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    I) BINOMIO AL CUADRADO : (Trinomio cuadrado perfecto): El cuadrado de la suma (diferencia) de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más (menos) el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.
    Aportes sustaSíntesis Teórica
    Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Ello por lo forma característica que presentan.
    PRINCIPALES EQUIVALENCIAS
    ALGEBRAICAS
    1. Cuadrado de un binomio
    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
    Al desarrollo del cuadrado de un binomio se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto.
    Identidad de Legendre
    (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
    (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
    Consecuencias importantes:
    (a + b)4  + (a – b)4 = 2[(a2 + b2)2] + (2ab)2]
    (a + b)4 – (a – b)4 = 8ab (a2 + b2)
    Teorema 4
    Todo trinomio de la forma (ax2 + bc + c) es  cuadrado perfecto, si y sólo si, su discriminante es igual a cero.
    Es decir: D = b2 – 4ac = 0 «
    2. Diferencia de cuadrados
    (a + b) (a – b) = a2 – b2
    3. Cubo de un binomio
    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
    (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
    Identidad de Cauchy
    (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)
    (a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)
    Consecuencias importantes:
    (a + b)3 + (a – b)3 = 2a (a2 + 3b2)
    (a + b)3 – (a – b)3 = 2b (3a2 + b2)
    4. Suma y diferencia de cubos
    (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
    (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
    Formas particulares usuales:
    (a + 1) (a2 – a + 1) = a3 + 1
    (a – 1) (a2 + a + 1) = a3 – 1
    5. Formas explícitas de  an +  bn
    a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
    a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)
    a4 + b4 = (a + b)4 – 4ab (a + b)2 + 2(ab)2
    a5+b5 = (a+b)5 – 5ab (a+b)3 + 5(ab)2 (a+b)
    6. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
    (a+b+c)2 = a2+b2+c2 + 2ab+2bc+2ca
    (ab+bc+ca)2 = (ab)2+(bc)2 + (ca)2+2abc (a+b +c)
    7. Desarrollo de un trinomio al cubo
    Forma expuesta por Cauchy:
    (a+b+c)3=a3+b3+c3+3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a)+6abc
    Otras formas usuales del desarrollo
    (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a+b) · (b+c) (c+a)
    (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b+c) · (ab+bc+ca) – 3abc
    (a+b+c)3=3(a+b+c)(a2+b2+c2)–2(a3+b3+c3)+6abc
    8. Identidades de Stevin
    (x+a) (x+b) = x2 +(a+b)x +ab (x+a) (x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca) · x +abc
    9. Identidad trinómica de Argand
    (a2n+anbn+b2n)(a2n–anbn+b2n)=a4n+a2nb2n+b4n
    Forma general de mayor utilidad:   (a2n +an+1) (a2n–a+1)=a4n+a2n+1
    10. Identidades de Lagrange
    (a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2 + (ay–bx)2
    (a2+b2+c2) (x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2 + (ay–bx)2 + (bz – cy)2 + (az – cx)2
    11. Identidad de Gauss
    a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2– ab–bc–ca)
    Para lo cual debemos tener en cuenta que:
    a2+b2+c2–ab–bc–ca=[(a–b)2+(b–c)2+(c–a)2]
    12. Equivalencias adicionales
    (a+b+c)(ab+bc+ca)=(a+b) (b+c)(c+a) +abc
    (a+b) (b+c) (c+a)=ab (a+b) +bc (b+c) +ca (c+a) +2abc
    (a–b)(b+c)(c–a)=ab(b–a)+bc(c-b)+ca (a–c)

    IGUALDADES CONDICIONADAS
    Si  a+ b+c = 0;
    se cumplen las siguientes relaciones:
    a2 + b2 + c2  = –2(ab+bc+ca)
    a3 + b3 + c3 = 3abc
    a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 =(a2+b2+c2 )2
    a5 + b5 + c5 = –5abc (ab+bc+ca)
    a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 – 2(ab+bc+ca)3
    a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+bc+ca)2
    3(a2+b2+c2) (a5+b5+c5) = 5(a3+b3+c3) (a4+b4+c4)




    PROPIEDADES VÁLIDAS PARA NÚMEROS REALES

    Si: A2n + B2n + C2n = 0   ; " n Î Z+
    Se cumple que: A = B = C = 0

    Si:
    Se cumple que: A = B = C = 0

    Si:
    Siendo m y n números pares. Se verifican las relaciones numéricas simultáneas;
    A = B = C = 0 Ù D = E = F = 0

    EJERCICIOS DE APLICACIÓN
    1. Sabiendo que: a+b = 5  y  ab = 3, calcular el valor de: a2 + b2.
    Resolución:
    Teniendo en cuenta el binomio al cuadrado:
    (a+b)2 = a2 + 2(a)(b) + b2
    Reemplazamos los datos:
    (5)2 = a2 + 2(3) + b2
    25  = a2 + 6 + b2
    \ a2 + b2 = 19

    2. Calcular:

    Resolución:
    Teniendo en cuenta que:
    24 = 25 – 1 = 52 – 1
    la expresión queda así:

    Aplicando la diferencia de cuadros tenemos:


    Si:

    hallar:

    Resolución:

    Observación:

    Recordando la identidad Legendre de la resta:
    * (a+b)2 – (a–b)2 = 4ab
    * (a–b)2 – (a+b)2 = –4ab
    Usando la segunda observación:



    1. Demostrar que:
    (a + b)5 – a5 – b5 = 5ab (a + b) (a2 + ab + b2)
    Resolución:
    Sea: E = (a + b)5 – a5 – b5
    Como E es una función de a que se anula para a = 0 Þ por el Teorema del Factor: a es un factor de E.
    análogamente b es un factor de E.
    Como E también se anula para  a = –b Þ por el Teorema del Factor: a + b  es un factor de E.
    En consecuencia E contiene a ab (a + b) como factor. El factor restante debe ser simétrico respecto a a y b y de segundo grado y de la forma:  Aa2 + Bab + Ab2

    Si: (a+b)(c+b)(a+c)=60
    ab + bc + ac = 11
    abc = 6
    Entonces, el valor de:
      es:

    Resolución:
    Recuerda la identidad:
    (a+b+c)(ab+bc+ac)–abc(a+b)(b+c)(a+c)

    Reemplazando: (a+b+c)(11) – 6 = 60
    a+b+c = 6
    También, recuerda la identidad:
    (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)

    Reemplazando: (6)3=a3+b3+c3+3(60)
    a3+b3+c3=36
    Por otro lado:
    (a + b + c)2  a2 + b2 + c2 + 2(ab+bc+ac)
      62=a2+b2+c2+2(11) a2+b2+c2=14
    Luego:
    (ab+bc+ac)2a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)
    (11)2 = a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2(6)(6)
    a2b2+b2c2+a2c2  = 49
    También:
    (a2+b2+c2)a4 + b4 + c4+2(a2b2+b2c2+a2c2)
    (14)2 = a4+b4+c4 + 2(49)
    a4+b4+c4 = 98
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