GRADOS DE UN POLINOMIO PROBLEMAS RESUELTOS PDF
GRADO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El grado es una característica de las expresiones algebraicas, que en una ecuación indica el número de valores que debe tener la incógnita.
El grado absoluto si se refiere a todas las variables y relativo si se refiere a una de las variables.
GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO
Está indicado por el mayor exponente que afecta a la variable en uno de los términos del polinomio.
GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO
Lo determina el mayor grado que posee uno de los términos del polinomio.
Debemos tener en cuenta que:
𝑖) El grado de una constante monómica es igual a cero.
Veamos: Sea P(x)=5 ⇒ grado (P)=0 ya que se supone, que la variable está elevada a la cero.
𝑖𝑖) El grado de la constante nula no está definida, es decir:
Si P(x)=0 ⇒ grado (P) es indefinida.
𝑖𝑖𝑖) Es indiferente utilizar la terminología grado o grado absoluto
PROBLEMA 1 :
Determina “m”, si el grado de la expresión:
x⁴ym+ x⁵ym+1+ xym + mxmy⁵ es igual a 8
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta. : "B"
PROBLEMA 2 :
Determina el grado relativo a “y” si el grado respecto de “x” en :
xn–3y⁴ + 2xn–1yn+3+ xyn es 9
A) 4
B) 9
C) 10
D) 13
E) 14
Rpta. : "D"
PROBLEMA 3 :
Dado el polinomio:
P(x)=5xn+1– 3x⁵ + nx + n²
Si : G.A(P)=6 , calcula P(2)
A) 235
B) 236
C) 237
D) 238
E) 259
Rpta. : "E"
PROBLEMA 4 :
En el siguiente polinomio:
P(x, y) = mx3m + x3m–1 y5m+2+y5m–6
Se cumple que : G.R.(y)=2G.R.(x)
Calcula el grado absoluto del polinomio
A) 13
B) 17
C) 14
D) 10
E) 8
Rpta. : "B"
CÁLCULO DE GRADOS EN OPERACIONES
El grado de una expresión algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, las reglas que debemos aplicar son las siguientes:
I) En la adición o sustracción se conserva el grado del mayor.
EJEMPLO :
Si P(x) es de grado: a
Si Q(x) es de grado: b
tal que: a > b
⇒ Grado [P(x)±Q(x)]=a
II) En la multiplicación los grados se suman
III) En la división los grados se restan
IV) En la potenciación el grado queda multiplicado por el exponente
V) En la radicación el grado queda dividido por el índice del radical
EJEMPLO :
Dados:
grado(P)=3
grado(Q)= 2
Determinar el grado de la expresión:
E = 9P⁴+8Q⁵ – 6PQ
RESOLUCIÓN :
Calculando por separado el grado de cada término:
Grado (9P⁴) = 3×4 = 12 (Es el mayor)
Grado (8Q⁵) = 2×5 = 10
Grado (6PQ) = 3 + 2 = 5
Por lo tanto:
Grado(E)=12
Observar que los coeficientes de la expresión, 9, 8 y –6, no intervienen en el cálculo de los grados.
OBSERVACIONES
☛ Cuando empleemos la palabra grado a secas, nos referimos al grado absoluto del polinomio.
☛ Si todos los coeficientes del polinomio son nulos , el polinomio es llamado nulo (o polinomio cero ) y en este caso diremos que carece de grado
GRADO DE UNA EXPRESIÓN ENTERA
El grado es la propiedad implícita más importante de las expresiones algebraicas racionales enteras, ya que este nos indica el número de raíces para polinomios de una variable, y la dimensión funcional en ℝⁿ, para polinomios de varias variables
CONCEPTO
El grado de una expresión algebraica racional entera, es una de sus características relacionadas con los exponentes de sus letras y que es un número entero positivo que nos permite determinar el número de soluciones de una ecuación algebraica.
El grado de una expresión algebraica es de dos clases: grado absoluto y grado relativo.
Las aplicaciones diversas de este concepto básico en la álgebra moderna, son de capital importancia en los distintos niveles de esta parte de las matemáticas.
Por Ejemplo:
☛ En el nivel elemental, el cálculo de grados absolutos y relativos de expresiones enteras, y la obtención del grado para las distintas operaciones algebraicas.
☛ En el nivel intermedio, la determinación del número de raíces complejas de una ecuación polinomial definida en el conjunto ℂ.
☛ En el nivel superior, los diversos criterios teóricos en el análisis de las estructuras algebraicas: sistema, campo, anillo y grupo; piedra angular de todo el álgebra contemporánea.
Nuestro interés se centrará en el estudio del grado aplicado exclusivamente a expresiones algebraicas racionales enteras, que será el sustento básico para el posterior análisis de las ecuaciones y sistemas de ecuaciones elementales.