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INTERES Y DESCUENTO PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF



















Interés y Descuento En la antigua Mesopotamia. se cultivo también la interpolación lo cual lo podemos apreciar a través del siguiente ejemplo: ¿Cuánto tiempo tardara .en doblarse una cantidad cualquiera de dinero al interés del 20 % anual? Se debe tener presente que ellos hacían sus cálculos en el sistema de numeración de base 60. por 10 cual era necesario realizar una interpolación. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

¿Podrías realizar las operaciones en el citado sistema? Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar. Hlpatla 5.0 OBJETIVOS Al finalizar el presente capítulo el alumno estará en condiciones de: - Diferenciar el interés simple del interés compuesto. - Reconocer el cálculo del interés simple como un simple cálculo de porcentaje. - Reconocer el cálculo del interés compuesto como una aplicación del porcentaje de porcentaje. - Deducir fórmulas de interés simples para otros tipos de tasas no porcentuales y/o períodos de tiempo atípicos. - Resolver problemas que no son de interés simple o compuesto como por ejemplo el interés a rebatir (o sobre el saldo). - Reconocer el descuento comercial como una aplicación del interés simple. el cual a su vez. es una aplicación del porcentaje simple. - Resolver problemas de descuento e interés en forma razonada sin la aplicación de fórmulas. 5.1 ESTUDIO DEL INTERÉS SIMPLE. DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS Capital es en términos generales la agrupación de bienes e inmuebles que serán destinados u orientados a la producción. Como todo bien mueble o inmueble. tiene un valor determinado. la idea del capital va ligada íntimamente al dinero. El capital es aquella cantidad expresada en unidades monetarias que esta sujeta·a una ganancia. Un capital para ser tal debe producir algo. ejemplo: - Si es un campo de cultivo produce la cosecha - Si es una casa produce el beneficio que se obtiene al habitarla o la compensación que pagan los que la habitan. - Si es una máquina produce~ ejecuta un trabajo. etc. Existen personas que poseen bienes pero no saben. no quieren hacerlo producir por sí mismos. mientras que otras que carecen de ellos tienen la ventaja de poder utilizar estos bienes. entonces estos últimos alquilan a las primeras su capital y el alquiler que por el pagan se llama interés. El interés esta sujeto. se fija en función del capital y el tiempo En los siguientes problemas se podrá ver que el interés simple no es más que la aplicación del'porcentaje. Problema N° 1 Calcular el interés simple que produce un capital de SI. 800 prestados al 3% mensual durante 8 meses. Resolución: Eltnterés simple será: I=(3%de800)8=(1~0·800) 8=24x8= 192 Observe que ganará SI. 24 cada mes y en 8 meses gana SI. 192. 2& Forma: Otra forma de calcular es. evaluando el porcentaje total que ganará en 8 meses. como sigue: si gana 3% en I mes. entonces gana 24% en 8 meses luego el interés es: 1 = 24% de 800 = 120~ x 800 = 192 Respuesta: SI. 192 soles Problema N° 2 Calcular el interés simple que produce un capital de SI . 500 prestados al 0.2% diario en 3 semanas. Resolución: Como 3 semanas <> 21 días En 1 día ganará: 0.2% x 500 = ~~ x 500 = SI . 1 yen 21 días ganará: 21 x SI. 1 = SI. 21 2& Forma: El porcentaje total que ganará en 21 días es: 0.2% x 21 = 4 .2% Por 10 tanto el interés que ganará es: 4 2 1 = 4.2% 500 = 100 x 500 = SI. 21. Problema N° 3 Calcular eltnterés simple que produce un capital C prestado al r % anual durante a años. Re8olucl6n: Calculamos la ganancia en 1 año. y la multiplicamos por a. como sigue: 1 = (r % C ) a = - r . C . a 100 Nota: También I=Cx ixa C·r·a 1 = 100 r siendo i = 100 a = número de afios 'r = % anual Esta es la fórmula del interés simple cuando el tiempo esta en afios, y la tasa es anual. Si el tiempo fuese m meses, para usar la misma fórmula anterior, 10 único que debemos hacer es convertir los meses a afios y reemplazar en la fórmula de la siguiente manera: m a= - 12 1 = C· r(m/12) 100 C ·r·m 1 = 1200 Tasa: r % anual Observar la tasa r no cambia y sigue siendo un porcentaje anual, a pesar que el tiempo esta en meses. Si el tiempo fuese d días convertimos en afios y reemplazamos en la formula original, pero aquí debemos considerar que el afio comercial tiene 360 días, luego: d a = 360 C·r·d 1 = 36000 1 = C· r(d/360) 100 Tasa : r % anual Si consideramos el afio común entonces: d a = 365 C ·r·d 1 = 365000 Nota: En la práctica siempre se usa el año comercial. 5.1.1 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Se deposita un capital a interés simple y al cabo de 2 meses el interés ganado es igual al 10% del monto acumulado. ¿Qué porcentaje del monto será el interés ganado a los 6 meses? Resoluci6n: Se sabe que Suponiendo que Entonces Luego el capital es Si Luego a los Monto = Capital + Interés M = C+I M2 meses = SI· 100 12 meses = 10% SI . 100 = SI. 10 C = 100 - 10 = 5/.90 12 meses = SI· 10 ~ la meses = SI · 30 6 meses ~ M6 meses = C + 16 meses M6 meses = 90 + 30 = SI . 120 Comparando el interés de 6 meses o sea SI. 30 Con el monto de 6 meses o sea SI. 120 1 5/.30 = 4 . SI· 120 = 25% de SI . 120 A los 6 meses el interés es 25% del monto Problema N° 2 Se deposita un capital a interés simple y al cabo de 6 meses el monto asciende a SI. 812 Y a los 10 meses asciende a SI. 980. Calcular el capital y la tasa anual. Resoluci6n: M6 meses = e + 16 meses = SI. 812 MIO meses = e + 110 meses = SI. 980 Restando (2) - (1) SI 168 SI . 168 = SI. 42 110 meses - 16 meses = I4meses = 11 mes 16 meses = En (1) e + 252 = 812 e = SI. 560 6 x 42 = SI. 252 Además 112 meses = 2 x 16 meses = SI . 504 11 año = SI. 504 La tasa anual será: Problema N° 3 r = 504. 100 560 r = 90 ~ Tasa anual 90% . .. (1) ... (2) En cierto banco se paga interés simple con una tasa diferenciada de la siguiente manera: 20% anual por los primeros SI. lOO, 30% anual por lo que exceda a SI. 1000 hasta los SI . 3000 de capital ahorrado, y 40% anual por lo que exceda a SI . 3000 ¿Qué capital se debe depositar para que en 11/2 años, se tenga un monto de SI . 61207 Resoluci6n: Las tasas correspondientes para 1112 años son: 20% anual < > 1.5 x 20% en 11/2 años = 30% en 1.5 años 30% anual < > 1.5 x 30% en lV2 años = 45% en 1.5 años 40% anual < > 1.5 x 40% en llh afios = 60% en 1.5 años Suponiendo que se deposita un capital de SI. 3000. En 1.5 años se tendrá: Monto = 3000 + 30%1000 + 45%2000 = SI . 4200 Si deposita un C = 3000 + x soles En 1.5 años el monto será: Monto = (3000 + x) + 30%1000 + 45%2000 + 60%x 6120 = 4200 + 160%x 1920 = 1920 = 160%x 160 l00x ~ x = SI. 1200 Luego: C = 3000 + 1200 = SI. 4200 Problema N° 4 Se presta un capital a interés simple y al cabo de n meses. el interés ganado es a% del monto acumulado. Calcular la tasa anual. Resoluci6n: 1 = a%M 1 a = 100 (C + 1) 100I-aI = a · C 1 a·e = 100-a C·r ·n 1200 = a·C 100-a 1200a r = ---- n( 100- a) Problema N° 5 Suponiendo que el año tiene 10 meses de 20 días cada uno. ¿Qué interés ganará un capital de 100 000 soles colocados el 5% mensual durante 3 meses 15 días? Resolucl6n: 3 meses 15 días < > 75 días 1 = Cxrxt 20000 5% mensual < > 50% anual 1 = 100000 x 50 x 75 = 18750 20000 Problema N° 6 El año pasado un capital de 75600 soles produjo una renta anual 3,5%. Si el presente año los 8/9 de aquel capital producen 42 soles más que la renta del año pasado. ¿A qué tasa de interés simple se impuso al capital en el presente año? Resolucl6n: Como C = 75600 r%=4% Dos capitales son entre si como 3 es a 4 si se colocan a interés simple. uno al 30% Y el otro al 60%. ¿Dentro de cuanto tiempo la relación de los montos será la inversa de larelación de los capitales? Resolucl6n: Sean 3 a 4 los capitales 3 3(60)t + 1200 4 4+ 4(30)t = 3 1200 t = 140 meses Problema N° 8 A dos capitales. que están en la relación de 5/7. se les aplica tasas de interés distintas sabiendo que durante un año la suma de sus intereses es 1944 y el menor capital posible (entero) es un cuadrado perfecto de 4 cifras. determinar la mayor tasa de interés. Resolucl6n: 5kxr1 xl 7kxr2 x 1 --~- + = 1944·, r 1 = r2 = r 100 100 1120 k0 r = 1944 => k r = 16200 el = 5k = a-bc-d = q 2 1000 ~ 5k < 10000 1000 ~ 5 x 5 xx2 < 10000 6,32~x<20 x=7 k = 245 r = 66,12 Problema N° 9 2 k = 5x Un capital se dividió en partes iguales y se prestó separadamente de la siguiente manera: la primera parte se prestó durante un mes, la segunda parte se prestó al 2% anual durante 2 meses, la tercera se prestó al 3% anual durante 3 meses y así sucesivamente hasta que la última parte se prestó por 1 afio. Si el interés total ganado fue de 1300 soles. Hallar el capital. Resolución: e 12 x1x1 1200 + e 12 x2x2 1200 + e e 12x3x3 12x12x12 1200 + .. . + 1200 = 1300 e 1 2 2 2 12x1200(1 +2 + ... +12) = 1300 e 12x 13x25 => x = 1300 12x 1200 6 e = 28800 Problema N° 10 Una persona compró un automóvil en 14924 dólares dando una cuota inicial de 4924 dólares y acordó pagar el resto en cuatro meses con un recargo de 600 dólares. ¿Qué tasa semestral de interés se pagó? Resoluci6n: precio contado: 14924 Inicial : 4924 Rl:'sta : 10000 4 meses Interés: 600 = 10000x4xr 1200 r% = 18% anual => 9% semestral => r = 18 5.1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS pagará: 10600 I 1. Respecto al interés simple ganado por un capital se puede afirmar: 1. El monto es DP al capital si la tasa es constante en un tiempo dado. 11. Si el tiempo aumenta 20%. el monto también aumenta 20%. 111. Si la tasa aumenta 10% el interés aumenta menos del 10%. a) Sólo 1 b) 1 Y 11 e) Sólo 11 d) 1 Y III e) Todas 2. En cierto banco los intereses de los ahorros se pagan de la siguiente manera: 4% anual por los primeros sI. 3000; 4.5% anual por 10 que exceda hasta SI. 5000, 5% anual por 10 que exceda hasta SI. 8000 Y 5,5% por 10 que exceda a SI. 8000. Si en un año ganó SI. 437 de interés. ¿Qué cantidad se deposita? a) 7500 d)9400 b) 7600 e) 9800 c) 8600 3. Un comerciante tenía un negocio que le producía mensualmente SI. 750. cantidad equivalente al interés del capital empleado en el negocio prestado al 18% anual. Por motivos de salud cede el negocio con la condición de que cada trimestre se le entregue el (7~) % anual de interés del capital que cede. ¿Cuánto cobrará trtmes tralmente? a) 867,45 d) 967.50 b) 879.60 e) 968,75 c) 966,50 4. "A" le prestó a "B", "B" le presta a "C" y "C" le presta a "A", capitales que son proporcionales a los números 5, 4 Y 3 respectivamente. "A" presto a una tasa del 10%, "B" prestó a una tasa del 15%. ¿A qué tasa debe prestar "C" a "A" para que después de un cierto tiempo la deuda de cada uno "desaparezca"? a) C;O)% d) (7 3 0)% b) (5 30) % e) (830)% 5. Se divide un capital en 3 partes. de manera que la primera es quintuple de la tercera parte y la segunda es igual al promedio de las tres partes. Si se coloca la primera 'al 24% durante 5 meses. la segunda al 2% mensual durante un trimestre y la tercera al 14% durante 6 meses. se obtiene un monto de S/. 3900. ¿Cuál es el capital total? a) 9000 d)36000 b) 18000 e) 45000 e) 27000 6. El interés ganado por un capital en a meses representa el 10% del monto producido y el interés ganado por dicho capital en b meses representa el 25% de su monto generado. Hallar albo a) 1/3 b)2/5 e) 1/4 d) 3/7 e) 1/5 7. Se invierten SI. 11800 en 3 partes. que colocados al 2.5%. 3% Y 4% anual producen el mismo interés. ¿Cuál será el monto que producirá en 3 años? a) 11660 b) 12420 e) 12880 d) 13220 e) 14000 8. Un banco comercial ofrece pagar una 'tasa r%. un ahorrista deposita "C" nuevos soles durante "t" meses y se dá cuenta que los intereses ganados representan el n% del monto obtenido. Determine U r ". 1200 n al t(100 -n) d) 1200 n t( 100 + n) 600 n b) t( 100 -n) 1260 n e) t(1000 -n) 600 n el t( 100 + n) 9. Un capital se impone al 405 anual durante 3 años. de manera que cada año se retiran las ganancias pero la mitad de ellas se suman al capital. Si al final del tercer año se recibieron SI. 403 200. ¿Cuál fue el capital depositado? . a) 200000 d) 260000 b) 220 000 e) 280000 c) 240000 10. Calcular la tasa anual de interés compuesto equivalente al interés producido por un capital prestado al 24% anual durante 2 años con capitalización continua. a)27.12% b)25.62% c)28.1% d)26.65% e)29% 5.1.3 CLAVE DE RESPUESTAS 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: I ~I 5.2 ESTUDIO DEL INTERÉS COMPUESTO En este caso. el interés se va calculando sobre el monto acumulado en cada período. como se explica a continuación: 1. Calcular el interés que gana un capital de SI. 1200 pres tados a una tasa de 100/0 mensual. con capitalización mensual de los intereses. en un tiempo de 3 meses. Resolución: Capitalización mensual quiere decir que los intereses se calculan mensualmente y se agregan al capital. y el interés se calcula sobre el monto acumulado. Este calculo se puede hacer como un porcentaje de porcentaje de la siguiente manera: Monto acumulado en 3 meses: 110% x 110% x 110% x 1200 = (110%)3 1200 = (:~r x 1200 = 1.331 x 1200 Monto acumulado en 3 meses: SI . 1597.20 Luego el interés obtenido en 3 meses es: 1597.20 - 1 200 = SI. 397.20 2. Calcular el interés que gana .el capital de SI. 10000 prestados con una tasa de 60% anual. Con capitalización Trimestral. durante 1 1h años. Resoluci6n: El período de capitalización es: 3 meses. En 1 1h años hay 6 períodos de capitalización. l1h años ·1 Siendo la tasa anual: 60% y habiendo 4 trimestres en un año. habrá 6 trimestres en total La tasa trimestral resulta: (60%)/4 = 15% trimestral. En los 6 períodos trimestrales el monto acumulado será: MpERIODOS = (115%)6 x 10000 MpERIODOS = (1 .15)6 x 10000 = 23130.6 El interés ganado será por lo tanto: 1 = 23130.6 - 10000 1 = 13130.6 soles Fórmula del Inter6s Compuesto: Se puede deducir. de los problemas básicos anteriores que el monto (M) acumulado al cabo de n períodos de capitalización esta dado por: M = ( 1~~ r r. C = ( 1 + I~O)n C = (1 + t)nC Entonces: M = C (1 + i)n Donde Tasa para el período r% Tasa anual N0 Periodos/Año = Tasa efectiva Capital: C Número de períodos : n tiempo de duración de depósito n = tiempo de duración del período El interés ganado se calcula: 1 = M - C También 1 = M - C = C( 1 + i)n - C 1 = CH 1 + t)n - 1] Comentario: Tomemos el siguiente ejemplo: Supongamos se tiene un capital de 1000 soles. que el tiempo sea 4 aftas. la tasa es del 10% anual, existe una capitalización anual. Observe el siguiente esquema Gana: SI lOO Gana: SI 110 Gana: SI 121 Gana: SI 133.1 ~~~~ I I I I I 1 año 2 año 3 año 4 año @ ([§) @ @D ~~40> capital inicial capital final En un interés compuesto. el capital se suma con el interés producido y este se convierte en un nuevo capital para un siguiente periodo. existe una capitalización. Sabemos que: Cf = C( 1 + i)n Despejando tendremos: Ejemplo: Cf:5000 C : 1000 n : 4 semestres J5000 i = n 1000 - 1 = 37.97% semestral también: log(~~ n = . se ha tomado logaritmo decimal log( 1 + i) pero también se pudo tomar el logaritmo neperiano. Ejemplo: Cf :S/.6000 C : SI. 800 r% : 20% anual <> 5% trimestral periodo de capitalización trimestral log(~) O 875 n = log( 1 + 0,05) = O: 021 = 41,6 trimestres <> 10,4 años 5.2.1 PROBLEMAS RESUELTOS Problema N° 1 Cuánto tiempo tomará para que SI. 600 ascienda a SI. 900 a una tasa anua! del 8% capitalizable trimestrahnente? Resolución: 600(1 + 0.08)n = 900 8% trimestral (1.08)n = 1.5 => Ln(1.08)n = Ln 1.5 n x 0.076 = 0.405 => n = 5.32 trimestres <> 15.96 meses Problema N° 2 Suponiendo que SI. 500 alcanzó la suma de SI. 588.38 depositado en una cuenta de ahorros' después de tres años. Si el interés fue capitalizado semestrahnente. encuentre la tasa de interés compuesto semestrahnente. Resolución: C = 500 Cf= 588.38 Capitalización semestral t = 3 años <> 6 semestres 588.38 = 500(1 + 1)6 1.176 = (1 + i)6 1 = 0.02738 2.738% semestral Problema N° 3 Se tiene un capital que es prestado al 5% trimestral y que se capitaliza semestralm~te. Si se presta dicho capital durante 2 años produce S /. 2541 más que si se prestara sólo por 1 año. Halle dicho capital. Resoluci6D: 5% trimestral <> 10% semestral Capitalizable semestrabnente t = 2 años <> 4 semestres Cf = Co(1 + O. 1)4 Cf - 2541 = C(1 + 0.1)2 ~ Cf = 14641 C = 10000 Problema N° 4 Se tiene un capital el cual se deposita a un 20% semestral capitalizable semestralmente durante 18 meses. si el mismo capital se hubiera depositado al 10% trimestral cap1ta1tzable trimestralmente. Cuál sería la relación de los capitales 8oaIes. Resoluci6n: 20% semestral <> 10% trimestral Capitalización semestral t = 18 meses <> 3 semestres <> 6 trimestres Cf = CoO + 0.2)3 ~ = CoO + 0.1)6 Luego: Cf 1 22 =-'-- (1,1)6 5. Un capital de 2648 soles se presta a un interés de 10% mensual. La deuda debe ser cancelada con 3 cuotas mensuales de igual monto. Considerando que el interés se aplica sobre el saldo adeudado. ¿Cuánto debe ser la cuota mensual? Resolucl6n: ® ® ® 1 mes 2 mes 3 mes 10% mensual C = 2648 = C 1 + C2 + C 3 '" (*) 1 CI R R = C 1 ( 1 + O, 1) => =- 1, 1 R = C 2 R 2 (1 + O, 1) => C 2 = __ o Reemplazando en (.) 1 1, 2 R = C 3 R s( 1 + O, 1) => Cs =-- 1, 13 ( 2648 = R 111 +--1 2+--13) . , 1, 1 1, 1 R = 1064.8 Problema N° 6 Una deuda de sI. 662 se debe pagar en 3 mensualidades de igual monto. con una tasa de 10% mensual aplicada sobre el saldo. Calcular el monto de cada mensualidad. Resolución: La deuda se divide en 3 partes 662 = A + B+ C OO' (1) La la mensualidad = A + '10%662 = A + 66.20 La 2a mensualidad = B + 10%(662 -A) = B + 66.20 -AjlO La. 3a mensualidad = C + 10%(662 - A - B) = C + lOo,..(¡ C = 11 O%C Siendo las 3 mensualidad de igual monto También (2) Y (3) en (1) A + 66.20 = B + 66.20 -A/lO B = !lA 10 A + 66.20 = 110% C 11 A+ 66.20 = 10 C C = lOA 662 11 + 11 11 10 662 662 = A + lOA + liA + 11 10. 662 = 110A+ l2lA+ 100A 11 110 100·662 = 33lA ~ A = SI. 200 .... (2) ... (3) Monto de cada mensualidad = 200 + 66,20 = SI. 266,20 Otro m~todo de solucl6n: Deuda: 662 soles = C1 + C2 + C3 ... (.) ~P P I 1 mes 2 mes 3 mes P = C1(l + 0,1)1 P ~ C1=-- (1,1)1 P = C2(l + 0,1)2 P ~ C2=-- (1, 1)2 Reemplazando en (.¡ P = C3(1 + 0,1)3 P ~ C3=-- (1, 1)3 . Luego: ~ + .-L +.-L = 662 ~ P = 266, 20 1, 1 1, 12 1, 13 Problema N° 7 Se depositan dos capitales de 5000 soles y 6000 soles por 5 y 6 meses respectivarn.ente. El primero a una tasa del 30% trimestral, capitalizable mensualmente, y el otro a una tasa de r% anual bajo el régimen de interés simple. Al finalizar los periodos de depósito, se obtienen montos iguales, entonces r es: 5000 6000 MI =M2 30% bimestral capitalizable mensualmente 5 meses rGh anual. interés simple 6 meses 5000(1 + O, 30)5 = 6000(1 + r X 6) 3 1200 r = 68,4 Problema N° 8 Se deposita un capital C durante un afio en un banco A que paga un interés del 8% anual capitalizable semestralmente. el interés obtenido semestralmente. el interés obtenido se deposita en otro banco B que paga un interés del 10% anual capitalizable semestralmente. Al final del segundo afio el monto obtenido en el banco B fue de 11245.50 soles. entonces la suma de las cifras de Ces: Resoluci6n: C A: Cf = C( 1 + 0,~8r = 1,0816 C Interés: 0.0816 C 0.0816 C B: 8% anual capitalizable semestralmente 1 año 10% anual capitalizable semestralmente 11 245.5 = 0.0816 C( 1 + O,;Or e = 125000 Suma de las cifras: 8 Problema N° 9 Un préstamo de SI . 8 000 a una tasa de 3% mensual. capitalizable mensualmente. Si se realizan dos pagos a cuenta. de SI. 3 500 Y SI . 2 500 luego de 60 días y 90 días respectivamente. Determine el pago adicional a realizar 6 meses después de haber recibido el préstamo. de modo que el acreedor dé por cancelada la deuda. Dato: 1.033 = 1.0927 Resolución: Tiempo Deuda Deuda Pago Saldo al1nicio al final deudor 60 8000 8487.2 3500 4987.2 90 4987.2 5136.8 2500 2636.8 180 2636.8 2881.2 2881 .2 O Pago que cancela la deuda: 2881.2 Otro tipo de soluci6n: ~ 8000 3500 2500 I I I 2 meses 3 meses C 1 = 3500 2 = 3299, 0856 (1 + O, 03) C'J = 2500 = 2287, 854 ~ (l + O, 03)3 C 1 + C2 = 5586, 9396 Falta pagar: 8000 - 5586.9396 = 2413.0604 Luego: 2413.0604 N N = 2413.0604 (l + 0.03)6 = 2881.32 = 2881.2 Problema N° 10 Se ha comprado una máquina con 3000 dólares de cuota inicial y se han firmado 18 letras mensuales iguales de 250 dólares a la tasa del 18% semestral con capitalización mensual. Si se hubiese dado 5000 dólares de inicial y se hubiesen firmado 12 letras iguales bimestrales. con una tasa del 12% trimestral el valor de cada una de estas letras sería: Resolucl6n: Observaci6n previa Amortizaciones: Supongamos que una persona quiere comprar un artefacto eléctrico y acude a una casa comercial que ofrece la venta al crédito. Sea el precio al contado P soles. pero la compra se realiza al crédito. el comprador debe pagar la deuda en n letras o cuotas de R soles cada una: la tasa es del r% por periodo. ®®® ®® I I I I I 1 ° 2° So (n- 1)° n° Siendo el precio P soles al contado. este se particiolla en n partes diferentes de tal manera que cada parte es utilizada para pagar una letra. es decir: I P = PI + P 2 + P 3 + ... + Po '" (*) PI se utiliza para pagar la primera letra: R = P 1(1 + i)l P2 se utiliza para pagar la segunda letra: R = P2( 1 + i)2 Ps se utiliza para pagar la tercera letra: R = Ps (1 + i)3 Po se utiliza para pagar la n-ésima letra: R = Pn(1 + l)n Todas las letras son del mismo importe o valor (R) Despejando y reemplazando en (*) se tiene: Q( 1 1 1 1 ) P = "\( 1 + i) + (l + i)2 + (1 + i)3 + ... + (l + 1)n P = ((1 + 1)n-1 + (1 + 1)n-2 + ... + 1) (1 + 1)n P = R [(1 +1)n-1J (1 +1t 1 P i (1 1)11 R = + Con esta fórmula se calcula el importe o [( 1 + 1t - 1] valor de cada letra Aplicando en el problema propuesto 18% semestral <> 3% mensual 13000 1 250 250 I I I 1° 18 P = 250 [1,03 -1] = 3438,37 18 0,03 xl, 03 El precio al contado es: 3000 + 3438,37 = 6438,37 250 I Pero si se da 5000 de inicial resta 1438,37 que se tendría que pagar con 12 letras iguales bimestrales. Tasa 12% trimestral <> 4% mensual <> 8% bimestral. Tenemos: R I 1° R I R I 12 R = 1438,37 x O, 08( 1,08) 1,0812 _1 R = 190,86 dólares R I 5.2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Cada año se depositan 2000 soles en una cuenta bancaria que produce 8% de interés semestral y con el mismo período de capitalización. ¿Qué capital en soles se tendría inmediatamente después de haber efectuado el tercer depósito? a) 7 035.87 d) 7530.87 b) 7053.78 e) 7853.87 e) 7350.87 2. ¿Cuánto tiempo tomará para que 600 soles se conviertan en S /. 5000 a una tasa anual del 10% capitalizable trimestralmente? (aproximadamente en afios). a) 9.2 b) 9.6 e) 10.3 d) 10.9 e) 11.8 3. El Banco X hace la siguiente publicidad: "Por cada 100 soles que te damos devuelve dos cuotas mensuales de 60 soles". ¿Cuál es la tasa trimestral si la capitalización es mensual? a) 36.25% d) 6E>% b) 39.198% e) 75% e) 54% 4. Se deposita un capital N soles a interés compuesto. con una tasa de 30%~ anual. con capitalización cuatrimestral y al cabo de 5.3 afios se tiene un monto de M soles. entonces a) 4.31246N < M < 4.31247N b) 4.7131N < M < 4.71320N e) 4.5949N < M < 5.49500N d) 4.6127N < M < 4 .61128N e) 4.5849N < M < 4.58500N 5. Se compra un artefacto valorizado en 3000 dólares. firmándose 12 letras a una tasa del 6% trimestral. con capitalización mensual. los pagos son al final de cada mes. Si el interés es conlpuesto. el importe en dólares de cada letra es: a) 273.2 b) 279.9 c) 280.2 d) 280.9 e) 283.67 6. ¿Cuál es la tasa efectiva anual que gana un capital. en un banco de cierto país. si los bancos pagan una tasa nominal de 20% anual capitalizable semestralmente. pero el gobierno cobra un impuesto de 10% a las utilidades obtenidas? a) 10% b) 18% c) 18.9% d) 19% e) 20% 7. Un capital de SI. 2 648 se presta a una tasa del 30% trimestral. la deuda debe ser cancelada con 3 cuotas mensuales de igual monto. Considerando que el interés se aplica sobre el saldo adeudado. Halle el valor de la cuota mensual. a) 1060 b) 1 060.8 c) 1 064.8 d) 1 066.2 e) 1 069.2 8. Úna persona solicita un préstamo de 10 000 dólares a un banco. el cual debe pagarlo en tres cuotas iguales cada 6 meses al 10% trimestral con capitalización semestral. Luego de pagar la segunda letra se da cuenta que tiene tan solo 3000 dólares para pagar la tercera letra. entonces deposita este dinero en un banco que le ofrece 7.6% anual. capitalizable mensualmente. ¿Podrá pagar la última cuota con el monto que obtendrá? a) No. le falta $ 91.45 b) No. le falta $ 283.8 e) No. le falta $ 100.65 d) Si. le sobra $ 186.5 e) Si. le sobra $ 634.6 9. Una deuda de N soles se pagará en 3 mensualidades iguales. con una tasa del 20% bimestral sobre el saldo adeudado capitalizable mensualmente. Una vez cancelada la deuda. se habrá pagado en intereses un r% de N. entonces el valor de res: a) 18 b) 20.63 e) 24.1 d) 26.2 e) 28 lO. Un capital se impuso al 5% anual. con capitalización anual. durante 3 afios y produjo un monto de 37 044 soles. ¿En cuánto aumentará el interés (en dólares) producido por dicho capital. si la capitalización fuera semestral? a) 62.18 b) 66.18 e) 70.2 d) 72.25 e) 80.80 5.2.3 CLAVE DE RESPUESTAS 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: I ~ol 5.3 INTERÉS COMPUESTO CONTINUO Si se invierten SI. 1000 al 6% de interés compuesto anualmente. después de un año el monto es SI. 1000(1.06) = SI. 1060. después de dos años es: [10000.06)) 1.06 = SI. 1123.6 Y después de "t" años es SI. 1000(1,06)t. En general, s1 se invierte una cantidad Ao. a una tasa de interés i. cuando pasen t años se tendrá: Ao(l + i)t. sin embargo. en el caso general el interés se capitaliza o se compone con más frecuencia digamos n veces por año. cuando sucede de esta forma. en cada periodo de capitalización la tasa de interés es 1/n y hay nt periodos de capitalización. luego; una inversión SI . 1000 al 6% de interés anual. al cabo de tres años resultará: 1 OOO( 1. 06)3 = 1191.02 con capitalización anual 10000.03)6 = 1194.05 con capitalización semestral 100Ó(1,015)12 = 1195.62 con capitalización trimestral 1000(1.005)36 = 1196.68 con capitalización mensual 1 000( 1 + O, 06)365 x 3 = 1197.20 con capitalización diaria 365 si hacemos que n ~ 00 [ J it n ~t.) = lim A(1 i nt i i + ü) = Ao lim (1 + -) n~- ° n~- n Am =Ao eit A(3) = 1000 eO.06x3 = 1197,22 interés compuesto continuo Luego: C(t) = Co x eit Donde: C(t) : Capital final Co : Capital inicial e = 2,71828.. . base dellogorttmo neperiano i : Tasa t : Tiempo Ejemplo: Si se depositan 6 000 soles en una cuenta de ahorros a un interés