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NÚMEROS PRIMOS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF















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El estudio de los números primos fue abordado por matemáticas desde hace mucho tiempo. Fue el matemático griego EUCLIDES el primero en descubrir que los números primos constituyen una serie infinita (Aprox. 350 A a.J.c). En el campo de los enteros Z : = 0, + 1, + 2, + 3, ... Se descubre inmediatamente la existencia de números p cuyos únicos divisores son los números 1, -1, p,-p números con esta propiedades y que no sean 1 y –1 se denominan primos. Podemos decir entonces que un número entero es primo si y sólo si posee exactamente 4 divisores. (Aspectos de la teoría elemental de Números Enzo. R. Gentile (Universidad de Buenos Aires) Por muchos años ilustres matemáticos trataron de encontrar una formula para determinar a los números primos entre ellos: Euler (1772) x2–x + 41 = primo, x = 0,1,2,..., 40 Legendre (1789) x2 +x+41 = primo, x = 0,1,2,..., 39 También Pierre Fermat conjeturo que los números Fn: = +1 eran primos para todos los n  N Esta conjetura resultó errónea pues para n = 5, Euler probo que F5 es divisibles por 641. Se sabe que Fn es primo para 0  n  4 y compuestos para 5  n  19 y para muchos valores de n. Se ignora hasta el presente si existen infinitos primos de la forma Fn (primos de FERMAT). Como un dato actual ANDREW. J. Wiles Matemático Británico de la Universidad de PRINCETON, demostró el celebérrimo Teorema de Fermat en 1994, tras un decenio de concentrados esfuerzos en el cual Fermat afirmaba que no existían soluciones enteras no triviales para la ecuación an + bn = cn, donde n es un entero cualquiera mayor que 2. Wiles para completar su cálculo de 100 paginas necesito recurrir a muchas modernas ideas de la matemática y desarrollarlas más todavía. En particular tuvo que demostrar la conjetura de Shimura – Taniyama para un subconjunto de curvas elípticas, objetos descritos por ecuaciones cúbicas tales como y2 = x3 + ax2 + bx + c DEFINICIONES BÁSICAS 1. Número Primo Absolutos: Definido en Z+ un número será primo absoluto si posee dos divisores distintos una de ellos la unidad y el otro el mismo número. Ejemplo 3,5,7,2 etc. 2. Divisor: Es aquel número entero y positivo que divide exactamente a otro número entero y positivo. 8  1, 2, 4, 8 Divisores 16  1, 2, 4, 8, 16 Divisores 3. Número Compuesto: Es aquel número ZZ + que tiene más de dos divisores. Ejemplo 6: 1, 2, 3, 6 mas de 2 divisores 4: 1, 2, 4 Determinar si los siguientes números son primos absolutos (P) o compuestos (c) 5 ( ) 12 ( ) 17 ( ) 9 ( ) 13 ( ) 29 ( ) 11 ( ) 23 ( ) 31 ( ) 4. Primos Relativos: Llamados también CO-PRIMOS o PRIMOS ENTRE SI son aquellos que al compararse poseen como único divisor a la unidad. PRIMOS ENTRE SI (P.E.Si) Ejemplo 2 y 13 por primos entre si Divisores 2 : , 2 13 : , 13 único divisor común Divisores 9 : , 3 9 20 : , 2, 4, 5, 10, 20 único divisor común En Z+ 5. Números Simples: Son aquellos números que tienen a lo más 2 divisores 6. La Unidad: Es el único número entero positivo que posee un solo divisor, él mismo. PROPIEDADES i) El conjunto de los números primos es infinito, y no existe formula alguna para determinar todos los números primos. ii) El 2 es el único número primo par. iii) Los únicos números primos que son números consecutivos son el 2 y 3. iv) Si “p” es un número primo, además p > 2 entonces p = +1 ó p = - 1 Ejemplo: 37 = + 1 19 = - 1 v) Si “p” es un número primo, además p > 3, entonces: p = + 1 ó - 1 Ejemplo: 41= - 1 37 = + 1 29 = - 1 ¿Cómo se determina si un número es primo o no? Se divide al número entre cada uno de los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada aproximada. Si en ningún caso la división es exacta entonces el número es primo en caso contrario es compuesto (Criterio de la raíz cuadrada) Ejemplo: ¿223 es un número primo? Paso 1 Paso 2 # primos  14 2, 3, 5, 7, 11, 13 Paso 3 223 Como en ningún caso las divisiones son exactas, entonces 223 es un número primo. Números PESi 2 o 2 Son aquellos números PESi, que al formar grupos de 2 con dichos números resultan también PESi. Ejemplo: 8,21 y 25 son PESi 2 a 2 Porque: 8 y 21 son PESi 8 y 25 son PESi 21 y 25 son PESi PROPIEDADES • Si un grupo de números son PESi. 2 a 2 entonces son PESi lo reciproco no siempre se cumple. • Dos números consecutivos siempre son PESi. Ejemplo: 24 y 25 son PESi CRIBA DE ERATOSTENES Eratostenes de cirene, nació en 276 A.C. en cirene (ahora Shahhat, Libia) y falleció en 197 A.C. en Alejandría, Egipto. Es recordado por su aporte en la teoría de los números primos. Y dio el método que nos da a conocer los primeros números primos absolutos de la siguiente manera: Se colocan los números naturales consecutivos a excepción de la unidad y se procede a eliminar los múltiplos de 2 excepto el 2, todos los múltiplos de 3 excepto el 3 y así sucesivamente hasta eliminar los múltiplos de la raíz cuadrada aproximada del número excepto esta, luego los números que quedan serán los primeros primos absolutos. Se tiene: Los primos absolutos son: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (Descomposición Canonica) “Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes elevados para uno de ellos a exponente entero positivos”. Esta representación es única y se le denomina como la descomposición Canónica de dicho número Ejemplo: Descomponer canónicamente. 45 3 15 3 45 = 32 x 5 1 5 1 Descomposición Canónica de un factorial Ejemplo 20! = 2 x 3 x 5 x 7d x 11e x 13f x 17g 19h  = 18  = 8  = 18  = 8  = 4 d = 2 e = 1 f = 1 g = 1 h = 1 ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO 1. Cantidad de Divisores de un Número N. CD (N) CD(N) = CDP + CDC + 1 Donde: CDP = Cantidad de divisores primos CDC= Cantidad de divisores compuestos CD(N) = Cantidad total de divisores También se define: CDtotal(N) = CDsimple + CDC Donde: CDsimple = 1 + CDp También si la D. Canoníca del número N = Aa. Bb Cc  CD(N) = (a +1) (b +1) (c+1) .... Hallar la CD200 200 2 100 2 50 2 200 = 23 x 52 25 5 5 5 1 CD200 = (3 +1)(2+1)= 4(3) =12 2. Suma de Divisores de un Número N SDN = A+1 –1. B+1 –1 . C+1 –1. A-1 B-1 C-1 SD100 = 22+1 –1 52+1–1 2-1 5 – 1 SD100 = 7 x 124 1 4 = 7x31 = 217 Otro método (Método combinatorio) 100 = 22 x 52 20 50 21 51 22 52 7 x 31 = 217 3. Suma de Inversas de los Divisores SIDN SIDN = SDN N SID100 = SID100 = 217 = 2,17 100 100 4. Producto de los Divisores de un número N PDN PDN = = N CDN /2 PD100 =1009/2 5. Indicador de Euler o Función de Euler  (N) N = a.b. c...  (N) = N 1 -1 1 -1 1- 1 ... a b c Ejemplo: Determinar cuantos números menores que 10 son primos con el Números menores que 10 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 X X X X Son primos con 10  1, 3, 7, 9 4# 10 = 2 . 5  (10) = (10) 1 - 1 1 – 1 = 4 2 5 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si N = 15 . 30n tiene 294 divisores. Hallar “n”. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 Resolución: Haciendo la descomposición canónica de 15.30n se tiene: 15.30n = 3.5 (2.3.5)n = 3.5.2n.3n.5n = 2n . 3n+1 . 5n+1 CD(N) = (n + 1) (n + 2)² Por dato del problema se tiene que: (n + 1) (n + 2)² = 294 = 6 . 7² Igualando factores se puede observar que “n” tomará el valor de 5. 2. Si:4k+2 – 4k tiene 92 divisores, se puede calcular el valor de “k-1”. a) 3 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 Resolución: Descomponemos canónicamente al número 4k+2 – 4k, para ello factorizamos 4k: 4k+2- 4k = 4k (4² - 1) = 4k . 15 = 4k.5.3 = (2²)k . 3 . 5 = 22k . 3.5 Con lo cual se obtiene que: 4k+2 – 4k = 22k . 3 . 5 CD(4k+2 – 4k) = (2k+1)(2)(2) = 4(2k + 1) Por dato del problema se tiene: CD(4k+2 – 4k) = 92 Reemplazando: 4(2k + 1) = 92 2k + 1 = 23 Se deduce que “k” será igual a 11 Me piden: “k - 1”  k – 1 = 10 3. ¿Cuántos números de 3 cifras son primos relativos con 6? a) 200 b) 150 c) 300 d) 400 e) 600 Resolución: Calculando los números primos relativos con 6 por conjuntos; previamente calculamos los números de 3 cifras . Los : 100, 102, 104,......,998  términos = Los : 102,105,108,....,999  términos = Los se calculan de igual forma; pero más rápidamente: Al final se tiene: Total de s de 3 cifras = 900 Con lo cual: X + 300 + 150 + 150 = 900 X = 300 EJERCICIOS 1. El número N = 24 . 15n . 155 tiene 8 divisores que son P.E. si con 12n. Cuántos divisores de N tiene un sólo factor primo. a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 2. Hallar n si M = 20n x 30n tiene 1725 divisores compuestos. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 3. Si A = 9 x 10n tiene 27 divisores. Hallar cuantas cifras tiene A3. a) 9 b) 7 c) 10 d) 12 e) 13 4. Cuántos divisores tiene el número N2, siendo N = 72. a) 25 b) 24 c) 28 d) 35 e) 36 5. Cuántos divisores compuestos tiene N3, siendo N = 96 a) 54 b) 57 c) 61 d) 60 e) 64 6. Calcular el valor del menor número que tenga 14 divisores. Indicar como respuesta la suma de sus cifras. a) 12 b) 9 c) 6 d) 15 e) 18 7. Cuántos divisores tiene E = 4n – 4 n-2 si 65n tiene divisores. a) 48 b) 36 c) 72 d) 52 e) 64 8. Hallar a + b si: N = 3a x 2b tiene 28 divisores cuya suma de cuatro cifras es 9 y 30 divisores múltiplos de 4. a) 7 b) 8 c) 11 d) 14 e) 18 TEORÍA DE LOS NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS 1. Sea n cifras Calcule “n” si A tiene 444 divisores compuestos. A) 13 B) 11 C) 12 D) 15 E) 16 2. En el número , la suma de sus divisores pares es 2418. Determine la cantidad de divisores compuestos de N. A) 23 B) 22 C) 21 D) 32 E) 14 3. Si: ; tiene 48 divisores positivos múltiplos de 5 y además impares. Halle “x” A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Halle un número divisible por 6; de 3 cifras y que tenga 21 divisores. A) 552 B) 576 C) 522 D) 288 E) 342 5. Si tiene 16 divisores múltiplos de 15 y 16 divisores múltiplos de 20. Halle la cantidad de divisores cúbicos de N. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 6. Halle cuántos números de la forma existen, tales que poseen 6 divisores. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 7. Si posee 35 divisores y posee divisores; halle (n + p) A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10 8. Sea N = 128 ab, determine (a + b) si la suma de divisores de N, es los de N (a y b primos). A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 9. Halle el promedio aritmético de los divisores del número 360. A) 16,25 B) 48,75 C) 68,15 D) 47,85 E) 97,5 10. Si 31! Tiene n divisores, ¿Cuántos divisores tiene 32!? A) B) C) D) E) 11. Un número tiene 24 divisores y el triple de éste, 30 divisores. ¿Cuántos divisores tiene el triple del cuadrado del mismo? A) 80 B) 90 C) 100 D) 120 E) 140 12. En el número 226800, ¿determine cuántos divisores terminan en las cifras 1, 3, 7 ó 9? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14 13. Si el número. ; tiene el quintuple del número de divisores de y este tiene 3 divisores más que . Halle (x + y). A) 5 B) 4 C) 7 D) 8 E) 6 14. Determine la suma de las cifras del menor número tal que al multiplicarlo por 8 se cuadruplique su número de divisores; y si su cuadrado tiene 21 divisores. A) 5 B) 13 C) 9 D) 10 E) 12 15. Sabiendo que tiene divisores. ¿Cuántos divisores tendrá ? A) 238 B) 272 C) 298 D) 294 E) 296 16. Se tiene un número divisible por 15, el cual posee tres divisores simples y además sabemos que cuando se multiplica por 27, el número de sus divisores se duplica y cuando se multiplica por 625 su cantidad de divisores se triplica. Determinar la suma de cifras de dicho número. A) 9 B) 18 C) 27 D) 36 E) 15 17. Si: tiene divisores compuestos. Halle el valor de (a + b + n); A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 18. Se tiene un número “W” cuya taba de divisores es una matriz 3 x 3; si se observa que el producto de los divisores que componen una de las diagonales es 9261. Halle la suma de cifras de “W”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 19. La suma de los divisores del número es 17 veces la suma de los divisores del número . Calcule a. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. Si los números enteros P y Q son los menores posibles que tienen los mismos divisores primos, si se cumple que P tiene 35 divisores y Q tiene 39 divisores, determinar ¿cuántos divisores compuestos tendrá (P x Q)? A) 74 B) 90 C) 120 D) 125 E) 130 21. Si posee 8 divisores pero al restarle “a” unidades el número de sus divisores se duplica. Halle la cantidad de divisores de . A) 24 B) 12 C) 90 D) 8 E) 16