DIVISION ENTRE POLINOMIOS METODOS - EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

DIVISION ALGEBRAICA, HORNER , RUFFINI, COCIENTES NOTABLES PROBLEMAS RESUELTOS PDF


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    La división de polinomios está definida para una variable tomada como referencia, a la cual se le llama variable ordenatriz. MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS Para dividir polinomios se utilizan los siguientes métodos: • Método clásico o general • Método de los coeficientes separados •Método de Horner • Método de los coeficientes indeterminados •Regla de Ruffini DIVISION ALGEBRAICA • Determinación del cociente, utilizando el método de Horner o la regla práctica de Ruffini. Descartando el procedimiento clásico del álgebra tradicional. • En la resolución de ecuaciones polinomiales para la obtención de raíces racionales y de raíces irracionales sin aproximación. • En el cálculo inmediato del residuo de una división cualquiera, por el teorema de Descartes. • Para la factorización de un polinomio de grado superior en el campo racional, se utiliza el criterio de los divisores binómicos, como aplicación de la regla de Ruffini. SINTESIS TEÓRICA: Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados “m” y “n” respectivamente llamados dividendo y divisor; dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y residuo, donde el máximo grado de R(x) es (n–1) o bien R(x) = o; si es que la operación fuera exacta, de tal manera que estas expresiones verifiquen la identidad fundamental de la división entera, establecida por Euclides. Identidad fundamental de la división entera Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x), cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la definición. Se cumple la identidad: conocido universalmente como el ALGORITMO DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico. Ejemplos explicativos: 1. Dividir (x2+3x+4) entre (x-2) Efectuando por el método clásico: según la identidad, podemos expresarlo así: 2. Dividir (x3+8) entre (x2-2x+4) De igual manera, por el procedimiento tradicional: Expresándolo como la identidad, se tiene: Como se puede observar, el residuo es nulo. El ejemplo 1 nos representa a una división inexacta y el 2 a una división exacta. Por esto, dependiendo del residuo, las divisiones se clasifican tal como sigue: CLASES DE DIVISIÓN 1. División exacta: Si el residuo de la división es un polinomio idénticamente nulo. Es decir luego, por ello se tendrá: Al cual se le denomina “algoritmo de la divisibilidad”; cuyo equivalente racional, también se puede expresar así: Donde q(x) es el cociente entero que se genera de la división exacta de los polinomios D(x) y d(x). Del ejemplo 2 anterior, se tiene: 2º. División inexacta: Si el residuo de la división no es un polinomio idénticamente nulo. Es decir: Por esto, se tendrá: como su equivalente racional será: donde Q(x) es el cociente no entero de la operación. Del ejemplo 1 anterior, se tiene: la característica más importante de un polinomio es su GRADO y si queremos relacionar los elementos de una división entera, tendremos que establecer propiedades entre los grados de los elementos de dicha operación. Para lo cual mencionaremos los fundamentos básicos que definen a una división entera cualquiera. PROPIEDADES DE GRADO EN UNA DIVISIÓN: Establezcamos la siguiente simbología convencional: : grado del dividendo : grado del divisor : grado del cociente entero : grado del residuo Con respecto a una variable definamos los siguientes principios de una división euclídea: 1. 2. 3. De esta última relación de orden, se deduce que: Ejemplos explicativos: 1. Dado: como la expresión no se puede dividir. 2. Dado: Se puede deducir que: – El grado del cociente: – El máximo grado del residuo es uno menos que la del divisor. Es decir: máx Esto significa que el residuo, también puede ser de 1er grado o de grado cero. CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN DE EXPRESIONES ENTERAS 1. División de monomios Tener en cuenta que la división de monomios siempre es EXACTA. 2. División de un polinomio entre un monomio: Se tendrá que aplicar la propiedad distributiva de la división respecto de la adición. • Para una división exacta • Para una división inexacta Por simple inspección, se puede deducir que: El cociente : q(x) = 4x3 + 3x El residuo : R(x) = 5x – 4 3. División de polinomios cualesquiera En este caso debemos tener en cuenta todos los principios de una división euclídea y que el proceso de la operación lo vamos a realizar con respecto a una variable tomada como referencia, a la cual se le denomina ORDENATRIZ de la división. Para dividir polinomios existen diversos métodos, cuyos procedimientos presentan reglas particulares que facilitan la resolución de la operación. Presentaremos a continuación algunos criterios para efectuar una división: I. MÉTODO CLÁSICO O DIVISIÓN NORMAL Para dividir dos polinomios cualquiera mediante este método, se debe seguir el siguiente procedimiento: 1º Los polinomios dividendo y divisor deben estar ordenados en forma decreciente. En el caso de que la división sea exacta, la ordenación es arbitraria. 2º Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, y se obtiene el primer término del cociente. 3º El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se les cambia de signo, colocándolos debajo del dividendo con su correspondiente término semejante. 4º Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor, y se obtiene el segundo término del cociente. 5º Se procede como en el paso número 3. 6º Se continúa la operación hasta que se llegue a la última columna del dividendo. Ejemplos aplicativos 1. Dividir : Disponiendo el dividendo y el divisor, según el esquema del método clásico: 2. Dividir: Del mismo modo, aplicando el procedimiento clásico: Resultados obtenidos: Cociente : q(x) =2x3 – 4x2 + x - 1 Residuo : R(x) = 5x + 2 II. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES SEPARADOS Es un procedimiento similar a la de la metodología clásica, con la diferencia que en este caso, sólo se utilizan los coeficientes. Debemos tener en cuenta que a parte de la ordenación, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen. Ejemplos explicativos 1. Dividir: utilizando sólo los coeficientes, se tiene: donde Cociente: q(x)= 2x5–3x4+x3+4 Residuo: R(x) =–7
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