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LEYES DE EXPONENTES Y RAICES EJERCICIOS RESUELTOS PASO A PASO PDF

La expresión an se puede extender al caso que "n" no sea un entero positivo , siempre que el desarrollo sea consistente con las leyes de los exponentes. Es decir, los exponentes pueden ser enteros positivos o negativos o cero, números racionales o complejos. Las leyes de exponentes son un conjunto de propiedades referidas a las distintas formas en que aparecen los exponentes, el significado de estos , las transformaciones y operaciones que pueden llevarse a cabo con ellos. Los exponentes, de alguna forma, se relacionan con dos operaciones algebraicas: la potenciación y la radicación. en diversas partes de la ciencia como por ejemplo : la física , la química , la astronomía ,..., etc. es muy común tratar con cantidades muy grandes o muy pequeñas como la masa de un electrón que es equivalente a 9,1×10-31 kg , o el número de avogadro el cual es : 6,02×1023,............,etc. , por ello es de suma importancia saber operar en forma adecuada con todo tipo de exponentes . a continuación pasaremos a detallar las leyes de exponentes y sus consecuencias . CLICK AQUI PARA VER PDF

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Nos introduciremos en las operaciones algebraicas, partiremos de algunos ejemplos :

*Katy tiene 4 libros y  Leo 3 libros. Si los juntáramos en un paquete tendríamos 7 libros en total , esto se puede simbolizar , así :
4 libros+3 libros=7 libros ó 4 l+3 l=7l

* Pero si tuviéramos 4 libros  y 3 cuadernos, y quisiéramos juntarlos en un solo paquete, sólo diríamos:

"se tiene 4 libros  y 3 cuadernos", es decir, no podría efectuarse operación aritmética alguna, de donde se concluye que:








Luego del  ejemplo   anterior también se puede expresar de  la  siguiente forma:

«4x + 3x» y se obtendría 7x o  en otras  situaciones  se tendrá: 7yx3 + 2yx3 y  se  obtendrá  9yx3

* De  donde , elementos del mismos conjunto como 7yx3  y   2yx3  se llaman  "términos semejantes".

Término   Algebraico
Es una expresión matemática que consta de tres partes:

Términos   Semejantes
Son aquellos términos que poseen la(s) misma(s) variable(s) con su(s) respectivo(s) exponente(s)

Ejemplos :


Adición   y   sustracción  de  términos semejantes
Si descubrimos que dos o más términos son semejantes , estos pueden ser reducidos a uno solo , sumando o restando los coeficientes y escribiendo la misma parte literal.
Ejemplo 1:
Reducir: A = 2x2 + 5x2


nota :
Una manera práctica, es agrupar todos los términos positivos , luego , los términos negativos , y  al final restar  ambos resultados, colocando el signo del «mayor».
Ejemplo 2 :
Simplificar: –5x + 12x – 10x – 3x + 21x – 2x

Resolución:









* Entonces la respuestas será : 12x



                                               


porque:  x2y3 = y3x2


* El orden de los factores no alteran el producto

Ejemplo 3 :
Reducir:

P = –(–6x2+ 3x3 – 9x2 + 6)+(16 – 10x2 – 6x3) +12x2 +11x3

Resolución:
I) Si delante del signo de colección aparece + eliminamos el signo de colección, y los signos de los términos interiores no cambian.
II)Si delante del signo de colección aparece el signo – eliminamos el signo de colección y los signos de los términos cambian.
* Luego:








Ya no se puede reducir porque no hay términos semejantes
ejemplo  4 :
Adicionar :

2x2 – 3x – 1  con   –x2 + 3x + 2
Resolución:
* Ordenando de acuerdo a sus términos semejantes :





* Lo cual es equivalente a: x2 + 1

ejemplo  5 :
Sustraer :  5x – 2   de   x2 – 3x + 2
Resolución :
* Ordenando y reduciéndo términos semejantes:







* Lo cual es equivalente : x2 – 8x + 4
ejemplo  6 :
Simplificar :


Resolución:
*Empezaremos simplificando los términos semejantes más internos, es decir, los afectados por los paréntesis.








Entonces al simplificar resulta : m+2n

Leyes  de  Exponentes


potencia
Es el resultado obtenido al multiplicar un número llamado BASE, cierta cantidad de veces; esta cantidad es el EXPONENTE.








Ejemplos:


*









*


I) EXPONENTE  NATURAL :
Dada una cantidad elevada a un exponente «n» mayor que 1, equivale a multiplicar «n» veces dicha cantidad, es decir:












EJEMPLOS :


















nota :
Es recomendable que se recuerde los siguientes resultados; pues, estos se presentan en determinadas ocasiones, dentro de ciertos problemas, y hay necesidad de expresarlos de la forma más adecuada.














Ley  de  Signos en la Potenciación
1) Todo número positivo (+) elevado a un exponente “par” o “impar” es siempre positivo.

Ejemplo:
* (+9)2 = +81  * (+4)3 = +64   * (+2)5 = +32


2) Todo número negativo (–) elevado a un exponente “par” es siempre positivo.
Ejemplo:

• (–7)2 =+49 •  (–3)4 =+81
• (–2)6 = 64 •  (–1)2008 = 1


3) Todo número negativo (–) elevado a un exponente “impar” es siempre negativo.
Ejemplo:


*      *





*


II) EXPONENTE  UNO :
Ejemplos:









III) EXPONENTE  CERO :
Ejemplos :







IV) EXPONENTE  NEGATIVO :
Toda base diferente de cero elevada a un exponente negativo se convierte en fracción, cuyo numerador es uno y el denominador es la misma expresión pero con exponente positivo.













V) MULTIPLICACIÓN DE BASES  IGUALES :
Si se multiplican 2 o más bases con diferente o igual exponente se obtiene como resultado la misma base elevada a la suma de exponentes.









EJEMPLOS :
* bm × bn = bm + n



*






















VI) DIVISIÓN  DE  BASES  IGUALES  :
Al dividir 2 bases diferentes de cero e iguales , con diferente o el mismo exponente , obtendremos la misma base elevada a la diferencia de exponentes.







Ejemplos:








VII) POTENCIA ELEVADA A UN   EXPONENTE :
Si se eleva «bn», a otro exponente se obtiene la base «b», elevada al producto de ambos exponentes.










Ejemplo :








VIII) POTENCIA  DE  UNA MULTIPLICACIÓN :
Si elevamos una multiplicación indicada de 2 ó más números a un exponente, este afecta a cada número que interviene.
EJEMPLOS:
















IX) POTENCIA DE UNA FRACCIÓN  :
Si una fracción se eleva a un exponente, este afectará al numerador y al denominador.

Ejemplos :







Observación :
         







EJEMPLOs :














introducción a  la radicación
La invención de la radicación se remonta a la necesidad del  hombre de hallar valores a partir de la Potenciación.
Por ejemplo ahora es fácil operar y resolver lo siguiente: 17 2=x
El valor de «x» se encuentra fácilmente usando la definición de potencia, por lo tanto x = 289. Veamos otro caso: y7 = 128, ahora nos piden hallar la base «y»; a esta operación, que es una de las operaciones inversas de la Potenciación se le conoce como Radicación.
En conclusión la Radicación es una de las operaciones inversas de la Potenciación que tiene por finalidad hallar la base, dado el exponente y la potencia.

radicación
En general:

Si:


* En radicación:















Definición :
La radicación es aquella operación matemática en la cual, dados dos números llamados cantidad subradical e índice, se requiere encontrar otro número llamado raíz.
Ejemplos:






x) potencia  de  exponente fraccionario :




‘‘El denominador del exponente se convierte en el índice de la raíz’’.
Ejemplos:












Las potencias de exponente fraccionario siguen verificando las propiedades de los exponentes enteros.
Ejemplos:




















Cuando el índice es 2 , es usual escribir en lugar de  y llamar a  la raíz cuadrada de a. Al número  se le llama la raíz cúbica de a.

observacion:


 No existe en el campo de los reales.

Además:

















Ejemplos:
 no están definidas en  (no existen)
XI) raíz de un producto :
Si tenemos la raíz de un producto, dicha raíz afecta a cada factor, así:


Ejemplos:













xii) RAÍZ DE UN COCIENTE :






Ejemplos:





XII) raíz de raíz :
Si a un número le afectan sucesivamente varios índices, entonces dichos índices se multiplican, así:




Ejemplos:
 

*









XIV) potencia de una raíz :




Ejemplos:











Consecuencias :

















Operaciones Combinadas

En este tema, tendremos en consideración la «JERARQUÍA DE OPERACIONES» el orden de resolución para cada operación planteada.

ejemplo:
si queremos resolver lo siguiente:


Tenemos que hacerlo siguiendo un orden:








El resultado final será: E = 6
Ah!!... y además hay que considerar los signos de colección:
( ) Paréntesis  ;  [ ] Corchetes   ; {  } Llaves
* Así, el orden sugerido para efectuar operaciones combinadas es:

1ro: Signos de colección (   ) ,  [   ] , {   }
2do: Potencias  y  raíces (...)n;
3ro: Multiplicación  y  división; × ;
4to: Adición  y  sustracción: + ;  –