ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES-CONVERSIÓN SEXAGESIMAL , CENTESIMAL Y RADIAL EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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    Trigonometría es una palabra que proviene de los términos griegos metron (medida) y trígono (triángulo). Por tanto, podríamos decir que la Trigonometría no es más que la medida del triángulo. De hecho, se trata de la parte de las matemáticas dedicada inicialmente al estudio de las relaciones entre las amplitudes de los ángulos y las longitudes de los segmentos que sus lados determinan en las rectas que cortan. Un triángulo contiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Sabemos por la Geometría que un triángulo queda determinado cuando se conocen tres de sus elementos de los cuales, uno al menos, deje ser un lado. Cuando, conocidos los elementos que determinan un triángulo, se hallan el valor de los restantes, decimos que se ha resuelto el triángulo. La resolución de un triángulo puede llevarse a cabo por dos métodos distintos: por construcciones gráficas o por medio del cálculo. La resolución gráfica de un triángulo se hace por construcción se construye el triángulo según los datos (que pueden ser los tres lados, o dos lados y el ángulo comprendido, a un lado y dos ángulos interiores, etc) y en la figura obtenida se mide con regla y transportador los elementos desconocidos. Este método gráfico es muy limitado, pues supone la construcción del triángulo u otra figura plana limitada por rectas, que no siempre es posible; la exactitud de la construcción y de la medición de los elementos de la figura construida, dependiendo ambas de los instrumentos utilizados y de la habilidad del que realiza la construcción y la medición. El segundo método, el de cálculo, proporciona resultados más exactos, especialmente cuando los elementos que se han de determinar son ángulos: es por ello el método más empleado en la resolución de infinidad de problemas que exigen soluciones muy precisas. La Trigonometría nos enseña a resolver todos los problemas del triángulo por medio del cálculo y a encontrar relaciones en forma matemática entre segmentos y ángulos del triángulo y de otras figuras planas limitadas por rectas, de hecho se basa en las propiedades de las llamadas razones trigonométricas. La trigonometría es una parte de las matemáticas eminentemente práctica y presenta una gran ventaja: se puede tener una visión bastante real; casi todo se puede dibujar sobre papel. Si nos remontamos a tiempos muy lejanos en la historia de las matemáticas, encontramos algunos problemas que ya implicaba elementos de trigonometría: los egipcios ya lo utilizaban en la construcción de sus pirámides y los babilonios en sus cálculos. Los griegos hicieron por vez primera un estudio sistemático de las relaciones entre dos ángulos y la longitud de la cuerda que lo determina en una circunferencia de radio la unidad. Con el paso del tiempo, la trigonometría adquirió la forma que tiene actualmente; pasó del estudio de las relaciones entre los ángulos de un triángulo rectángulo al de las razones entre los catetos y la hipotenusa del triángulo para extenderse finalmente al estudio de las funciones abstractas. Los ángulos trigonométricos pueden ser de cualquier magnitud, ya que su rayo puede girar infinitas vueltas, en cualquiera de los sentidos. Como se muestra en el ejemplo. 2. SISTEMAS ANGULARES Así como para medir segmentos se requiere de una unidad de longitud determinada, para medir ángulos se necesita de otro ángulo como unidad de medición. 2.1 Sistema Sexagesimal Su unidad ángular es el grado sexagesimal(1º); el cual es equiva-lente a la 360ava parte del ángulo de una vuelta.  1V 360º Equivalencias: 1º=60’ 1’=60’’ 1º=3600’’ 2.2 Sistema Centesimal Su unidad angular es el grado centesimal (1g), el cual es equivalente a la 400ava parte del ángulo de una vuelta.  1V= 400g Equivalencias: 1g=100m 1m=100s 1g=10000s 2.3 Sistema Radial o Circular o Internancional Su unidad es el radian, el cual es un ángulo que subtiene un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.  1V=2rad  6,2832 Nota Como  = 3,141592653... Entonces: 3. CONVERSION DE SISTEMAS Factor de Conversión Es un cociente “conveniente” de dos magnitudes angulares equivalentes. Magnitudes angulares equivalentes 1 vuelta : 1 v 360º=400g=2rad Llano : 1/2v 180º=200g=rad Grados : 9º =10g Ejemplos: • Convertir a radianes la siguiente magnitud angular =12º Resolución: Magnitud Factor de equivalente Conversión rad = 180º • Convertir a radianes la siguiente magnitud angular: =15º Resolución: Magnitud Factor de equivalente Conversión rad = 200g • Convertir a sexagesimal la sgte. magnitud angular: =40g Magnitud Factor de equivalente Conversión 9º = 10g • Hallar: Resolución: Recordando: 1º=60’ 1g = 100m 9º = 10g Reemplazando en: E = 60 +100 + 2 =162 • Hallar: a+b sabiendo Resolución: Equivalencia: rad = 180º  22,5º = 22º+0,5º + =22º30’ Luego: Efectuando: a=22 b=30 Entonces : a+b = 52 Nótese que para convertir un ángulo de un sistema a otro, multiplicaremos por el factor de conversión. • Convertir a sexagesimales y radianes la siguiente magnitud angular. =16g Resolución: A) 16g a sexagesimales Factor de conversión = Luego: B) 16g a radianes Factor de conversión = Luego: 4. FORMULA GENERAL DE CONVERSION Sean S, C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente, luego hallamos la relación que existe entre dichos números. De la fig. Sº = Cg = Rrad ... (1) Además 180º = 200g = rad ... (2) Dividiendo (1) entre (2) tenemos: Fórmula particulares: Ejemplos: • Convertir a grados sexagesimal. Resolución: Sabemos que:   S=36  = 36º • Convertir 60g a radianes. Resolución: Sabemos que:    • Convertir 27º a grados centesimales. Resolución: Sabemos que:   C=30  27º=30g • Seis veces el número de grados sexagesimales de un ángulo sumado a dos veces el números de sus grados centesimales es 222. ¿Hallar el número de radianes de dicho ángulo? Resolución: Si S, C y R son números que representan las medidas del ángulo en grados sexagesimales, en grados centesimales y en radianes respectivamente; del enunciado afirmamos. 6S + 2C = 222 .... (1) Además:  Reemplazando en (1): Nota: Para solucionar este tipo de problemas también podríamos hacer: Reemplazando en (1): 6(180K)+2(200K) = 222 1480K = 222  EJERCICIOS 1. Calcular: J.C.C.H. Si: 68g <> JCºCH’ a) 6 b) 12 c) 24 d) 30 e) 22 2. Dada la figura: Calcular: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 3. La medida de los ángulos iguales de un triángulo isósceles son (6x)º y (5x+5)g. Calcular el ángulo desigual en radianes. a) b) c) d) e) 4. Determinar la medida circular de un ángulo para el cual sus medidas en los diferentes sistemas se relacionan de la siguiente manera: a) b) c) d) e) 5. Las media aritmética de los números que expresan la medida de un ángulo positivo en grados sexagesimales y centesimales, es a su diferencia como 38 veces el número de radianes de dicho ángulo es a 5. Hallar cuanto mide el ángulo en radianes. a) b) c) d) e) 6. Del gráfico, hallar una relación entre ,  y . a)  -  +  = -360º b)  +  -  = 360º c)  +  +  = 360º d)  -  -  = 360º e)  +  -  = -360º 7. Siendo S y C lo convencional de un ángulo para el cual se cumple: Hallar el número de grados sexagesimales. a) 10 b) 81 c) 72 d) 9 e) 18 8. Sabiendo que: y además: Sx=9x, Hallar: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Del gráfico, calcular y/x a) –1/6 b) –6 c) 6 d) 1/3 e) –1/3 10. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas “S” y “C”, son números pares consecutivos. El valor del complemento del ángulo expresado en radianes es: a) b) b) c) d) e) 11. Siendo “y” el factor que convierte segundos centesimales en minutos sexagesimales y ”x” el factor que convierte minutos centesimales en segundos sexagesimales. Calcular x/y. 0a) 2000 b) 4000 c) 6000 d) 8000 e) 9000 12. Siendo “S” el número de grados sexagesimales y “c” el número de grados centesimales que mide un ángulo menor que una circunferencia, calcular dicho ángulo en radianes sabiendo que . C = x2-x-30 ; S = x2+x-56 a) b) c) d) e) 13. Si se cumple que: Hallar: a) 9/5 b) 8/3 c)6/5 d) 5/2 e) 7/5 14. Sabiendo que a, b y R son los números que expresan la medida de un ángulo en minutos sexagesimales, segundos centesimales y radianes respectivamente. Calcular: a) b) c) d) 10 e) 20 15. Reducir: a) 10 b) 40 c) 50 d) 70 e) 80 16. Si “S”, “C” y “R” son los números que indican la medida de un ángulo en los sistemas convencionales. Hallar dicho ángulo en grados “S” si “R” es entero: Rtpa. ....... 17. En un cierto ángulo, se cumple que: . Calcular el complemento del ángulo en radianes. a) b) c) d) e) 18. Al medir un ángulo positivo en los sistemas convencionales, se observó que los números que representan dichas medidas, se relacionan del siguiente modo: “La diferencia del triple del mayor con el doble del intermedio, resulta ser igual a treinta veces el número menor entre , aumentado todo esto en 70, obtener la medida circular”. a) b) c) d) e) 19. Sabiendo que la suma de los números que representan la medida de un triángulo en grados sexagesimales es 133. Entonces la medida de dicho ángulo es: a) b) 70g c) 63º d) 133º f) “a”, “b”, y “c” son correctas SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR 1. Del gráfico adjunto, halle “  ”. A) 180º B) 360º C) 270º D) 450º E) 540º 2. Reducir: A) 82 B) 80 C) 37 D) 2 E) 17 3. Convertir 37g al sistema sexagesimal. A) 33º B) 33º C) D) E) 4. El factor que convierte cualquier número radianes en minutos centesimales es: A) 3436,36 B) 3436,63 C) 6363,63 D) 6334,34 E) 4637,43 5. En la figura mostrada, halle la medida del ángulo AOB en radianes. A) B) C) D) E) 6. De la figura mostrada, calcule: A) B) C) D) E) 7. En un triángulo ABC la suma de las medidas de A y B es 90 grados centesimales y la suma de las medidas de B y C en el sistema radial es rad. Halle la diferencia de los ángulos internos C y A. A) 36º B) 99º C) 54º D) 63º E) 9º 8. Cuatro veces el número de grados centesimales de un cierto ángulo se diferencian de su número de grados sexagesimales en 155. ¿Cuál es ese ángulo en radianes? A) B) C) D) E) 9. Si los números “S”, ”C” y “R” representan lo convencional para un mismo ángulo. Determine el valor de “R”, si “S” y ”C” están relacionados de la siguiente manera: S = 6xx + 9 , C = 8xx  6 A) B) C) D) E) 10. La mitad del número que expresa la medida en grados sexagesimales de un ángulo excede en 52 al quíntuplo de su medida en radianes. Calcule dicho ángulo en grados centesimales. A) 120g B) 130g C) 140g D) 150g E) 160g 11. Si al número de grados sexagesimales que contiene un ángulo se le resta 13, y a su número de grados centesimales se le resta 2, se obtienen dos cantidades en la relación de 2 a 3. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? A) B) C) D) E) 12. Se crea un nuevo sistema de medida angular “Asterisco”, tal que su unidad (1*) equivale a 1,5 veces el ángulo llano. Halle el equivalente de 5 ángulos rectos en este nuevo sistema. A) B) 3* C) D) 5* E) 1* 13. Si sumamos al complemento de un ángulo expresado en grados sexagesimales con el suplemento del mismo ángulo en grados centesimales se obtiene 195. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? A) B) C) D) E) 14. Halle la medida en radianes, de aquél ángulo tal que la diferencia de su número de segundos sexagesimales y de su número de minutos centesimales sea 15700. A) B) 2 C) D) 40 E) 15. Si la diferencia de segundos centesimales y segundos sexagesimales que mide un ángulo es 27040. Calcule la medida (en rad.) de dicho ángulo. A) B) C) D) E) 16. Siendo “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales, centesimales y números de radianes de un mismo ángulo respectivamente. Reducir la expresión: M = S(  200) + C(180) + 20R A) 0 B) 0,0016 C) 1 D) 0,246 E) 2,1416 17. Sabiendo que “S” y “R” son los números de grados sexagesimales y radianes de un ángulo, donde: Halle “R”. A) 5 B) 3 C) 4 D) 1 E) 2 18. Halle “C” a partir de la ecuación: siendo “S”, “C” y “R” lo convencional para un mismo ángulo. A) 20 B) 25 C) 40 D) 50 E) 10 19. A partir del gráfico mostrado, determine la medida del ángulo AOB, si “” toma su mínimo valor. A) 52g B) 30º C) 45g D) 45º E) 135º 20. Se inventan 2 sistemas de medición angular “x” e “y”, tal que: 25x < > 50g , además 80y < > 90º. Determinar la relación de conversión entre estos 2 sistemas x/y.
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