VALOR ABSOLUTO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

El valor absoluto nos permite relacionar las distancias entre dos puntos sobre la recta real con el concepto de vecindades alrededor de un punto , teoría que se aplicará más adelante en la definición del límite de una función real de una variable real. 
De modo que será muy importante conocer y saber aplicar los diversos teoremas sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
APRENDIZAJES ESPERADOS
☛ Interpretar geométricamente el concepto de valor absoluto de un número real empleando la definición. 
☛ Resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, aplicando las propiedades y la definición de valor absoluto. 
☛ Interpretar situaciones concretas mediante desigualdades. 

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL VALOR ABSOLUTO
La distancia de un número real a cero se le denomina valor absoluto y se le representa entre barras.
PRACTICA
PROBLEMA 1 :
Elvito dio un examen de matemáticas en donde cada pregunta respondida correctamente vale 2 puntos y cada pregunta respondida incorrectamente o sin responder, cero puntos. La cantidad de preguntas que respondió correctamente, incorrectamente y las que no respondió son, respectivamente, la diferencia positiva del total de preguntas con siete, la diferencia positiva del total de preguntas con ocho y la mitad del total de preguntas. Si Elvito obtuvo más de cuatro puntos en dicho examen.
¿Cuántas preguntas tenía dicho examen? 
A) 6 
B) 12 
C) 8 
D) 10 
E) 9 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 2 :
Halle la suma de los cubos de las soluciones enteras de la siguiente inecuación 
4 |x + 2| < 2x +10
A) –9 
B) 8 
C) –36 
D) 9 
E) 36 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 3 :
Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación x² + 3|x + 2| ≤ – 4x . 
A) [–4,–2] 
B) [–2,0] 
C) [–3,–1] 
D) [–1,1] 
E) [0, 2] 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 4 :
La suma de las soluciones de la ecuación (x – 4)² + 21 = 7 |x – 5| + 2x representa la cantidad de dinero que tiene José (en soles) para usarlo en la compra de un cuaderno de 15 soles. ¿Cuánto dinero le quedará después de la compra? 
A) 3 soles 
B) 6 soles 
C) 4 soles 
D) 5 soles 
E) 7 soles 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 5 :
Halle el producto de las soluciones de la ecuación x² – 6 = 2 |x – 3| + 6x . 
A) –16 
B) –12 
C) –20 
D) –18 
E) –24 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 6 :
Makuko y Pekano viajan a un mismo lugar de diferentes lugares de inicio. Ellos se trasladan en ómnibus; el ómnibus de Makuko viaja a una velocidad promedio de (x)km/h y demora en llegar (|6x–x²| – 4) horas; mientras que él de Pekano viaja a una velocidad promedio de (x+1)km/h y demora en llegar (|x| – 4) horas. Si ambos ómnibus demoran en llegar el mismo tiempo a su destino, halle la máxima velocidad del ómnibus de Pekano. 
A) 8 km/h 
B) 7 km/h 
C) 6 km/h 
D) 9 km/h 
E) 10 km/h 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 7 :
Halle la suma de los cuadrados de las soluciones de la siguiente ecuación 
(x + 3)² + 10 = |x + 5| – 4x
A) 65 
B) 74 
C) 68 
D) 82 
E) 61 
Rpta. : "C"
La historia del valor absoluto es una parte interesante del desarrollo matemático, relacionada con el avance del álgebra y la comprensión de los números negativos. 

HISTORIA DEL VALOR ABSOLUTO 
ANTIGÜEDAD 
En la matemática griega, los números negativos no existían como tal. Para los griegos (como Euclides), el concepto de "distancia" ya existía, pero no se usaba en términos algebraicos. 

EDAD MEDIA Y RENACIMIENTO 
Los matemáticos en India y China ya manejaban ideas similares al valor absoluto, aunque sin notación específica. En Europa, los números negativos comenzaron a aparecer lentamente, con resistencia. Matemáticos como Fibonacci aún los evitaban. 

SIGLOS XVII - XVIII 
Descartes y otros autores ya trabajaban con números negativos, lo que abre la puerta al concepto de valor absoluto. Aún no existía una notación específica, pero se hablaba de “magnitud positiva” o de “distancia al origen”. 

SIGLO XIX – FORMALIZACIÓN 
El concepto de valor absoluto se formaliza en este siglo. Se introduce la notación |x| 

Aparece en los trabajos de Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy, y otros pioneros del análisis matemático. 

SIGLO XX EN ADELANTE 
Se extiende el concepto de valor absoluto a otros contextos, como: 
• Vectores (normas) 
• Números complejos 
• Espacios métricos 

• En inglés, a veces se llama "modulus", que también se usa en números complejos. 

• El símbolo |x| se cree que fue adoptado por analogía con el símbolo de norma en álgebra lineal.

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