POTENCIACIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Al finalizar el presente capítulo , estarás en capacidad de:
☛ Reconocer cuando un número es una potencia perfecta de grado n .
☛ Deducir los criterios de inclusión y exclusión de los cuadrados y cubos perfectos.
☛ Diferenciar cuadrados y cubos perfectos de un conjunto de números.
¿Qué es la Potenciación Aritmética?
Es la representación simplificada de una multiplicación donde todos los factores son iguales. La potenciación consiste en multiplicar un número por si mismo varias veces.
EJEMPLOS :
3125=5×5×5×5×5=5⁵ ... es una potencia perfecta de grado 5
729=9×9×9=9³ ... es una potencia perfecta de grado 3
729=3²×3²×3²=3⁶ ... es una potencia perfecta de grado 6
CUADRADOS PERFECTOS
Diremos que un número N es cuadrado perfecto. sí y sólo sí. N proviene de elevar al cuadrado un número racional.
EJEMPLO :
169 es un cuadrado perfecto porque: 169 = 13²
CONDICIÓN
Para que un número entero positivo sea cuadrado perfecto , es necesario y suficiente que al descomponerlo canónicamente (producto de potencias de factores primos), todos los exponentes respectivos sean PARES (múltiplos de 2)
CUBOS PERFECTOS
Diremos que un número N es un cubo perfecto, si y solo sí, N proviene de elevar al cubo, un número racional.
EJEMPLO :
343 es un cubo perfecto porque: 34³=7³=7×7×7
CONDICIÓN
Para que un número entero positivo sea cubo perfecto es necesario y suficiente que al descomponerlo canónicamente, todos los exponentes sean múltiplos de 3
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS
CARACTERÍSTICAS DE EXCLUSIÓN DE NÚMEROS CUADRADOS PERFECTOS
I) El cuadrado de un número termina en el cuadrado de la cifra de sus unidades.
II) Todo número que termina en 0; 1; 4 ;5 ; 6 ó 9 puede ser cuadrado perfecto. Se deduce que si un número termino en 2; 3; 7 u 8 no es cuadrado perfecto.
III) Si un número termina en 5, puede ser cuadrado perfecto siempre y cuando la cifra de sus decenas sea 2 y el total de sus centenas sea el producto de 2 números consecutivos.
Si un número entero positivo termina en 5, pero su cifra de decenas no es 2 o su cifra de tercer orden no es: 0 ; 2 ó 6, entonces dicho número no es cuadrado perfecto. Esto se deduce del análisis del cuadrado de todo número terminado en 5.
Luego el cuadrado de un número terminado en 5, siempre termina en 25.
IV) Todo número que termina en una cantidad par de ceros puede ser cuadrado perfecto, siempre y cuando la cifras que lo acompañan formen un número cuadrado perfecto.
PRIMERA PRACTICA
EJERCICIO 1 :
¿Cuántos de los siguientes numerales no son cuadrados perfectos?
I) 297
II) 196
III) 128
IV) 372
V) 400
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
E) 5
EJERCICIO 2 :
¿Cuántos cuadrados perfectos están comprendidos entre 144 y 900?
A)15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
EJERCICIO 3 :
¿Cuántos cubos perfectos de tres cifras hay?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
EJERCICIO 4 :
¿Cuántos cubos perfectos de dos cifras hay?
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
EJERCICIO 5 :
¿Cuántos cubos perfectos hay entre 20 y 150?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
EJERCICIO 6 :
¿ Cuántos cubos perfectos hay entre 27 y 8000?
A) 16
B) 15
C) 14
D) 17
E) 18
EJERCICIO 7 :
Los números que tienen raíz cuadrada exacta y están comprendidos entre 269 y 412; en número son:
A) 6
B) 5
C) 2
D) 4
E) 3
EJERCICIO 8 :
¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 80 y 160?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
EJERCICIO 9 :
Calcular la suma de los dos mayores cuadrados perfectos de dos cifras.
A) 120
B) 145
C) 160
D) 170
E) 180
EJERCICIO 10 :
¿Cuál es el menor número natural por el que se debe multiplicar a N para que sea un cuadrado perfecto, si N=2²×15×49?
A) 8
B) 15
C) 25
D) 49
E) 60
EJERCICIO 11 :
La diferencia de los cuadrados de las raíces de dos números es 24 y la suma de las raíces de dichos números es 12. ¿Cuál es el menor de dichos números, si son cuadrados perfectos?
A) 16
B) 25
C) 36
D) 49
E) 81
EJERCICIO 12 :
Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 26 números enteros. Determinar el primero de los números comprendidos entre tales cuadrados perfectos.
A) 171
B) 170
C) 168
D) 172
E) 195
EJERCICIO 13 :
Sea N=3×7²×11, ¿cuál es el menor número natural por el que se debe multiplicar a N para que sea un cuadrado perfecto?
A) 3
B) 11
C) 33
D) 66
E) 75
EJERCICIO 14 :
El cubo de un número, aumentado en el propio número resulta 222. ¿Cuál es su cuadrado?
A) 49
B) 25
C) 81
D) 64
E) 36
EJERCICIO 15 :
El cuadrado de un número aumentado en el propio número resulta 156. La suma de las cifras de dicho número es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
EJERCICIO 16 :
¿Cuál es el menor número entero por el que se debe multiplicar a 64350 para que el producto sea un cuadrado perfecto?
A) 143
B) 22
C) 28600
D) 26
E) 286
EJERCICIO 17 :
¿Cuál es el menor número entero por el que se debe multiplicar a 648 para que su producto sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez?
A) 36
B) 72
C) 144
D) 56
E) 112
EJERCICIO 18 :
¿Cuál es el menor número entero tal que si dividimos el número 157 339 entre dicho número se obtiene una división exacta con un cociente que es un número entero y cuadrado perfecto?
A) 13
B) 37
C) 19
D) 17
E) 91
EJERCICIO 19 :
La suma de la tercera y cuarta parte de un número es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el menor número que cumple esta condición?
A) 12
B) 24
C) 48
D) 84
E) 96
EJERCICIO 20 :
La diferencia entre el cubo de un número entero y el mismo número es 504, hallar el número.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
EJERCICIO 21 :
Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 50 números pares. Calcular el menor de estos 50 números.
A) 626
B) 625
C) 2500
D) 2501
E) 2502
EJERCICIO 22 :
Dada la siguiente serie: 4; 6; 8; 10; ... ¿cuántos cuadrados perfectos hay en los cien primeros términos?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
EJERCICIO 23 :
Para que un número ‘‘N’’ sea cubo perfecto se le debe multiplicar por 18 y para que sea cuadrado perfecto se le debe multiplicar por 15. ¿Cuál es el menor valor que puede tener N?
A) 225
B) 216
C) 2000
D) 1500
E) 375
EJERCICIO 24 :
Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 64 números enteros, determinar el mayor de dichos cuadrados.
A) 1024
B) 961
C) 1156
D) 1089
E) 900
SEGUNDA PRACTICA
PROBLEMA 1 :
Si capitalizando un negocio se puede duplicar la inversión en cada año. ¿En cuánto se convierte un dólar al cabo de 30 años de iniciado el negocio? Indique la cantidad más aproximada en millones de dólares.
A) 10
B) 11
C) 106
D) 107
E)1074
Rpta. : "E"
PROBLEMA 2 :
¿Cuál es el menor número entero que multiplicado por 429975 da un producto cuya raíz cuadrada es exacta?
A) 26
B) 19
C) 39
D) 13
E) 17
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
Cuál es el mínimo de números enteros que puede existir entre un cuadrado y un cubo perfecto de 3 cifras.
A) 7
B) 18
C) 3
D) 8
E) 11
Rpta. : "C"
PROBLEMA 4 :
¿Cuántos números cuadrados perfectos que terminan en 9, están comprendidos entre 500 y 8000?
A) 7
B) 14
C) 21
D) 11
E) 22
Rpta. : "B"
PROBLEMA 5 :
¿Cuál es el número de cuatro cifras, cuyas dos primeras cifras de la izquierda son 2 y 2 y que es un cuadrado perfecto?.
A) 2209
B) 2252
C) 2281
D) 2225
E) 2236
Rpta. : "A"
PROBLEMA 6 :
¿Cuántos cuadrados perfectos múltiplos de 13 más 4 hay entre 924 y 5920 ?
A) 9
B) 7
C) 63
D) 21
E) 10
Rpta. : "B"
PROBLEMA 7 :
¿Cuántos números naturales múltiplos de 3 comprendidos entre 10000 y 1000000 son cuadrados perfectos y cubos perfectos a la vez?
A) 37
B) 23
C) 17
D) 7
E) 2
Rpta. : "E"
PROBLEMA 8 :
Un jardinero quiere plantar sus árboles igualmente espaciados en un terreno cuadrado de 234m de lado. Si la separación entre árbol y árbol fuese 1,2m le faltarían 3000 árboles. Determinar la distancia que debe haber entre ellos de manera que le sobren 2655 árboles.
A) 1,3m
B) 1,4m
C) 1,5m
D)1,25m
E) 1,35m
Rpta. : "A"
PROBLEMA 9 :
En:
18×300;18×301;18×302 ;.......;18×1300
¿Cuántos términos son cubos perfectos?
A) 2
B) 8
C) 16
D) 42
E) 63
Rpta. : "A"
PROBLEMA 10 :
Con las cifras 2 ; 2 ;7 ;5 y 2 se puede formar un número de 5 cifras cuadrado perfecto. Dar como respuesta la suma de cifras de su raíz cuadrada.
A) 8
B) 12
C) 18
D) 9
E) 7
Rpta. : "B"
PROBLEMA 11 :
Considere los tres menores números naturales consecutivos de tres cifras cuya suma es un cuadrado perfecto. La menor cifra del mayor de estos tres números es:
A) 1
B) 0
C) 4
D) 2
E) 3
Rpta. : "B"
PROBLEMA 12 :
¿Cuántos números de 4 cifras cuadrados perfectos son múltiplos de 7 más 2 ?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25
Rpta. : "B"
PROBLEMA 13 :
Determinar la cantidad de “cuadrados perfectos que son cubos perfectos o cubos perfectos que no son cuadrados perfectos” menores que 845000.
A) 996
B) 992
C) 993
D) 994
E) 995
Rpta. : "E"
PROBLEMA 14 :
Sean A y B dos enteros positivos y consecutivos tales que entre A y B hay 468 enteros. ¿ Cuál es el mayor entero par comprendido entre dichos cubos?.
A) 2156
B) 2196
C) 2298
D) 2376
E) 2418
Rpta. : "B"
PROBLEMA 15 :
Sea ‘‘N’’ un número cuadrado perfecto impar. Si N+23 es divisor de 136×R, siendo R primo . Hallar el menor número N que cumple lo anterior.
A) 9
B) 25
C) 49
D) 81
E) 181
Rpta. : "D"
PROBLEMA 16 :
De los siguientes enunciados:
I) Todo número impar, es la diferencia de cuadrados de dos números consecutivos.
II) El cuadrado de un número entero positivo par n, es igual a la suma de los n primeros números pares positivos.
III) La diferencia de los cubos de dos números enteros consecutivos disminuido en una unidad es siempre divisible por 6. Podemos afirmar que:
A) FFF
B) FFV
C) FVF
D) VFV
E) VVV
Rpta. : "D"
PROBLEMA 17 :
Dadas las proposiciones:
I) Si la suma de dos enteros termina en cero, sus cuadrados terminan en la misma cifra.
II) El producto de tres números consecutivos puede ser cubo perfecto.
III) No existe cuadrado perfecto que termine en dos cifras impares iguales.
Los respectivos valores de verdad son:
A) VFF
B) FFV
C) VVV
D) FVF
E) VFV
Rpta. : "E"
PROBLEMA 18 :
La cantidad de números de 10 cifras que son múltiplos de 3; 5 y 13 y son cubos perfectos es:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
Rpta. : "D"
PROBLEMA 19 :
Hallar la suma de las cifras de un número capicúa de 4 cifras que sea cubo perfecto.
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Rpta. : "D"
PROBLEMA 20 :
¿Cuántos pares de enteros positivos m y n satisfacen: m²+n²=111 ... 111?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Infinito
Rpta. : "A"
