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POTENCIACION ARITMETICA - CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF























Potenciación Cuando los antiguos griegos multiplicaban un número por sí mismo lo hacían únicamente para calcular la superficie de un cuadrado cuyo lado midiese la cantidad indicada por dicho, número. Por eso hoy, cuando multiplicamos un número por sí mismo, decimos que lo elevamos "al cuadrado", aunque no estemos calculando ninguna superficie. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Lo mismo pasa con la expresión "elevar al cubo", aunque en este caso los griegos se referían al volumen de un cubo. OBJETIVOS Al finalizar el presente capítulo. el lector estará en la capacidad de: Reconocer cuando un número es una potencia perfecta de grado n Deducir los criterios de inclusión y exclusión de los cuadrados y cubos perfectos. 12.1 DEFINICIÓN La Potenciación es una operaclO,n directa, que consiste en repetir como factor un número real a llamado BASE. tantas veces como lo indica un número natural n > 1, llamado EXPONENTE. Al resultado de la operación se le llamará Potencia de grado n del número a, o enésima potencia de a . Representaci6n: a n = axaxax ......... xa = P ... ' V n veces Términos: a es la base n es el exponente P es la potencia de grado "n" del número a . Ejemplos: * 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 2 es la base 5 es el exponente 32 es la quinta potencia de 2 o potencia de grado 5 de 2. · (;f donde: 53 es la base 4 es el exponente 81 3 625 es la cuarta potencia de 5 • (J2)3 = J2 .J2 .J2 = J8 J2 es la base 3 es el exponente 81 625 J8 es la tercera potencia de J2 ó cubo de J2 * 132 = 13 x 13 = 169 13 es la base 2 es el exp onente 169 es la segunda potencia de 13 ó cuadrado de 13. Ampliación de la Definición: 1. Se aceptará que a 1 = a x 1 para todo número real a. Ejemplo: 7 1 = 7 x 1 = 7 3 3 - x 1 = - 8 8 2. Se aceptará que aO = de cero. para todo número real a diferente Ejemplo: (;r 1 3. De la definición: 1 n = 1 para todo número n 15=lxlxlxlxl= 12004 = 1 4. Se aceptará que: para todo número n diferente de cero'. 0 7 = O 0 5001 = O 5. En (2) si se aceptara que a fuera O. daría 0° = 1 Y en (4) si se aceptara que n fuera O, daría 0° = O. Luego. para evitar esta ambigüedad: 0° no se define. (Algunos por conveniencia aceptan que 0° = l . para ciertas aplicaciones) . 12.2 CUADRADOS PERFECTOS Diremos que un número N es cuadrado perfecto. sí y sólo sí. N proviene de elevar al cuadrado un número racional. Ejemplo: 169 es un cuadrado perfecto porque: 169 = 132 0 .09 es un cuadrado perfecto porque: 0 ,09 = (0 .3)2 25 81 es un cuadrado perfecto porque, ~~ = ( ~ r O es un cuadrado perfecto porque: O = 02 2 no es un cuadrado perfecto porque aunque: 2 = (J2)2 ; J2~Q Nota: En la mayoría de problemas, cuando. se refieran a un cuadrado perfecto. generalmente se refieren a los enteros positivos cuadrados perfectos. 12.2.1 REPRESENTACIÓN: Si N es un entero positivo cuadrado perfecto. escribiremos: N = K2 donde k es un entero diferente de cero . Los primeros cuadrados perfectos enteros positivos provienen de: 12 22 32 42 52 ; .. .. ..... ........ . ... y serían: 1 4 9 16 25 36: 49 64: 81 ; 100 ; 121: 144; 169; 196: 225 ; 256; 289; 324; 361; 400 ... como podemos observar los enteros positivos que son cuadrados perfectos sólo pueden acabar en las cifras: 1 : 4 ; 9 ; 6 ;' 5 ó O. Por lo tanto ningún cuadrado perfecto puede acabar en 2 , ni, en 3; ni en 7, ni en 8 . 12.2.2 CONDICIÓN: Para que un número entero positivo sea cuadrado perfecto, es necesario y suficiente que al descomponerlo canónicamente (producto de potencias de factores primos). todos los exponentes respectivos sean PARES (múltiplos de 2) Sea N = A y u 1 x A2 u2 x . . ... . . x Ar ur (Descompuesto canónicamente) ai = 2, 'ti i = 1, ... . , r Ejemplos: 1. N = 480 x 30, descompuesto canónicamente se tiene: N = 26 x 32 x 52 Como se ve, todos los exponentes de los factores primos son pares. Luego: N es cuadrado perfecto . 2. M = lO! , descompuesto canónicamente se tiene: M = 28 x 34 x 52 x 7 1 Como se ve, no todos los exponentes de los factores primos son pares. Luego: M no ~s cuadrado perfecto. Propiedad <=> Cantidad de divisores positivos de N es impar EJERCICIOS: 1. ¿Por qué número entero, como IIl1nlmO, se le debe multiplicar al número: 232848 para que el resultado sea cuadrado perfecto? Resolución: Descomponiéndolo canónicamente se tiene: 232848 = 24 x 33 x 72 x 11 nos damos cuenta que no todos los factores primos tienen exponentes pares. (El exponente de 3 y el de 11 son impares) Para que todos los exponentes sean pares (y el resultado sea cuadrado perfecto) 232848 se debe multiplicar como mínimo por: 3 x 11 = 33. con lo cual obtenemos: 232848 x 33 = 24 x 33 x 72 x 11 x 3 x 11 = 24 x 34 x 72 x 112 = k 2 Luego: La respuesta es 33 2. Hallar el menor número entero divisible por: 7 y tal que la suma de su tercera parte más su quinta parte. nos de cómo resultado un entero positivo cuadrado perfecto. Sea N el número: Por dato: !:i +!:i = k 2 3 5 8N = k2 15 8N o Para que 15 sea un entero cuadrado perfect(~; N = 15 (para que simplifique el denominador) ; N = 2 (porque 8 = 23 Y le falta un factor 2 para que el exponente de 2 sea par) y como N = -7 entonces N debe contener a 72 . Luego el valor mínimo de N será: N= 15x2x72 = 1470 12.2.3 CRITERIOS DE EXCLUSiÓN DE CUADRADOS PERFECTOS Son reglas que nos permiten saber qué números no pueden ser cuadrados perfectos. por ciertas características observadas en ellos . 1. Si un número entero positivo termina en 2 ; Ó en 3 Ó en 7 Ó en 8 no es cuadrado perfecto . Por ejemplo De los siguientes números (1) 253762 ; (2) 514384 ; (3) 519637 ; (4) 5180048 ; (5) 6143723; (6) 516325 no son cuadrados perfectos (1) ; (3) ; (4) ; Y (5) Pueden ser cuadrados perfectos: (2) ; Y (6) . Si un número entero positivo termina en 5 . pero su cifra 2. de decenas no es 2 o su cifra de tercer orden no es : O. 2 Ó 6 . entonces dicho número no es cuadrado perfecto. Esto se deduce del análisis del cuadrado de todo número terminado en 5 . ~ = (lOa + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100(a)(a + 1) + 25 .. a52 = la x (a + 1))25 . donde a : es una cadena numérica de 1 ó más cifras Luego el cuadrado de un número terminado en 5 . siempre termina en 25 . Ejemplos: a. 417315;t k2 (Cifra de segundo orden distinto a 2) b. 384325 #- k2 (cifra de tercer orden es 3) 3. Si un riúmero termina en un número impar de ceros. no es cuadrado perfecto. Eslo se sabe porque el cuadrado de un número que termina en "n" ceros terminará en (2n) ceros . Así: 902 = 8100 12002 = 1440000 Pero 36000 no es cuadrado perfecto porque termina en tres ceros Si un número entero positivo en divisible por un número 4. primo "p" pero no es divisible por "p2". no es cuadrado perfecto. 5. Esto es debido a que en su descomposición en factores primos. el número contendría el factor primo "p" elevado a la uno (impar). Ejemplo: N = 25874 no es cuadrado perfecto P orque N = 20 ¿l, etrIT·Il na en 4) pero N no es (?2) 4° porque 74 nO,es 4 Si un número impar. al dividirlo entre 4 no deja residuo l . no es cuadrado perfecto. Esto es debido a que si un impar: (2n - 1) se eleva al cuadrado. da (2n - 1)2 = 4n2 - 4n + 1 = 4 + 1 Luego todos los impares cuadrados perfectos son 4° + 1 12.2.4 ALGUNAS CURIOSIDADES SOBRE LAS CIFRAS DE. LOS CUADRADOS PERFECTOS 1. Si los enteros 1, 2 . 3. 4. 5 . 6 . 7 . 8 . 9 .... se elevan al cuadrado O. 1. 4. 9. 16. 25. 36. 49.64.81. 100 121. 144. 169. 196 . .. se observa la siguiente ley: La cifra de las unidades de estos cuadrados forman un periodo simétrico. O. l . 4 . 9 . 6 . 5. 6 . 9 . 4 . 1, O con cifras iguales con relación a 5 o a O. 2 . Las dos últimas cifras de los cuadrados consecutivos forman un periodo de 51 números 00. 01.04.09. 16 .... 76.25. 76 .. ... 16. 09. 04. 01 . 00 simétricos con relación a 25 o a OO. Esta observación se extiende indefinidamente. Las tres últimas cifras de los cuadrados perfectos consecutivos forman un periodo de 50i números. Las cuatro últimas , forman un periodo de 2501 números. etc . 3 . Hay algunos cuadrados que están escritos con cifras toda s diferentes . Ejemplo: 132 = 169 362 = 1296 2862 = 81796 3222 = 103684 10272 69012 101242 320432 4 . Los pares de cuadrados perfectos: = 1054729 = 47623801 102495376 = 1026753849 144 Y 441. 169 Y 961 . 14884 Y 48841 y sus respectivas raíces: 12 y 21. 13 Y 31. 122 Y 221. están formados por las mismas cifras. pero escritas en orden inverso. El matemático Thébault investigó los pares que tienen esta curiosa propiedad encontró por ejemplo la siguiente pareja: 11132 = 1.238.769 Y 31112 = 9 .678.321 12.2.5 PROBLEMAS RESUELTOS l. Se escriben cuatro cifras consecutivas crecientes. de izquierda a derecha. luego se permutan las dos primeras y el número de cuatro cifras así formado es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es éste número? Resoluci6n: Sean las cifras: ara + 1Ha + 2Ha + 3) a$;6 Por dato: (a + 1 Ha)(a + 2)(a + 3) = K2 Descomponiendo polinómicamente y reduciendo términos semejantes. 1111 a + 1023 = K2 Corno 1111 Y 1023 tienen factor común 11 11(101 a + 93) = K2 Por la condición de cuadrado perfecto: (10 1 a + 93) por lo menos debe contener a un factor 11 y será de la forma: 101a + 93 = 11 n 2 • Luego. aplicando divisibilidad por 11 : o o (Note que 10 1 = 11 + 2 Y 93 = 11 + 5) o 2a + 5;::; 11 Y como a :::; 6 ~ 2a + 5 ;::; 11, de donde I a = 3 El número sería: 4356 que comprobando es: 662 = 4356 2. Hallar el número de cuatro cifras de la forma: aabb sabiendo que es cuadrado perfecto. Resolución: Por dato: aabb;::; K2 (a y b :::; 9) Descomponiendo polinómicamente y reduciendo términos semejantes. 1100a + 1 1 b ;::; K2 Factorizando: 11 x (1 OOa + b) = K2 . .. (a) Por condición de cuadrado perfecto, 100a + b ;::; l1n2 con n E Z+ Aplicando divisibilidad por 11 : (note que 100;::; 11 + 1) a + b;::; 11 Y como a y b :::; 9 a+b=ll ... «(3) Analizando las posibilidades y eliminando los que no pueden ser cuadrados perfectos: aabb = K2 9922 8833' 7744 6655 5566 (No; porque termina en 2) (No; porque termina en 3) o o (Puede ser porque es 2 y 4) (No; porque termina en 55) o o (No; porque es 2 pero no 4) 4477 3388 (No; porque termina en 7) (No; porque termina en 8) o 2299 (No; porque es impar y 99 = 4 + 3) Luego, el único valor posible es 7744, que comprobando es 882 7744 = 882 Nota: Otra forma de llegar a la respuesta sería de (/3) : b = 11 - a reemplazar en (a). 11 (1 OOa + 11 - a) = K2 112(9a + 1) = K2 De donde: 9a + 1 = n 2 ~ 9a = n 2 - 1 Factorizando: 9a = (n + l)(n - 1) y como: (n t 1) Y (n - 1) se diferencian en 2, (ambos no pueden ser 3) se deduce que: a = 7, luego b = 11 - 7 = 4 Y aabb = 7744 = 882 3. Hallar el número de cuatro cifras (no necesariamente diferentes) de la forma: abcd sabiendo que es cuadrado perfecto y que: ab - cd = l . Resoluci6n: Por dato: abcd = k 2 Descomponiendo polinómicamente, en bloques: 100 x ab + cd = K2 Reemplazando: ab = cd + 1 , se tiene: 100 x cd + 100 + cd = K2 ó 101 x c d = K2 - 102 factorizando: "el 2° miembro es una diferencia de cuadrados" 101 xcd = (K + 10)(K - 10) Como (K + 10) Y (K - 10) se diferencian en 20 y 101 es primo. se deduce que cd = 101 - 20 = 81 Y ab = 8 1 + 1 = 82 Comprobando: abcd = 8281 = 91 2 4. Hallar el número de seis cifras de la forma: 7ab5cO sabiendo que es cuadrado perfecto. Resolución: Para que el número pueda ser cuadrado perfecto c debe ser O y 7 a b 5 debe ser cuadrado perfecto. Para que 7 a b 5 pueda ser cuadrado perfecto. b debe ser 2 y 7 a debe ser un producto de 2 números enteros consecutivos. Luego 7 a = 8 x 9 = 72. Luego el número es: 72 2500 = 8502 5. Sea x la cifra de primer orden que resulta de convertir un cuadrado perfecto a la base nueve. Hallar la suma de los distintos valores que puede tomar x . Resolución: Se pide: k 2 -- . ....... x(9) Sea k en Z. módulo: 9 Luego k puede ser de la forma: o o o o o 9 . 9 ± 1. 9 ± 2, 9 ± 3. 9 ± 4 Se tiene que k2 puede ser de la forma: o o o o 9. 9 + l. 9 + 4. 9 + 7 Esto es: k 2 = ....... 0(9)' ....... 1(9)' ...... . 4(9) ' ....... 7(9) Luego los valores de x pueden ser: O ó 1 ó 4 ó 7 :. L valores posibles es: 12 12.3 CUBOS PERFECTOS Diremos que un número N es un cubo perfecto. si y solo sí. N proviene de elevar al cubo. un número racional. Ejemplos: 343 es un cubo perfecto porque: 343 = 73 = 7 x 7 x 7 0.008 es un cubo perfecto porque: 0 .008 = (0.2)3 27 125 es cubo perfecto porque: ( ) 3 27 3 125 = 5" O es cubo perfécto porque: 0=03 (- 64) es cubo perfecto porque: (-64) = (_4)3 Nota: En la mayoria de casos. cuando hablan de cubos perfectos se están refiriendo a enteros positivos cubos perfectos . 12.3.1 REPRESENTACIÓN Si N es un entero positivo que es cubo perfecto. escribiremos: N = K3 donde K es un entero positivo diferente de cero. Los primeros enteros positivos que son cubos perfectos provienen de: 13 ; 2 3 ; 33 ; 4 3 ; etc. y son: 1; 8; 27; 64; 125; 216; 343; 512; 729; 1000; .. .. 1331 ; 1728; ..... Como podemos observar los cubos perfectos pueden acabar en cualquier cifra. (No podemos excluir por la cifra final) 12.3.2 CONDICIÓN Para que un número entero positivo sea cubo perfecto es necesario y suficiente que ~l descomponerlo canónicamente, todos los exponentes sean 3 (múltiplos de 3). Sea N = A 1 u 1 x A 2 U2 x .... ... x Ar ur (Descompuesto ca nónicamente) <=>