Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

CÓNICAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

Conicas

1. Calcula la ecuacio´n de las circunferencias cuyo centro y radio se indican a continuacio´n: a) Centro ( 2, 2) Radio r 3 b) Centro ( 2, 3) Radio r 2 X Y C E D 2. Calcula las ecuaciones de las circunferencias C, D y E que aparecen en la figura: 3. Calcula la ecuacio´n de la circunferencia que tiene su centro situado en el punto C( 2, 3) y que pasa por el punto de coordenadas A( 2, 5). Calcula previamente la medida del radio. 4. Uno de los dia´metros de una cierta circunferencia es el segmento determinado por los puntos A( 1, 3) y B(2, 4). Calcula las coordenadas del centro de la circunferencia, la medida del radio y escribe su ecuacio´n analı´tica. 5. Calcula la ecuacio´n de la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C cuyas coordenadas cartesianas son A( 1, 3), B(1, 2) y C(0, 2). 6. Halla la ecuacio´n reducida de la elipse sabiendo que sus focos esta´n situados en los puntos F(12, 0) y F ( 12, 0) y que su eje mayor mide 26 unidades de longitud. Represe´ntala y calcula la medida de su eje menor, su distancia focal, su excentricidad y las coordenadas de sus ve´rtices. 7. Halla la ecuacio´n reducida de la hipe´rbola sabiendo que sus focos esta´n situados en los puntos F(17, 0) y F ( 17, 0) y que su eje mayor mide 30 unidades de longitud. Represe´ntala y calcula la medida de su eje menor, su distancia focal, su excentricidad, las ecuaciones de sus ası´ntotas y las coordenadas de sus ve´rtices. Y F' O F 5 25 X 8. Dada la gra´fica de la siguiente elipse: a) Calcula la medida de sus ejes y de su distancia focal. b) Calcula su excentricidad e interpre´tala. c) Escribe las coordenadas de sus focos y de sus ve´rtices. Y F' O F X 9. Dada la gra´fica de la siguiente hipe´rbola: a) Calcula la medida de su eje mayor y de su distancia focal. b) Calcula su eje menor. c) Calcula su excentricidad. d) Escribe las coordenadas de sus focos y de sus ve´rtices. e) Escribe las ecuaciones de sus ası´ntotas. 10. Escribe la ecuacio´n de la elipse cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas y miden 58 y 40 unidades de longitud, respectivamente. Calcula las coordenadas de los focos y la excentricidad. 11. Escribe la ecuacio´n de la hipe´rbola cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyos ejes coinciden con los ejes de coordenadas y miden 70 y 24 unidades de longitud, respectivamente. Calcula las coordenadas de los focos y la excentricidad. 12. En cada una de las siguientes para´bolas calcula el valor de su para´metro y las coordenadas de su foco: a) x2 10y b) x 2y2 13. Calcula la ecuacio´n de la para´bola cuyo ve´rtice es el origen de coordenadas y cuyo foco esta´ situado en el punto F(2, 0). Indica el valor del para´metro y la ecuacio´n de la directriz. SOLUCIONES 1. a) x2 y2 4x 4y 1 0 b) x2 y2 4x 6y 11 0 2. C: x2 y2 8x 4y 11 0 D: x2 y2 2x 3 0 E: x2 y2 4x 4y 7 0 3. r d(C, A) ( 2 2)2 (3 5)2 2 x2 y2 4x 6y 9 0 4. C 1 2 3 4 1 1 , , 2 2 2 2 r d(C, A) 2 2 1 1 58 1 3 2 2 2 x2 y2 x y 14 0 5. x2 y2 Dx Ey F 0 19 D 9 1 9 D 3E F 0 7 1 4 D 2E F 0 E 4 2E F 0 9 50 F 9 9x2 9y2 19x 7y 50 0 Y O 1 1 X C A B 6. b 5 c 12 a2 c2 169 144 a 13 1 e 0,92 x2 y2 c 12 169 25 a 13 Y F' O 2 F 2 X Ve´rtices: A(13, 0) B(0, 5) A ( 13, 0) y B (0, 5) 7. b 8 c 17 c2 a2 289 225 a 15 1 x2 y2 225 64 e 1,13 c 17 a 15 Ve´rtices: A(15, 0) B(0, 8) A ( 15, 0) y B (0, 8) Y O 4 4 X F' F Ası´ntotas: y x y x 8 8 15 15 8. a) Eje mayor 2a 2 · 25 50 Distancia focal 2c 2 · 7 14 b a2 c2 625 49 576 24 Eje menor: 2b 2 · 24 48 b) e 0,28. Elipse poco achatada. c 7 a 25 c) A(25, 0) B(0, 24) A ( 25, 0) y B (0, 24) Focos: F(7, 0) F ( 7, 0) 9. a) Eje mayor 2a 2 · 4 8 Distancia focal 2c 2 · 5 10 b) b c2 a2 25 16 9 3 Eje menor: 2b 2 · 3 6 c) e 1,25 c 5 a 4 d) A(4, 0), B(0, 3), A ( 4 0) y B (0, 3) e) Ası´ntotas: y x y x 3 3 4 4 10. c 21 a 29 a2 b2 441 b 20 x2 y2 Ecuaci´on: 1 841 400 Focos: F(21, 0), F ( 21, 0) c 21 Excentricidad: e 0,72 a 29 11. c 37 a 35 a2 b2 1 369 b 12 x2 y2 Ecuaci´on: 1 1 225 144 Focos: F(37, 0), F ( 37, 0) c 37 Excentricidad: e 1,06 a 35 12. a) x2 10y 2 · p · y p 5 F p 5 0, 0, 2 2 b) y2 x 2 · p · x p 1 1 2 4 F p 1 , 0 , 0 2 8 13. La ecuacio´n es de la forma y2 2 · p · x. Dado que el ve´rtice es el origen de coordenadas y el foco es el punto F(2, 0), el valor del para´metro es: 2 p 4 y2 8x p 2 La directriz tiene por ecuacio´n: d: x x 2 p 2 Y O 1 1 A X 1. Dadas las circunferencias representadas en la figura: a) Calcula la ecuacio´n de su eje radical. b) Calcula los extremos y la longitud del segmento que determina la cuerda comu´n a dichas circunferencias. c) Calcula la ecuacio´n de la circunferencia que tiene por dia´metro el segmento mencionado en el apartado anterior. 2. Calcula la ecuacio´n de la circunferencia circunscrita al tria´ngulo cuyos lados descansan en las rectas determinadas por las ecuaciones: r: x y 0 s:x y 4 t:x 0 Y O 1 1 P X 3. La circunferencia que aparece en la figura es tangente a los ejes de coordenadas y pasa por el punto P(2, 1). a) Calcula la ecuacio´n de dicha circunferencia. b) ¿Existe una u´nica circunferencia que cumpla las condiciones mencionadas en este enunciado? 4. Dada la elipse de ecuacio´n: 1: x2 y2 25 9 a) Calcula la ecuacio´n de la circunferencia cuyo centro coincide con el de la elipse y cuyo radio es igual a la semidistancia focal de la elipse. b) Calcula las coordenadas de los cuatro puntos de corte de ambas co´nicas. c) Calcula el a´rea del recta´ngulo determinado por los cuatro puntos hallados anteriormente. F O F' P A 5. Escribe el valor de la excentricidad de la elipse que describe un planeta en su movimiento de traslacio´n alrededor del Sol en funcio´n de su afelio A, ma´xima distancia del planeta al Sol, y perihelio P, mı´nima distancia del planeta al Sol. Aplicacio´n: Calcula la ma´xima distancia que puede separar a la Tierra del Sol sabiendo que la mı´nima distancia entre ambos cuerpos celestes es de 1,461·108 km y que la excentricidad de la correspondiente elipse es de aproximadamente . 1 62 6. Considera la elipse de ecuacio´n 1 y considera una cuerda paralela al eje OY, que pasa por uno de x2 y2 a2 b2 sus focos. Calcula las coordenadas de los extremos de la cuerda. 7. Dada la para´bola de ecuacio´n y x2 x , calcula las coordenadas de su ve´rtice, el valor de su 2 8 17 3 3 3 para´metro y las coordenadas de su foco. 8. Escribe la ecuacio´n de la para´bola cuyo eje es paralelo al eje ordenadas y tal que pasa por los puntos A( 1, 6), B(2, 3) y C(1, 2). Y O 1 1 d Eje P X 9. Halla la ecuacio´n de una para´bola que pasa por el punto P(2, 1) tal que su directriz es la recta horizontal y 3 0 y su eje es la recta vertical x 2 0. 10. Sea el foco F( 1, 2) y la directriz la recta de ecuacio´n y 2 0. Encuentra el lugar geome´trico de los puntos del plano tales que la distancia al foco coincida con la distancia a la directriz. ¿De que´ lugar geome´trico se trata? Indica sus elementos ma´s importantes. SOLUCIONES 1. a) Las ecuaciones de las circunferencias son (x 2)2 y2 4 x2 y2 4x 0 2 2 2 2 (x 1) (y 3) 10 x y 2x 6y 0 x2 y2 4x x2 y2 2x 6y 0 El eje radical es: x y 0 b) A( 2, 2) O(0, 0) x y 0 2 2 x y 4x 0 AO 8 unidades c) x2 y2 2x 2y 0 2. Los ve´rtices son: A(2, 2), B(0, 4) y O(0, 0) x2 y2 Dx Ey F 0 4 4 2D 2E F 0 16 4E F 0 F 0 D 0, E 4, F 0 x2 y2 4y 0 3. a) Dado que la circunferencia es tangente a los dos ejes de coordenadas se debe verificar que su centro es de la forma C(r, r) y que su radio mide r. Por tanto, su ecuacio´n es (x r)2 (y r)2 r2. Como pasa por el punto P(2, 1): Las Cónicas Introducción En 1604 Galileo descubrió que si un proyectil es lanzado horizontalmente desde lo alto de una torre y si no actúa la resistencia del aire, entonces la trayectoria del proyectil sería una parábola; en 1609 Kepler público su descubrimiento que la órbita de Marte es una elipse y sugirió que los demás planetas tienen trayectorias elípticas. Estos desarrollos tuvieron lugar hace cientos de años pero en la actualidad el estudio de la cónicas no se agotó, en si tiene un papel importante en la exploraciones espaciales mediante los telescopios, en las comunicaciones satelitales mediante el uso de las parabólicas, por cierto los satélites que orbitan la tierra lo hacen en trayectoria elípticas debidamente establecidas y así evitar el choque con otros satélites. Con respecto a las trayectorias parabólicas lo observamos en múltiples ejemplos como la trayectoria que sigue un balón de futbol cuando es disparado en un tiro libre, o en la trayectoria que describe el agua Contenido La Parábola Es un conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo llamado Foco y de una Recta fija denominada Directriz.