MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF




















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MULTIPLICACIÓN ORIGEN: En una operación de adición, en donde todos los sumandos son iguales, tal como la siguiente, P= M + M + M + M + ... + M (m veces) Se puede realizar una operación abreviada: P = M x m a esta operación se denomina multiplicación, donde: M  multiplicando m  multiplicador x  Símbolo (por) P  Producto M y m son denominados “factores” DEFINICIÓN Es decir la multiplicación es una operación directa cuyo origen proviene de la adición y consiste en dadas 2 cantidades, multiplicando y multiplicador se debe hallar una tercera cantidad llamada “producto” que contenga al multiplicando las mismas veces que el multiplicador contenga a la unidad. Se cumple: En el campo de los naturales, se denomina “multiplicación” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a,b) su producto a . b. Ejemplo 1 Símbolo (por) 15 x 12 = 180 Producto Multiplicador Multiplicando Ejemplo 2 Símbolo (por) Multiplicando 5 2 4 x Multiplicador 6 7 3 6 6 8 1er Producto Parcial 3 1 4 4 2do Producto Parcial 3 5 1 0 8 Producto Final Leyes Formales 1. Clausura. El producto de 2 números enteros es otro número entero. 2. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto. a x b = b x a 3. Asociativa: El producto de varios números no varía si se reemplaza dos o más factores por su producto parcial. a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) 4. Distributiva. El producto de un número por una suma o resta es igual a la suma o resta de los productos del número dado por cada uno de los términos Si P = a (b + c - d)  P = a x b + a x c – a x d 5. Uniformidad. Multiplicando miembro a miembro varias igualdades resulta otra igualdad. Si: a = b c = d a x c = b x d 6. Modulativa. Existe uno y sólo un elemento que se denota por 1 (denominado elemento neutro multiplicativo o módulo de la multiplicación) tal que siempre se cumple: a x 1 = 1 x a = a 7. Monotonía: a) Multiplicando miembro a miembro desigualdades (relación de orden), todas del mismo sentido, con términos positivos y también multiplicando igualdades, resulta una igualdad del mismo sentido que las dadas. *) Si: a > b *) Si: a < b c > d c = d e = f e < f a.c.e>b.d.f. a.c.e. b c < d c > d a x c < b x d a . c > b. d Escolio. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades de sentido contrario, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad. Si a < b c > d Puede ocurrir que: a x c < b x d a x c = b x d a x c b x d a x c > b x d Determinación de la cantidad de cifras de un producto La cantidad de cifras de un producto de “n” factores será máxima cuando sea igual a la suma de la cantidades de cifras de cada factor y como mínimo dicha suma disminuida en (n-1) Sea: P = A1 . A2 . A3 ...... An a1 cifras a2 cifras a3 cifras an cifras Cuantas cifras como máximo y como mínimo puede tener P. Máximo: a1 + a2 + a3 + .... + an = S Mínimo: S – (n-1) Ejemplo (1) P = A . B . C . D 6 cifras 8 cifras 3 cifras 4 cifras donde n = 4 (Nº factores) Máximo : 6 + 8 + 4 + 3 = 21 Mínimo = 21 – (4-1) = 18 Ejemplo (2) Dos números enteros escritos en el sistema decimal tienen 5 y 8 cifras respectivamente ¿Cuántas cifras tendrá el producto del cuadrado del primero por el cubo del segundo? Resolución Sea A  tiene 5 cifras B  tiene 8 cifras A² . B3 = A . A . B . B . B Producto de 5 factores Entonces: Nº de cifras Máximo: 5+5+8+8+8=34 de A²B3 Mínimo: 34-(5-1) = 30 Conclusión Cuando se multipliquen potencias enteras de números enteros se procederá del modo siguiente: Para determinar el máximo número de cifras de su producto se suma todos los productos parciales de los exponentes por sus respectivas cantidades de cifras. En el ejemplo dado: Máximo = 2(5) + 3(8) = 34 Para determinar la menor cantidad de cifras que acepta el producto, al máximo número de cifras se le sustraerá la suma de los exponentes de las potencias aumentándose la unidad. En el ejm. Min= 34 – (2 + 3) + 1 = 30 Ejemplo (3) Se dispone de 4 números enteros, los cuales se representan como A, B, C, D en el sistema decimal admitiendo 4,6,8 y 5 cifras. ¿Cuántas cifras tendrá E? Siendo E = A4 . B² . C1 . D32 Resolución Sabemos que: A  4 cifras C  8 cifras B  6 cifras D  5 cifras E = A8 . B4 . C² . D6 Entonces Nº de Cifras de E: Máximo = 8.4 + 4.6 + 2.8 + 6.5 = 102 Mínimo = 102 – (8 + 4 + 2 + 6)+1=83 MULTIPLICACION EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACION Ejm.: Efectuar 2437 . 367 Procedimiento. Los términos son colocados en la forma siguiente, para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupan sus cifras. 3 2 1  orden 2 4 3(7) x multiplicando 3 6(7) multiplicador ¿........? * Para la cifra de orden 1 del multiplicador: 6 x 3 = 18 = 2 x 7 + 4  queda Se lleva 6 x 4 + 2 = 26 = 3 x 7 + 5  queda Se lleva 6 x 2 + 3 = 15 = 2 x 7 + 1  queda Se lleva * Para la cifra de orden 2 del multiplicador: 3 x 3 = 9 = 1 x 7 + 2  queda Se lleva 3 x 4 + 1 = 13 = 1 x 7 + 6  queda Se lleva 3 x 2 + 1 = 7 = 1 x 7 + 0  queda Se lleva Al final se tiene que: Multiplicando 2 4 3(7) x Multiplicador 3 6(7) Productos 2 1 5 4(7) Parciales 1 0 6 2(7) Producto Final 1 3 1 0 4(7) Aplicación 1 Al multiplicar por 137 se observó que la suma de los productos parciales fue 3157. Calcule a + b + c Resolución OBS: P.P. (Producto Parcial) x 137 7 x  1º P.P. 3 x  2º P.P. 1 x  3º P.P. Condición en el problema 7 + 3 + 1 = 3157 11 = 3157 = 287  a = 2 b = 8 c = 7 a + b + c = 17 Rpta Aplicación 2 Disminuyendo en 3 a los términos de la multiplicación, el producto disminuye en 231. Halle los factores si la diferencia de ellos es 36. Resolución Sean M y N los términos de la multiplicación Sabemos que M x N = P Condición del problema (M - 3) (N - 3) = P – 231 M.N –3M – 3N + 9 = M.N – 231 231 + 9 = 3M + 3N 240 = 3(M + N) 80 = M + N ....... (1) DATO: 36 = M – N ....... (2) Resolviendo (1) y (2)  M = 58  N = 22  Los factores son 58 y 22 Rpta. Aplicación 3 Si Calcule la suma de los productos parciales. Rpta. 3948 Aplicación 4 Calcule (a + b + c + d) si: Rpta. 21 Aplicación 5 Efectuar 4132(5) . 234(5) Rpta. 21440435 Aplicación 6 ¿Cuál es la suma de cifras de: , sabiendo que: = 1782312 = 2353344 Resolución Dando forma al numeral para aprovechar los datos. = + = 10. Luego: . = . efectuando : . =10 . + . al reemplazar los datos se tendrá que: . =10(1782312)+ 2353344 Finalmente: . = 20176464 Suma de cifras: 2+0+1+7+6+4+6+4 = 30 Rpta. Aplicación 7 Si se cumple que: . 99 = ...47253 Calcular a+b+c+d+e Resolución Transformamos la multiplicación de .99 en una sustracción .99 = (100 -1) .99 = - Luego: - ..47253 Al tratar de restar se deduce que: a = 9, b = 7, c = 4, d = 4, e = 7 Con lo cual a + b + c + d + e = 31 Rpta. 31 FORMAS CURIOSAS DE MULTIPLICAR MULTIPLICACIÓN EGIPCIA El método de multiplicación egipcia sobrevivió durante siglos esparciéndose en muchas civilizaciones. En las escuelas de la Antigua Grecia se lo enseñaba con el nombre de “Cálculo Egipcio”. En la Edad Media se enseñaban sus técnicas bajo el nombre de “DUPLATIO” para la duplicación y de “MEDIATIO” para la división en mitades. La multiplicación era considerada una operación muy difícil y hasta el siglo XVI sólo se enseñaba en las universidades. DEFINICIÓN. Dado los números naturales D y d  0 se llama cociente de D y d. Se denota , si al número natural q, si existe tal que D = dq Se llama “división” a la operación que hace corresponder a ciertos pares (D,d) de números naturales su cociente . En otras palabras la división es una operación aritmética inversa a la multiplicación que tiene por objeto en dadas 2 cantidades llamadas dividendo y divisor, hallar una tercera cantidad llamada cociente que ponga en manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor. PARÁMETROS Dividendo (D) Divisor (d) Cociente por defecto (q) Cociente por exceso (q´) Residuo por defecto (r) Residuo por exceso (r´) CLASIFICACIÓN a) División Exacta. Es cuando no existe presencia de resto Esquemáticamente D d  D = dq - q b) División Inexacta. Es cuando existe presencia de resto y a su vez se sub clasifican en: 1) Por defecto D d q +r D = dq + r Ejm. Dividir 84 entre 9. 84 9 9 3  84 = 9.9 + 3 2) Por exceso D d - r´ q´ = q + 1 D = dq´ - r´ Ejm. Dividir 59 entre 7 59 7 -4 8 + 1 x 59 = 7 (8 + 1) –4 Ejm. Dividir 85 entre 4 85 4 22 x -3 85 = 4.22 - 3 Propiedades 1) 0 < r < d 2) r + r´ = d 3) q´ = q + 1 4) rmin = 1 5) rmax = d-1 Leyes 1) Ley de Uniformidad. Si se dividen miembro a miembro dos igualdades (con la segunda igualdad diferente de cero), el resultado es otra igualdad Si a = b c = d a:c = b:d 2) Ley del Inverso Multiplicativo. Para todo número N diferente de cero, existe uno y sólo un elemento denominado inverso multiplicativo denotado por N-1 ó tal que: N x N-1 = 1 3) Ley Distributiva. El cociente de una suma o resta entre un número es igual a la suma o resta de los cocientes de cada uno de los términos entre el número dado Si: q = (a + b - c) : d  q = A) Ley de Monotonía a) Si : a < b Si a > b c = d c = d a : c < b : d a : c > b : d b) Si : a = b Si a = b c < d c > d a : c > b : d a : c < b : d a) Si : a < b Si a > b c > d c < d a : c < b : d a : c > b : d ESCOLIO Si se dividen miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una igualdad. Si : a < b c < d a : c ? b : d ? a:c < b:d a:c = b:d a:c > b:d ALTERACIONES EN LA DIVISIÓN I. ALTERACIÓN DEL COCIENTE 1. Si el dividendo de una división exacta se le multiplica (o divide) por un mismo valor entero el cociente queda multiplicado (o dividido) por el mismo valor entero 2. Si al divisor de una división inexacta se le multiplica (o divide) por un valor entero, el cociente queda dividido (o multiplicado) por el mismo valor entero 3. Si al dividendo y al divisor de una división exacta se les multiplica (o divide) por un mismo valor entero, el cociente no varía (INALTERABILIDAD DEL COCIENTE) II. ALTERACIÓN EN LA DIVISIÓN INEXACTA a) Por Adición de Unidades al Dividendo Al sumarle un cierto valor al dividendo este mismo valor se suma al residuo. Si el nuevo residuo no es menor al divisor, se divide entre él, el cociente que se obtenga, será el número de unidades que aumente el cociente de la división inicial y el residuo que deja será el nuevo residuo de la división. Ejemplo: 4735 21 4735 + 10 21 225 225 Cociente 10 1 0 + 10 no varia División inicial Residuo (20) < Divisor 4735+35 21 45 21 225 2 Cociente aumenta 10+35 = 45 3 en 2 Residuo > divisor Nuevo Residuo 3 (45) (21) b) Por Multiplicación de Unidades al Dividendo b1. Alterando el Divisor, si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo valor, el cociente no variará y el residuo queda multiplicado con el mismo valor. Inicialmente D = d x q + R (R < d) Se multiplica por “n” n x D = n x d x q + n x R Nuevo Nuevo Nuevo Dividendo Divisor Residuo b2. Alterando el cociente. Si se multiplica al dividendo y al cociente por un mismo valor, el residuo queda multiplicado por dicho valor. Pero se señala las mismas observaciones que en el caso por adición. Inicialmente: D = d x q + R Donde R < d Se multiplica por “n” n x D = d x n x q + n x R Nuevo Nuevo Nuevo Dividendo Cociente Residuo Donde: n x R < d: la división queda como se indica. n x R  d: Se dividen los valores señalados el cociente obtenido será lo que aumenta el cociente anterior y el residuo que deja será el residuo real. 43 7 43 x 3 7 6 6 x 3 1 1 x 3 División Residuo < divisor Inicial (3) (7) 43 x 8 7 1 x 8 6 x 8  8 7 1 1 Residuo > divisor (8) (7) • El cociente 6 x 8 aumenta 1 • El residuo real será 1 D = dq + 5 ...... (1) d > 5 Multiplicando por 4 4D = d(4q) + 20 Pero 20 d 20 = dq´ + 2 2 q´ 18 = dq´ nuevo residuo  d esta contenido en 18:d = 18,9,6 no más (d > 5) 3) Hallar la suma de todos los números enteros que al ser divididos entre 25 originan un cociente que es el triple del residuo Resolución Sean el esquema D d = 25 R < 25 R q = 3R Se conoce: D = d x q + R D = 25 (3R) + R = 76R Pero el residuo es un valor no limitado. En una división inexacta o < R < 25  R = 1,2,3..... 24 Como D = 76R, la suma de sus posibles valores será: Suma de valores de D = 76 (1 + 2 + 3 +.... +24) = 22800 CANTIDAD DE CIFRAS DE UN COCIENTE La cantidad de cifras del cociente de dos números , puede ser como mínimo igual a la diferencia entre las cantidades de cifras del dividendo y divisor y como máximo la diferencia aumentada en una unidad. Q = A  a cifras B  b cifras ¿Cuántas cifras como mínimo y como máximo puede tener “q”? máximo : a – b + 1 mínimo : a – b CASO ESPECIAL CUANDO EL NUMERADOR Y DENOMINADOR TIENEN VARIOS FACTORES Primero se calcula la cantidad de cifras como máximo y como mínimo, tanto del numerador como denominador, mediante la regla del producto. Luego para hallar el máximo del cociente se compara el máximo del numerador con el mínimo del denominador, análogamente para hallar el mínimo del cociente se compara, el mínimo del numerador con el máximo del denominador, ambos mediante la determinación de la cantidad de un cociente.

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