Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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ECUACIONES Y SISTEMAS EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

Resuelve las siguientes ecuaciones. M.c.m. de los denominadores 4 y 6: 12 Se multiplica la ecuación por 12: 3x 2x 240 Se reducen términos semejantes: 5x 240 Se divide por 5: x 48. b) 4 x 1 2 3 x 2 1 2x ⇒ x 4 4 2 3 x 2 1 2x Se simplifica: x 2 4 1 3 x 2 1 2x ⇒ x 6 4 x 2 1 2x Se multiplican por 6 la ecuación: x 4 3x 3 12x Se reducen términos semejantes: 1 14x Se divide por 14: x 1 1 4 c) 2x 3 3 7x 4 5 7 M.c.m. los denominadores 3 y 4: 12 Se multiplican la ecuación: 8x 12 21x 15 84 Se reducen términos semejantes: 29x 87 Solución: x 3 d) 1 2(x 5 1) 3(2 2 x) 1 2x 5 2 6 2 3x ⇒ 10 4x 4 30 15x ⇒ 11x 16 ⇒ x 1 1 6 1 Calcula la solución de estas ecuaciones. a) x2 10x 24 3 c) x2 2x 0 e) 2x 6 2x(x 2) b) 5x2 9x 4 0 d) x(2x 5) 6 x f) x2 9 2x2 a) x 2 10x 24 3 ⇒ x 2 10x 21 0 x 10 2 16 10 2 4 b) 5x 2 9x 4 0 x 9 1 0 1 c) x 2 2x 0 ⇒ x( x 2) 0; x 0 ó x 2 d) x(2x 5) 6 x ⇒ 2x 2 5x 6 x ⇒ 2x 2 4x 6 0 ⇒ x 2 2x 3 0 x 2 2 4 e) 2x 6 2x(x 2) ⇒ 2x 6 2x 2 4x ⇒ 2x 2 2x 6 0 ⇒ x 2 x 3 0 x 1 2 11 No tiene solución. f) x 2 9 2x 2 ⇒ 3x 2 9 ⇒ x 2 3 ⇒ x 3 1 1 2 4 1 3 2 1 3 1 2 ( 2)2 4 1 ( 3) 2 9 ( 9)2 4 5 4 2 5 73 10 ( 10)2 4 1 21 2 1 3.2 3.1 1 1 8 0 4 5 Resuelve las siguientes ecuaciones. a) x4 5x2 4 0 d) x6 64x3 0 b) x6 10x3 9 0 e) 4x2 8x 0 c) x4 26x2 25 f) 3x3 12x2 12x 0 a) x2 z; x4 z2 ⇒ z2 5z 4 0 z 5 2 3 b) x3 z; x6 z2; z2 10z 9 0 z 10 2 8 c) x2 z ⇒ x4 z2; z2 26z 25 0 z 26 2 24 d) x3(x3 64) 0 ⇒ x3 0 ⇒ x 0 ó x3 64 ⇒ x 4 e) 4x(x 2) 0 ⇒ x 0 ó x 2 f) 3x(x2 4x 4) 0 ⇒ x 0 ó x 4 2 0 2 ⇒ Raíz doble Halla las soluciones de estas ecuaciones. a) x3 2x2 x 2 0 b) x3 6x2 3x 10 0 a) 1 1 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 3 2 0 Soluciones: x 1, x 1 y x 2 b) 1 1 6 3 10 1 1 1 7 10 1 1 7 10 0 Soluciones: x 1, x 2 y x 5 Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones racionales. a) —2 x — — 2 x x 3 — 1 b) — x x 1 — — x 2 2 — 3 a) 2 x( ( x x 3 3 ) ) ( x 2 (x x 3 )x ) x x ( ( x x 3 3 ) ) ⇒ 2x 6 2x x2 x2 3x ⇒ 3x 6 ⇒ x 2 b) (x x(x 1) (x 2 ) 2) (x 2(x 1) (x 1 ) 2) 3 ( ( x x 1 1 ) ) ( ( x x 2 2 ) ) ⇒ x2 2x 2x 2 3x2 9x 6 ⇒ 2x2 5x 4 0 x 5 4 7 ⇒ No existe solución. 5 5 2 4 2 4 2 2 3.5 3.4 4 ( 4)2 4 1 4 2 1 26 ( 26)2 4 1 25 2 1 10 ( 10)2 4 1 9 2 1 5 ( 5)2 4 1 4 2 1 3.3 P(x) (x 1)(x2 3x 2) x 3 2 1 1 2 3 3 2 4 1 2 2 1 P(x) (x 1)(x2 7x 10) x 7 2 3 5 2 7 ( 7)2 4 1 10 2 1 4 ⇒ x2 4 ⇒ x 2 1 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 9 ⇒ x3 9 ⇒ x 3 9 1 ⇒ x3 1 ⇒ x 1 25 ⇒x2 25 ⇒ x 5 1 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 Resuelve estas ecuaciones radicales. a) x 2 5x 1 x 2 b) 4 0 x 2 4 x c) 2 x 1 x 4 6 d) 6 x 2x 2 a) x2 5x 1 2 (x 2)2 ⇒ x2 5x 1 x2 4x 4 ⇒ x 3 Comprobación: 32 5 3 1 3 2 b) 4 0 x 2 2 (x 4)2 ⇒ 40 x2 x2 8x 16 ⇒ 2x2 8x 24 0 x2 4x 12 0 ⇒ x 4 2 8 Comprobación: x 6 ⇒ 4 0 62 4 6 ⇒ Sí es correcto. x 2 ⇒ 4 0 ( 2)2 4 2 ⇒ No es correcto. c) 2 x 1 2 6 x 4 2 ⇒ 2x 1 36 12 x 4 x 4 ⇒ 12 x 4 2 (41 x)2 144(x 4) 1681 82x x2 ⇒ 144x 576 1681 82x x2 ⇒ x2 226x 1105 0 x 226 2 216 Comprobación: x 5 ⇒ 2 5 1 5 4 6 ⇒ Sí es correcto. x 221 ⇒ 2 221 1 2 21 4 21 15 6 ⇒ No es correcto. d) 6 x 2 ( 2 2x)2 ⇒ 6 x 4 8x 4x2 ⇒ 4x2 7x 2 0 x 7 8 9 Comprobación: x 1 4 ⇒ 6 1 4 2 1 4 5 2 1 2 3 ⇒ No es correcto. x 2 ⇒ 6 2 2( 2) 2 4 2 ⇒ Sí es correcto. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2 log2x 10 b) logx 625 4 c) 3 logx 6 d) ln (3 x) 0 a) 2 log2 x 10 ⇒ log2 x 5⇒ x 25 ⇒ x 32 b) logx 625 4 ⇒ x4 625, luego x 5 c) 3 log x 6 ⇒ log x 2 ⇒ x 10 2 ⇒ x 0,01 d) ln(3 x) 0 ⇒ 3 x 1⇒ x 2 Encuentra la solución de estas ecuaciones. a) logx log 50 4 b) logx log 100 0 c) logx3 2 logx log10 d) log3x 1 0 a) log 50x 4 ⇒ 50x 104 ⇒ 50x 10 000 ⇒ x 200 b) log x log 100 0 ⇒ log x log 100 ⇒ log x 2 ⇒ x 10 2 ⇒ x 0,01 c) log x3 2 log x log 10 ⇒ log x x 3 2 log 10 ⇒ log x log 10; luego x 10 d) log 3x 1 ⇒ 10 3x ⇒ x 1 3 0 3.8 3.7 7 7 2 4 4 ( 2 ) 2 4 221 5 226 ( 226) 2 4 1 110 5 2 1 6 2 4 ( 4)2 4 1 ( 12) 2 1 3.6 1 4 2 ¿Es correcto el proceso de resolución de estas ecuaciones? En caso contrario, indica el error. a) log (x 1) log2 logx ⇒ log — x 2 1 — logx ⇒ — x 2 1 — x ⇒ x 1 2x ⇒ x 1 b) log (x 2) log2 logx ⇒ log (x 2)2 logx ⇒ (x 2)2 x ⇒ x2 5x 4 0 ⇒ x 4, x 1 a) Correcto. b) Error: log (x 2) log 2 log (x 2)2 Encuentra la solución de estas ecuaciones. a) 4 5x 500 b) 5 52x 2500 c) 62x 2 46656 d) 7 3x 1 567 a) 4 5x 500 ⇔ 5x 125 ⇔ 5x 53 ⇔ x 3 b) 5 52x 2500 ⇔ 52x 500 ⇔ log5 (52x) log5 500 ⇔ 2x log5 500 ⇔ x 2 lo g l 5 o 0 g 0 5 c) 62x 2 46 656 ⇔ 62x 2 66 ⇔ 2x 2 6 ⇔ 2x 4 ⇔ x 2 d)7 3x 1 567 ⇔ 3x 1 81 ⇔ 3x 1 34 ⇔ x 1 4 ⇔ x 5 Resuelve estas ecuaciones exponenciales. a) 2x 2x 1 384 b) 5x 5x 1 5x 2 775 c) 9x 10 3x 1 81 0 d) 4x 9 2x 20 a) 2x 2 2x 3 27 ⇔ (1 2)2x 3 27 ⇔ 2x 27 ⇔ x 7 b) 5x 5 5x 25 5x 775 ⇔ (1 5 25) 5x 775 ⇔ 31 5x 775 ⇔ 5x 25 ⇔ x 2 c) (3x)2 10 3 3x 81 0; Llamamos 3x u ⇔ u2 30u 81 0 ⇔ u 30 2 24 d) (2x)2 9 2x 20; Llamamos 2x u ⇔ u2 9u 20 0 ⇔ u 9 2 1 Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales. a) b) a) ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ 22x 22 ⇒ x 1 y 7 6 ⇒ y 1 4x 3y 1 18x 3y 21 4x 2 9 8 3y 6x y 7 5x 20 ⇒ x 4 2y 6 ⇒ y 3 9x 8y 60 4x 8y 40 9x 8y 60 x 2y 10 2(2x 1) 9 8 3y 6x y 7 — 3 4 x— — 2 3 y — 5 —x 2 — y 5 3.12 5 ⇔ 2x 5 ⇔ log2 (2x) = log2 5 ⇔ x = l l o o g g 5 2 4 ⇔ 2x 4 ⇔ 2x = 22 ⇔ x 2 9 ( 9)2 4 1 20 2 1 27 ⇔ 3x 27 ⇔ 3x 33 ⇔ x 3 3 ⇔ 3x 3 ⇔ 3x 31 ⇔ x 1 30 ( 30)2 4 1 81 2 1 3.11 3.10 3.9 Indica de qué tipo son estos sistemas según el número de soluciones que tienen. a) b) a) Las rectas coinciden en todos sus puntos; por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones, es decir, es un sistema compatible indeterminado. b) El sistema es compatible determinado. Tiene una única solución en el punto (2, 1). Encuentra las soluciones de estos sistemas. a) b) c) d) a) ⇒ ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ c) ⇒ ⇒ d) ⇒ ⇒ 2 log x 0 ⇒ x 1 0 2 2 log y ⇒ log y 1 ⇒ y = 10 log x log y 1 log x log y 1 log x2 2 2 log y log x y = 1 log x3 log x 2 ⇒ log x x 3 2 ⇒ log x2 2 ⇒ 2 log x 2 ⇒ log x 1 ⇒ x 10 log y 4 log 10 ⇒ log y 3 ⇒ y 1000 log x3 log y 6 log x log y 4 log x3 log y 6 log (xy) 4 11 3y 33 ⇒ 3y 3 ⇒ y 1 2x 1 9 1 ⇒ 2x 1 8 ⇒ x 1 3 ⇒ x 2 2x 1 3 3y 1 2x 1 8 3y 32 2x 1 3y 1 1 2x 1 8 3y 32 5y 5 ⇒ y 1 2x 3 5 8 ⇒ x 3 2x 3 5y 12 4 5y 5 5y 7 2x 3 5y 4 (3 5y) 5 5y 7 2x 5y 3 4 2x 5 5y 7 log x2 2 2 logy log — x y — 1 log x3 log y 6 log (xy) 4 2x 1 3y 1 1 2x 1 8 3y 32 2x 5y 3 4 2x 5 5y 7 3.14 x 2y 4 3x y 5 x 2y = 3 3x 6y 9 x 2y 4 3x y 5 x 2y 3 0 3x 9 6y 3.13 1 1 O Y X 1 5 O Y X Resuelve estos sistemas. a) c) b) d) a) ⇒ ⇒ ⇒ b) ⇒ c) ⇒ No tiene solución. d) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2u2 u 36 0 ⇒ u 1 4 17 ⇒ y 2 x 3 ó y 2 x 3 R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S La leche desnatada de una determinada marca contiene un 0,25% de materia grasa, y la leche entera, un 4%. Calcula la cantidad que hay que mezclar de cada tipo para conseguir leche semidesnatada con un 1,5% de grasa. Cantidad de leche desnatada: x grasa 0 1 ,2 0 5 0 x Cantidad de leche entera: y grasa 1 4 0 y 0 0 1 ,2 0 5 0 x 1 4 0 y 0 1,5( 1 x 0 0 y) ⇒ 0,25x 4y 1,5x 1,5y ⇒ 2,5y 1,25x ⇒ x 2y Doble cantidad de leche desnatada que de entera. Un peluquero quiere conseguir una disolución de agua oxigenada al 6%. Dispone de dos botellas, una al 3% y otra al 33%. ¿Cómo debe realizar la mezcla para obtener la disolución que desea? ¿Qué cantidades necesita para lograr aproximadamente un litro? Tipo I: x 0,03x 0,33y 0,06(x y) ⇒ 0,03x 0,33y 0,06x 0,06y Tipo II: y 0,27y 0,03x ⇒ x 9y Nueve partes de la primera agua oxigenada por cada parte de la segunda. Para lograr un litro: 0,9 litros al 3% y 0,1 litros al 33%. 3.17 3.16 1 1 2 4 2 ( 3 6) 2 2 3 y 6 2 2 y y 2 4 y y 2 2 ⇒ 2y4 y2 36 0 Llamo u y2 u2 y4 3 y 6 2 2y2 1 x 6 y x2 2y2 1 xy 6 ( x 1)2 2x2 x 6 ⇒ x2 2x 1 2x2 x 6 (x 2x 1)2 x(2x 1) 6 y 2x 1 (x y)2 xy 6 2x y 1 4x2 4 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 y2 4 ⇒ y 2 3x2 y2 1 x2 y2 5 x 2 y 1 x 2 y 1 4y2 2y2 6 ⇒ y2 1 ⇒ y 1 x 2 x2 xy 6 x 2y x2 xy 6 x 2y 0 x2 2y2 1 xy 6 3x2 y2 1 x2 y2 5 (x y)2 xy 6 2x y 1 x2 xy 6 x 2y 0 3.15 x2 x 5 0 ⇒ x 1 1 4 1 5 2 4 ⇒ y2 4 ⇒ y 2 2 9 ⇒ y2 2 9 ⇒ No tiene solución. A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Ecuaciones de primero y segundo grado Resuelve estas ecuaciones lineales. a) 4x 3 7x 19 b) — 4 3x— —1 2 — 5x 26 c) 5(2x 1) 3x 2 (6x 4) 7 d) — 4 5 x x 3 1 — — 1 9 6 — e) — x 6 3— —2x 3 1— —1 4 — — x 1 2 5— —2 3 — f) — 3(x 5 2) — 2( 3x 1) —2 5 — — 4x 15 3— — 1 3 6— a) 4x 3 7x 19 ⇒ 11x 22 ⇒ x 2 b) 4 3x 1 2 5x 26 ⇒ 3x 2 20x 104 ⇒ 17x 102 ⇒ x 6 c) 5(2x 1) 3x 2 (6x 4) 7 ⇒ 10x 5 3x 2 6x 4 7 ⇒ x 8 d) 4 5 x x 3 1 1 9 6 ⇒ 16(4x 3) 9(5x 1) ⇒ 64x 48 45x 9 ⇒ 19x 57 ⇒x 3 e) x 6 3 2x 3 1 1 4 x 1 2 5 2 3 ⇒ 2x 6 8x 4 3 x 5 8 ⇒ 9x 18 ⇒x 2 f) 3(x 5 2) 2( 3x 1) 2 5 4 1 x 5 3 1 3 6 9x 18 90x 30 6 4x 3 80 ⇒ 77x 77 ⇒ x 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores. a) 3(2x 5) 8x 6 —x 2 — (5x 3) b) — 3(x 2 3) — 2(2 3x) 8x 1 2(x 3) c) — x 5 4— 4( 2x 1) —( 4x 10 2) — 2(x 3) —5x 2 6— d) — 6 2 7 (x x 3) — — 8 4 — a) 3(2x 5) 8x 6 2 x (5x 3) ⇔ 12x 30 16x 12 x 10x 6 ⇔ 37x 36 ⇔ x 3 3 6 7 b) 3(x 2 3) 2(2 3x) 8x 1 2(x 3) ⇔ 3x 9 8 12x 16x 2 4x 12 ⇔ 3x 15 ⇔ x 5 c) x 5 4 4( 2x 1) ( 4 1 x 0 2) = 2(x 3) 5x 2 6 ⇔ x 5 4 8x 4 4 1 x 0 2 2x 6 5x 2 6 ⇔ 2x 8 80x 40 4x 2 20x 60 25x 30 ⇔ 41x 20 ⇔ x 2 4 0 1 d) 6 2 7 (x x 3) 8 4 ⇔ 6 2x 6 14x ⇔12x 12 ⇔ x 1 3.19 3.18 Clasifica en tu cuaderno las siguientes ecuaciones de segundo grado según el número de soluciones distintas que tengan. a) 5x2 6x 2 0 b) 3x2 4x 5 0 c) x2 6x 1 0 d) x2 5 0 a) b2 4ac 36 4 5 2 0 ⇒ a) I b) b2 4ac 16 4 ( 3) 5 0 ⇒ b) III c) b2 4ac 36 4 1 1 0 ⇒ c) III d) b2 4ac 0 4 ( 5) 1 0 ⇒ d) III Calcula la solución de las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 6x2 11x 3 0 b) x2 6x 7 0 c) x2 6x 9 0 d) 2x2 2x 24 0 e) 3x2 x 5 0 f) 4x2 4x 1 0 a) x 11 1 2 7 b) x 6 2 8 c) x 6 2 0 3 ⇒ Raíz doble. d) x2 x 12 0 ⇒x 1 2 7 e) x 1 6 59 ⇒ No tiene solución. f) x 4 8 0 2 1 ⇒ Raíz doble. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado utilizando un procedimiento diferente de la fórmula general. a) 3x2 27 0 b) x2 2x 1 0 c) 7x2 —5 2 — x 0 d) (x 2)2 25 0 a) 3x2 27 ⇒ x2 9 ⇒x 3 b) x2 2x 1 0 ⇒ (x 1)2 0 ⇒ x 1 0 ⇒ x 1⇒ Raíz doble c) x 7x 5 2 0 ⇒x 0 ó 7x 5 2 0 ⇒ x 1 5 4 d) (x 2)2 25 ⇒ x 2 5 ⇒ x 7 x 2 5 ⇒ x 3 3.22 4 4 2 4 4 1 2 4 1 1 2 4 3 5 2 3 4 3 1 ( 1)2 4 1 ( 12) 2 1 6 ( 6)2 4 1 9 2 1 7 1 6 ( 6)2 4 1 ( 7) 2 1 11 ( 11)2 4 3 6 2 6 3.21 3.20 I. 0 soluciones II. 1 solución III. 2 soluciones 1 1 8 2 3 2 1 4 2 1 3 Halla la solución de estas ecuaciones de segundo grado. a) — 3 2 x2— —4x 4 1— — 2x(x 6 3) — — 1 1 7 2 — b) 3x2 4x 5(x2 2) — 3x(x 2 2) — 14 c) 6x2 1 — 2x( x 3 3) — —5x2 6 2— 4x2 — 5 6 9— d) — 3( x 5 2) — 4x — 2x 3 1— x( 3x 1) —1 2 — e) —3x 5 1— — 4x 1 3 5 — a) 3 2 x2 4x 4 1 2x(x 6 3) 1 1 7 2 18x2 12x 3 4x2 12x 17 ⇒ 14x2 14 ⇒ x2 1 ⇒x 1 b) 3x2 4x 5(x2 2) 3x(x 2 2) 14 ⇒ 6x2 8x 10x2 20 3x2 6x 28 ⇒ 13x2 2x 48 0 x 2 26 50 c) 6x2 1 2x( x 3 3) 5x2 6 2 4x2 5 6 9 36x2 6 4x2 12x 5x2 2 24x2 59 ⇒ 51x2 12x 63 0 ⇒ 17x2 4x 21 = 0 x 4 3 4 38 d) 3( x 5 2) 4x 2x 3 1 x( 3x 1) 1 2 18x 36 80x2 40x = 90x2 30x 15 ⇒ 10x2 8x 51 0 x 8 2 0 1976 ⇒ No tiene solución. e) 3x 5 1 4x 1 3 5 ⇒ (3x 1)(4x 5) 65 ⇒ 12x2 15x 4x 5 65 ⇒ 12x2 11x 70 0 x 11 2 4 59 Resolución de otros tipos de ecuaciones Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando un cambio de variable. a) x4 13x2 36 0 b) 3x4 15x2 12 0 c) x6 7x3 8 0 d) x6 2x3 1 0 e) x8 17x4 16 0 f) x10 31x5 32 0 a) x4 13x2 36 = 0 Cambio: u x2 u2 x4 ⇒ u2 13u 36 0 u 13 2 5 b) 3x4 15x2 12 0 Cambio: u x2 u2 x4 ⇒ 3u2 15u 12 0 ⇒ u2 5u 4 = 0 u 5 2 3 5 ( 5)2 4 1 4 2 1 13 ( 13)2 4 1 36 2 1 3.24 11 1 12 4 12 ( 70 ) 2 12 8 8 2 4 10 5 1 2 10 4 4 2 4 17 ( 21) 2 17 2 ( 2)2 4 13 ( 48 ) 2 13 3.23 2 2 4 6 8 1 2 3 4 1 3 4 4 2 1 2 7 1 2 2 7 4 0 1 3 2 5 9 ⇒ x2 9 ⇒ x 3 4 ⇒ x2 4 ⇒ x 2 1 ⇒ x2 1 ⇒ x 1 4 ⇒ x2 4 ⇒ x 2 c) x6 7x3 8 0 Cambio: u x3 u2 x6 ⇒ u2 7u 8 0 u 7 2 9 d) x6 2x3 1 0 Cambio: u x3 u2 x6 ⇒ u2 2u 1 0 u 2 2 0 1 ⇒ x3 1 ⇒ x 1 e) x8 17x4 16 0 Cambio: u x4 u2 x8 ⇒ u2 17u 16 0 u 17 2 15 f) x10 31x5 32 0 Cambio: u x5 u2 x10 ⇒ u2 31u 32 0 u 31 2 33 Encuentra la solución de estas ecuaciones por factorización. a) 2x3 4x2 18x 36 0 b) 4x3 24x2 48x 32 0 c) 3x4 3x3 12x2 12x 0 d) 6x4 5x3 43x2 70x 24 0 a) 2x3 4x2 18x 36 0 Soluciones: x 2, x 3 y x 3 b) 4x3 24x2 48x 32 0 Solución x 2 raíz triple c) 3x4 3x3 12x2 12x = 0 Soluciones x 0, x 1, x 2 y x 2 d) 6x4 5x3 43x2 70x 24 0 x 11 1 2 5 Soluciones: x 2, x 3, x 4 3 y x 1 2 11 ( 11)2 4 6 4 2 6 3.25 31 ( 31)2 4 1 ( 32 ) 2 1 17 ( 17)2 4 1 16 2 1 2 ( 2)2 4 1 1 2 1 7 ( 7)2 4 1 ( 8) 2 1 1 2 4 18 36 2 2 4 0 36 1 2 0 18 0 1 4 24 48 32 2 1 84 32 32 1 4 16 16 0 1 1 1 4 4 1 1 1 0 4 1 1 0 4 0 1 6 5 43 70 24 2 1 12 14 58 24 1 6 7 29 12 50 1 6 78 29 12 3 1 18 33 12 1 6 11 48 0 8 ⇒ x3 8 ⇒ x 2 1 ⇒ x3 1 ⇒ x 1 16 ⇒x4 16 ⇒x 2 1 ⇒ x4 1 ⇒ x 1 32 ⇒ x5 32 ⇒ x 2 1 ⇒x5 1 ⇒ x 1 1 1 6 2 4 3 1 6 2 1 2 P(x) (x 2)( 2x2 18) ⇒ 2x2 18 ⇒ ⇒ x2 9 ⇒ x 3 P(x) (x 2)(4x2 16x 16) 4(x 2)(x2 4x 4) 4(x 2)(x 2)2 4(x 2)3 P(x) 3x(x3 x2 4x 4) 3x(x 1)(x2 4) 3x(x 1)(x 2)(x 2) P(x) (x 2)(6x3 7x2 29x 12) (x 2)(x 3)(6x2 11x 4) 6(x 2)(x 3) x 4 3 x 1 2 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. a) — x 4 2 — — x 6 3 — —1 3 — c) — x 2 4 x 2 x 2 1 — —3 2 — — x x 5 1 — b) — 3 x x 1 2 — — 2 x x 5 1— —3 2 — d) — x 3 1 — — x 6 4 — — 4x 2 8 — a) x 4 2 x 6 3 1 3 ⇒ 3(x 1 2(x 2) (x 3 ) 3) 3(x 1 8(x 2) (x 2 ) 3) 3 ( ( x x 2 2 ) ) ( ( x x 3 3 ) ) ⇒ ⇒ 12x 36 18x 36 x2 x 6 ⇒ x2 7x 78 0 ⇒ ⇒ x 7 2 19 b) 3 x x 1 2 2 x x 5 1 3 2 ⇒ 2 2 ( ( 3 x x 1 2 ) ) ( ( x x 5 5 ) ) 2 2 ( ( 2 3 x x 1 2 ) ) ( ( 3 x x 5 2 ) ) 3 2 ( ( 3 3 x x 2 2 ) ) ( ( x x 5 5 ) ) ⇒ ⇒ 2x2 12x 10 12x2 2x 4 9x2 39x 30 ⇒ 5x2 29x 36 0 ⇒ ⇒ x 29 1 0 11 c) x 2 4x 2 x 2 1 3 2 x x 5 1 ⇒ ( 4 x x 1 2 )2 3 2 x x 5 1 ⇒ 2 2 ( ( 4 x x 1 2 )2 ) 3 2 ( ( x x 1 1 ) ) 2 2 2(x 2 (x 5 )(x 1 )2 1) ⇒ ⇒ 8x 4 3x2 6x 3 2x2 12x 10 ⇒ x2 2x 3 0 ⇒ ⇒ x 2 2 4 d) x 3 1 x 6 4 4x 2 8 ⇒ x 3 1 x 6 4 2(x 1 2) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 6x2 12x 48 12x2 12x 24 x2 5x 4 ⇒ 5x2 29x 20 0 ⇒ ⇒ x 29 1 0 21 Halla la solución de estas ecuaciones radicales. a) x x 6 0 b) 8 x 2 x c) x — 2 x — 1 d) 2 x 1 5 — x 3 1 — a) x x 6 0 ⇒ (x 6)2 ( x )2 ⇒ x2 12x 36 x ⇒ x2 13x 36 0 ⇒ ⇒ x 13 2 5 Comprobación: x 9 ⇒ 9 3 6 0 ⇒ Es correcto. x 4 ⇒ 4 2 6 0 ⇒ No es correcto. b) 8 x 2 x ⇒ 8 x 4 4x x2 ⇒ x2 3x 4 0 ⇒ ⇒ x 3 2 5 Comprobación: x 4 ⇒ 8 4 2 4 ⇒ No es correcto. x 1 ⇒ 8 1 2 1 ⇒ Es correcto. 4 1 3 ( 3)2 4 1 ( 4) 2 1 94 13 ( 13)2 4 1 36 2 1 3.27 29 ( 29)2 4 5 20 2 5 (x 1)(x 4) 2(x 1)(x 4)(x 2) 12(x 1)(x 2) 2(x 1)(x 4)(x 2) 6(x 4)(x 2) 2(x 1)(x 4)(x 2) 1 3 2 2 2 4 1 ( 3 ) 2 1 29 ( 29)2 4 5 36 2 5 6 13 7 7 2 4 1 ( 7 8) 2 1 3.26 4 1 1 8 0 9 5 5 1 8 0 4 5 e) x x 1 3 0 f) 7x 1 2 x 4 g) 5 x 1 2 x 1 c) x 2 x 1 ⇒ x x x 2 x x x ⇒ x 2 x ⇒ x2 4x 4 x ⇒ x2 5x 4 0 ⇒ ⇒ x 5 2 3 Comprobación: x 4 ⇒ 4 2 4 1 ⇒ Es correcto; x 1 ⇒ 1 2 1 1 ⇒ No es correcto. d) 2 x 1 5 x 3 1 ⇒ 2 x x 1 1 x 1 5 x x 1 1 x 3 1 ⇒ 2x 2 5 x 1 3 ⇒ ⇒ 5 x 1 2x 5 ⇒ 25(x 1) 4x2 20x 25 ⇒ 25x 25 4x2 20x 25 ⇒ ⇒ 4x2 45x 50 0 ⇒x 45 8 35 Comprobación: e) x x 1 3 0 ⇒ x 1 3 x ⇒ x 1 9 6x x2 ⇒ x2 7x 10 0 ⇒ ⇒ x 7 2 3 Comprobación: x 5 ⇒ 5 5 1 3 0 ⇒ No es correcto; x 2 ⇒ 2 2 1 3 0 ⇒ Es correcto. f) 7 x 1 2 x 4 ⇒ 7x 1 4(x 4) ⇒ 7x 1 4x 16 ⇒ 3x 15 ⇒ x 5 Comprobación: x 5 ⇒ 7 5 1 2 5 4 ⇒ Sí es correcto. g) 5 x 1 2 x 1 ⇒ 5x 1 4 5 x 1 4 x 1 ⇒ 4x 4 4 5 x 1 ⇒x 1 5 x 1 ⇒ ⇒ x2 2x 1 5x 1 ⇒ x2 3x 0 ⇒ x(x 3) 0 ⇒ x 0 y x 3 Comprobación: x 0 ⇒ 0 1 2 1 ⇒ No es correcto; x 3 ⇒ 5 3 1 2 3 1 ⇒ Sí es correcto. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Resuelve las siguientes ecuaciones de tipo exponencial. a) 63 x 216 c) 3x —1 3 — x 3 — 2 1 7 — x e) 132x 6 13x 5 0 b) —3 7 — 3x 7 —7 3 — 7x 3 d) 3 4x 3 4x 1 4x 2 62 f) 10x 5x 1 2x 2 950 a) 63 x 216 ⇒ 63 x 63 ⇒ 3 x 3 ⇒x 0 b) 3 7 3x 7 7 3 7x 3 ⇒ 3 7 3x 7 3 7 7x 3 ⇒ 3x 7 7x 3 ⇒ 10x 10 ⇒ x 1 c) 3x 1 3 x 3 2 1 7 x ⇒ 3x 3 x 3 3 1 3x ⇒ 33 3 3x ⇒ 3 3x ⇒ x 1 d) 3 4x 3 4x 1 4x 2 62 ⇒ 3 4x 12 4x 16 4x 62 ⇒ 31 4x 62 ⇒ 4x 2 ⇒ 22x 2 ⇒ 2x 1 ⇒ x 1 2 e) 132x 6 13x 5 0; Cambio: u 13x u2 132x ⇒ u2 6u 5 0 u 6 2 4 f) 10x 5x 1 2x 2 950 ⇒ 10x 5 5x 2 2x 2 950 ⇒ 10210x 2 5 10x 2 950 ⇒ 95 10x 2 950 ⇒ ⇒ 10x 2 10 ⇒ x 2 1 ⇒ x 3 6 ( 6)2 4 1 5 2 1 3.28 52 7 ( 7)2 4 1 10 2 1 45 ( 45)2 4 4 50 2 4 41 5 ( 5)2 4 1 4 2 1 10 1 8 0 5 4 x 10 ⇒ 2 10 1 5 10 3 1 ⇒ Es correcto. x 5 4 ⇒ 2 5 4 1 5 ⇒ 2 1 2 5 ⇒ No es correcto. 3 1 2 3 5 4 1 5 ⇒ 13x 5 ⇒ log13 13x log13 5 ⇒ x log13 5 lo lo g g 1 5 3 1 ⇒ 13x 1 ⇒ x 0 Resuelve estas ecuaciones de tipo logarítmico. a) log (x 1) log (x 1) 3 log2 log (x 2) b) log (x 2) —1 2 — log (3x 6) log2 c) log9 5 2 7 2x 1 a) log (x 1) log (x 1) 3 log 2 log (x 2) ⇒ log [(x 1) (x 1)] log [23 (x 2)] ⇒ ⇒ x2 1 8x 16 ⇒ x2 8x 15 0 ⇒ x 8 2 2 b) log (x 2) 1 2 log (3x 6) log 2 ⇒ 2 log (x 2) log (3x 6) 2 log 2 ⇒ ⇒ log ( 3 x x 2 6 )2 log 22 ⇒ ( 3 x x 2 6 )2 4 ⇒ x2 4x 4 12x 24 ⇒ x2 16x 28 0 ⇒ ⇒ x 16 2 12 c) log9 5 2 7 2x 1 ⇒ 92x 1 5 2 7 ⇒ 34x 2 3 35 ⇒ 4x 2 3 5 ⇒ 20x 10 3 ⇒ 20x 13⇒ x 1 2 3 0 d) logx 5 2 8 0,4 ⇒ 5 2 8 x 0,4 ⇒ 2 35 1 x 0,4 ⇒ 2 5 2 x 0,4 ⇒ 2 0,4 x 0,4 ⇒ x 2 e) log7 (x 2) log7 (x 2) 1 log7 (2x 7) ⇒ log7 (x 2) log7 (x 2) log7 7 log7 (2x 7) ⇒ ⇒ log7 x x 2 2 log7 2x 7 7 ⇒ x x 2 2 2x 7 7 ⇒ (x 2)(2x 7) 7(x 2) ⇒ 2x2 11x 14 7x 14 ⇒ ⇒ 2x2 18x 0 ⇒ 2x(x 9) 0 ⇒ x 0. No es correcta y x 9. Correcta. Sistemas de ecuaciones Indica el número de soluciones de los siguientes sistemas lineales. Hállalas. a) b) a) ⇒ ⇒ Resuelve los siguientes sistemas. a) b) c) d) a) b) ⇒ ⇒ c) d) 8(y 1) 15y 100 ⇒ 23y 92 ⇒ y 4 x 5 x y 1 8x 15y 100 x y 1 2 5 x 3 4 y 5 —x 3 — — y 2 — 0 —x 6 — — y 4 — 2 3( 2x 1) 4y 1 4x 2(3y 1) 8 x y 1 —2 5 —x —3 4 —y 5 —x 5 — — 2 3 y — 6 — 10 x— — 5 6 y — 6 3.31 x 1 y 2 4x y 2 x 3y 7 2x y 5 4x 3y 5 4x y 2 x 3y 7 3.30 14 2 No vale 16 ( 16)2 4 1 28 2 1 53 8 ( 8)2 4 1 15 2 1 3.29 13x l 13 12x 3y 6 x 3y 7 10x l 20 6x 3y 15 4x 3y 5 15y 90 3x 10y 90 3x 25y 180 b) ⇒ ⇒ x 2 y 1 2x y 5 4x 3y 5 ⇒ ⇒ y 6 x 10 5 x 2 3 y 6 10 x 5 6 y 6 26y 26 12x 8y 4 ⇒ ⇒ 1 2 x 1 8 y 3 0 ⇒ y 1 x 1 6x 4y 2 4x 6y 10 3( 2x 1) 4y 1 4x 2(3y 1) 8 4x l 24 2x 3y 0 ⇒ 2 x 3 y 2 4 ⇒ x 6 y 4 3 x 2 y 0 6 x 4 y 2 d) logx— 5 2 8 — 0,4 e) log7 (x 2) log7 (x 2) 1 log7 (2x 7) Resuelve los siguientes sistemas no lineales. a) d) b) e) c) f) a) ⇒ ⇒ 4x2 x 5 0 ⇒ x 1 8 1 80 1 8 9 ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ u 20 2 52 c) ⇒ ⇒ ⇒y 5 2 2 5 24 d) ⇒ e) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ f) ⇒ ⇒ ( ( 1 9 − y y ) ) 2 2 y ( 2 1 (1 y y )2 )2 17 (1 (1 y) y 2 )2 ⇒ ⇒ 81 18y y2 y2 2y3 y4 17 34y 17y2 ⇒ y4 2y3 15y2 52y 64 0 y4 2y3 15y2 52y 64 (y 1)(y 4)(y2 7y 16) ⇒ y 7 4 2 9 4 16 7 2 25 ⇒ No tiene más soluciones ⇒y 1 x 4 ó y 4 x 1 x(1 y) y 9 ⇒ x 9 1 y y 9 1 y y 2 y2 17 x2 y2 17 x xy y 9 x 5 y 2 2x 10 2y 4 x y 7 x y 3 x 2 y 5 2x 4 2y 10 x y 7 x y 3 x 2 y 5 2x 4 2y 10 x y 7 x y 3 x 5 y 2 2x 10 2y 4 x y 7 x y 3 x y 7 x y 3 (x y)2 49 (x y)2 9 (x y)2 49 x2 2xy y2 9 8x2 0 ⇒ x 0 ⇒ y2 25 ⇒ y 5 5x2 y2 25 3x2 y2 25 3⇒ x 2 2 ⇒ x 3 25 10y y2 5y y2 y2 7 3y2 15y 18 0⇒y2 5y 6 0 (5 y)2 (5 y)y y2 7 x 5 y x2 xy y2 7 x y 5 y 6 x 2 y 6 x 2 36 ⇒ y2 = 36 ⇒ y 6 ⇒ 16 20 4 00 4 576 2 576 y4 20y2 ⇒ y4 20y2 576 0 Cambio: y2 u y4 u2 u2 20u 576 0 x y 12 4 1 y 4 2 4 y2 20 4x2 y2 20 xy 12 x 5 4 y 1 3 5 4 4 11 x 1 y 4 1 8 0 5 4 1 x2 xy 5 3x2 xy x x2 xy 5 3x y 1 x 2 y 2 17 x xy y 9 x 2 xy y 2 7 x y 5 (x y)2 49 x 2 2xy y 2 9 4x 2 y 2 20 xy 12 5x 2 y 2 25 3x 2 y 2 25 x 2 xy 5 3x y 1 3.32 No tiene solución 1 1 2 15 52 64 1 1 1 43 12 64 1 1 3 12 64 50 1 1 3 12 64 4 1 4 28 64 1 1 7 168 0 Resuelve los siguientes sistemas no lineales. a) b) c) d) a) ⇒ ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ ⇒5x 1 4 1 3 3 ⇒No tiene solución. c) ⇒ ⇒ ⇒ d) ⇒ ⇒ Entonces: y 4; x 25 ó y 6 25 ; x 24 Dos números suman — 15 1— y su producto es — 15 2— . Calcúlalos. ¿De qué ecuación de segundo grado son solución estos dos números? ⇒ ⇒ ⇒ y 1 3 x 2 5 y 2 5 x 1 3 Estos números son solución de la ecuación: x 2 5 x 1 3 0 ⇒ (5x 2)(3x 1) 0 ⇒ 15x2 x 2 0 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Sea la ecuación bicuadrada ax4 bx2 c 0, con a, b y c distintos de 0. a) ¿Cabe la posibilidad de que sus soluciones sean x 1, x 3, x 2 y x 5? ¿Por qué? b) ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes para que la ecuación anterior no tenga solución? a) No, porque para que la ecuación sea bicuadrada, las soluciones tienen que ser opuestas dos a dos. b) Si b2 4ac 0, la ecuación no tendrá solución. Si b 2a b2 4a c 0 y los dos números obtenidos son negativos, la ecuación bicuadrada no tendrá solución. 3.35 2 15 2 5 2 15 1 3 2 15y2 y ⇒ 15y2 y 2 0 y 1 30 1 12 0 1 3 0 11 1 2 5y y 1 1 5 x = 1 2 5y x y 1 1 5 x y 1 2 5 3.34 x y 102 ⇒ (1 6y)y 100 ⇒ 6y2 y 100 0 y 1 1 1 2 24 00 log (x y) 2 x 1 6y log x log y 2 x 6y 1 Se divide la primera ecuación entre la segunda ⇒ x 10; entonces, y = 103 = 1000 x2 y 105 xy 104 log (x2 y) 5 log (xy) 4 2 log x log y 5 log (xy) 4 5 5x 1 16 4y 2 3 48 5x 1 16 4y 2 16 5 5x 1 42 4y 2 3 3 5x 1 4y 2 1 5x 2 4y 3 3 5x 1 4y 2 1 5y 5 ⇒ y 1 2x 5 9 ⇒ 2x 4 ⇒ x 2 4 2x 4 5y 36 4 2x 5 5y 41 2x 5y 9 4 2x 5 5y 41 2x 5y 9 2x 2 5y 1 41 log x log y 2 x 6y 1 2 log x log y 5 log (xy) 4 5x 2 4y 3 3 5x 1 4y 2 1 2x 5y 9 2x 2 5y 1 41 3.33 5y 5 43 5x 1 l 13 4 1 5 2 0 6 25 1 3 0 0 1 3 3 1 0 2 2 5 ⇒ Indica si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. a) logax logby ⇒ x y c) log 3 x 7 —7 3 — logx b) an bm ⇒ n m d) a2x 3 (a2)x — a 1 3 — a) Falsa. Solo será cierta si a b. b) Falsa. Solo será cierta si a b. c) Verdadera. d) Verdadera. Sea la ecuación exponencial ax b (con a > 1). Relaciona en tu cuaderno estas dos columnas. b 0 x 1 b 0 x ∉ R b a x loga b Las dos gráficas siguientes representan las ecuaciones de un sistema. a) ¿Es un sistema lineal o no lineal? ¿Por qué? b) ¿Cuáles son sus soluciones? a) Es un sistema no lineal. Una de las gráficas no es una recta. b) Las soluciones son: x 1, y 2, y x 4, y 5. Observa las dos rectas correspondientes a un sistema de ecuaciones. ¿Cómo han de ser los coeficientes de las incógnitas en ambas ecuaciones? Los coeficientes de x e y serán proporcionales, no así el término independiente. P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Shalma vive en un poblado de Kenia y debe caminar hasta el poblado vecino para ir a la escuela. En la primera media hora recorre un cuarto del trayecto, y en la media hora siguiente, dos quintos del trayecto restante, quedándole todavía 4,5 kilómetros por recorrer. ¿A qué distancia se encuentra la escuela? Llamamos x a la distancia de su casa a la escuela. 4 x 2 5 3 4 x x 4,5 ⇒ 4 x 2 6 0 x x 4,5 ⇒ 5x 6x 20x 90 ⇒ 9x 90 ⇒x 10 km Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su diagonal mide 15 centímetros, y su área, 108 centímetros cuadrados. ⇒ 1082 y4 225y2 ⇒ y4 225y2 11 664 0 Cambio: u y2, u2 = y4 u2 225u 11 664 0 ⇒ ⇒ u 225 2 63 Las soluciones negativas no las consideramos porque las dimensiones de un rectángulo tienen que ser positivas. El rectángulo tendrá por dimensiones 9 12 cm. 225 2 252 4 11 664 2 10 y 8 2 y2 152 x 10 y 8 x2 y2 152 x y 108 3.41 3.40 3.39 3.38 3.37 3.36 1 X Y O 1 1 X Y O 1 144 ⇒ y 12; x 9 81 ⇒ y 9; x 12 De un rombo se sabe que su área es 120 centímetros cuadrados, y que la proporción existente entre la diagonal mayor y la diagonal menor es 10 : 3. Calcula la medida de las diagonales. ⇒ ⇒ Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Una de ellas advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión? En la reunión hay x personas. Cada persona da la mano a x 1 personas. x (x 2 1) 66 ⇒ x(x 1) 132 ⇒ x2 x 132 0 ⇒ x 1 2 23 Concurrieron 12 personas. Una ebanista quiere partir un listón de madera de 30 centímetros de longitud en tres trozos para construir una escuadra, de manera que el trozo de mayor longitud mida 13 centímetros. ¿Cuál es la longitud de los otros trozos? ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ y 17 2 7 Los otros dos trozos miden 5 y 12 cm. La edad de mi nieto será dentro de tres años un cuadrado perfecto, y hace tres años era exactamente la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto. ¿Cuál es la edad actual de mi nieto? ⇒ ⇒ y2 y 6 0⇒y 1 2 5 ⇒y 3, x 9 3 6 Tiene 6 años. En unos laboratorios se ha comprobado que el número de células de una muestra se quintuplica cada minuto transcurrido. Si inicialmente había dos células, ¿cuántos minutos deben transcurrir para que el número de células sea de 19 531 250? 2 5x 19 531 250 ⇒ 5x 9 765 625 ⇒ 5x 510 ⇒ x 10 Una empresa de reciclado de papel mezcla pasta de papel de baja calidad, que compra por 0,25 euros el kilogramo, con pasta de mayor calidad, de 0,40 euros, para conseguir 50 kilogramos de pasta de 0,31 euros el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos utiliza de cada tipo de pasta? ⇒ ⇒ Se utilizan 30 kg de pasta de baja calidad y 20 kg de pasta de mayor calidad. y 20 x = 30 0,25x 0,25y 12,5 0,25x 0,4y 15,5 x y 50 0,25x 0,4y 50 0,31 3.47 3.46 1 1 4 ( 6) 2 x 3 y2 x 3 y x 3 y2 x 3 y2 3.45 17 2 89 4 60 2 289 34y y2 y2 169 ⇒ 2y2 34y 120 0 ⇒ y2 17y 60 0 x 17 y (17 y)2 y2 169 x y 13 30 x2 y2 132 3.44 1 1 4 ( 132 ) 2 3.43 D2 800 ⇒ D 20 2 cm d 3 1 2 0 0 2 ⇒ d 6 2 cm D 3 1 D 0 240 d 3 1 D 0 D 2 d 120 3D 10d 3.42 12 11 3 2 12 cm ⇒ x 5 cm 5 cm ⇒ x 12 cm 6 y2 y 0,15y 3 Utilizando la regla de la división, averigua el dividendo y el divisor de la misma sabiendo que el cociente es 2; el resto, 7, y que el producto de ambos es igual a 490. ⇒ ⇒ El resultado d 17,5 no es entero, por eso no lo consideramos. Si a uno de los lados de un cuadrado se le aumenta su longitud en 5 centímetros y a su lado contiguo en 3 centímetros, el área de la figura aumenta en 71 centímetros cuadrados. Calcula el lado del cuadrado. (x 5) (x 3) x2 71 ⇒ x2 8x 15 x2 71 ⇒ 8x 56 ⇒ x 7 cm El lado mide 7 cm. Las edades actuales de una mujer y su hijo son 49 y 25 años. ¿Hace cuántos años el producto de sus edades era 640? Hace x años: (49 x)(25 x) 640 ⇒ 1225 74x x2 640 ⇒ x2 74x 585 0 x 74 2 56 Hace 65 años no pudo ser porque no habían nacido. Por tanto, la respuesta correcta es hace 9 años. En la civilización egipcia, debido a las periódicas inundaciones del Nilo, se borraban los lindes de separación de la tierra y, para la reconstrucción de las fincas, necesitaban saber construir ángulos rectos. En un viejo papiro se puede leer lo siguiente: “La altura del muro, la distancia al pie del mismo y la línea que une ambos extremos son tres números consecutivos”. Halla dichos números. Tres números consecutivos: x, x 1, x 2 x2 (x 1)2 (x 2)2 ⇒ x2 x2 2x 1 x2 4x 4 ⇒x2 2x 3 0 x 2 2 4 12 Los números serán: 3, 4 y 5. Una agricultora quiere comprobar cuál es el número de hectáreas de superficie que posee su terreno rectangular de cultivo. Sabe que la distancia máxima existente entre dos puntos del mismo es de 25 decámetros y que la proporción entre el largo y el ancho es 4:3. Si una hectárea equivale a 100 decámetros cuadrados, ¿cuántas hectáreas tiene la superficie? La distancia máxima entre dos puntos del rectángulo corresponderá a la diagonal de este. ⇒ ⇒ Obviamente, solo consideramos las soluciones positivas. Área 15 20 300 dam2 3 hectáreas Una muestra radiactiva se va desintegrando de modo que, cada cinco años, su masa se reduce a la mitad. Si se tienen 800 gramos de dicha sustancia, ¿en cuánto tiempo se reducirá su masa a 50 gramos? 800 1 2 50 ⇒ 1 1 6 ⇒ 2 5 x 24 ⇒ 5 x 4 ⇒ x 20 años 1 2 5 x x 5 3.53 2 9 5 y2 625 ⇒ y2 225 ⇒ y 15 dam x 4 3 15 20 dam x 4 3 y 1 9 6 y2 y2 625 x2 y2 252 3x 4y 3.52 3.51 74 ( 74)2 4 5 85 2 3.50 3.49 d 14 D 35 D 2d 7 D d 490 3.48 3 1 65 9 14 17,5 (2d 7)d 490 ⇒ 2d2 7d 490 0 d 7 4 9 4 2 49 0 4 Con la ayuda de los alumnos de varios centros escolares se están rehabilitando las casas de un pueblo abandonado. Ahora se ocupan de la remodelación de un depósito de 1000 metros cúbicos que abastece de agua potable al pueblo. Tiene forma de prisma cuadrangular tal que la altura es el cuadrado del lado de la base menos 15 metros. Calcula la longitud del lado de la base y la altura del depósito. ⇒ ⇒ h2 15 h 1000 0 ⇒ h = Nos quedamos con las soluciones positivas: h 25 m x2 40 ⇒ x 2 1 0 m R E F U E R Z O Ecuaciones polinómicas, racionales y radicales Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las estrategias estudiadas según el tipo de ecuación. a) 2(5x 1) — 3x 3 2— — 5 3 5— 4(x 1) b) 20x2 11x 3 0 c) x4 5x2 36 0 d) — x 5 x 4 — 1 — x 4 3 — e) 4x3 4x2 14x 14 0 f) 1 2 x x 8 a) 2(5x 1) 3x 3 2 5 3 5 4(x 1) ⇒ 30x 6 3x 2 55 12x 12 ⇒ 39x 39 ⇒x 1 b) 20x2 11x 3 0 ⇒x c) x4 5x2 36 0 cambio u x2 ⇒ u2 5u 36 0 ⇒ ⇒ u 5 2 2 5 1 44 d) x 5x 4 1 x 4 3 ⇒ (x ( 5x) 4 (x )( x 3) 3) ( ( x x 4 4 ) ) ( ( x x 3 3 ) ) (x 4(x 3) (x 4 ) 4) ⇒ 5x2 15x x2 x 12 4x 16 ⇒ 6x2 10x 4 0 ⇒ 3x2 5x 2 0 ⇒ ⇒ x 5 6 25 2 4 e) 4x3 4x2 14x 14 0 ⇒ 2x3 2x2 7x 7 0 P(x) (x 1)(2x2 7) ⇒ x 1 0 ⇒ x 1 2x2 7 0 ⇒ x2 7 2 ⇒ x 7 2 f) 1 2 x x 8 ⇒ 12 x x2 16x 64 ⇒ x2 17x 52 0 ⇒ ⇒ x 17 289 208 2 11 1 21 240 40 3.55 15 225 4000 2 (h 15) h 1000 x2 h 15 x2 h 1000 h x2 15 3.54 25 40 9 ⇒ x 3 4 ⇒ No es correcta 4 13 1 5 3 4 1 2 2 7 7 1 1 2 0 7 1 2 0 7 50 3 2 1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Calcula la solución de estas ecuaciones exponenciales. a) 4x 9 2x 8 0 b) 2x 1 2x 2 72 c) 3 1 28 42x a) 4x 9 2x 8 0 ⇒ 22x 9 2x 8 0; cambio 2x u ⇒ u2 9u 8 0 ⇒ ⇒ u 9 8 2 1 3 2 b) 2x 1 2x 2 72 ⇒ 2x 1 23 2x 1 72 ⇒ 9 2x 1 72 ⇒ 2x 1 8 ⇒ 2x 1 23 ⇒x 4 c) 3 1 28 42x ⇒ 2 73 24x⇒ 7 3 4x ⇒ x 1 7 2 Resuelve estas ecuaciones logarítmicas. a) log9 (x 1) log9 (1 x) log9 (2x 3) b) log9 5 2 7 2x 1 c) logx —1 2 — log (x 2) a) log9 (x 1) log9 (1 x) log9 (2x 3) ⇒ log9 x 1 1 x log9 (2x 3) ⇒ x 1 1 x 2x 3 ⇒ x 1 (2x 3)(1 x) ⇒ ⇒ x 1 x 2x2 3 ⇒ 2x2 2x 2 0 ⇒ x2 x 1 0 ⇒ ⇒ x 1 2 1 4 b) log9 5 2 7 2x 1 ⇒ 5 2 7 92x 1 ⇒ 3 35 34x 2 ⇒ 3 5 4x 2⇒3 20x 10⇒20x 13⇒x 1 2 3 0 c) log x 1 2 log (x 2)⇒x x 2 ⇒x2 x 2⇒x2 x 2 0⇒ x 1 2 1 8 Sistemas de ecuaciones Resuelve los siguientes sistemas lineales. a) b) c) a) ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ c) ⇒ ⇒ ⇒ y 0 x 2 8x 48y 16 8x y 16 2x 12y 4 8x y 16 2(x 3) 4( 3y 1) 14 4( 2x 1) (y 4) 16 m 2 t 3 6t 10m 38 6t 12m 6 3t 5m 19 2t 4m 2 x 1 y 4 20x 5y 40 x 5y 21 4x y 8 x 5y 21 2(x 3) 4( 3y 1) 14 4( 2x 1) (y 4) 16 3t 5m 19 2t 4m 2 4x y 8 x 5y 21 3.58 3.57 3.56 1 2 5 ⇒ Sí es solución 1 2 5 ⇒ No es solución 8 ⇒ 2x 23 ⇒ x 3 1 ⇒ 2x 20 ⇒ x 0 2 ⇒ Sí es solución 1 ⇒ No es solución 19x 19 47y 0 22m 44 Encuentra la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. a) c) b) d) a) ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ c) ⇒ ⇒ u 25 6 2 25 576 y 4, x 3 y 4, x 3 y 3, x 4 y 3, x 4 d) ⇒ ⇒ ⇒ Quedan dos posibles sistemas: ⇒ ⇒ A M P L I A C I Ó N El gran matemático suizo Leonhard Euler planteaba el siguiente problema como introducción al álgebra: “Dos campesinas llevaron en total cien huevos al mercado. Una de ellas tenía más mercancía que la otra, pero recibió por ella la misma cantidad de dinero que la otra. Una vez vendidos todos, la primera campesina dijo a la segunda: “Si yo hubiera llevado la misma cantidad de huevos que tú, habría recibido 15 cruceros”. La segunda contestó: “Y si yo hubiera vendido los huevos que tenías tú, habría sacado de ellos 6 —2 3 — cruceros”. ¿Cuántos llevó cada una? Una lleva x huevos, y la otra, 100 x; en total, las dos reciben y cruceros. A la primera campesina le pagan a y x cruceros por huevo, mientras que a la segunda le pagan a 100 y x ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x La primera llevaba 40 huevos, y la segunda, 60. 160 2 5 600 32 00 0 2 45x2 20(100 x)2 ⇒ 25x2 4000x 200 000 0 x2 160x 8000 0 y 10 1 0 5 x x 100 x x 10 1 0 5 x x 2 3 0 (100 x) y x 15 x 100 y x 6 2 3 3.60 x 4 y 3 x y 1 x y 7 x 4 y 3 x y 1 x y 7 (x y) 1 (x y)(x y) 7 (x y)2 1 x2 y2 7 1 y 4 2 4 y2 25 ⇒ y4 25y2 144 0 Cambio u y2 u2 25u 144 0 x2 3 12 y2 61 x 1 y 2 x2 3xy y2 61 x y 12 y 8 3 y3 6 x 2 y x3 y3 6 x y 2 2x2 4x 6 0 x 2 2 4 12 y 2x 1 (2x 1)2 2x2 7 2x y 1 y2 2x2 7 (x y)2 1 x2 y2 7 x3 y3 6 x y 2 x2 3xy y2 61 x y 12 2x y 1 y2 2x2 7 3.59 4 ⇒ y 3 4 ; x 3 2 4 3 2 2 ⇒ y 3 2 ; x 3 2 2 3 4 8 y6 6y3 ⇒ y6 6y3 8 0 cambio u y3 ⇒ u2 6u 8 0 u 6 3 2 6 3 2 16 ⇒ 4 9 ⇒ 3 40 200 x 1 ⇒ y 2 1 1 3 x 3 ⇒ y 2( 3) 1 5 ⇒ x2 2x 3 0 ⇒ La siguiente figura muestra la posición que debe ocupar una escalera de bomberos sobre dos edificios para que éstos puedan subir. Calcula la longitud de la escalera y la posición sobre la que debe posarse la escalera en la acera. ⇒ 900 x2 400 2500 100x x2 ⇒ 100x 2000 ⇒ x 20 m y2 900 400 1300 ⇒ y 36,06 m debe medir La escalera debe medir 36,06 m y estar situada a 20 m de la primera casa. En la Antigüedad estaba muy extendida en la India la idea de expresar los enunciados de los problemas en verso. Uno de esos problemas, enunciado en prosa, es el siguiente. “Un grupo de abejas, cuyo número era igual a la raíz cuadrada de la mitad de todo su enjambre, se posó sobre un jazmín, habiendo dejado muy atrás a —8 9 — del enjambre; solo una abeja del mismo enjambre revoloteaba en torno a un loto, atraída por el zumbido de una de sus amigas. ¿Cuántas abejas formaban el enjambre?” 2 x 1 9 x 1 ⇒ 2 x 8 x 1 2 2 9 x 1 ⇒ 2x2 45x 162 0 ⇒ x El enjambre lo formaban 18 abejas. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando los mismos métodos que con dos ecuaciones. a) b) a) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ b) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x 1 y 2 z 3 5x 2y z 4 119y 147z 203 45z 135 5x 2y z 4 119y 147z 203 119y 102z 68 5x 2y z 4 17y 21z 29 7y 6z 4 5x 2y z 4 5x 15y 20z 25 5x 5y 5z 0 5x 2y z 4 x 3y 4z 5 x y z 0 x 1 y 2 z 3 2x 2y 2z 12 60y 36z 228 56z 168 2x 2y 2z 12 60y 36z 228 60y 20z 60 2x 2y 2z 12 5y 3z 19 12y 4z 12 2x 2y 2z 12 2x 3y z 7 2x 10y 6z 0 x y z 6 2x 3y z 7 x 5y 3z 0 5x 2y z 4 x 3y 4z 5 x y z 0 x y z 6 2x 3y z 7 x 5y 3z 0 3.63 45 2 025 1296 4 3.62 y2 302 x2 y2 202 (50 x)2 3.61 18 9 4 María y Bianca forman pareja para realizar el trabajo en grupo que ha encargado la profesora de Biología sobre los efectos de las drogas en el organismo. Si hicieran el trabajo conjuntamente, tardarían 2 horas. María, ella sola, emplearía 3 horas más que Bianca, también en solitario. ¿Cuántas horas tardaría cada una de ellas por separado en hacer el trabajo? Bianca tardaría x horas; en una hora realiza 1 x del trabajo. María tardaría x 3 horas; en una hora realiza x 1 3 del trabajo. Entre las dos juntas tardarían 2 horas; en una hora realizan 1 2 del trabajo. 1 x x 1 3 1 2 ⇒ 2 2 x ( ( x x 3 3 ) ) 2x(x 2 x 3) 2 x x ( ( x x 3 3 ) ) ⇒ 2x 6 2x x2 3x ⇒ x2 x 6 0 ⇒ ⇒ x 1 2 1 24 Bianca tardaría 3 horas, y María, 6. P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Cinco animales Se está realizando un estudio sobre la evolución de ciertas características físicas de cinco especies animales a lo largo de su vida. Para ello se ha observado, en particular y de forma especial, a un ejemplar de cada una de ellas. Una de las variables que interesan para el estudio es la masa corporal que tenía cada uno de esos cinco ejemplares hace 18 meses. Inexplicablemente, los únicos datos con los que se cuenta son los ofrecidos en la siguiente tabla. Calcula la masa que tenía el cerdo en esa época. Si se suman todos los valores ofrecidos por la tabla, se obtiene cuatro veces la masa de los cinco animales juntos. Así: Perro Gato Pato Cerdo Cabra 73 4 6 184 Por tanto: Cerdo 184 (Perro Gato) (Pato Cabra) 184 30 69 85 kg 30 27 ... 149 4 3.65 3.64 3 2 Animales Masa conjunta (kg) Animales Masa conjunta (kg) Perro y gato 30 Gato y cerdo 93 Perro y pato 27 Gato y cabra 72 Perro y cerdo 107 Pato y cerdo 90 Perro y cabra 86 Pato y cabra 69 Gato y pato 13 Cerdo y cabra 149 Ecuaciones relacionadas ¿Es posible resolver dos ecuaciones a la vez? Sigue estos pasos y compruébalo. a) Resuelve estas ecuaciones. 1. 12x2 3x 5 0 2. 5x2 3x 12 0 b) Resuelve también estas otras ecuaciones. 1. 18x2 9x 2 0 2. 2x2 9x 18 0 c) Si se sabe que x r es una solución de la ecuación ax2 bx c 0, comprueba que —1 r — es una solución de la ecuación cx2 bx a 0. d) Sin necesidad de resolver las ecuaciones, completa la tabla. a) x 3 4 7 x 3 1 0 7 b) x 9 36 15 x 9 4 15 c) Sabemos que a r2 b r c 0 Pero: c 1 r 2 b 1 r a r c 2 b r a c b r r 2 + ar2 r 0 2 0 Por tanto, 1 r es solución de la ecuación cx2 bx a 0. d) x 24 4 6 x 6 4 3 2 x 2 3 4 6 2 3 x 3 6 6 1 6 x 2 5 x 1 x 1 x 5 2 3.66 Ecuación Soluciones x2 2 x 4 0 x 2 x 2 2 4x2 2 x 1 0 2x2 7x 4 0 x 4 x —1 2 — 4x2 7x 2 0 2x2 x 1 0 x 1 x —1 2 — x 1 x 2 Ecuación Soluciones x2 2 x 4 0 x 2 x 2 2 4x2 2 x 1 0 x 2 2 x 4 2 2x2 7x 4 0 x 4 x —1 2 — 4x2 7x 2 0 x 1 4 x 2 2x2 x 1 0 x 1 x —1 2 — x 2 x 2 0 x 1 x 2 A U T O E V A L U A C I Ó N Encuentra la solución de la siguiente ecuación de primer grado. — 3( 2x 2 1) — 5(x 3) —3x 4 1— —1 2 — 12x 6 20x 60 3x 1 2 ⇒ 35x 65 ⇒ x 1 7 3 Resuelve esta ecuación de segundo grado: —4x 3 5— — 2x 1 3 — (4x 5)(2x 3) 3 ⇒ 8x2 22x 12 0 ⇒ 4x2 11x 6 0 ⇒ x Halla la solución de esta ecuación radical: 4 x 1 3 2 2x 3 4x 13 4 4 x 13 4 2x 3 ⇒ 2 4 x 13 3x 7 ⇒ 16x 52 9x2 42x 49 ⇒ ⇒ 9x2 26x 3 0 ⇒ x Comprobación: x 1 9 4 1 9 1 3 2 2 1 9 3 ⇒ No es solución. x 3 12 13 2 6 3 ⇒ Sí es solución. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. a) — x 2 2 3— — 2x 2 3 1 — b) — x 3 2 — — x 8 5 — — x 2 x 3 x 1 10 — a) (x2 3)(2x2 1) 6 ⇒ 2x4 5x2 3 0 ⇒ Cambio: u x2 ⇒ 2u2 5u 3 0 ⇒ ⇒ u 5 2 4 5 2 4 b) x 3 2 x 8 5 (x x 2 )(x 1 5) ⇒ (x 3(x 2) (x 5 ) 5) (x 8(x 2) (x 2 ) 5) (x x 2 )(x 1 5) ⇒ ⇒ 3x 15 8x 16 x 1 ⇒ 10x 2 ⇒ x 1 5 Halla la solución de esta ecuación de grado 4: 6x4 7x3 52x2 63x 18 0 x P(x) (x 3)(6x3 25x2 23x 6) (x 3)(x 3)(6x2 7x 2) 6(x 3)(x 3) x 2 3 x 1 2 Soluciones: x 3, x 3, x 2 3 , x 1 2 Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: log3 5 8 1 3x 2 log3 5 8 1 3x 2 ⇒ 5 8 1 33x 2 ⇒ 3 45 33x 2 ⇒ 4 5 3x 2 ⇒ 4 15x 10 ⇒ 15x 6 ⇒ x 5 2 3.A6 7 4 9 48 12 3.A5 3.A4 26 6 76 108 18 3.A3 11 1 21 96 8 3.A2 3.A1 1 6 17 52 63 18 3 1 18 75 69 18 1 6 25 23 66 50 1 6 25 23 6 3 1 18 21 6 1 6 17 128 0 4 3 2 1 9 3 2 1 3 2 2 1 ⇒ No es solución 3 ⇒ x 3 ⇒ Sí es solución Calcula la solución de esta ecuación exponencial: 9x 10 3x 9 0 32x 10 3x 9 0 cambio u 3x ⇒ u2 10u 9 0 ⇒ u 10 1 2 00 36 Averigua cuáles son las ecuaciones del sistema cuya representación gráfica es la siguiente. ¿Cuáles son las soluciones del sistema? ⇒ Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones no lineales. ⇒ y2 6y 7 0 ⇒ 6 2 36 2 8 Soluciones: x = 3, y 1 x 3, y 1 M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S ¿Dónde está el error? En la resolución de esta ecuación hay un error. — 2 4 x x 3 6 — 2 → 2x 3 8x 12 → 6x 9 → x —3 2 — ¿Puedes encontrarlo? ¿Sabrías resolver correctamente la ecuación? Una ecuación especial La primera idea que surge es que al ser el denominador el doble que el numerador, el cociente no puede ser igual a 2, luego la ecuación no tiene solución. Resolviendo algebraicamente la ecuación se tiene: 2x 3 2 (4x 6 ) ⇒ 2x 3 8x 12 ⇒ 2x 8x 12 3 ⇒ 6x 9 x 9 6 3 2 Aunque algebraicamente la ecuación tiene solución, debe hacerse notar al estudiante que antes de iniciar un problema debe analizarlo y que en este caso la ecuación tiene un dominio cuyos valores deben ser diferentes a 3 2 , o sea 4x 6 0. D: R 2 3 Como el resultado es de 3 2 , la ecuación no tiene solución en su dominio. 3x2 2y2 29 3x2 12y 15 3x2 2y2 29 3.A9 x2 4y 5 y x 2 x 2 x2 6x 5 x y 2 y (x 1)(x 5) 3.A8 3.A7 1 X Y O 1 9 ⇒ 3x 9 ⇒ x 2 1 ⇒ 3x 1 ⇒ x 0 7 2 21 ⇒ y 3 2 21 7 2 21 ⇒ y 3 2 21 1 ⇒ x2 9 ⇒ x 3 7 ⇒x2 23 ⇒No tiene solución. 2y2 12y 14 ⇒ x 7 4 2 9 2 8 x2 7x 7 0