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NUMEROS PRIMOS PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF









Números Primos Sabemos que números perfectos son aquellos que son iguales a la suma de todos sus divisores propios. a excepción de él mismo. El menor de tales números es el 6 . ya que 6 = 1 + 2 + 3. El siguiente es 28. ya que 28 = 1 +. 2 + 4 + 7 + 14. Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento. tanto judíos como cristianos. quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos números. ¿Acaso no fue el Mundo creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días la Luna en su circunvalación en torno a la Tierra? CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

San Agustín argumenta. en el libro 11. en la Ciudad de Dios que no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un instante. el prefirió emplear seis días. porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo. Euclides. nos indica que la construcción de los números perfectos se realiza de acuerdo a la siguiente regla "partiendo de la unidad. se forma la progresión geométrica de razón 2. y si la suma de sus términos es un número primo. el producto de este número primo por el último término de la progresión es un número perfecto". Mencionaremos que esta serie de números perfectos tiene elementos que son difíciles de encontrar. basta con indicar que el noveno termino tiene 37 dígitos. 1. ¿Cuál es el número perfecto que le. sigue al 6 y al 28? 2. Hubieron otros números que también llamaron la atención de los pitagóricos. fueron los números cuadrados. Estos se formaban tomando a la unidad como punto de · partida y agregando a ésta la serie ascendente de los números impares. Por ejemplo: 1 + 3 = 4. 1~+ 3 + 5 = 9 . 1 + 3 + 5 + 7=16. etc. ¿Cuál es el mayor número impar. según lo anterior. que se utiliza para obtener el "cuadrado" 1600? En la matemática no encuentro ninguna imperfección. excepto quizá en el hecho de que los hombres no comprenden de manera suficiente el excelente uso de la Matemática Pura. Francia Bacon 9.0 OBJETIVOS Clasificar los números enteros de acuerdo al número de divisores. Definici6n. Sabemos que 1.1,11 número entero p puede escribirse como p = p . 1 = (-p) (-1). dondep es no nulo; luego tenemos que ± 1 y ± p son divisores de p. De lo anterior se sigue la siguiente definición: Un número entero p diferente de cero y de ± l. se dice que es primo si y solamente sí. sus únicos divisores son ± 1 y ± p. Ejemplo: a. Los enteros 41 y -13 son primos. mientras que 8 = 4.2 Y - 15 = 5 (-3) no son primos. b. Observamos que -13 y 13 también son primos. siendo la diferencia entre ellos. sólo de signo. Del último ejemplo podemos deducir que -p es primo si, y solo sí, p lo es. En lo que resta del presente capítulo nos referiremos a los primos positivos. salvo que indiquemos lo contrario; con lo cual la definición anterior la expresamos como: Definición. Un número positivo p. distinto de 1. se dice primo si y solamente si, sus únicos divisores positivos son la unidad y él mismo. En caso contrario decimos que el número es compuesto. Ejemplos: a. Los primeros primos positivos son: 2 . 3. 5. 7. 11 . 13. 17. 19.23 .... b. Mientras que los primeros compuestos positivos son: 4. 6. 8. 9. 10. 12. 14 . . .. c. Nota que el número positivo 1 no es primo ni compuesto. lo llamaremos simplemente número unitario. Euclides en su monumental obra los Elementos. la cual tuvo una vigencia de más de 20 siglos. demostró en el libro correspondiente a la Aritmética. que existen infinitos primos. Una copia de tal demostración la presentamos a continuación en el siguiente teorema. Teorema. El conjunto de los números primos es infinito. Demostración Supongamos que dicho conjunto fuera finito. con elementos PI. P2 .... Pro Entonces formamos N = PI . P2 ... Pr + 1 Como N es mayor que el último primo Pro tendremos que N es compuesto y por 10 tanto. algún primo Pi 10 divide. donde. i = l. 2 . .... r Pero esto es imposible. ya que al dividirlo por Pi. siempre queda de resto l. luego el primo que divide a N no es ninguno de los mencionados. con lo cual concluimos que no puede haber un número finito de primos. Ejemplo: Nota que el número N = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 300321 no es divisible por 2. 3. 5. 7. 11 Y 13. (números primos) pero es divisible por 59 y 509 (números primos). 9.1 DETERMINACIÓN DE NÚMEROS PRIMOS - a. La Criba de Eratóstenes. Es un procedimiento que se utiliza para encontrar todos los números primos menores o iguales que un entero positivo dado. Descripción del proceso. Dado el número entero positivo N. escribimos en una tabla. usualmente de 10 columnas. todos los números. desde 2 hasta N y a continuación tachamos los múltiplos de aquellos números primos que no superen a JN . Los números no tachados por este procedimiento son todos los números primos positivos menores ó iguales que N. Ejemplo: Escriba todos los números primos positivos menores o iguales que 50. usando la criba de Eratóstenes. Como N = 50. entonces JN = ./56 = 7 .... ; iremos tachando sucesivamente los múltiplos de 2. 3. 5 y 7 (donde 7 ~ ./56) b. Método de la raíz cuadrada. Se utiliza para verificar si un número dado es primo o no. Descripción del proceso. Para que sea primo. el número no debe ser divisible entre ninguno de aquellos factores primos que no superen a la raíz cuadrada de número dado. Ejemplo: El número - 113. ¿es primo? Para averiguar si es primo. trabajamos con 1-1131 = 113 Coma" Jl13 = 10 ...... ensayaremos con aquellos números primos que no superen a Jl13 . que son: 2. 3. 5 . 7 o o o o Pero 113 -::f. 2. 3. 5 y 7 en consecuencia 113 es primo. Finalmente concluimos que -113 es primo. Este método esta basado en el siguiente teorema que pasamos demostrar. Teorema.- Un número entero positivo. diferente de la unidad. es primo si y sólo si no es divisible por ninguno de los números primos menores o iguales que su raíz cuadrada. Demostración La demos tración se basará en la equivalencia lógica: p ++ q ¡¡ - p ++ - q. SeaN L 5, el nÚIDeroconsiderado. Supongamos que N no es primo, entonces admite al menos un divisor diferente de 1 y de N. Sea Ud" el más 'pequeño de tales divisores, el cual es un factor primo. Luego se tiene N = dq, donde q ~ d (ya que en caso contrario ud" no seria el más pequeño) . Como q ~ d entonces dq ~ d2 , de donde N ~ d2 , luego JN ~ d. Es decir, hemos demostrado que no admite un divisor primo menor ó igual que su raíz cuadrada, con lo cual hemos probado que N es primo. 9.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Definiciones previas a. Dos o más números enteros no nulos se llaman primos entre sí (PESI) o primos relativos si y sólo si su único divisor común es la unidad. Ejemplo: Los números 2, 6 Y 7 son primos entre sí, ya que su único divisor común es la unidad. b. Dos o más números enteros no nulos son primos entre sí dos a dos, cuando tomados de dos en dos resultan ser primos entre sí. Ejemplo: 1. Los números 4. 7 Y 15 son primos entre sí dos a dos ya que tomados de dos en dos: 4 y 7. 4 Y 15 Y 7 Y 15 resultan ser primos entre sí~,~j ii. Pero los números 2 . 6 y 7 no son primos entre sí dos a dos. ya que 2 y 6 no lo son Corolario Dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí. si y solo si existen dos números enteros m y n tales que ma + nb = 1. La demostración de este corolario esta fuera del contexto del presente capítulo. sin embargo tiene aplicaciones interesantes como pasamos a mostrar. Ejemplo: Para todo número entero positivo k. tenemos que los números 4k + 5 y 5k + 6 son primos entre sí. ya que existen enteros m y n tales que In (4k + 5) + n (5k + 6) = l. Dichos números enteros son m = 5. n = - 4 Observación: De los ejemplos de las definiciones (a) y (b) anteriores concluimos que si dos o más números son primos entre sí dos a dos. entonces serán primos entre sí; lo recíproco no es cierto. es decir. que dos o más números sean primos entre sí no implica necesariamente que sean primos entre sí dos a dos. Lema. Sean a y b números enteros no nulos. p un número primo. Luego. si pi ab; entonces. o bien pi a ó bien pi b. Demostración Como p I abo entonces existe q E Z tal que ab = pq Suponp;amos que p no divide a "b" (p ,r b). probaremos que pla. Como p es primo y p ,r b . tendremos que p y b son primos entre sí. Luego por el corolario anterior. deducimos que existen números enteros m y n tales que mp + nb = l. Teniendo presente que a b = pq. tenemos: a = a.l = a . (mp + nb) = amp + nab = amp + npq = (am + nq)p. de donde observaremos que p I a. De manera análoga se prueba que si p ,r a. entonces pi b . con lo cual queda probado el lema. Teorema fundamental de la Aritmética.- Todo número entero positivo no primo. se puede descomponer como un producto de factores primos de manera única. salvo el orden de dichos factores. Ejemplo La demostración tendrá dos partes. la primera esta referida a la factorización (descomposición) del número y la segunda esta referida a la unicidad de esta factorización. salvo el orden de los factores. Esta salvedad se debe a la ley conmutativa en los enteros positivos. por ejemplo. las factorizaciones (o descomposiciones) 2.3.3. 3.2.3 y 3.3.2. son las mismas y provienen del número 18. Demostraci6n Demostraremos primero la existencia de la descomposición. Sea N el número entero positivo no primo. entonces N puede descomponerse como N = nINI . con 1 < nI < N. 1 < NI < N. Si ambos nI Y NI son primos. ya tenemos la descomposición buscada; si esto no ocurre. podemos descomponer uno de ellos ó los dos (según sea uno de ellos. primo o ninguno de los dos). Supongamos que descomponemos ambos nuevamente: nI NI = (nll n12) (NII N12) luego queda N = (nll n12) (Nll N12) con 1 < nl!. nl2 < nI Y 1 < Nll • Nl2 < NI. De acá planteamos las mismas interrogantes anteriores y volvemos a repetir el proceso un número finito de veces. después de los cuales llegamos a un producto donde todos los factores son primos. de la forma N= a .b.c . .. . q Ahora demostraremos la unicidad. Para demostrar la unicidad. supongamos que tenemos dos descomposiciones de N de la forma N = a b c ... q = al b l cI ... qI. Se deduce que a lal bl C¡ •. • ql. es decir al al (bl c¡ ... q¡) de donde: - Si a I al al ser ambos primos. se tiene a = al - Si a,r al . entonces por el ultimo lema. tenemos que alblcl ... ql. es decir: albl (CI ... ql), de donde alb¡, en cuyo caso a = bl. o al CI ... ql. Al continuar con este proceso. en un número finito de pasos. llegamos a que el factor primo "a" es uno de los factores al o b l o cI o .. ... o ql Ahora este proceso lo repetim.os para b. c . ... q. con lo cual obtenemos las igualdades respectivas de los factores ,prim.os. Luego concluim.os que ambas descomposiciones coinciden. salvo el orden de los factores. Por otro lado. como algunos de los factores primos de la descomposición N = abc .. , q pueden repetirse varias veces. la fórmula de la descomposición queda N = a U • b~ . ca ... qA. donde los exponentes a. 13. 0' ... . . A. son números naturales mayores o iguales a la unidad. Teorema de Dedekin. La condición necesaria y suficiente . para que un número sea múltiplo de otro. es que contenga a todos los factores prim.os de este últim.o. elevados a igualo mayor exponente. Ejemplo . Tenemos que 90 = 2 .3 2.5 es múltiplo de 6 = 2 .3 . ya que contiene los factores primos de este últim.o con exponente igual, para el casO del factor 2. y con exponente mayor. para el caso del factor 3. 9.3. PROPIEDADES ACERCA DE LOS NÚMEROS PRIMOS l. Todo número prim.o que divide a un producto de varios factores. divide por lo menos a uno de ellos. Ejemplo: Tenemos que 3114.45.38. ya que 3145 Demostración Supongamos que tengamos el producto de factores abc ... q. y sea p un número prim.o de modo que plabc ... q. es decir pla (bc ... q). Puede suceder una de dos: a. Que p I a, con lo cual queda demostrado b. Que p ,( a, en cuyo caso plb(c ... q) . Nuevamente se presentan dos casos: a. Que pI b, con lo cual queda demostrado b. Que p ,( b, en cuyo caso plc ... q Continuando de esta manera, después de un número finito de pasos, llegaremos a la conclusión de que p divide al menos a uno de los factores. Corolario. Todo número primo que divide a una potencia de un número, divide también al número. Esta propiedad nos indica que si plan, n E Z+, entonces pla. 2. Si dos números son primos entre sí, entonces todas sus potencias positivas serán primos entre sí. Ejemplo: a. Como 3 y 8 son primos entre sí, tenemos que 32 y 82 , 33 Y 83 son primos entr~ si, en general 3n y 8n son primos entre sí, con n E N. b. Si a y b son dos números enteros positivos, ¿Bajo que condiciones a2 - b2 será un número primo? Como a2 - b2 = (a + b) (a - b) es un número primo, entonces a - b = l. Luego a2 - b2 será un número primo, bajo la condición de que a y b sean números positivos consecutivos cuya suma es primo. Por ejemplo 3 y 2 son consecutivos, luego 32 - 22 = 5 es un número prim.o Demostración Sean a y b dos números primos entre sí. Supongamos que an y bn , n E N, no son primos entre sí; luego existe un factor primo q, común a ambos, de modo que qlan y ql,bn n E N. Entonces por el corolario de la propiedad (1) tenemos que qla y qlb, con lo cual a y b no son prim.os entre sí, contraviniendo la hipótesis. Luego an y b n , con n E N, son prim.os entre sí. 3. Si dos números enteros a y b son primos entre sí, entonces: a) (a + b) Y ab son prim.os entre sí. b) (a - b) yab son primos entre sí. e) (an + bn ) y ab son primos entre sí, donde n E N Ejemplo: Los números 7 y 4 son primos entre sí. Es inmediato que (7 + 4) Y 7.4 ~on prim.os entre sí, igual sucede con (7 - 4) Y 7.4; Y con (72 + 42) Y 7.4 . Demostración a) Supongamos que (a + b) Y ab no son primos entre sí, luego existe un factor primo q, común a ambos, de modo que ql(a + b) Y qlab Como qlab entonces qla ó qlb. Si qla y como ql(a + b), entonces qlb, con lo cual a y b no son primos entre sí. contraviniendo la hipótesis. Si qlb y como ql(a + b). entonces qla, con lo cual a y b tampoco son primos entre sí. contraviniendo la hipótesis. En cualquier caso, (a + b) Y ab son primos entre sí. b) Es similar al caso anterior c) Supongamos que (all + bn ) y ab no son primos entre sí. luego existe un factor primo q, común a ambos, de modo que ql(an + b n) y qlab. Como qlab, entonces por un lema anterior, qla o qlb . Si qla, entonces qlall , n E N, Y como ql(an + bll ). tendremos que qlbn , de donde qlb, con lo cual a y b no son primos entre sí, contraviniendo la hipótesis. Si qlb, es similar a la parte anterior. En cualquier caso, hemos demostrado que (all + b n ) yab son primos entre sí. 4. Si a y b son dos números enteros no nulos cualesquiera, entonces a y (ab + 1') son primos ente sí. Ejemplo: Haciendo a = 4 Y b = 6, tenemos que 4 y (4.6 + 1) son primos entre si. Demostración Aplicaremos un corolario que dice: dos números enteros no nulos a y b son primos entre sí, sí y sólo sí existen dos números enteros m y n tales que ma + nb = l . En esta propiedad hacemos b = ab + 1. m = - b E Z y n = 1 E Z. nos queda ma + nb = -ba + 1 (ab + 1) = l . con lo cual a y (ab + 1) son primos entre sí. 5. Siempre es posible hallar en el conjunto de los números naturales. Un" números consecutivos que no son primos. Demostración Entre los números (n + 1)! + 2 Y (n + 1)! + (n + 1). existen n núrneros naturales. de la forma: (n + 1)! + 2 . (n + 1)! + 3. (n + 1)! + 4 . .... (n + 1)! + (n + 1). Por otro lado (n + 1)! = 2 .3.4 . .. . (n + 1) tiene n divisores diferentes de la unidad. luego afirmamos que: (n + 1)! + 2 no es primo. ya que tiene como divisor al "número 2. (n + 1)! 3 no es primo. ya que tiene como divisor al número 3 . (n + 1)! + (n + 1) tampoco es primo. un divisor de él es (n + 1) Luego los números consecutivos (n + 1)! + 2 . ... (n + 1)! + (n + 1) no son primos. 6. Todo número primo mayor que 3. aumentado o disminuido en una unidad. resulta múltiplo de 6. Es decir. la propiedad nos indi'i,a que todo número primo mayor que 3. se expresa corrw 6 ± 1; pero la recíproca no es cierta.. ya que un número 6 ± 1 no siempre es primo. Ejemplo: Tenemos que 199 es un número primo y se expresa como o o 199 = 6 ± 1; mientras que un 6 ± 1 es 25 y sin embargo no es primo. 9.4. EXPRESIONES ANALíTICAS QUE DAN.NÚME;ROS : PRIMOS Hasta el momento no se ha encontrado una ley acerca de I~ · formación de los números primos. Algunos célebres matemáticos encontraron ciertas expresiones analíticas, las cuales no son generales. Entre ellos tenemos: a. Debido a Euler. La fórmula x?- + x + 41 nos da números primos desde x = 0, hasta x = 40. x2 + x + 17 nos da números primos desde x = ° hasta x = 16 b. Debido a"Fermat. 2" La formula 2 + 1 nos da números primos desde n = 0, hasta n = 4. 9.5. ESTUDIO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE UN NÚMERO ENTERO Por el teorema fundamental de la aritmética sabemos que un número entero N descompuesto en sus factores primos se puede expresar de manera única, salvo el orden de los factores, como Los divisores del número N están dados por: Las potencias del factor "a" Las potencias del factor "b" Las potencias del factor "c" Las potencias del factor "q" a o . a 1 ..... a a qo. q 1 ... q /.. Las combinaciones de los divisores anteriores. Ejemplo: Tenemos que 600 = 23 . 3.52 • sus divisores están dados por: Las potencias de 2 1. 2. 2 2. 23 Las potencias de 3 1. 3 Las potencias de 5 1. 5. 52 - Las combinaciones de los divisores anteriores. ¿Cómo podemos encontrar estos divisores y sus combinaciones? La . respuesta la encontramos aplicando el principio combinatorio; para ello disponemos de todos los divisores de la siguiente mariera: Los divisores de 600 están dados por: 0.2.22. 23). (1. 3). (1.5.52) Efectuamos el producto. para encontrar el total de divisores y el valor de cada uno. Potencias de ~ 2 1 2 4 8 Potencias de 3 ~ 3 3 6 12 24 1 5 10 20 40 Potencias de 515 15 30 60 120 52 1 25 50 100 200 75 150 300 600 Descripci6n de la Construcci6n de la Tabla. ' En la primera fila se ha colocado las potencias del factor primo que tiene mayor exponente. Enseguida hemos multiplicado todas las potencias de segundo factor por la primera fila. Finalmente hemos multiplicado las filas resultantes por las potencias del tercer factor primo. Observaci6n. De la tabla observamos que el primer divisor es 1 y el último es el mismo número. en este caso 600. Además el producto de aquellos factores distantes del primero . y último nos da como resultado el número propuesto. en este caso 600. Es decir: 1 x 600 = 2 x 300 = 3 x 200 = 4 x 150 = 5 x 120 = 6 x 100 = 8 x 75 = 10 x 60 = 12 x 50 = 15 x 40 = 20 x 30 = 24 x 25 = 600 Han resultado 12 parejas de divisores cuyo producto nos da el número original Conclusión. Para un número entero N = a!X. b~. ca .... qA. tenemos que sus divisores y la cantidad de ellos. se encuentran a partir de las combinaciones de todas las potencias de cada uno de los factores primos que lo forman; es decir a partir de: 2 u 2!3 2 a - 2 A (1,a,a , ... a )·(1,b,b , ... b )·(1,c,c , ... ac ) ... (1,q,q , ... q) .. , .. , .. , .. , V V V V a+1 /3+1 0+1 A+1 Al efectuar las combinaciones. tenemos que el total de términos o divisores esta dado por el producto (a + 1) (13 + 1) (a + 1) ... (A + 1). con lo cual hemos probado el siguiente teorema: Teorema. Dado el número entero N = a U • b~ . ca ... qA. todos los divisores simples y compuestos están dl;ldos por las combinaciones que provienen del producto: 2 a )- 2 ~ 2 a 2 A (1,a,a , ... a )·(1,b,b , ... b )·(1,c,c , ... ac ) ... (1,q,q , ... q). siendo en total (a + 1) . (/3 + 1) . ( a + 1) ... (A + 1) Es decir. la cantidad de divisores positivos de N es: I d(N) = (a+ 1)(13+ 1)(0+ 1) ... (A+ 1) I 9.6 SUMA DE LOS DIVISOREs POSITIVOS DE N N = aa . b~ . ca ... el El proceso a seguir es: Hallar los divisores de N: Efectuamos la suma de los divisores) 2 IX 2 IJ 2 A (l+a+a + ... +a )·(l+b+b + ... +b ) ... (l+q+q +q) = a IX + 1 - 1 blJ + 1 - 1 q A + 1 - 1 a-l . b-l ... q-l Es decir la suma de 10 divisores de N. Sd (N). esta dada por: Ejemplos: a IX + 1 _ 1 blJ + 1 _ 1 qA + 1 - 1 Sd(N) = a- 1 . b - 1 ... q - 1 a) Hallar la suma de los divisores positivos del número 600 Por un ejemplo anterior. tenemos N = 600 = 23 x 3 x 52 La suma de divisores está dada por: Sd(N) = (1 + 2 + 22 + 23) . (1 + 3) (1 + 5 + 52) = 15.4.31 = 1860 b) Hallar la suma de los divisores positivos del número 81. Como 81 = 34 • entonces Sd(N) = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 121 e) Hallar la suma de los divisores positivos del número 199. Tenemos que 199 es un número primo. luego SdfNl = 1 + 199 = 200 9.7 SU:MA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N N = ao. . b~ . cCJ ... q'A Proceso a seguir - Hallar los divisores de N: O. a. a 2• .... a 0.). (1. b. b 2 • .. .• b P) ... (1. q. q2 .... qÁ) - Hallar las inversas de los divisores de N: ( 1; 1.., 12,,, , 10.) . (1, 1.., ... l~) ... (l, 1.., ... \) aa a b b q q - Efectuando la suma de las inversas de los divisores: a o. +a0 .+1 + ... +1 b ~ +b ~+1 + ... +1 a ll • b~ q'A+ qA + 1 + .. . S +l_~ A - N q Luego· la suma de las inversas de los divisores de N. Sid(N). esta dada por: .,~. 9.8. SUMA DE LAS POTENCIAS POSITIVAS DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE N - Hallar los divisores de N: (1 .aa2 .... a al. (1 .b. b 2 .... bPl ... (1 ..q2 .... q 1..) - Elevando a la "n" cada divisor: ( I D 2D a.D) (1 bD b 2D bP.D) t a ,a t ••• ' a " , ... , , (l. qD. q2D. qA..D). - Efectuando la suma de estas potencies: (l + aD + a 2D + ... + aa.D) . (l + bD + b2n + ... b P.n) ... (l + qD + q2D + ... + qA..n) = Luego la suma de las potencias positivas de los divisores positivos. Sdn(Nl es: n a+1 n P+1 D 0+1 n 1..+1 (a) - 1 (b) - 1 (e) - 1 (q) - 1 na+1 nP+1 n o + 1 nA.+l Sdn N = (a ) - 1 . (b) - 1 . (e) - 1 (q) - 1 ( ) an _ 1 bn _ 1 en _ 1 qn - 1 9.9 PRODUCTO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE N N = aa. bP. cO ... qA. Sabemos que los divisores de N pueden ordenarse de dos modos: - Una sucesión creciente de divisores. empezando por dI = 1. d2. d3. .. .. dn = N. - A cada uno de estos divisores le corresponde otro, los cuales forman una sucesión decreciente y son de la forma dN ' N N N rL' d' ... , d (a cada uno de estos divisores se le llama 1 ~ 3 n divisor complementario). - Efectuando el producto de ellos, tenemos: P = dI x d2 x ... x dn p2 = Nn donde n es la cantidad de divisores Luego el producto de divisores positivos de N, P d(N) ' es Gi(Ñ) P d(N) = '¡N-'· -' Ejemplos a . Hallar la suma de las inversas de los divisores positivos de 600. Por ejemplo anterior sabemos que Sd(N) = 1860, luego _ Sd(N) _ 1860 _ Sid(N) - N - 600 - 3, 1 b. Demostrar que un número cuadrado perfecto admite un número impar de divisores positivos. Como el número es un cuadrado perfecto, será de la forma N = a 2a, b 2fl ... q21... Luego el número de divisores esta dado por: d (N) = (2a + 1) (2 + 1) ... (21.. + 1). o Como cada factor d~ este producto es 2 + Id tendremos que el producto es 2 + 1, con 10 cual d(N) = 2 + 1, es un número impar. c) Demostrar que un número que no es cuadrado perfecto admite un número par de divisores positivos. La demostración es inmediata 9.10 EL INDICADOR DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO Definici6n. Se llama indicador de un número entero positivo N al número de primos relativos con N y menores que él, denotándose por cp (N). Ejemplo Por convención se acepta que cp (1) = l. pero podemos calcular cp (2) = l. cp (3) = 2 . etc. Propiedades del indicador de un número entero positivo. a. Si P es un número primo. tenemos cp (p) = p - 1 Demostraci6n Como p es primo. son primos relativos con p : 1. 2 .... P - 1; los que en total son (p - 1) números. Luego cp (p) = p - 1 b. Si p es un número primo. cp (pD) = pD-I. (p-l). con n E N Ejemplos: 1. El indicador de 8 = 23 es cp (8) = cp (23 ) = 22 . (2-1) = 4. es decir hay 4 números primos con 8 y menores que 8. ellos son: l. 3. 5. Y 7. ii. Mientras que el indicador de 7 es cp (7) = 6. ya que hay 6 números primos con 7 y menores que 7. ellos son: l . 2 . 3.4.5.6. Demostraci6n: De la sucesión de números 1. 2. 3. ... . pD; los únicos números no primos con pD son los múltiplos de p . es decir: p . 2p. 3p .... . pD-l .p. los que en total son pD-l. Descontando estos pn-l números del total pn. nos queda la cantidad de números primos con pn y menores que él. que es: