ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS PDF
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ?
Son aquellas que luego de reducir términos semejantes y pasar todos los términos al primer miembro adoptan la forma:
ax2+bx+c=0
Donde: a , b , c son coeficientes (a≠0) "x" incógnita.
Debes tener presente que toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones o también llamadas raíces de la ecuación.
Una ecuación de segundo grado en ‘‘x’’ es de la forma: ax2+bx+c=0, siendo a , b y c constantes y a≠0.
EJEMPLOS :
x2 – 6x+5=0 ; 2x2+x–6=0 y 3x2– 5=0, son ecuaciones de segundo grado con una incognita.
Las dos últimas ecuaciones se pueden dividir por 2 y 3, respectivamente, obteniéndose , siendo en ambos casos el coeficiente de x² igual a 1.
Una ecuación cuadrática pura es aquella que carece de término en ‘‘x’’; por ejemplo, 4x² –5=0
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Resolver una ecuación de segundo grado ax²+bx+c=0 es hallar los valores de ‘‘x’’ que la satisfagan.
Estos valores reciben el nombre de soluciones o raíces de la ecuación dada.
EJEMPLO :
x2 – 5x+6=0 se satisface para x=2 ∨ x=3
Por tanto x=2 ; x=3 son soluciones raíces de la citada ecuación.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
Existen varias formas de resolver una ecuación de segundo grado, pero mencionaremos las dos más importantes:
Por factorización: Aquí generalmente se utiliza el aspa simple, además recuerda:
Si: a.b=0 ⇒ a=0 v b=0
EJEMPLO 1 :
Resolver: x2 – 7x + 12 = 0
EJEMPLO 2 :
Resolver: x2 – 7x + 12 = 0
ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS
EJEMPLOS :
𝑖) x2 – 4=0 Tendremos x2 = 4, x =2, y las raíces son: x=2; –2
𝑖𝑖) 2x2 – 21=0
Tendremos y las raíces son:
𝑖𝑖𝑖) x2+ 9=0
Tendremos x2 = –9 y las raíces son:
POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
EJEMPLOS :
𝑖) x2 – 5x + 6 = 0, se puede escribir en la forma (x–3)(x – 2)=0.
El producto de los dos factores será cero cuando lo sea cualquiera de ellos o ambos a la vez.
Si: x – 3=0 ⇒ x=3
ó x – 2=0 ⇒ x=2
Por consiguiente, las soluciones son: x=3 ó x=2
𝑖𝑖) 3x2 + 2x – 5=0, se puede escribir en la forma (3x+5)(x–1)=0
Por tanto, de 3x+5= 0 ó x–1 = 0, se obtienen las soluciones:
𝑖𝑖𝑖) x2 – 4x + 4 = 0, se puede escribir en la forma (x – 2)(x – 2) = 0
Por tanto, la ecuación tiene la raíz doble: x=2
FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE
EJEMPLO 1 :
Resolver : x2 + 2x – 24 = 0
(x + 6) (x – 4) = 0
Se iguala cada factor a cero:
x + 6=0 ⇒ x1 = – 6
ó x – 4 = 0 ⇒ x2 = 4
EJEMPLO 2 :
Resolver: x2 + 6x + 5=0
RESOLUCIÓN :
Factorizando:
(x + 5) (x + 1) = 0
(x + 5) = 0 ó (x + 1) = 0
x1 = – 5 ó x2 = – 1
C.S. { – 5; – 1}
EJEMPLO 3 :
Resolver : x2 – 9 = 0
RESOLUCIÓN :
Factorizando:
(x + 3) (x – 3) = 0
(x + 3) = 0 ó (x – 3) = 0
x1 = – 3 ó x2 = 3
C.S. = { – 3; 3} C)
FORMANDO UN CUADRADO PERFECTO
EJEMPLO 1 :
Resolver: x2–6x–2 = 0
Se escribe en un miembro los términos con la incógnita y se pasa el término independiente al otro miembro. x2 – 6x = 2
Sumando 9 a ambos miembros el primero se transforma en un cuadrado perfecto, es decir:
x2 – 6x + 9 = 2 + 9 ó (x – 3)2= 11
Para aplicar este método el coeficiente de x² debe ser 1 y el número que hay que sumar a los dos miembros ha de ser el cuadrado de la mitad del coeficiente de ‘‘x’’
EJEMPLO 2 :
Resolver: 3x2 – 5x+1=0
APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL
Las soluciones de la ecuación de segundo grado, ax²+bx+c=0, vienen dadas por la fórmula:, en la que , recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática.
EJEMPLO 1 :
Resolver: 3x2 – 5x + 1=0
EJEMPLO 2 :
Resolver : 4x2 – 3x + 1=0
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
En la ecuación: ax2 + bx + c=0, se tiene:
☛ Compatible determinada
☛ Compatible indeterminada
☛ Incompatible
DISCRIMINANTE (Δ)
llamamos discriminante a la expresión subradical contenida en la fórmula general, es decir :
Δ= b2 – 4ac
Análisis del discriminante:
Δ> 0 : Las raíces son reales y diferentes
Δ= 0 : Las raíces son reales e iguales
Δ<0 : Las raíces son complejas y conjugadas
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
☛ Suma de raíces
☛ Producto de raíces
☛ Diferencia de raíces
☛ Suma de inversas:
☛ RAÍCES SIMÉTRICAS
☛ RAÍCES RECÍPROCAS
RAÍZ NULA
En la ecuación cuadrática de la forma: ax2+ bx + c = 0, se tendrá una raíz nula cuando x=0, es decir se cumplirá: c=0
RECONSTRUCCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
x2 – Sx + P=0
Donde:
S = suma de raíces
P = producto de raíces
EJERCICIO 1 :
Hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación:
2kx2= (12x+ 1)x+ 12 sea igual a 7.
A) 1/3
B) 1/2
C) 2/3
D) 3/2
E) 2/5
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
EJERCICIO 2 :
Hallar "m" si las raíces de la ecuación son recíprocas:
(m – 3)x2 + (3m + 9)x – (2m + 7) = 0
EJERCICIO 3 :
Formar la ecuación cuadrática que tiene por raíces a 3 y – 7.
RESOLUCIÓN :
x2 – (3 – 7)x + (3)( – 7)=0
⇒ x2 + 4x – 21=0
☛ ECUACIONES EQUIVALENTES
☛ RAÍCES IRRACIONALES CONJUGADAS
☛ RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Si las edades de los gemelos BA y BE están dadas por las soluciones de la ecuación, x2 –(3m + 3)x + 2m + 7=0, m > 0; determine la suma de sus edades.
A) 4 años
B) 6 años
C) 8 años
D) 10 años
E) 12 años
Rpta. : "B"
PROBLEMA 2 :
Fedhy compra cierto número de cuadernos del mismo precio, por los que paga 120 soles. Si cada cuaderno costara S/ 2 menos, hubiese comprado 2 cuadernos más (gastando la misma cantidad de dinero). ¿Cuánto le costó a Fedhy cada cuaderno?
A) S/12
B) S/14
C) S/16
D) S/20
E) S/24
Rpta. : "A"
PROBLEMA 3 :
Un deportista apuesta a tirar al blanco con la condición de que por cada tiro que acierta recibirá 18 dólares y por cada tiro que falla pagará 12 dólares. Si después de 25 tiros obtuvo de ganancia tantos dólares como el producto de tiros que acertó y falló, ¿cuántos tiros dio en el blanco?
A) 11
B) 12
C) 15
D) 17
E) 20
Rpta. : "C"
PROBLEMA 4 :
Thiago es delegado del equipo de fulbito de su hijo menor. Para el fin de semana, el equipo debe jugar un campeonato, por el cual cada papá de cada niño del equipo debe realizar su aporte en cantidades iguales para obtener un total de 2(a+b)(a−b) soles, que cubrirá los gastos del arbitraje y viáticos para el entrenador. Llegado el día del partido, (a−b) padres no asisten y entonces cada uno de los padres restantes deben aportar (a+b) soles más. ¿Cuántos padres al inicio iban a aportar para los gastos del partido?, siendo a > b > 0 .
A) (a+b)
B) (a−b)
C) 2(a+b)
D) 2(a−b)
E) (2a+b)
Rpta. : "D"
HISTORIA DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
ORÍGENES ANTIGUOS (BABILONIA, EGIPTO E INDIA)
BABILONIA (alrededor del 2000 a.C.)
Los babilonios resolvían lo que hoy llamamos ecuaciones cuadráticas usando métodos geométricos y tablas numéricas. No usaban símbolos, sino problemas escritos como acertijos, del tipo: “la suma de un número y su cuadrado es 20”.
EGIPTO (alrededor del 1800 a.C.)
En el Papiro de Rhind, se encuentran problemas similares, aunque no tan avanzados como en Babilonia. Los métodos eran más aproximados. INDIA (siglo V al IX d.C.) Matemáticos como Aryabhata y Brahmagupta ya conocían fórmulas generales para resolver ecuaciones cuadráticas. Brahmagupta fue uno de los primeros en trabajar con raíces negativas, aunque las interpretaba como deudas o cantidades faltantes.
GRECIA CLÁSICA (siglo III a.C.)
Euclides y otros griegos trataban estas ecuaciones de forma geométrica, usando proporciones y áreas. No usaban álgebra simbólica, así que lo expresaban como: “el área de un cuadrado más una línea recta es igual a otra cantidad”.
MUNDO ISLÁMICO MEDIEVAL (siglo VIII al XII)
AL-KHWARIZMI (siglo IX) Es considerado el “padre del álgebra”. Escribió el libro "Al-Kitab al-Mukhtasar fi Hisab al-Jabr wa al-Muqabala", donde clasifica las ecuaciones cuadráticas y las resuelve paso a paso, sin usar símbolos. De este libro proviene la palabra "álgebra" (de al-jabr).
RENACIMIENTO Y APARICIÓN DEL ÁLGEBRA SIMBÓLICA (siglos XV-XVII)
Con el desarrollo del álgebra simbólica en Europa, los matemáticos empezaron a usar letras para representar cantidades.
François Viète (siglo XVI) introdujo el uso sistemático de letras para incógnitas y coeficientes.
René Descartes (siglo XVII) desarrolló la notación moderna de ecuaciones cuadráticas y fundó la geometría analítica, que conecta ecuaciones con gráficas.
