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GRADOS Y POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO PDF

EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es aquella que está formada por variables y/o constantes donde las variables están relacionadas con las operaciones matemáticas adición , sustracción, multiplicación , división, potenciación y radicación , en un número limitado de veces.


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Ejemplo :
*  ;  la variable es x.
* ;  las variables son x e y.
*; las variables son x, y, z.

* En la siguiente expresión algebraica :

    json variables : x, y;
* Son constantes:

Las constantes que se representan con símbolos literales se llaman parámetros. En el ejemplo anterior , m y n son parámetros.
ñLas siguientes expresiones no son algebraicas:

* R(x) = x2 + sen x
* G(x) = 1 + x + x2 + x3 + ..........
*
*
*
 TÉrmino  ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica donde no participa la operación adición y sustracción :
Ejemplo:






Dos o más términos algebraicos serán semejantes si los exponentes de sus respectivas  variables  son iguales.
Ejemplo :



* Los términos algebraicos :
 y  son semejantes.
* Los términos algebraicos :
y
no son semejantes , pues no tienen las mismas variables.
monomio :
Es un término algebraico , cuyos exponentes de sus variables son números naturales.
Ejemplos :
Las siguientes expresiones son monomios :








Todo monomio posee las siguientes partes :










Consiste en reemplazar las variables de un monomio por números determinados. Así , se obtendrán un resultado, denominado VALOR NUMÉRICO.

Ejemplo :
Si : P(x) = 7x – 2 , hallar «P(5)»
Resolución:
* Reemplazamos : x = 5
P(5)= 7(5)- 2
 P(4)= 35- 2 ; Luego , P(5)= 33

Polinomio
Es aquella expresión algebraica donde los exponentes de las variables son números enteros positivos , además dichas expresiones están definidas para cualquier valor que se de a sus variables.
Se llama polinomio a la suma finita de expresiones de la forma: axm (si el polinomio tiene una sola variable) o de la forma: axmyn (si el polinomio tiene dos variables).
donde:
* a: es una constante, a la que se denomina coeficiente.
* x , y : son las variables.
* m , n : son los exponentes de las variables, los cuales son enteros no negativos.
En particular, al término axm se le llama monomio de variable «x» y al término axmyn, monomio de variables «x» e «y».

Ejemplo :
, Si es polinomio , porque todas sus variables tienen exponentes enteros no negativos.



, No es polinomio, porque una de sus variables tiene exponentes fraccionarios.


, No es polinomio, porque una de sus variables tiene exponente negativo.

A(x;y) = 4x3 + y4 – 1.....……….. (Si)
Q(x) = x – x – 4........……………. (No)
B(x) = x2 + y1/2 ......…….……. (Si)


Es la forma abreviada de la representación de un polinomio.Un polinomio se denota así :

*







                                           Se lee: «P de x » ó «P en x»

*



                                           Se lee: «Q de x, y» ó «Q en x,y»


* p(x)=13x4 – 2x+7, es un polinomio de variable x; donde    los  coeficientes son los números reales : 13 ;  – 2 ; 7.
* Q(x;y) =7xy – 4x3y3 + 11x2, es un polinomio de variables x e y  ; donde los coeficientes son los números reales: 7;  – 4 ; 11.
Un polinomio de variable única «x», tiene la siguiente forma general
P(x) = a0xn + a1xn –1 + a2xn-2+....+ an-1 x + an ;.
Donde:
* x : es la variable
* n : es el grado del polinomio.
* a0 , a1 , a2 , ... , an : son los coeficientes
* a0 : es el coeficiente principal,
* an : es el término independiente.


•Además podemos nombrar los polinomios de acuerdo a la cantidad de términos que poseen.
P(x,y) = x3 y    ……….… Monomio
P(x)  = x2 + 5x    ……… Binomio
Q(x,y) = y2 + xy –  5x2.... Trinomio
Q(x)  =  x4 – x2 + x – 1 ... Cuatrinomio
o simplemente polinomio de cuatro términos.

Observación :
La expresión; no es un polinomio , porque no está definido para:  x=0  y=0.
Forma General  De  Un Polinomio En La  Variable «x».


a0 ¹ 0
Donde :
* a0 ; a1 ; a2 ; …… ; an    son los coeficientes del polinomio.
* a0 es el coeficiente principal (coeficiente de la variable con mayor exponente)
* an es el término independiente.

ejemplo:
el polinomio :  P(x) = 5x4 – x3 + 2x – 3
• Es de cuarto grado (puede llamársele polinomio cuártico aunque no es muy usual).

Además :
•Su coeficiente principal es : a0 = 5.
• Su término independiente es : -3
• Su término lineal es : 2x
• Su término cuadrático es : 0x2 (carece de término cuadrático)
• Su término cúbico es : – x3

además:
P(x)=x+7.......... Polinomio de primer grado
Q(x)=2x2 – x+1... Polinomio de segundo grado
P(x)=x3  – x+7.... Polinomio de tercer grado
G(x)= 3x4+x2+ 5..Polinomio de cuarto grado
Formas Generales :
Polinomio Lineal :
(Polinomio de primer grado)

Polinomio Cuadrático :
(Polinomio de segundo grado)
P(x) = ax2 + bx + c  ;  a ¹ 0
Valor  Numérico (V.N.)
Si le asignamos valores a las variables de una expresión algebraica y efectuamos las operaciones que se indican , el número real que se obtiene se llama valor numérico de la expresión algebraica.

ejemplo:
 el valor numérico de :
, cuando x = 9 ; y = 2
           
 

           
 

Es :
 P(9;2)=  23         nos   piden

Sea P(x) =  – 3x3 + 2x2 + x – 6
* Si x = -1 entonces:
P(x) =  – 3( – 1)3 + 2( – 1)2 + ( – 1) –  6 = –  2
* Si x = 2 entonces:
P(x) =  – 3(2)3 + 2(2)2 + (2) –  6 = – 20

Si P(x) es un polinomio, entonces se cumple que:

· P(1) = suma de coeficientes del polinomio

· P(0) = término independiente del polinomio

Ejemplo:
Para el polinomio: P(x)= 2x3 + 17x2 + 3x - 4, se tiene que:
* P( 1) = 2 + 17 + 3 – 4 = 18 = Suma de coeficientes del polinomio
P(0) = 0 + 0 + 0 – 4 = – 4 = término independiente.
Cambio  de  variable
Las variables de un polinomio (o expresión algebraica) pueden ser sustituidas por cualquier otra variable o polinomio , quedando el polinomio en términos de la nueva variable.  
ejemplo 1:

Dado el polinomio  P(x) = 4x-  5
Halle :
  I) P(y + 1) II) P(3x - 1)
Resolución:
I) El dato es
Aquí  hay  que  reemplazar  directamente  x  por  y+1 en P(x).

* Luego :  P(y + 1) = 4(y + 1) – 5
             P(y + 1) = 4y – 1
II) Igual que el anterior :
El dato es
* Reemplazamos  x  por 3x-1 en P(x)
* Luego :  P(3x - 1)=  4(3x - 1) - 5
   Þ  P(3x - 1)= 12x - 9

ejemplo 2:
Sea
Calcular : P(4)

Resolución :
* Primero se calcula el valor de la variable igualando las notaciones polinómicas.




* Reemplazo el valor encontrado en el polinomio original :
 si  x = 4 entonces  P(4) = 9(4) + 6 = 42

ejemplo 3:
Sea
Calcular : P(5)

Resolución :
* Primero se calcula el valor de la variable igualando las notaciones polinómicas entonces : x + 4 = 5

luego x=1


* Reemplazo el valor encontrado en el polinomio original :
P(1+4) = 8(1) – 1
P(5)    = 8 – 1

 *Por lo tanto:  P(5) = 7
ejemplo 4:
Dado el polinomio :  P(x -  4)= 10x - 7
Hallar  P(x)
Resolución:
• 1ra. Forma:
Hagamos aparecer la primera variable x – 4 en el 2do. miembro , así :


 Aquí reemplazamos  x - 4  por  x


• 2da. Forma: Se va a recurrir a un cambio de variable , así :
* De P(x- 4) , se hace
x - 4 = y  ¾®  x = y + 4

* Reemplazamos en  P(x - 4)...... Dato

*Ahora cambiamos  y  por  x :
P(x) = 10x + 33

• 3ra. Forma: (Método super práctico)
Hallando la regla como operar de:
P(x-  4) = 10x- 7
Pregunta Clave:
¿Qué podemos hacer a la parte interna de «P» ,  es decir a «x – 4», para que aparezca «10 x – 7» (miembro derecho)?

Rpta.      :
                           




     


Más   Ejemplos:

* Si: Q(2x - 3) = x + 1
 




* Si:





* Si: P(x)=3x+1
   




GRADO DE las EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El grado es una característica de las expresiones algebraicas , que en una ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita.

El grado absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables.

Grado de un Monomio
GRADO ABSOLUTO:
Se obtiene al sumar los exponentes de las variables.
GRADO  RELATIVO:
El grado relativo a una variable es el exponente de dicha variable.
ejemplos :
* Si tenemos los polinomios:


* Entonces sus grados absolutos serán:



* Si tenemos los polinomios:








*  F(x,y) = a4 x5 y8
  G.R.(x) = 5
  G.R.(y) = 8
  G.A.(F) = 8 + 5 = 13


Grado de un Polinomio
Grado absoluto:
Está dado por el mayor grado de sus términos.


 GRADO  RELATIVO:
El grado relativo a una variable es el mayor exponente de dicha variable.
Ejemplo 1:
*Hallar el grado absoluto del polinomio:






*Luego el resultado es el mayor G.A.


Ejemplo 2:
* Hallar el grado relativo de «x» e «y» del polinomio :
Resolución:
* Hallamos el grado relativo para cada término:






* Luego, cogemos el mayor en cada caso; así:

Ejemplo 3 :

P(x,y) = 6x6 y-  3x7 y3 + 2xy5

 G.R.(x)=7  ;  G.R.(y)= 5   ; G.A.(P) =10
CÁLCULO DE GRADOS
EN OPERACIONES

I)En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor:
Ejemplo:
        Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
   tal que :  a > b

Grado [P(x) ± Q(x)] = a

II) En la multiplicación los grados se suman:
Ejemplo:




III) En la división los grados se restan:
Ejemplo:
                       


IV) En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente:
Ejemplo:




V)En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical:
Ejemplo:




Observaciones :
* cuando empleemos la palabra  grado a secas, nos referimos al grado absoluto del polinomio.
* si todos los coeficientes del polinomio son nulos , el polinomio es llamado nulo (o polinomio cero ) y en este caso diremos que carece de grado .
Polinomios   especiales
en esta parte definiremos  algunos polinomios de uso frecuente y para los cuales   existe una terminología de  uso común:
i)POLINOMIOS HOMOGÉNEOS:
Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.
Ejemplo:
* x3y2 – x5+x2yz2 Es homogéneo de grado 5.
* p(x;y;z)=x3+y3+z3+xyz
   Es un polinomio homogéneo de grado 3.


Otra definición de polinomio homogéneo es :
p(kx;ky;kz;...;kw)=knp(x; y; z;...; w)

donde:
Es decir si P(x ; y) es un polinomio homogéneo de grado n se verifica que p(kx;ky)=knp(x; y) para todo

ii) POLINOMIOS ORDENADOS:
Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables , si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el orden ascendente o descendente a partir del primer término (contando de derecha a izquierda).

Ejemplo:

* x4 y7 – x8 y10+x5 y24
Está ordenado ascendentemente con respecto a y.

*p(x;y)=5x2y5+3x4y3+3x7y2 está ordenado ascendentemente respecto a x y descendentemente respecto a y.

 
iii)POLINOMIOS  COMPLETOS :
Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos los exponentes (potencias sucesivas)de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive.
Ejemplo :
* xy8  –  y6 + x3 y7 + x2 y8   Es completo respecto a  x.
* p(x;y)=5x6y3+x7 – xy+x2y2 – 8   es completo respecto a y .

Un polinomio completo  no tiene porque ser ordenado y viceversa .
ejemplos :
* el polinomio p(x;y)=3x3y+xy2+x2y5 – 7 es completo respecto a la variable x , pero no está ordenado respecto a esta variable.

* el polinomio  p(x)=5x3 +x2+x – 2 es completo respecto a la variable x , y  está ordenado respecto a esta variable .

En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:

     Número de términos=Grado +1

Ejemplo:

* Como es completo entonces :
Número de términos =5+1= 6

iv) POLINOMIOS IDÉNTICOS ():
Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a  sus variables . En dos polinomios idénticos los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.
Ejemplo:
* sea: ax+by+cz8x+2z – 5y

 entonces : a=8  ;  b= – 5  ;  c=2


* Los polinomios: P(x) = 16x2 + 45x + 98  y
Q(x) = 98 + 45x + 16x2, son idénticos y se denota así: P(x) Q(x)

* Si: P(x) = ax3 + bx2 + c  y  Q(x) = 9x3 + 31x2 + 20 , son idénticos ax3 + bx2 + c  9x3 + 31x2 + 20, .  a=9 ; b=31 ; c=20


v)POLINOMIOS IDENTICAMENTE NULOS(0):
Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero . Estando reducidas se cumple que cada coeficiente es igual a cero.
Ejemplo:
* sea : ax + by + cz  0
 entonces : a=0   ;   b=0   ;   c=0
* Si P(x) = ax2 + bx + c es idénticamente nulo, entonces: a = 0 ; b = 0  y  c = 0

DEFINICIONES  ADICIONALES
Polinomio  Mónico :
Es aquel polinomio de una variable cuyo coeficiente principal es 1.
Ejemplo:
Los polinomios :



      son mónicos.
•Pero los polinomios :




        No son mónicos.

Polinomios  Constantes :
Son aquellos polinomios (de una o más variables) de la forma P(x)= k, «k»  es un número real.  Si  k0, entonces definimos el grado del polinomio constantes como cero , pero si k=0, entonces P(x)0 es llamado polinomio idénticamente nulo , cuyo grado no está definido.

Ejemplo:
Los  polinomios.



son constantes de grado cero.
* Pero el polinomio P(x)=0 es el único polinomio que no tiene grado.


Consideremos el polinomio de grado «n».

P(x)=a0xn+a1xn – 1+a2xn – 2+… +an-1x + an

donde: a00, luego :
SUMA DE COEFICIENTES :
En    todo    polinomio de dos o más términos la suma de sus coeficientes se obtiene evaluando el polinomio en 1. Es decir suma coeficientes es P(1) ó P(1;1) ó P(1;1;1) (según la cantidad de variables).





TÉRMINO  INDEPENDIENTE :
En todo polinomio su término independiente se obtiene   evaluando dicho polinomio en cero. Es decir :
Término independiente P(0) o P(0;0) o P(0;0;0) (según la cantidad de variables).

an=P(0)
Ejemplos :
* Sea el polinomio:
P(x)=3x4+x- 2, luego:

Suma de coeficientes:   P(1)= 3+1- 2 = 2

Término independiente:   P(0) =- 2


* Sea el polinomio:
Q(x)= x(x + 2) + 2(x-1) + 4, luego:

Suma de coeficientes:Q(1) = 1(3) + 2(0) + 4 = 7

Término independiente:Q(0) = 0(2) + 2(-1) + 4 = 2


* Sea el polinomio :
P(x + 2) = 4x3- x + 3 , luego:

Suma de coeficientes :
 


*Luego:  P(1)=0
Término independiente:

    x + 2 = 0 x =-2

P(0) = 4(-2)3 - (-2) + 3

*Luego: P(0)=- 27

operaciones  con polinomios



Al sumar polinomios, se reducirán sus términos semejantes. Aquellos que no lo sean, serán colocados conservando su propio signo.
Ejemplos:
Dados los polinomios:



Calcular: P(x)+Q(x)
Resolución:
* En primer lugar; escribimos los polinomios uno al lado del otro:


* Ahora seleccionamos los términos semejantes:

7x2 + 3x – 5 + 5x2 – 2x + 9
* Hecho esto, reducimos los términos, seleccionados obteniendo el resultado:

12x2 + x + 4

 Calcular P(x)+Q(x)+R(x) sabiendo que:



Resolución:
* Colocamos los tres polinomios juntos:


* Los términos semejantes se reducen, los otros son colocados con su propio signo.


La gran diferencia que existe con la suma, es que al polinomio negativo (precedido por un signo –) se la cambiarán, previamente, los signos de TODOS sus términos. Luego de esto, se procederá como en la suma.

Ejemplo:
Si tenemos:





Calcular : P(x) – Q(x)
Resolución:
* Tenemos:


 Q(x) es el polinomio negativo (observa el signo a su izquierda). Nota como se han colocado los «( )».

* Ahora cambiamos los signos a todos los términos de Q(x):

* Observa que al cambiar los signos. Los «()» desaparecen automáticamente.
* Seleccionamos términos semejantes y reducimos:


Para multiplicar polinomios debemos tener en cuenta a la siguiente propiedad:



* Considerando esto, veremos los siguientes
ejemplos:

 Multiplicar x5 por 3x2 – 2x + 1

Resolución:
* Tenemos:
                     








Observa como se usó  la propiedad mencionada.

 Multiplicar  (x2 + x3) por (2x3 – x2 + 2x – 1)
Resolución:


* Tenemos



* Luego, multiplicando tenemos:







Observa como hemos reducido los términos semejantes.


 Multiplicar

Resolución:







* o también
                               






* Luego
* Con respecto a los grados :

* Se observa que el grado de C(x) resulta de sumar los grados de A(x) y B(x)

ejercicio 1:
Reducir:
A = 5x + 2 –[–(–6x + 2) – (–8 + x)]

A) 0 B) –1 C) 2 D) 4     E) –4

Resolución:






RPTA : ‘‘E’’
ejercicio 2:
Multiplicar (2x + 3y4) por (5x2 – y)
Resolución:
* Aplicando la propiedad distributiva conforme se indica:










ejercicio 3 :
Multiplicar  por
Resolución:





* Aplicando la propiedad distributiva:




ejercicio 4:
Reducir:
Resolución:
*Aplicando la propiedad distributiva:












ejercicio 5 :
Reducir:
Resolución :
* Aplicando la propiedad distributiva :












* De donde lo reducido es : 14x – 11
ejercicio  6:
Multiplicar   por a2 – 2a
Resolución:
* Análogamente conforme se indica:












La regla diagonal  :
Una disposición usual para ejecutar el producto de polinomios mediante la regla de distribución es la variante de orientación rectangular, la cual se expone a continuación:
ejemplo :
Efectuar:
Resolución:

I)Disposición rectángular    II)Ejecutando una fila
     

                                                             



III) De modo análogo
   




Luego de sumar términos semejantes por las diagonales, resulta:
E = 12x4 + x3 + 54x2 - 112x + 231
RESUMEN :
Los polinomios son expresiones algebraicas racionales enteros de dos o más términos. A los polinomios se les denota de la siguiente forma: P(x) , P(x;y) , ...
Los polinomios poseen grados relativos y absolutos y estos son enteros y positivos.
Los polinomios especiales son: Polinomios ordenados, completos, homogéneos, idénticos o idénticamente nulo.
Con los polinomios podemos efectuar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Esto último se estudiará en posterior capítulo.
problemas  resueltos
Problema 1:
Si: son términos semejantes.


Hallar:
A) 9 B) 8 C) –1 D) 12   E) 131
Resolución:
*Si:Son T.S.Los elementos de «x» deben ser iguales .    Entonces : n-1=7 n =8
* Pero me piden hallar:

RPTA : ‘‘a’’
Problema  2:
Calcular el V.N. de M ; para  a= –1;
                          M = –10a – 2b + 6a + 2b

A) 1 B) 2 C) –2 D) 4 E) 8

Resolución:
* De: M = –10a – 2b + 6a + 2b
reduciendo: M = –10a + 6a M = –4a
pero a = –1 , luego : M = –4(–1)=4
 RPTA : ‘‘d’’
Problema 3:
Si: P(x)=2x2 –1.  Calcular :
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
Resolución :
*Calculando  por      partes :




*Luego:  


RPTA : ‘‘a’’
Problema  4 :
Si: P(x) = x3 + 2x2 – 4x + 5

Hallar : E=P(1)–P(–1)+P(2) – P(–2)

A) –2 B) –6 C) 4 D) 0 E) 10
Resolución:








* Luego : E = 4 – 10+13 – 13 = –6
RPTA : ‘‘b’’
 Problema 5:
Si: P(x) = 3x2 + x – 3    Calcular el valor de:

A) 1 B) 2 C) 0 D) –1 E) 6
Resolución:

* Nos piden calcular:
                             



*Entonces :


RPTA : ‘‘a’
problema 6 :
Si f(x+1)=x2–1 entonceses igual a:

A) 1 B) –1/3 C) 1/2 D) 1/3 E) –1/2
resolución:
* Si:




* Luego evaluando: f(1) = (0)2–1 = –1
         f(0) = (–1)2 –1 = 0
                          f(–1) = (–2)2 – 1 = 3
* Entonces , reemplazando tenemos:



RPTA : ‘‘B’’
PROBLEMA  7  :
El valor numérico de :
f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 1 en 1,001 es:
A) 3,002002001     B) 5,006004001    C) 2,002002001
D) 2,000000001   E) 2,0011001001
Resolución:
* Sumando +1 y quitando –1 la expresión dada:








* Para : x = 1,001






RPTA : ‘‘d’’
PROBLEMA  8 :
Si f(x)= 1+ x. ¿Cuál es el valor de y , si sabemos que f(f(x)= y+f(1–x)?
A) 0 B) x C) –2x D) –x E) 2x
Resolución:
Despejando ‘‘y’’: y = f(f(x)) – f(1–x) ..........(I)

Dato: f(x) = 1 + x .......................................(II)
* (II) en (I):
          y = f(1+x) – f(1 – x)
          y = 2+x – (2 – x)y = 2x
RPTA : ‘‘e’’
PROBLEMA  9  :
Si
¿Cuál es el valor de a + b + 5 ?
A) 5 B) 1 C) –1 D) –2 E) 0
resolución :
* Buscando la regla como operar , se obtendrá:




* Luego lo aplicaremos en:





RPTA : ‘‘e’’
PROBLEMA  10  :
Dado , calcule f(f(–4)).

A) –4 B) 8/5 C) 4 D) 0 E) –8/5

Resolución: