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Productos Notables
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin tener que efectuar la multiplicación.  Conocer aquellas multiplicaciones indicadas muy conocidas y utilizadas en el desarrollo  del curso de  matemáticas.


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* Utilizar los productos notables, en forma correcta y cuando sea necesario, para efectuar la multiplicación.

Si nos piden multiplicar (a + b) (a – b) obtendremos:
Osea :
Lo anterior es un resultado obtenido algebraicamente al multiplicar dos binomios. Sin embargo, no es la única manera de obtenerlo. Existe la manera GEOMÉTRICA.
Observa esto:

* Ahora, juntemos los cuadrados por una de sus esquinas y formemos imaginariamente un cuadrado mayor.

* Sin embargo el área de ese cuadrado mayor, puede ser obtenida mediante la suma de las áreas que están en él.
* Observa el siguiente producto algebraico :


• El área del rectángulo es (a + b) (a – b)

• La diferencia de áreas es: a2 – b2(corresponde al primer cuadrado)

• Entonces: (a + b)(a – b) =a2 – b2; que es el resultado requerido.
Productos  Notables
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtienen en forma directa, sin tener que efectuar la multiplicación.

I) BINOMIO AL CUADRADO :
(Trinomio cuadrado perfecto): El cuadrado de la suma (diferencia) de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más (menos) el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.




EjemploS: IDENTIDADES DE LEGENDRE







Ejemplos:





nota:  
               



II) DIFERENCIA DE CUADRADOS :
El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.






Ejemplos:
III) TRINOMIO AL CUADRADO :

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

Ejemplos:




IV)  BINOMIOS AL CUBO :
«El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triple del   cuadrado de la primera cantidad por la segunda , más el triple  de la primera  por el cuadrado de la segunda , más el cubo de la segunda»


«El cubo de la diferencia  de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del   cuadrado de la primera cantidad por la segunda , más el triple  de la primera  por el cuadrado de la segunda , menos el cubo de la segunda»
















Ejemplos:







V) SUMA  Y  DIFERENCIA DE CUBOS :





Ejemplo:







VI) MULTIPLICACIÓN  DE  BINOMIOS  CON  TÉRMINO COMÚN :
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término común, más la suma "algebraica" de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes.


















Ejemplos:
Efectuar : (x – 8) (x +15)

Resolución:
 




 Efectuar :  (x – 3) (x – 6)
Resolución:
 




 Efectuar :  (x – 7) (x + 4)

Resolución:









Al desarrollo de un binomio suma al cuadrado, se le llama también trinomio cuadrado perfecto ( T. C. P).

* Luego:







RECONOCIMIENTO DE UN TRINOMIO
CUADRADO PERFECTO

Para saber si se trata de un  T .C. P:

a) Se saca la raíz cuadrada a los extremos.
b) El doble producto de los resultados debe coincidir con el término central.

Ejemplo:
* Reconoce si es un T. C. P :

1) Saca raíz cuadrada a los extremos
4a....................3b4

2) El doble producto de los resultados es:


Por lo tanto, si es un T. C. P.
VII) DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO :
Otras identidades
A) Identidad Trinómica de Argand :





generalizando:


B) Identidad de Gauss :


* de donde :





C) Identidad Especial :




D) Identidad de Lagrange:



E) Igualdades Condicionales:
Si: a+b+c=0, entonces se cumple:


F) Teoremas :
Sean:
Luego:













Problema 1  :
Efectuar:

A) 4x B) 2 C) 3x D)2x E)–2x
Resolución:
* Desarrollando los productos de los binomios:




RPTA : ‘‘c’’
Problema 2  :
Calcular:

A) 16 B) –16 C) 24 D) –32  E) 30
Resolución:
*Desarrollando los productos de binomios: