NÚMEROS PRIMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

El estudio de los números primos fue abordado por matemáticas desde hace mucho tiempo. Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita (Aprox. 350 A a.J.c). 
En el campo de los enteros Z : = 0, + 1, + 2, + 3, ... Se descubre inmediatamente la existencia de números p cuyos únicos divisores son los números 1, -1, p,-p números con esta propiedades y que no sean 1 y –1 se denominan primos. 
Podemos decir entonces que un número entero es primo si y sólo si posee exactamente 4 divisores. (Aspectos de la teoría elemental de Números Enzo. R. Gentile (Universidad de Buenos Aires) Por muchos años ilustres matemáticos trataron de encontrar una formula para determinar a los números primos entre ellos: Euler (1772) x2–x + 41 = primo, x = 0,1,2,..., 40 Legendre (1789) x2 +x+41 = primo, x = 0,1,2,..., 39 También Pierre Fermat conjeturo que los números Fn: = +1 eran primos para todos los n  N Esta conjetura resultó errónea pues para n = 5, Euler probo que F5 es divisibles por 641. Se sabe que Fn es primo para 0  n  4 y compuestos para 5  n  19 y para muchos valores de n. Se ignora hasta el presente si existen infinitos primos de la forma Fn (primos de FERMAT). Como un dato actual ANDREW. J. Wiles Matemático Británico de la Universidad de PRINCETON, demostró el celebérrimo Teorema de Fermat en 1994, tras un decenio de concentrados esfuerzos en el cual Fermat afirmaba que no existían soluciones enteras no triviales para la ecuación an + bn = cn, donde n es un entero cualquiera mayor que 2. Wiles para completar su cálculo de 100 paginas necesito recurrir a muchas modernas ideas de la matemática y desarrollarlas más todavía. En particular tuvo que demostrar la conjetura de Shimura – Taniyama para un subconjunto de curvas elípticas, objetos descritos por ecuaciones cúbicas tales como y2 = x3 + ax2 + bx + c 
DEFINICIONES BÁSICAS 1. Número Primo Absolutos: Definido en Z+ un número será primo absoluto si posee dos divisores distintos una de ellos la unidad y el otro el mismo número. Ejemplo 3,5,7,2 etc. 2. Divisor: Es aquel número entero y positivo que divide exactamente a otro número entero y positivo. 8  1, 2, 4, 8 Divisores 16  1, 2, 4, 8, 16 Divisores 3. Número Compuesto: Es aquel número ZZ + que tiene más de dos divisores. Ejemplo 6: 1, 2, 3, 6 mas de 2 divisores 4: 1, 2, 4 Determinar si los siguientes números son primos absolutos (P) o compuestos (c) 5 ( ) 12 ( ) 17 ( ) 9 ( ) 13 ( ) 29 ( ) 11 ( ) 23 ( ) 31 ( ) 
4. Primos Relativos: Llamados también CO-PRIMOS o PRIMOS ENTRE SI son aquellos que al compararse poseen como único divisor a la unidad. PRIMOS ENTRE SI (P.E.Si) Ejemplo 2 y 13 por primos entre si Divisores 2 : , 2 13 : , 13 único divisor común Divisores 9 : , 3 9 20 : , 2, 4, 5, 10, 20 único divisor común En Z+ 5. Números Simples: Son aquellos números que tienen a lo más 2 divisores 6. La Unidad: Es el único número entero positivo que posee un solo divisor, él mismo. 
PROPIEDADES 
i) El conjunto de los números primos es infinito, y no existe formula alguna para determinar todos los números primos. ii) El 2 es el único número primo par. iii) Los únicos números primos que son números consecutivos son el 2 y 3. iv) Si “p” es un número primo, además p > 2 entonces p = +1 ó p = - 1 Ejemplo: 37 = + 1 19 = - 1 v) Si “p” es un número primo, además p > 3, entonces: p = + 1 ó - 1 Ejemplo: 41= - 1 37 = + 1 29 = - 1 ¿Cómo se determina si un número es primo o no? Se divide al número entre cada uno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada aproximada. Si en ningún caso la división es exacta entonces el número es primo en caso contrario es compuesto (Criterio de la raíz cuadrada) Ejemplo: ¿223 es un número primo? Paso 1 Paso 2 # primos  14 2, 3, 5, 7, 11, 13 Paso 3 223 Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 223 es un número primo. Números PESi 2 o 2 Son aquellos números PESi, que al formar grupos de 2 con dichos números resultan también PESi. Ejemplo: 8,21 y 25 son PESi 2 a 2 Porque: 8 y 21 son PESi 8 y 25 son PESi 21 y 25 son PESi PROPIEDADES • Si un grupo de números son PESi. 2 a 2 entonces son PESi lo reciproco no siempre se cumple. • Dos números consecutivos siempre son PESi. Ejemplo: 24 y 25 son PESi CRIBA DE ERATOSTENES Eratostenes de cirene, nació en 276 A.C. en cirene (ahora Shahhat, Libia) y falleció en 197 A.C. en Alejandría, Egipto. Es recordado por su aporte en la teoría de los números primos. Y dio el método que nos da a conocer los primeros números primos absolutos de la siguiente manera: Se colocan los números naturales consecutivos a excepción de la unidad y se procede a eliminar los múltiplos de 2 excepto el 2, todos los múltiplos de 3 excepto el 3 y así sucesivamente hasta eliminar los múltiplos de la raíz cuadrada aproximada del número excepto esta, luego los números que quedan serán los primeros primos absolutos. Se tiene: Los primos absolutos son: . TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (Descomposición Canonica)

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