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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF
















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POTENCIACIÓN Introducción Los babilónicos ya habían conocido muy bien la tabla de los cuadrados de los números, tal como lo prueba la tabla de los cuadrados hallados por los arqueólogos a orillas del Eufrotes, en un lugar donde existió un templo. Ellos emplearon la potencia cuadrada sobre todo para efectuar sus multiplicaciones siguiendo el procedimiento que se indica a continuación: 1. La semisuma de los dos factores la elevan al cuadrado. 2. La semidiferencia de dichos factores la elevaban al cuadrado. 3. La diferencia de estos dos cuadrados obtenidos era el resultado final. Ejemplo: Efectuar el producto 26 x 18, siguiendo el anterior procedimiento. 1. La semisuma de 26 y 18 es 22, y el cuadrado de 22 es 484 2. La semidiferencia de 26 y 18 es 4, y el cuadrado de 4 es 16. 3. La diferencia de 484 y 16 es 468, que viene hacer el producto de 26 por 18. Notación de la Potenciación: Bhaskara empleo la inicial de la palabra cuadrado para indicar la “Segunda Potencia (año 1150). El escocés James Hume (1636) quien adopta la actual notación pero cuando los números romanos para exponente. Ya Descartes (1637) adopta los números actuales como exponentes”. Potenciación Definición: Es una operación matemática que consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces. Así tenemos: P = k x k x k .... x k = kn n factores donde k  Z+, n  Z+ Además k es la base, n es el exponente y P es la potencia de grado n. POTENCIA PERFECTA DE GRADO “n” Para que un entero positivo sea una potencia perfecta de grado “n” es condición necesaria y suficiente que los exponentes de los factores primos en su descomposición canónica sean múltiplos de n. Sea k = a . b . c Descomposición Canónica (D.C) Tenemos que: Kn = an x bn x cn (D.C.) Ejemplos: N = 36 x 53 x 79 como 6, 3 y 9 son entonces N es una potencia perfecta de grado 3. 8² es una potencia M = 8 x 8 = 64 perfecta de grado 2 43 es una potencia perfecta de grado 3  64 es una potencia de grado 6 (26 = 64) CASO PARTICULARES 1. Potencia Perfecta de grado 2 o cuadrado perfecto (K²) Sea a . b . c D.C. tenemos k² = a2.b2.c2 D.C. Ejm. P = 2² x 3² x 116 = k² Q = 25 x 31 x 63 = 25 x 31 x 23 x 33 Q = 28 . 34= k² 2. Potencia perfecta de grado 3 o cubo perfecto (k3) Sea a . b . c D.C. tenemos k3 = a3.b3.c3 D.C. Ejm. R = 312 x 59 x 116 = k3 S = 37 x 5 x 15² = 37 x 5 x 32 x 52 S = 39 x 53 = k3 Aplicación Determinar el menor entero positivo por el cual hay que multiplicar a 162000 para obtener un número que sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez. Resolución MENOR ENTERO POSITIVO 162000 x N = K6 24 x 53 x 34 x N = K6 Se deduce N = 22 x 53 x 35 = 4500 Se debe multiplicar por 4500 CRITERIOS DE INCLUSION Y EXCLUSION DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS 1. Según la última cifra K ..0 ...1 ..2 ..3 ..4 ..5 ..6 ..7 ..8 ..9 K2 ..0 ...1 ..4 ..9 ..6 ..5 ..6 ..9 ..4 ..1 K3 ..0 ...1 ..8 ..7 ..4 ..5 ..6 ..3 ..2 ..9 Se observa: • Si un número termina en 2,3,7 u 8 no es cuadrado perfecto. • Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra. Ejemplo: ¿Cuáles no son cuadrados perfectos? * * * b. Por su terminación en ceros * ab...pq 000...0 = k²; n = N² n ceros Ejemplo: ¿Cuáles son cuadrados perfectos? • 1690000 = 13² x 104 = k² • 22500 = 15² x 10² = k² • 1950000 = 195 x 104  k² c. Por su terminación en cifra 5 Ejemplo: • 25² = 625 • 85² = 7225 • 145² = 21025 Luego: Si: ² entonces: d = 2 n(n+1) ce 0,2,6 Ejemplos: • 153 = 3375 • 253 = 15625 • 653 = 274625 Si = k3 entonces q = 2 ó q = 7 d. Por criterios de Divisibilidad * Todo número: n  Z+ N²   , + 1 N3   -1, , + 1 * También se cumple N²   , +1, +4, +7 N3   - 1, , + 1 Ejemplos: Cuales no son cubos perfectos. * (NO)  82  , -1, +1 * 42875 = 353 * 373248 = 723 RADICACIÓN Definición: Es una operación matemática inversa a la potenciación que consiste en que dados dos números llamados índice y radicando se calcula un tercer número llamado raíz donde este último elevado al índice reproduzca el radicando. Así tenemos: Donde: N  Z+ , n  Z+ , n > 1 Además: N es el radicando n es el índice R es la raíz enésima Ejm: Observación: Toda potencia perfecta de grado “n” posee raíz enésima exacta. 1. Raíz Cuadrada: Se clasifica en: a) Exacta: Ejm: por que: 225 = 152 En general: b) Inexacta: (r  0) Por defecto Por exceso  230 = 15² + 5  230 = 16² -26 En general: En general:  N = K² + rd N = (k+1)²-re Observaciones: 1. rmin = 1 2. rmax = 2k k² + rd = (k+1)²-re rd+re=2k+1 2. Raíz Cúbica: a) Exacta: Ejm: Luego: b) Inexacta: (r  0) Por defecto Por exceso  83 +100 = 612 612 = 93 – 117 En general: En general:  N = K3 + rd N = (k+1)3-re Observaciones: 1) rmin = 1 2) rmax = 3k(k+1) = 3) k3 + rd = (k+1)3 – re  rd + re = 3k (k+1) + 1 IMPORTANTE: 1. RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n Se utiliza: 2. RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO CON ERROR MENOR QUE m/n Ejemplos: 1. Extraer la raíz cúbica de en menos de Resolución: La raíz cúbica exacta de Cumple: Despejando: n3  n3 < 39,9 < (n + 1)3  n = 3 La raíz buscada será: 3 x REGLA PARA EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO * Para hallar la raíz cuadrada entera de un número mayor que 100, se divide el número en períodos de 2 cifras empezando por la derecha. * Se halla la raíz cuadrada entera del primer período que tendrá una o dos cifras y ella será la primera cifra de la raíz. * Se resta mentalmente su cuadrado del primer período a la derecha de la diferencia se baja el período siguiente, del número así obtenido se separa su última cifra de la raíz. * El cociente entero obtenido se escribe a la derecha del número que sirvió de divisor y el número obtenido se multiplica por el referido cociente entero mentalmente y se resta del primer resto seguido del segundo período. * Si la resta puede efectuarse, la cifra de dicho cociente es buena y será la segunda cifra de la raíz y la resta no puede efectuarse, se rebaja la cifra en una unidad y se somete a análogas comprobaciones hasta obtener la cifra verdadera. * A la derecha del resto se baja el período siguiente y así se contínua hasta bajar el último período y encontrar la última cifra de la raíz. Ejemplo 1 6²  3 6 2 x 6 = 12 6 3 1 125 x 5 125x5 6 2 5 2 x 65 = 130 6 8 4 1300 x 0 0 0 0 6 8 4 0 0 2 x 650 = 1300 6 5 0 2 5 13005 x 5 3 3 7 5 Ejemplo 2 Reconstruir: 8- - - - 3 - - - 4 - - - - - - 1 0 4 9 Resolución: 9² 8 1  182 x 2 4 4 8 3 6 4 184 4 x 4 8 4 2 5 7 3 7 6 1 0 4 9 Identificando: a = 8 b= 5 c = 4 x = 9 d = 2 REGLA PARA EXTRAER LA RAÍZ CÚBICA DE UN NÚMERO * Para hallar la raíz cúbica entera de un número de más de 3 cifras se divide en períodos de tres cifras empezando por la derecha. * Se halla por la tabla de los cubos de los 9 primeros números, la raíz cúbica entera del primer período y la cifra que resulta es la primera cifra de la raíz, se eleva ésta al cubo, se resta del primer período, a la derecha de la diferencia se escribe el segundo período, se separan las dos últimas cifras de la derecha y el número que queda a la izquierda se divide por el triple del cuadrado de la primera cifra de la raíz. * Se tantea por la regla dada dicho cociente entero, si tiene una cifra, o la cifra 9 si el cociente tuviese más de una cifra y se va rebajando de unidad en unidad, hasta obtener la segunda cifra de la raíz; a la derecha del resto obtenido se escribe el período siguiente, del número resultante, se separan las dos últimas cifras de su derecha y se divide el número que queda a la izquierda por el triple del cuadrado del número formado por las dos cifras ya halladas de la raíz. * Este triplo del cuadrado se forma sumando tres números que son: * El primero: el producto de la última cifra hallada de la raíz por el número que resulta de escribir a la derecha del triplo del número que forman todas las cifras antes calculadas. La última cifra hallada. * El segundo, es el resultado de sumar el primero con el triplo del cuadrado del número que forman las cifras halladas de la raíz menos la última. * El tercero. Es el cuadrado de la última cifra de la raíz. * El cociente entero que este triplo del cuadrado será igual a mayor que la tercera cifra de la raíz, se tantea este cociente entero por la regla para comprobar la cifra hasta obtener la tercera cifra de la raíz, a la derecha del resto se escribe el período siguiente y así sucesivamente se continúa hasta hallar la última cifra de la raíz. Sabemos: (d+u)3 = d3 + 3d² u+ 3d² u + u3 Ejemplo: Calcular la raíz cúbica de 752937 196 13  1  3x1²x100x9= 2700+ 6 5 2 9 3x1x3x10x9²= 2430 5 8 5 9 93 = 6 7 0 5 3 7 6 7 0 5 3 6 1 3x19²x100x6=649800+ 3x19x10x6² = 20520 63 = PROBLEMAS RESUELTOS 1. Si = k3 Halar b – a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución Se deduce que = = 11n 11n = k3 11²t3 Reemplazando : = 113.t3 = 1331t3 Dando valores a “t” deducimos que si: t = 1  = 1331  b – a = 2 Rpta. b 2. ¿Cuántos números cuadrados perfectos de 3 cifras en base 6 existen? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Resolución Del problema = k² Sabemos que: 1006  < 10006 36  k² < 216 6  k < 14,  k tomará 6,7,8,...14 9 valores  Habrá 9 números Rpta. D 3. Si Hallar a) 88 b) 81 c) 82 d) 94 e) 96 Resolución Del problema: - 1 = k² = k² + 1 Haciendo la descomposición polinómica por bloques 101 ² = k² + 1 Restando 101 a ambos miembros 101( -1) = (k + 10) (k - 10) Se diferencian en 20 Entonces: - 1 = 121  = 122 (Absurdo) -1 = 81 = 82 Rpta. c 4. ¿Cuántos cubos perfectos existen en: 15.18.1; 15.18.2, 15.18.3,....15.18.7000? a) 8 b) 4 c) 12 d) 15 e) 9 Resolución Forma general de cada término: 15.18.n Por condición: 15.18.n = k3 2.33 . 5n = k3 Con lo cual: n = 2² . 5² . t3 = 100t3 Además del problema: 1  n  7000 1  100t3  7000 0,  t3  70 0, w  t  4,  t tomará 1,2,3,4 4 valores  Habrá 4 números Rpta. B 5. Hallar un cubo perfecto de 5 cifras de tal manera que la suma de sus cifras de ordenes impares sea 19 y que la suma de las cifras de ordenes pares sea 8. dar la cifra de las centenas. a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 5 Resolución: Del problema: = k3 Por dato:  = = 99n = 3² x 11 x n 3 x 11² t3 = 35937.t3  1  = 35937 Luego la cifra de las centenas es 9 C = 9 Rpta. C 6. Para pavimentar un patio cuadrado se emplean locetas de 50 x 50cm. Si el patio tuviera un metro mas por cada lado se habrá necesitado 140 locetas más. ¿Cuánto mide cada lado del patio? a) 12 b) 12,50 c) 19.50 d) 16 e) 17 Resolución: Sea “L” la longitud de lado “L” Locetas : L² Iniciales 2500 cm² Locetas : (L + 100)² Finales 2500 cm² Por dato: L² - L² = 140 2500 cm² 2500  L = 17 Rpta. E 1. Si el numeral es un cuadrado perfecto; ¿Calcule la suma de cifras de su raíz cuadrada? A) 15 B) 14 C) 19 D) 16 E) 12 2. Al extraer la raíz cúbica de se obtuvo como residuo por exceso 259 y por residuo por defecto 12. Calcule : a x b A) 14 B) 15 C) 18 D) 28 E) 56 3. Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 22 como residuo. Si el número se cuadriplica la raíz cuadrada aumenta en 19 y el residuo se reduce en 7. Halle el número. A) 342 B) 456 C) 346 D) 392 E) 412 4. Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtuvo 52 de residuo, pero si se le suma 1 000 unidades, su raíz aumenta en 2 y su residuo se hace máximo. Halle la raíz del número original. A) 141 B) 158 C) 157 D) 260 E) 174 5. Halle (a + b + c + d + e) si A) 117 B) 118 C) 19 D) 20 E) 21 6. Si: ; a + c + e = b + d + f =18 y . Halle “c + d” A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 7. Se tiene . Halle: “c + d “ A) 14 B) 13 C) 15 D) 12 E) 16 8. ¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 924 y 5960? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9. Si: ; a > b. Halle: (a + b + c + d) A) 30 B) 32 C) 19 D) 29 E) 15 10. Halle el mayor cuadrado perfecto de 3 cifras de la base 6, que termine en cifras 3. A) B) C) D) E) 11. Sabiendo que el número , se convierte en cuadrado perfecto cuando se le multiplica por . Calcule “a + b”. A) 5 B) 8 C) 7 D) 4 E) 6 12. Un comandante dispone su tropa formando un cuadrado y ve que quedan fuera 36 soldado por lo que designa un hombre más a cada lado del cuadrado y ve ahora que le faltarían 75 soldado para completar el nuevo cuadrado. ¿Cuántos soldados hay en la tropa? A) 3061 B) 2989 C) 61 D) 3000 E) 55 13. ¿Cuántos números de 6 cifras tienen residuo máximo tanto en su raíz cuadrada y en su raíz cúbica? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 14. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión son cuadrados perfectos o múltiplos de 13? A) 54 B) 50 C) 48 D) 44 E) 42 15. Al extraer la raíz cuadrada de se obtuvo residuo máximo. Halle (a + b + c) si a es cifra significativa. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 16. Calcule cuántos números cuadrados perfectos existen entre los cuadrados perfectos: y Si “b” es impar. A) 160 B) 161 C) 62 D) 163 E) 61 17. Un terreno cuadrado se divide en pequeños lotes cuadrados todos iguales. Si se desea colocar un árbol en cada vértice de los cuadrados, se emplea 261 árboles más cuando los cuadrados son de 2m de lado, que cuando son 4m. Calcular el lado del terreno. A) 34 B) 38 C) 32 D) 24 E) 36 18. Calcule (a + b + c + d + f); sabiendo que: es un cubo perfecto divisible por 3 y 11. A) 24 B) 22 C) 30 D) 23 E) 25 19. Al extraer la raíz cuadrada de un numeral se observa que los residuos por defecto y por exceso están en la relación de 3 a 4. Sabemos que el producto de las respectivas raíces es 992. Calcule el número. A) 968 B) 998 C) 981 D) 988 E) 961