrama sagital: Es un diagrama de flechas que puede ser utilizado para representar una relación matemática o una función. Dirección de un vector: La dirección de un vector se define como el ángulo que este forma con el eje horizontal. Distribución: Forma en que aparecen los valores de una variable aleatoria en los datos medidos en una muestra o población. Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) en una función y = f(x). Ecuación literal: Ecuación en la cual los coeficientes constantes son escritos como literales porque se desconocen sus valores. Por ejemplo, en la ecuación ax + b = cx – d, a, b, c y d son coeficientes literales porque se desconocen sus valores. Eje: Línea recta que sirve de referencia para construir un sistema coordenado. Error de aproximación: Diferencia entre el valor aproximado y el valor real de una cantidad. Escalar: Corresponde a un número real o complejo y que sirve para describir un fenómeno físico con magnitud, pero sin la característica vectorial de dirección. Espacio muestral: Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa con el símbolo . Por ejemplo, el espacio muestral del experimento “Lanzar una moneda” es = {cara, sello} Evento o suceso: En un experimento aleatorio, un evento es un conjunto de resultados posibles; en otras palabras, un evento es un subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo, en el experimento “Lanzar una moneda y que al caer, salga cara” el evento es “que salga cara”. Experimento aleatorio: Actividad basada en la posibilidad, y en la que se desconoce previamente lo que resultará. Por ejemplo, al lanzar un dado se desconoce en qué número caerá. Expresión algebraica: Es una combinación de símbolos matemáticos (literales, números, operaciones, etc.) que tenga sentido. Por ejemplo, el área de un cuadrado se puede expresar mediante la fórmula algebraica A = a2. Factor literal: Letra que representa una cantidad en álgebra. Las literales también pueden ser letras del alfabeto griego. Por ejemplo, en el término 3x³, x³ corresponde al factor literal. Factorial: El factorial del número natural n, que se denota como n!, se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta n: n! = 1• 2 • 3 • … • n. Por ejemplo, el factorial de 4 es 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. Factorizar: Proceso de escribir un número o una expresión algebraica en forma de producto de factores. Los casos más frecuentes de factorización son: Diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, polinomio cúbico perfecto, trinomio cuadrado no perfecto. Por ejemplo, x² + 5 x + 6 = (x + 2)(x + 3) Frecuencia absoluta: Número de veces que aparece un valor en un intervalo dado en una tabla de datos. Frecuencia acumulada: Frecuencia de todos los datos que son menores que o iguales a un valor dado. Frecuencia relativa: Para cada una clases, la frecuencia relativa se calcula, dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de datos (tamaño de la muestra). La suma de todas las frecuencias relativas de una tabla de frecuencias es igual a 1. Función afín: Función que puede reducirse a la forma y = mx + n, donde m corresponde a la pendiente y n el coeficiente de posición asociadas a la recta que la representa. La gráfica de una función afín es una línea recta que no pasa por el origen. Función identidad: Función que puede reducirse a la forma y = x, donde a cada valor de x le corresponde el mismo valor de y. La gráfica de una función identidad es una línea recta que pasa por el origen. Función lineal: Función que puede reducirse a la forma y = mx, y donde m corresponde a la constante de proporcionalidad (o pendiente) de las variables involucradas. La gráfica de una función lineal es una línea recta que pasa por el origen. Función: Relación entre dos conjuntos, llamados dominio y recorrido respectivamente, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del recorrido. Geogebra: Software geométrico utilizado generalmente para construir, diseñar o demostrar propiedades geométricas. Histograma: Representación gráfica de la distribución de datos de una muestra o población. Homólogo: Correspondiente. Imagen: Dada una función f, la imagen del valor k bajo esa función, es el resultado de evaluar la función en el valor k. Por ejemplo, si la función es: y = x², y k = 3, entonces, la imagen de 3 bajo la función y = x² es 9 puesto que y = (3)² = 9. Intervalo: El espacio entre los valores marcados en una recta numérica o en la escala de una gráfica. Justificación: Causa, razón, argumento que justifica. Lenguaje algebraico: Lenguaje que se emplea para describir las relaciones entre las cantidades expresadas en una expresión algebraica. Por ejemplo, el doble de un número escrito en lenguaje algebraico es 2x. Ley de los grandes números: También llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso, es decir, tiene aproximarse a la probabilidad teórica que se obtiene a través de la regla de Laplace. Marca de clase: Cuando se agrupan datos de una muestra, se definen clases a partir de intervalos. La marca de clase es igual al promedio de los extremos (valores límite) de los intervalos. Por ejemplo la marca de clase del intervalo [3, 6] es 4,5. Media aritmética (o media): Corresponde al promedio de un conjunto de datos y se obtiene sumando todos los elementos del conjunto y dividiendo dicha suma entre el número total de elementos de él. Por ejemplo, el promedio del conjunto de datos A = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6} se calcula de la siguiente forma: + + + + + + + + + = = 1 1 2 2 3 4 4 4 5 6 10 32 10 3,2 Y se obtiene un promedio de 3,2. Media muestral: Promedio de una muestra que fue extraída de una población. Media poblacional: Promedio de una población o universo. Glosario Mediana: El número intermedio, o la media (el promedio), de los dos números intermedios en un conjunto ordenado de datos. Medida de posición: Constante que divide en grupos a un conjunto de datos con el mismo número de individuos. Medida de tendencia central: Constante llamada valor central, alrededor de la cual se concentran los valores de un conjunto de datos observados. Las medidas de tendencia central son la media (aritmética), la moda y la mediana. La medida de tendencia central más frecuentemente utilizada es la media. Moda: En una muestra, la moda es el valor que aparece con mayor frecuencia. Si todos los números aparecen con la misma frecuencia, no hay moda. Por ejemplo, la moda del conjunto de datos A = {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6} es 4, porque es el elemento que más se repite. Módulo de un vector (o magnitud): El módulo de un vector es igual a su longitud. Si el vector es  v = (a,b) , su módulo se calcula aplicando la fórmula:  v = a2 +b2 . Muestra: Parte de una población que se elige aleatoriamente para que la represente en un estudio estadístico. Por ejemplo, si se quiere estudiar el deporte más practicado por la población chilena, se escoge al azar un grupo de personas (muestra) de variadas edades y de todas las regiones de Chile y se les consulta acerca del deporte practicado por cada uno. Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicación que se realiza término a término entre expresiones algebraicas. Por ejemplo: 3x² • (2x – 3x³y) = 3x² • 2x – 3x² • 3x³y = 6x³ – 9x⁵y. Multiplicación de un vector por un escalar: Multiplicación que se realiza a cada componente de un vector, por un número real. Por ejemplo: Sea v = (−1,9) entonces,  3v = 3(−1,9) = (−3,27) . Notación científica: Forma abreviada de escribir números muy grandes o muy pequeños. Es de la forma a • 10n donde a corresponde a un número entre 1 y 10 y n, un número entero. Número cuadrado perfecto: Un número es cuadrado perfecto si su raíz cuadrada es un número entero. Por ejemplo, 25, es un número cuadrado perfecto, ya que su raíz cuadrada es un número entero, es decir, 25 = 5 . Número decimal finito: Corresponde a un número decimal cuya parte decimal es finita. Ejemplo: 0,6. Número decimal infinito periódico: Corresponde a un número decimal cuya parte decimal es infinita y además todo lo que viene seguido de la coma se repite. Esta parte decimal que se repite constantemente se le llama periodo. Ejemplo: 1,62 . Número decimal infinito semiperiódico: Corresponde a un número decimal cuya parte decimal es infinita y en el cual existe una parte decimal que no se repite llamada ante periodo (ubicada entre la parte entera y entre el periodo de la parte decimal) y un periodo. Ejemplo: −31,02 . Origen del plano cartesiano: Punto de coordenadas (0,0) en el plano cartesiano. Par ordenado (o coordenada cartesiana): Par de valores (x, y) que sirven para ubicar un punto en un plano cartesiano. Por ejemplo, A(5, –8) representa un par ordenado. Pendiente: Medida de inclinación de una recta en una gráfica. Razón entre la distancia vertical y la distancia horizontal. Por ejemplo, la gráfica muestra una recta con pendiente negativa. Percentil: Valores que dividen a las mediciones realizadas en cien partes iguales. Permutación: Una permutación de n objetos diferentes (Pn) corresponde al número de ordenamientos posibles de realizar con n elementos. Se calcula con la expresión Pn = n! Por ejemplo 4! se calcula como 4! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24. Plano cartesiano: Sistema de coordenadas en el cual los ejes (rectas numéricas) se intersectan perpendicularmente y ambos utilizan la misma unidad de medida. Población: Grupo completo de objetos o individuos (universo) que se desea estudiar. Por ejemplo, la población mundial representa un universo de individuos. Polígono de frecuencia acumulada: Gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas que se elabora uniendo los puntos medios de la base superior de cada rectángulo en un histograma. Polígono de frecuencia: Gráfica de una distribución de frecuencias que se elabora uniendo los puntos medios de la base superior de cada rectángulo en un histograma. Polinomio: Expresión algebraica que consta de varios términos. Se clasifican en: monomios (un término), binomios (dos términos), trinomios (tres términos) y polinomios (cuatro términos o más). Por ejemplo, 3x² – 2x + 1 es un trinomio. Potencia de base racional y exponente entero: Es el resultado de multiplicar un número racional (la base) por sí mismo varias veces (indicado por el exponente correspondiente a un número entero). Por ejemplo, − 3 4 2 es una potencia de base racional 3 4 y exponente entero –2. Preimagen: Dada una función f, la preimagen del valor k bajo esa función, es el valor k. Por ejemplo, si la función es: y = x², y k = 3, entonces, la preimagen es 3. Principio multiplicativo: Técnica de conteo el cual se usa para determinar la cardinalidad de un espacio muestral, y dice que si se tiene un experimento el cual puede ocurrir de "n" maneras diferentes, y un segundo experimento que tiene "m" maneras diferentes, además los experimentos son uno seguido del otro, entonces se tiene que el experimento (considerando el primer y segundo experimento) puede ocurrir n • m posibilidades. Probabilidad experimental: Probabilidad de un evento calculada a partir de la repetición del evento un gran número de veces. Probabilidad teórica (o modelo de Laplace): Probabilidad de un evento calculada a partir del modelo de Laplace, es decir, la probabilidad de un evento es el resultado de dividir el número de casos favorables (cardinalidad del evento) en el número de casos posibles (cardinalidad del espacio muestral). Producto notable: Los productos notables se denominan así ya que se han establecido sus reglas para no tener que calcularlos cada vez que se requiera conocer su resultado. Algunos productos notables de frecuente uso son: • Cuadrado de binomio: (a ± b )² = a² ± 2ab + b² • Cubo de binomio: (a ± b )³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ • Suma por diferencia: (a + b )(a – b ) = a² – b² • Binomios con término en común: (x + a)(x + b )= x² + (a+b )x + ab Q.e.d: Queda esto demostrado. Quintil: Valores que dividen a las mediciones realizadas en cinco partes iguales. Rango: Diferencia entre el mayor y el menor valor de todos los datos. Rango intercuartil: Medida de dispersión definida por la diferencia entre los percentiles 75 y 25 de una distribución. Recorrido: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) en una función y = f(x). Reflexión en el plano cartesiano: Transformación que ocurre cuando se invierte una figura sobre un eje coordenado o recta. - Si la reflexión de un punto (x, y) es respecto al eje X, el punto se ubicará en la coordenada (x, –y). - Si la reflexión de un punto (x, y) es respecto al eje Y, el punto se ubicará en la coordenada (–x, y). Glosario Relación: Una relación se define como un par ordenado de elementos de un conjunto M: (a, b), donde a, b ∈ M. Reposición: Acto de reponer, devolver. Restricción de la solución: Valores que no se pueden tomar en una solución, para que este exista. Rotación en el plano cartesiano: Transformación que ocurre cuando una figura gira alrededor de un punto y un ángulo en el plano cartesiano. A continuación se muestran las rotaciones con respecto al origen y un ángulo de rotación: • R O, ° (x, y) = (–y, x) • R O, ° (x, y) = (–x, –y) • R O, ° (x, y) = (y, –x) Sentido de un vector: Orientación del vector. Este puede ser Norte, Sur, Este u Oeste. Tabla de frecuencia de datos agrupados: Tabla que muestra las distintas frecuencias (absoluta, acumulada o relativa) de la variable en estudio y que se presenta en intervalos de igual amplitud. Término semejante: Dos o más términos que contienen el mismo factor literal. Traslación en el plano cartesiano: Desplazamiento de una figura a lo largo de un vector. La traslación de un punto P(x, y) según el vector  u= (u ,u ) 1 2 es T (x, y) = (x +u , y +u ) u 1 2 . Truncar: Aproximación de a un valor omitiendo decimales a partir de uno específico. Por ejemplo, 3,25 truncado a la décima es 3,2. Valor máximo: Corresponde al mayor valor de un conjunto de datos de una variable cuantitativa. Valor mínimo: Corresponde al menor valor de un conjunto de datos de una variable cuantitativa. Valorizar expresiones algebraicas: Corresponde a reemplazar por un número real el coeficiente literal de cada uno de los términos de una expresión algebraica, generándose un resultado. Por ejemplo, en la expresión x² – 1 si x toma el valor de 2, entonces la expresión algebraica toma el valor de 3, ya que : x² – 1= 2² – 1 = 4 – 1 = 3 Variable dependiente: Una variable es dependiente si su valor depende del valor de otra u otras variables. Por ejemplo, el monto a pagar (variable dependiente) por una cuenta de luz depende de los Kilowatts que se consuman. Variable independiente: Una variable es independiente si su valor no depende del valor de otra u otras variables. Por ejemplo, el monto a pagar por una cuenta de luz depende de los Kilowatts que se consuman (variable independiente). Variable: Símbolo que representa una cantidad que puede cambiar. Variación: Cambio que sufre una variable. En combinatoria corresponde a una permutación de r elementos de un conjunto de n elementos distintos se calcula con la expresión = − V n! (n r)! r n . Vector: Una diada de valores ordenados.  v = (v ,v )