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SISTEMA DE ECUACIONES - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA PRE RUBIÑOS PDF

OBJETIVOS :
* Reconocer un sistema de ecuaciones como dos ecuaciones con dos incógnitas relacionadas entre sí.
* Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
* Clasificar y resolver sistemas cuadrados con determinante asociado distinto de cero aplicando la Regla de Cramer.
* Aplicar los conocimientos de matriz inversa para resolver sistemas cuadrados. justificando bajo qué
condiciones esto es posible.
* Analizar las ventajas y desventajas de estosmétodos.
*Aplicar elmétodo de Gauss Jordan en la clasificación y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
* Modelar problemas específicos de su área mediante sistemas de ecuaciones lineales, aprendiendo a
interpretar correctamente las soluciones de los mismos, lo que le permitirá desarrollar su imaginación
y capacidad de razonamiento y observación.

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INTRODUCCIÓN :
En este capítulo aprenderemos a expresar problemas
de aplicación como sistemas de ecuaciones lineales
es decir , como conjuntos finitos de ecuaciones a
resolver estos sistemas desde el punto de vista
analítico y geométrico. Veamos un problema muy
sencillo de traducir al lenguaje algebraico. De este
modo introduciremos los conceptos fundamentales
relacionados con el tema
«Un caballo y una mula caminaban juntos llevando
sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el
caballo de su enojosa carga , a lo que la mula le dijo
¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco , mi carga
sería el doble de la tuya . En cambio si te doy un saco
, tu carga se igualaría a lamía» .¿cuántos sacos llevaba
el caballo? ¿Y la mula?
Si representas por x la cantidad de sacos que lleva el
caballo y por y los que lleva la mula, obtendrás las
ecuaciones siguientes :
y + 1= 2(x – 1) e y – 1= x + 1
Estas ecuaciones tienen dos variables y para resolver
el problema debemos hallar los valores de x e y que
satisfagan simultaneamente las dos ecuaciones.
Cuando buscamos una solución común a dos o más
ecuaciones lineales, estamos en presencia de un
sistema de ecuaciones lineales.
SISTEMA DE ECUACIONES
Se llama así al conjunto de ecuaciones lineales con
dos o más incógnitas , las cuales pueden verificarse
para algunos valores asignados a sus incógnitas o tal
vez nunca se verifique.
EJEMPLOS :
x+ y=7
x y=1
ìïï
Þ íï
îï -
2
x=4; =3
Es un sistema lineal de dos
ecuaciones con incógnitas,
se verifican simultaneamente
para : y
x+ y+z= 2
2x y+z= 5
3x+2y z= –1
ìïïï
ï - Þ íïï
- ïï
î
3
3
x=1; = –1; z= 2
Es un sistema lineal de
ecuaciones con incógnitas,
se verifican simultaneamente
para : y
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
La solución de un sistema de ecuaciones, si existe,
depende de la cantidad de incógnitas, es decir:
*Si el sistema tiene 2 incógnitas, una solución del
sistema de existir será de la forma (x0, y0), llamado
par ordenado.
*Si el sistema tiene 3 incógnitas, una solución será de
la forma (x0 ; y0 ; z0) llamada terna ordenada.
*Así en general, si el sistema tiene n incógnitas, una
solución será de la forma (x0 ; y0 ; .... ; w0) de n
elementos, llamada n-ada ordenada.
CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S) :
Es el conjunto formado por todas las soluciones del
sistema.
SISTEMAS EQUIVALENTES :
Son aquellas que a pesar de tener ecuaciones
diferentes aceptan las mismas soluciones.
* Las siguientes transformaciones permiten pasar de
un sistema a otro equivalente.
387
I) Si una ecuación del sistema se multiplica por un
número real, no nulo, se obtiene un sistema equivalente
al primero.
* Observa el siguiente ejemplo:
sistema equivalente
x y=1 3x 3y=3
x+3y= 5 x+3y= 5
- ïïü ìïï - ïý íï ïþ Û îï
Solución: x = 2 ; y = 1
II) Si una ecuación de un sistema se sustituye por la
suma de ella con otras ecuaciones del sistema
previamente multiplicadas por números cualesquiera,
se obtiene un sistema equivalente al primero.
* Observa el ejemplo:
x y=1 x y=1
x+3y= 5 4x= 8
- ïïü ìïï - ïý íï ïþ Û îï
sistema equivalente
Solución: x = 2 ; y = 1
* Se ha sumado a la segunda ecuación la primera
multiplicada por tres.
III) Si en un sistema de ecuaciones se despeja una
variable en una de las ecuaciones y la expresión
resultante se sustituye en las demás, el sistema que
resulta es equivalente al primero.
* Observa el ejemplo:
( )
x=1+ y x=1+ y x=1+ y
x y=1
x+3y= 5 1+ y +3y= 5 4y=4
x+3y= 5
ìïï ïìï ïìï - Ûíï Ûíï Ûíï îï îï îï
Solución: x = 2 ; y = 1
IV) Si en un sistema hay una ecuación que es
consecuencia de otras varias, se puede suprimir y
resulta un sistema equivalente al dado.
*Observa este sistema de tres ecuaciones con dos
variables. x+ y=1
2x+ y=3
4x+3y= 5
üïïï
ïýïïïï
þ
La tercera ecuación se obtiene multiplicando a la
primera por dos y sumándole la segunda . Se dice que
la tercera ecuación es consecuencia de las primeras,
o también que la tercera ecuación es combinación
lineal de las otras dos.
* La tercera ecuación se puede suprimir y el sistema
que queda es equivalente al primero.
x+ y=1
2x+ y= 3
üïïýïï
þSolución; x = 2; y = –1
TRANSFORMACIONES QUE SE PUEDE
REALIZAR SIN ALTERAR EL SISTEMA:
* Permutar dos ecuaciones del sistema.
* Multiplicar una ecuación cualquiera del sistema por
un número distinto de cero.
* Sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones
de un sistema.
CLASES DE SISTEMAS DE
ECUACIONES
Se clasificará de acuerdo a ciertas características:
I) DE ACUERDO A LA SOLUCIÓN :
Los sistemas se clasifican en compatibles o
incompatibles dependiendo si existe o no solución.
A) SISTEMA COMPATIBLE :
Es aquel sistema que presenta solución y a su vez
puede ser:
1) COMPATIBLE DETERMINADO :
Un sistema se llamará compatible determinado si
presenta almenos una solución o hay un número finito
de soluciones.
EJEMPLO :
* Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
x 2y= 4
2x+3y=1
ì - ïïíïï
î
Este sistema tiene una única solución que es:
x = 2 ; y = –1
* Gráficamente:
x 4 x ... 0 2 ... y
2 y ... 2 1 ...
=
2x 1 x ... 5 2 ... y
3 y ... 3 1 ...
= +
X
(2; –1)
S
x–4
2
y =
–2 +1
3
x y =
R
Y
* Observa que los gráficos de estas dos ecuaciones
388
determinan dos rectas que se cortan en el punto de
coordenadas (2 ; –1).
2) SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO
Es aquel sistema que tiene infinitas soluciones :
EJEMPLO :
* Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
x y 2
2x 2y 4
ì - = ïïíï
îï - =
* Estas dos ecuaciones son equivalentes y quedan
reducidas a una sola ecuación
y = x – 2 , cuyas soluciones encontramos tabulando:
x ... 0 2 ...
y ... 2 0 ...
* Cuyo conjunto solución será :
C.S. = {(0; –2), (2; 0), ....}
* El sistema tiene infinitas soluciones.
Y
y= x– 2
2 – 2 4 x y=
1 2 3 4
1
2
3
* Observa que los gráficos de estas dos ecuaciones
determinan dos rectas que coinciden ; por lo tanto,
cualquier punto de la recta es la solución del sistema.
B) SISTEMA INCOMPATIBLE O INCOSISTENTE :
Es aquel sistema que no tiene solución , se dirá que
su conjunto solución es el vacío.
EJEMPLO 1 :
* Observa que el conjunto solución de un sistema de
ecuaciones lineales puede ser vacío. En efecto, el
sistema: x + y = 1
x + y = 7
* No tiene solución, porque no es posible encontrar
dos números reales cuya suma dé 1 y, a la vez , dé 7.
En este caso decimos que el sistema no tiene solución,
o que es un sistema incosistente o incompatible.
EJEMPLO 2 :
* Sea el siguiente sistema de ecuaciones :
x+ y= 4
2x 2y=0
ìïïíïîï- -
* Este sistema no tiene solución.
* Tabulando : x+ y=4Þ y=4- x
x ... 0 2 ...
y ... 4 2 ...
-2x-2y=0Þ y=-x
x ... 0 1 ...
y ... 0 - 1 ...
* Graficando :
X
Y
y= x 4–
y= x–
p
m
3
21
1 2 3
«Sistema
sin solución»
* Los gráficos de estas dos ecuaciones determinan
dos rectas paralelas.
* RESUMEN: SISTEMAS
DE ECUACIONES
Determinados
(solución única)
Indeterminados
(infinitas soluciones)
Compatibles
(tienen solución)
Incompatibles
(no tienen solución)
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
(SISTEMA DE 2 INCÓGNITAS)
Toda ecuación lineal de la forma ax + by = c representa
una recta en el plano cartesiano  2 , por lo tanto la
interpretación geométrica de un sistema de 2
ecuaciones con 2 variables se reduce a interpretación
algebraica de las posibles posiciones que adopten dos
rectas en el plano y sabemos que dos rectas son
secantes (si se intersectan en un solo punto) o
paralelas (si no se intersectan) o coincidentes (se
superponen). Veremos que cada una de estas
posiciones relativas tiene una interpretación algebraica
en términos del número de soluciones del sistema.
i) Si las rectas se cortan , el sistema de ecuaciones
389
tiene una solución dada por el punto de intersección.
En este caso el sistema es consistente y las
ecuaciones son independientes.
EJEMPLO :
Resolver :
1
2
x+3y=6.....L
x+ y=4......L
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
* Graficando (para ello solo se necesita tabular dos
puntos para cada recta, y luego trazarlas)
3
1 (6;0)
(3;1)  solución única
(0;4)
(0;2)
L1
L2
X
Y
OBSERVACIÓN :
* Se denomina ecuaciones independientes si los
coeficientes de una misma incógnita no son
proporcionales.
ii) Si las rectas son coincidentes el sistema de
ecuaciones tiene infinitas soluciones representadas por
todos los puntos sobre la recta, en este caso el sistema
es consistente y las ecuaciones son dependientes.
EJEMPLO :
Resolver :
1
2
x+ y= 2..........L
3x+3y=6......L
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
(2;0)
(0;2) L1
L2
X
Y
iii)Si las rectas son paralelas el sistema de ecuaciones
no tiene solución ya que las rectas nunca se cortan, el
sistema en este caso es inconsistente.
EJEMPLO :
Resolver : 1
2
2x+ y=4.....L
2x+ y= 2......L
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
(2;0)
(0;2)
L L1 2
X
Y
(0;4)
(1;0)
OBSERVACIÓN :
Solucionar un sistema de ecuaciones con dos
incógnitas consiste en encontrar valores para x e y
que satisfagan ambas ecuaciones. Gráficamente,
resolver un sistema de ecuaciones consiste en
establecer el punto de corte de las rectas.
*A continuación presentamos un cuadro comparativo
entre el aspecto geométrico y algebraico.
II) DE ACUERDO AL TIPO DE
ECUACIONES :
Los sistemas pueden ser lineales o no lineales.
A) SISTEMAS LINEALES :
Son aquellos sistemas donde cada una de las
ecuaciones son lineales. Esta denominación se debe
a que, en la geometría analítica, estas ecuaciones
determinan una recta.
EJEMPLO : x+3y 2z= 17
2x 3y=14
3x y 2z= 2
ì- - - ïïï
ï- - íïï
- - - ïï
î
Es un sistema lineal determinado y su solución es
(–1; –4; 3)
B) SISTEMA NO LINEAL :
Es aquel sistema donde, al menos, una de las
ecuaciones es no lineal.
390
EJEMPLO : x2+ y2 =13
x y=1
ìïïíï
îï -
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS
Un sistema de dos ecuaciones con dos variables es
de la forma :
1 1 1
2 2 2
a x+b y=c
a x+b y=c
ìïïíïï
î
RESOLUCIONES DE SISTEMAS LINEALES
(2 INCÓGNITAS):
El método quemayormente se utiliza es el denominado
método algebraico que consiste en realizar
transformaciones lineales con las ecuaciones del
sistema para eliminar progresivamente las incógnitas.
* La forma en que se lleva a cabo dicha eliminación
genera 4 procedimientos:
I)SUSTITUCIÓN
II)IGUALACIÓN
III)REDUCCIÓN
IV) REGLA DE CRAMER
I)MÉTODO DE SUSTITUCIÓN :
Se resume en los siguientes pasos:
* En una ecuación, suponiendo conocida una incógnita,
hallar el valor de la otra (esta operación se llama
despejar una incógnita).
* Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación
del sistema, obteniendo así una ecuación con una
incógnita.
* Resolver la ecuación obtenida.
* Sustituir la solución obtenida en la expresión de la
otra incógnita.
EJEMPLO 1 :
Resolver : ì + = ïïíï
îï - =
2 18
3 4
...(I)
5...(II)
x y
x y
RESOLUCIÓN:
PASO 1 : En la ecuación más sencilla se despeja la
variable más fácil de despejar (la variable afectada
por el menor coeficiente ).
De(I) : y = 18 - 2x ...(III)
PASO 2 : Se sustituye lo despejado en la otra
ecuación.
En(II) : 3x -4(18-2x)= 5
PASO 3 : Se resuelve la ecuación resultante.
- ( ) = Þ - + =
= + Þ = Þ = Þ =
3 4 5 3 72 8 5
1 77
18 - 2x
1 5 72 11 77 7
11
x x x
x x x x
PASO 4 : El valor obtenido se sustituye en la ecuación
donde estaba despejada la primera variable.
En(III) : y = 18 - 2(7)Þ y = 18 - 14 Þ y = 4
EJEMPLO 2:
Resolver :
x+3y=5
2x+2y=6
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
* Despejamos x de la primera ecuación por lo que
tenemos x = 5 – 3y. Sustituimos este resultado en la
segunda ecuación y tenemos una ecuación con una
sola variable.
2(5 – 3y) + 2y = 6 Þ10 – 6y + 2y = 6
Þ –4y = –4 Þ y = 1
* Con y = 1 mediante sustitución regresiva es decir
sustituyendo 1 en vez de «y» en las ecuaciones
originales.Tenemos el valor de x o sea: 2x+2(1)= 6
tenemos 2x = 4 entonces x = 2.
* La solución del sistema vendrá dada por el par (2; 1).
EJEMPLO 3 :
Resolver : 2x 3y= 13
4x+2y= 2
ì - - ïïíï
îï -
RESOLUCIÓN:
*Se despeja en la segunda ecuación el valor de y:
y = –1 – 2x
* Se reemplaza la expresión en la primera ecuación:
2x – 3(–1 – 2x) = –13
Þ 2x + 3 + 6x = –13
Þ8x = –16 Þ x = –2
* Se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones
y se calcula el valor de y: y = –1 – 2(–2) = 3
* Entonces: C.S. = (–2; 3)
II) MÉTODO DE IGUALDAD :
Podríamos resumir este método de igualación en los
siguientes pasos.
* Despejar en las ecuaciones la misma variable.
* Igualar las dos expresiones de la variable despejada.
* Resolver la ecuación obtenida.
* Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las
expresiones de la otra incógnita.
391
EJEMPLO 1 :
Resolver :
7x 4y=13
5x 2y=19
ì + ïïíï
îï -
RESOLUCIÓN :
PASO 1 : Despejar en las ecuaciones la misma
variable.
13 4y
De( I ) : 7x=13 4y x ...( III )
7
19 2y
De( II ) : 5x=19 2y x ...( IV )
5
- Þ = -
+ Þ = +
PASO 2 : Igualar las dos expresiones de la variable
despejada.
13 4y 19 2y
5(13 4y)=7(19 2y)
7 5
- = + Þ - +
PASO 3 : Resolver la ecuación obtenida.
65 20y=133+14y 65 133 14y 20y
68
68 34y y y 2
34
- Þ - = +
Þ- = Þ = - Þ =-
PASO 4 : Sustituir la solución obtenida en cualquiera
de las expresiones de la otra incógnita.
13 4( 2) 13 8 21
En( III ) : x 3 y 3
7 7 7
- - + = = = = Þ =
EJEMPLO 2 :
Resolver :
2x 3y = 5
3x+ 4y = 1
ì - ïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
*Al aplicar estemétodo también conveniente observar
cuál es la incógnita que más fácilmente se despeja en
las dos ecuaciones.
* Se despeja lamisma variable en las dos ecuaciones:
2x 5 1 3x
y= ; y=
3 4
- -
* Como y = y , entonces :
2x – 5 1 3x
= 4(2x 5) = 3(1 3x)
3 4
23
8x 20 = 3 9x 17x=23 x=
17
- Þ - -
Þ - - Þ Þ
*Se reemplaza el valor de x en cualquiera de las dos
ecuaciones y se resuelve la ecuación para y:
23
2 5 13 y= 17 =
3 17
æç ö÷ççè ÷÷ø- -
* Luego la solución es :
23 13
;
17 17
æç ö÷ ççè - ÷÷ø
III) MÉTODO DE REDUCCIÓN (EL MÁS
UTILIZADO) :
Este método llamado también de eliminación se
resumen en los siguientes pasos:
* Multiplicar los dos miembros de las dos ecuaciones
por ciertos números, de tal forma que los coeficientes
de una incógnita sean opuestos.
* Sumar las dos ecuaciones miembro a miembro.
* Resolver la ecuación obtenida.
* Sustituir la solución obtenida en cualquiera de las dos
ecuaciones iniciales y hallar la otra incógnita.
En el PASO 1 según los coeficientes:
I) SI SON IGUALES: Se resta ambas ecuaciones.
...(I)
...(II)
II) SI SON OPUESTOS: Se suma ambas ecuaciones.
III) SI UNO ES MÚLTIPLO DE OTRO: Se multiplica
la ecuación que tenga el menor coeficiente por un
número para que ambos coeficientes sean opuestos.
IV) SI NO SON PRIMOS ENTRE SÍ : Se halla el
M.C.M. de ambos y se multiplica cada ecuación por
un número, de forma que este M.C.M. sea el
coeficiente.
V) SI SON PRIMOS ENTRE SÍ : Se multiplica cada
ecuación por el coeficiente de la variable de la otra
ecuación.
EJEMPLO 1 :
Resolver :
2x+3y= 5
2x – 3y=7
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
392
* Comos los coeficientes de y son iguales pero de
signo contrario , no es necesario multiplicar ninguna
de las ecuaciones . Al sumar las dos ecuaciones se
obtiene :

2x+3y=5
2x – 3y=7
4x=12  x=3
* Sustituyendo «x» en la primera ecuación:
1
2(3) + 3y = 5 y= –
3
Þ
* Entonces : C.S. = (3; – 1
3 )
EJEMPLO 2 :
Resolver : 3x+5y=11 ....(I)
2x+3y=7 ....(II)
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
* Eliminaremos la variable «y» para estomultiplicamos
por 3 a (I) y por 5 a (II), resultando:
Þ
9x+15y=33
10x+15y=35
x= 2
“Restando
miembro a
miembro”
* Sustituyendo x = 2 en (I):
3(2) + 5y =11Þ y = 1
* Entonces : C.S. = (2; 1)
EJEMPLO 3 :
Resolver :
x+ y=6
2x – y=3
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
*Observe que una ecuación contiene +y y la otra – y.
Al sumar las ecuaciones, podemos eliminar la variable
y obtener una ecuación que contiene una incógnita :
x+y=6
2x–y=3
3x=9
* Ahora despejamos la variable restante , x: x = 3
* Por último, determinamos y sustituyendo x = 3 en
la ecuación original. 3 + y = 6 Þ y = 3
* Entonces: C.S. = (3; 3)
EJEMPLO 4 :
Resolver :
2x+ y= 3
4x+2y=12
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
* Se puede eliminar la varibale y multiplicando la
primera ecuación por –2, después sumamos las
ecuaciones :
–4x–2y=–6
4x+2y=12
0=6...falso
* Como 0 = 6 es un enunciado falso, este sistema no
tiene solución. Este sistema es inconsistente y las
rectas serán paralelas cuando se las grafique.
EJEMPLO 5 :
Resolver :
2x+ y=6
3x+ y= 5
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
* El objetivo de la reducción, es obtener dos ecuaciones
cuya suma sea una ecuación que contenga sólo una
variable. Si sumáramos estas dos ecuaciones, no
eliminamos variable alguna. Sin embargo, si
multiplicamos una de las ecuaciones por –1 y después
sumamos, lograremos nuestro objetivo.Multiplicamos
la ecuación 2x + y = 6 por –1, da como resultado
–2x – y = –6.
* Recuerde que debemos multiplicar ambos lados de
la ecuación por –1. Este proceso tiene el efecto de
modificar el signo de cada término de la ecuación que
es multiplicada, sin cambiar la solución del sistema de
ecuaciones. Ahora, sumamos las dos ecuaciones de
la derecha. –2x – y= –6
3x+y=5
x= –1
* Reemplazamos x=–1 en cualquiera de las
ecuaciones originales. –2(–1) + y = 6 Þ y = 8
* Entonces : C.S. = (–1; 8)
IV) REGLA DE CRAMER (TEOREMA) :
La solución del sistema de ecuaciones.
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Esta dado por : 1 1
x 2 2 1 2 2 1
s 1 1 1 2 2 2
2 2
1 1
y 2 2 1 2 2 1
s 1 1 1 2 2 1
2 2
c b
c b c b – c b
x= = = ;
a b a b – a b
a b
a c
a c a c – a c
y= = =
a b a b – a b
a b
D
D
D
D
Donde:
Dx = Determinante de x
393
Dy = Determinante de y
s = Determinante del sistema
* Siempre que :
1 1
s 1 2 2 1
2 2
a b
= =a b – a b 0
a b
D ¹
* Es decir este teorema nos proporciona una condición
necesaria y suficiente para que un sistema sea
compatible determinado, esta condición es que el
determinante del sistema sea diferente de cero.
EJEMPLO 1 :
Resolver el sistema :
2x+ y=3
x+3y=18
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
* Los determinantes de las variables y del sistema son:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
x
y
3 1
3 3 – 18 1 –9
18 3
2 3
2 18 – 1 3 33
1 18
2 1
2 3 – 1 1 5
1 3
D
D
D
= = =
= = =
= = =
Luego aplicando la Regla de Cramer
x –9 y 33
x= = , y= =
5 5
D D
D D
* el conjunto solución: C.S.
–9 33
;
5 5
æç ö÷ ççè ÷÷ø
EJEMPLO 2 :
Resolver :
3x+2y=4
x – y=1
RESOLUCIÓN :
* Tenemos que :
s
3 2
= = 3 2= 5 0
1 – 1
D - - - ¹
x
4 2
= = 4 2= 6
1 – 1
D - - -
y
3 4
= = 3 4= 1
1 1
D - -
* Entonces :
x
y
–6 6 6
x= = = x=
5 5 5
–1 1
y= = y=
5 5
D
D
D
D
Þ
-
Þ
-
EJEMPLO 3 :
Calcular «x» en el sistema :
5x 3y=11
4x 5y=1
ì - ïïíï
îï -
RESOLUCIÓN:
* De acuerdo a la teoría :
11 3
1 5 55+3 52
x= = = x= 4
5 3 25+12 13
4 5
-
- - - Þ
- - -
-
EJEMPLO 4 :
Calcular «y» en el sistema :
7x+5y= 45
4x 3y= 26
ì- - ïïíï
îï -
RESOLUCIÓN :
* Para el cálculo de «y» tenemos :
7 45
4 26 182+180 2
y= = = y = 2
7 5 21 20 1
4 3
- -
- - Þ -
- -
-
EJEMPLO 5 : 4x+5y= 3
8x+10y=6
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
* El determinante de la matriz de coeficientes es:
s
4 5
= =40 40=0
8 10
D -
* Como el determinante del sistema es 0 y este
determinante es el denominador de las expresiones
para x y y, entonces no se puede usar la regla de
Cramer. En este caso se dice que el sistema no tiene
solución única. El sistema es inconsistente o
dependiente.
* La regla de Cramer se puede aplicar para resolver
cualquier sistema de ecuaciones lineales en el que el
número de ecuaciones sea igual al número de
incógnitas y en el que el determinante de la matriz de
coeficientes sea diferente a 0.
ANÁLISIS DE UN SISTEMA LINEAL DE
2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS
Consideremos el siguiente sistema :
1 1 1 2 2 2
2 2 2
a x+b y=c ; a ;b ; c 0
a x+b y= c
ì ¹ ïïíïï
î
I) El sistema será compatible determinado, es decir
posee sólución única, si se cumple:
1 1
s
2 2
a b
0 ó
a b
D ¹ ¹
II) Para que el sistema dado sea compatible
indeterminado (infinitas soluciones), se debe cumplir :
1 1 1
2 2 2
a b c
= =
a b c
* Si: Dx =0; Dy =0 Ù Ds =0 , el sistema es
compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones.
394
III) El sistema es incompatible o inconsistente debe
cumplirse :
1 1 1
2 2 2
a b c
=
a b c
¹
* Si: Dx ¹ 0; Dy ¹ 0 y Ds =0 , el sistema es
incompatible, no tiene solución.
EJEMPLO 1 :
El sistema lineal :
3x+ y=7
5x+4y= 1
ìïïíï
îï -
Se tiene :
3 1
5 4
¹ Þ el sistema tiene solución única.
EJEMPLO 2 :
El sistema lineal :
2x+3y=1
6x+9y=3
ìïïíïï
î
Se tiene :
2 3 1
= =
6 9 3
Þel sistema lineal tiene infinitas
soluciones.
EJEMPLO 3 :
El sistema lineal : 4x – 5y = 4
8x – 10y = 14
Se tiene :
4 5 4
=
8 10 14
- ¹ Þ
- el sistema lineal no tiene
solución.
EJEMPLO 4 :
Dado el sistema :
2x+ky= 5k
5x – 4y= –27
ìïïíïï
î
Para qué valor de «k»; es incompatible
RESOLUCIÓN:
* Calculando «x» vemos que:
5k k
27 4 20k+27k 7k
x= = =
2 k 8 5k 5k 8
5 4
- -
- - - -
-
* Para que no exista solución debe cumplirse que :
8
5k 8 = 0 k=
5
- - Þ -
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES CON TRES
INCÓGNITAS
Tienen la siguiente forma:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x+b y+c z=d
a x+b y+c z= d
a x+b y+c z= d
ìïïï
ïíïïïï
î
Al igual que en el sistema de dos ecuaciones lineales
con dos variables, un sistema de tres ecuaciones
lineales con tres variables también tiene exactamentes
una solución, infinitas soluciones o no tener solución.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN :
Los métodos más usados para este tipo de sistemas
es el algebraico y el método de las determinantes.
Veamos como funciona el método de reducción en un
sistema de tres ecuaciones con tres variables.
EJEMPLO 1:
Resolver : x+ y z= 1 .....(I)
4x 3y+2z=16 ....(II)
2x 2y 3z= 5 ....(III)
ì - - ïïï
ï - íïï
- - ïï
î
RESOLUCIÓN:
*Para un sistema de tres ecuaciones debemos eliminar
una variable a la vez formando pares con las
ecuaciones dadas.
*Por ejemplo eliminamos la variable «z» de las
ecuaciones (I) y (II) , multiplicando la ecuación (I) por
«2» tenemos :
2x+2y 2z= 2
4x 3y+2z=16
6x y=14...........()
   

Ahora eliminamos «z» de las ecuaciones (I) y (III) para
estomultiplicamos la ecuación (I) por « – 3 » y sumando
tenemos: 3x 3y+3z=3
2x 2y 3z=5
x 5y=8......( )
    
 
Luego resolvemos de () y (), resulta:
x= 2; y = –2, con estos valores hallamos «z»,
reemplazando en la ecuación (I) tenemos:
2 – 2 – z = –1 Þ z = 1
* Entonces : C.S. = (2; –2; 1)
EJEMPLO 2 :
Resolver :
5x 3y+7z=31................(I)
4x 5y+9z= 23 ...............(II)
3x+5y+7z= 1.............(III)
-
-
- -
RESOLUCIÓN :
* Sumando (II) y (III), se obtiene :
x + 16z = 22 .........................................()
395
* Luego de 5(I) + 3(III), se obtendrá:
25x 15y+35z=155
9x+15y+21z= 3
16x+56z=152.........( )
 
* Ahora de () y () :
×16 x+16z=22
16x+56z=152
200z= 200
z=1 x=6
* Reemplacemos estos valores en (I) :
5(6) – 3y + 7(1) = 31Þ y = 2
* Finalmente : C.S. = (6; 2; 1)
REGLA DE CRAMER PARA
RESOLVER SISTEMA DE
ECUACIONES CON TRES VARIABLES
La Regla de Cramer (llamada así en honor a Gabriel
Cramer de Ginebra , 1770–1752) usa determinantes
para resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema de n–ecuaciones lineales con n–incógnitas
tiene una sola solución, si y solamente si el
determinante D formado por los coeficientess de las
incógnitas no es igual a cero.
* Sea :
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x+b y+c z=d
a x+b y+c z=d
a x+b y+c z=d
* Su resolución por la regla de Cramer, (dondeDs ¹ 0 )
es:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
x 3 3 3 y 3 3 3
s 1 1 1 s 1 1 1
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1
2 2 2
z 3 3 3
s 1 1 1
2 2 2
3 3 3
d b c a d c
d b c a d c
d b c a d c
x= = ; y= =
a b c a b c
a b c a b c
a b c a b c
a b d
a b d
a b d
z= =
a b c
a b c
a b c
D D
D D
D
D
Donde:
Ds : Se forma con los coeficientes de las incógnitas.
Dx : Se forma cambiando en D los coeficientes de
x por los términos independientes.
Dy : Se forma cambiando en D los coeficientes de
y por los términos independientes.
Dz : Se forma cambiando en D los coeficientes de
z por los términos independientes.
EJEMPLO 1 :
Resolver : x+2y+3z=8
2x+ y – z=3
–2x – y+2z=1
ìïïï
ïíïïïï
î
RESOLUCIÓN :
* Se halla el determinante de coeficientes :
s
1 2 3
= 2 1 1 = 3
2 1 2
D - -
- -
* Se halla luego  x ,  y ,  z :
x y
z
8 2 3 1 8 3
= 3 1 1 = 18 = 2 3 1 =15
1 1 2 2 1 2
1 2 8
= 2 1 3 =12
2 1 1
D D
D
- - -
- -
* Luego : - -
x
s
y
s
z
s
18
x= = =6
3
15
y= = = 5
3
12
z= = =4
3
D
D
D
D
D
D
-
-
-
-
-
-
* Entonces : C.S. = (6; –5; 4)
EJEMPLO 2 :
Resolver : x – 2y – 3z = 4
x – 2y – 4z = 3
2x + y – z = 3
RESOLUCIÓN :
* Primero : 1 2 3
= 1 2 4 = 5 0
2 1 1
D
- -
- - ¹
-
* Entonces el sistema tiene solución única, además
tenemos :
x y
4 2 3 1 4 3
= 3 2 4 =15 = 1 3 4 = 10
3 1 1 2 3 1
D D
- - -
- - - -
- -
396
z
1 2 4
= 1 2 3 = 5
2 1 3
D
-
-
*Entonces los valores de x , y , z son dadas
por :
x y z
s s s
15 10 5
x 3 ; y 2 ; z 1
5 5 5
D D D
D D D
= = = = = - =- = = =
EJEMPLO 3 :
Calcular el valor de «y» en el sistema :
5x – 2y+3z=6
7x+3y – 4z=6
2x+4y+3z= 5
ìïïï
ïíïïïï
î
RESOLUCIÓN :
* Por determinantes , se tendría :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
5 6 3
7 6 4
2 5 3 5 38 6 13 +3 47
y= =
5 – 2 3 5 25 +2 13 +3 34
7 3 4
2 4 3
190 78+141 253
y= = =1
125+26+102 253
-
- -
-
-
Þ -
PROPIEDADES:
I) Si:Dx ,Dy ,Dz Î Ù Ds ¹ 0 ,el sistema es
compatible determinado.
Luego :
x= x , y= y , z= z ,.....
D D D
D D D
(solución única)
II) Si: Dx =0;Dy =0;Dz =0 Ù Ds =0 , el sistema
es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones
(pudiendo ser incluso incompatible)
III)SiDs = 0 y por lo menos algún
Dx ¹ 0 Ù Dy ¹ 0ÚDz ¹ 0 , entonces necesariamente el
sistema dado es incompatible.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE UNA
ECUACIÓN CON TRES INCÓGNITAS
La terna ordenada (1 ; –2 ; 2) es una solución de la
ecuación x–2y+5z=15 porque 1–2(–2)+5(2)=15
Otras triplas ordenadas que satisfacen la ecuación son
(0; –5; 1), (5; 0; 2), (23; 4; 0). Hay muchas más. El
conjunto solución de la ecuación es un conjunto infinito.
La gráfica de una ecuación en tres variables es un
conjunto de puntos representados por ternas ordenadas
de números reales . Tales puntos se representan en
un sistema de coordenadas de tres dimensiones.
Así:
Para representar gráficamente la posición de un punto
en el espacio es necesario considerar tres rectas
mutuamente perpendiculares que se intersectan en un
punto. Estas rectas se llaman el eje X, el eje Y y el eje
Z. El punto de intersección se llama el origen O de las
coordenadas.
Z
0
X
Y
* La terna de números reales (a; b; c) corresponde a
un punto particular en el espacio y se representa como
se indica en el gráfico.
Y
X
Z
c
a
b
(a;b;c)
EJEMPLO 1 :
Representa la terna : P = (3; 4; –2)
RESOLUCIÓN :
* Se traza el sistema coordenado de tres ejes.
*Se representa la pareja (3; 4) en el plano X, Y.
* Desde el punto P = (3; 4) se buscan 2 unidades en el
sentido negativo de la z .
* P ha sido desplazado 3 unidades en la dirección del
eje X, 4 unidades en la dirección del eje Y, y –2 unidades
en la dirección del eje Z.
Y
X
Z
P=(3;4; –2)
397
EJEMPLO 2 :
Reepresentar la terna: (1; 3; 5)
RESOLUCIÓN :
X Y
Z
5
3
(1;3;5)
1
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DE ECUACIONES
Mientras las ecuaciones lineales de dos dimensiones
representan rectas, las ecuaciones lineales con tres
variables : ax + by + cz = d, representan planos.
Para representar un plano se necesitan tres puntos
que no estén en una misma recta. Y éstos se
determinan encontrando tres soluciones de la ecuación
a representar.
EJEMPLO 1 :
Representar gráficamente la ecuación :
4x + 3y + 2z = 12
RESOLUCIÓN :
* Buscamos tres ternas que satisfagan la ecuación.
* Las ternas más fáciles de encontrar son las
correspondientes a los puntos de intersección del plano
con cada uno de los ejes. Estas se obtienen al hacer
que dos de las tres variables sean cero y resolviendo
la ecuación para la otra.
* Punto de intersección del plano con el eje X:
Hacemos y = 0, z = 0 y despejamos x:
4x + 3(0) + 2(0) = 12 Þx = 3
ÞEl punto de intersección del plano con el eje X es:
P1 = (3; 0; 0)
* Punto de intersección del plano con el eje Y :
Hacemos x = 0, z = 0 y despejamos Y :
4(0) + 3y + 2(0) = 12 Þy = 4
ÞEl punto de intersección del plano con el ejeY es:
P2 = (0; 4; 0)
* Punto de intersección del plano con el eje Z:
Hacemos x = 0, y = 0 y despejamos z:
4(0) + 3(0) + 2z = 12Þz = 6
ÞEl punto de intersección del plano con el eje X es:
P3 = (0; 0; 6)
* Ubicamos en el eje de tres coordenadas y trazamos
el plano determinado por la ecuación
4x + 3y + 2z = 12
* Todos los puntos que pertenezcan a este plano son
soluciones de la ecuación.
Y
X
Z (0; 0; 6)
(0; 4; 0)
(3; 0; 0)
EJEMPLO 2 :
Representar gráficamente la ecuación :
x – 2y + 5z = 15
RESOLUCIÓN:
* Se despeja z , es decir :
15 – x+2y
z=
5
* Dando valores convenientes a ‘‘x’’ y ‘‘y’’ se obtiene la
tabla:
x 0 15 0
y 0 0 15
2
z 3 0 0 X
(0;0;3)
(15;0;0)
(0;–15;0)
2
x 2y 5z 15
* La grafica de una ecuación lineal en tres variables es
un plano.
* Si se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales
en las variables x, y y z:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x+b y+c z=d
a x+b y+c z= d
a x+b y+c z= d
ìïïï
ïíïïïï
î
El conjunto solución del sistema es la intersección de
los conjuntos solución de las tres ecuaciones. Como
la gráfica de cada una de las ecuaciones en el sistema
es un plano, el conjunto solución se puede interpretar
gráficamente como la intersección de tres planos.
Cuando esta intersección da un único punto, las
ecuaciones del sistema se dice que son consistentes
e independientes.
398
SOLUCIONES DE LOS SISTEMAS DE TRES
ECUACIONES CON TRES VARIABLES
En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Cada una de las ecuaciones representa un plano. De
acuerdo con las posibles relaciones que se dá entre
los tres planos , se determina el tipo de solución que
tiene el sistema.
* Los tres planos son paralelos (No hay solución)
* Dos de los planos son paralelos (No hay solución)
* La intersección de los tres planos es una recta (hay
infinitas soluciones).
* Los tres planos se interceptan en un punto (la solución
es única)
SISTEMAS LINEALES DE «n»
ECUACIONES CON «n» INCÓGNITAS
1 1 1 2 1 n 1
2 2 2 2 2 n 2
n 1 n 2 n n n
a x b x ..........c x d
a x b x ..........c x d
a x b x ..........c x d
ì + + = ïïïï
+ + = ïïíïïïï
îïï + + =

REGLA DE CRAMER:
Dado un sistema lineal de «n» ecuaciones en «n»
incógnitas, el valor de una letra cualquiera es una
fracción que tiene por denominador al determinante del
sistema , y al numerador al determinante en el que la
columna de los coeficientes de la letra se ha cambiado
por la columna de términos independientes.
* El determinante de la matriz de los coeficientes de
las incógnitas es distinto de cero. (Determinante del
sistema).
1 1 1
2 2 2
s
n n n
a b ........c
a b ........c
0
a b ........c
D = ¹

* La solución viene dada por :
i
i
s
x =D ; i=1,2,3,.....,n
D
* i es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A,
cambiando los elementos de la columna i por los
términos independientes.
* Para resolver un sistema de n ecuaciones con n
incógnitas por la regla de Cramer es preciso calcular
n + 1 determinantes de orden n.
PROPIEDADES :
I) Tiene solución única si Ds ¹ 0
II) Tiene infinitas soluciones si Ds =0 ÙDi =0 para
cada i ; i = 1; 2; ...;n
III) No tiene solución si Ds =0 ÙDi ¹ 0 para algún i ;
i = 1; 2; ... ;n
SISTEMA LINEAL HOMOGÉNEO
Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación
tiene término independiente nulo.
1 1 1
2 2 2
n n n
a x b y ..... c z 0
a x b y ..... c z 0
a x b y ..... c z 0
+ + + =
+ + + =
+ + + =
  
Siempre es compatible dado que almenos una solución
es: x = y = ...... = z = 0, donde es trivial o impropia.
SOLUCIÓN TRIVIAL :
Son las soluciones de la forma {(0; 0; ....;0)} Un sistema
lineal homogéneo siempre tiene una solución trivial o
impropia. El estudio de los sistemas lineales
homogéneos siempre se centrará en investigar si
existen otras soluciones aparte de la trivial (solución
399
propia).
ANALIZANDO (SISTEMA HOMOGÉNEO)
I) Ds ¹ 0 ; el sistema tiene única solución la trivial (0;
0; 0); se deduce de Cramer.
II)Ds =0 ; el sistema tiene infinitas soluciones; es decir
es compatible indeterminado.
SISTEMA LINEAL DE «n»
ECUACIONES
CON «m» INCÓGNITAS (n > m)
Un sistema de más ecuaciones que incógnitas es; en
general, incompatible o imposible.
Habrá solución solo si al resolver el sistema formado
por «m» ecuaciones y «m» incógnitas; los valores
hallados verifiquen las «n – m» ecuaciones restantes
; entonces la solución encontrada será la solución de
todo el sistema.
CASO PARA «n» ECUACIONES y «n – 1»
INCÓGNITAS
Sea :
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a x+b y=c
a x+b y=c
a x+b y= c
ìïïï
ïíïïïï
î
SISTEMA LINEAL DE «n» ECUACIONES
CON «m» INCÓGNITAS (n < m)
Un sistema de más incógnitas que ecuaciones es por
lo general un sistema compatible indeterminado.
Estos tipos de sistema reciben el nombre de
Ecuaciones Diofánticas.
La resolución de un sistema de este tipo dependerá
de las incógnitas restantes las cuales se hallarán
usando parámetros adecuados las cuales se les
asignarán los valores que uno requiera.
TEOREMA :
En un sistema de ecuaciones de 2 incógnitas , si el
grado de la primera es «n» y de la segunda «m»
entonces elmáximo número de soluciones será «mn»
EJEMPLO :
Resolver :
x + y –3z = 2 ....................................................(I)
–3x + y + z = 6 ................................................(II)
RESOLUCIÓN :
* De (II) + 3(I): 4y – 8z = 12 Þ y = 3 + 2z
* Al reemplazar en (I) se obtiene : x = z – 1
* El conjunto solución es C.S.= {z – 1; 3+ 2z; z}
* Como vemos en la solución general, las variables x
e y dependen de la variable z. Esto significa que para
cualquier valor de la variable z se obtienen valores
diferentes de x e y, en consecuencia el sistema tiene
infinitas soluciones.
MÉTODO DE GAUSS PARA
RESOLVER SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
Uno de los métodosmás empleados (por su sencillez)
en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
es el método de eliminación de Gauss. El método,
como su nombre lo indica, consiste en realizar
determinadas transformaciones elementales en el
sistema de ecuaciones lineales, de modo que los
sistemas equivalentes que se van obteniendo
contengan menos incógnitas.
Como veremos a continuación, cuando el sistema de
ecuaciones lineales está dado en su forma matricial,
el método se reduce a escalonar la matriz ampliada
del sistema.
*Dado que nuestro objetivo es trabajar con matrices
equivalentes formalicemos una definición para las
transformaciones equivalentes entre matrices .
DEFINICIÓN :
Dada una matriz A , a las operaciones:
1) Permutar dos filas de A.
2) Multiplicar todos los elementos de una fila de A por
un número diferente de cero.
3) Sustituir una fila por el resultado de sumarle a ella
un múltiplo de culaquier otra fila.
Se les llamará TRANSFORMACIONES
ELEMENTALES por filas en A.
EJEMPLO :
Sea :
0 1 2
A= –1 0 3
1 1 4
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
* Si realizamos las operaciones: f3 + 2f1 + f2
* Obtendremos la matriz B :
0 1 2
B= –1 0 3
0 3 11
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø * Entonces : AB
DEFINICIÓN:
Dos matrices A y B son equivalentes( AB) si una se
400
obtiene a partir de la otra mediante transformaciones
elementales.
* En el proceso de encontrar las soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales la última matriz
equivalente tiene una forma especial en su
construcción, estas matrices se conocen como
matrices escalón.
* Ejemplos de matrices escalón :
7 1 3 2 3 1 0
0 1 4 0 0 2 1
A= B=
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 3 0 0 0
2 0 3 1 2
0 0 1 2 1
C =
0 0 0 7 1
0 0 0 0 0
æç - ö÷ æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø çççè ÷÷÷ø
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
Las matrices escalón son muy importantes.
DEFINICIÓN:
Una matriz M es escalonada por filas o simplemente
escalón , si se cumplen las siguientes condiciones:
1) Si existe una fila nula (fila constituida sólo por ceros),
al final de la matriz.
2) Si el primer número de izquierda a derecha es
diferente de cero, en cualquier fila no nula.
3) Si existen dos filas consecutivas no nulas (por
ejemplo las filas i e i +1) tal que tiene menor cantidad
de ceros delante del primer número no nulo ocupa la
posición i.
EJEMPLO :
1 * * * * * * * *
0 0 1 * * * * * *
0 0 0 1 * * * * *
0 0 0 0 0 * * * *
0 0 0 0 0 0 1 * *
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
elementos nulos
elemento unidad
elementos cuales
quiera (todos los que
están sobre cada uno
de los elementos
pueden hacerse nulos;
en este caso, la matriz
se conoce como escalón
reducido)
0=
1=
* =
1
*Observa que la matriz :
1 0 2 1
0 0 3 5
D=
0 0 1 1
0 0 0 2
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
No es unamatriz escalón , ¿Por qué? Porque el primer
elemento diferente de cero en la fila tres no se
encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de
la fila dos.
MÉTODO DE GAUSS
Consideremos, para simplificar notaciones y hacermás
comprensibles la exposición, un sistema de tres
ecuaciones lineales con cuatro incógnitas :
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 35 3 34 4 3
a x +a x +a x +a x =b
a x +a x +a x +a x =b
a x +a x +a x +a x =b
A la matriz A , conformada con los coeficientes del
sistema :
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 35 34
a a a a
A= a a a a
a a a a
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
la llamaremos
matriz del sistema.
A la matriz columna X , cuyos elementos son las
incógnitas del sistema : 1
2
3
4
x
x
X =
x
x
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
la llamamos matriz de las incógnitas.
* Finalmente, denotamos por B a la matriz columna
de los términos independientes del sistema :
1
2
3
b
B= b
b
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççè ÷÷ø
* Si efectuamos el productomatricial A X e igualamos
el resultado a la matriz B; esto es, A X=B, y además
utilizamos la definición de igualdad de matrices , se
obtiene el sistema de ecuaciones lineales dado
inicialmente , por lo que a la relación A X=B la
llamaremos representación matricial del sistema de
ecuaciones lineales.
* El sistema de ecuaciones lineales :
3x1 +2x2 – x4 = 1
2x1 – x3 + x4 = 0
x2 + x3 – 2x4 = 3
* Puede escribirse como el producto :
1
2
3
4
x
3 2 0 1 1
x
2 0 1 1 = 0
x
0 1 1 2 3
x
æç ö÷ æç - ö÷çç ÷÷ æç ö÷ çç - ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷çç ÷÷ çç ÷÷ ççè - ÷÷øçç ÷÷ ççè ÷÷ø ççè ÷÷ø
* Ahora bien, si se quiere resolver el anterior sistema
de ecuaciones en lugar de operar el sistema en sí,
401
trabajamos con la matriz ampliada (A|B), es decir :
3 2 0 1 1
2 0 1 1 0
0 1 1 2 3
æç - ö÷ çç - ÷÷ çç ÷÷ ççè - ÷÷ø
DEFINICIÓN :
Dado el sistema de ecuaciones lineales :
11 1 12 2 13 3 14 4 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2
31 1 32 2 33 3 34 4 3
a x +a x +a x +a x =b
a x +a x +a x +a x =b
a x +a x +a x +a x =b
denotaremos por (A|B) a la matriz ampliada del
sistema, definida por :
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
a a a a b
A= a a a a b
a a a a b
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ççèç ÷ø÷
OBSERVACIÓN :
De las definiciones de matriz ampliada, sistemas de
ecuaciones lineales equivalentes y matrices
equivalentes , se tiene que si M es la matriz ampliada
de un sistema dado, y M1 es la matriz ampliada de un
sistema equivalente al dado, entonces M y M1 son
equivalentes.
* Al usar las operaciones elementales en las filas se
busca transformar unamatriz aumentada en unamatriz
de un sistema en forma triangular. La matriz resultante
tendrá la siguiente forma para un sistema de tres
ecuaciones lineales con tres incógnitas:
* * * *
0 * * *
0 0 * *
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
êêë úúû
*Los siguientes ejemplos ilustran el procedimiento.
EJEMPLO 1 :
Resolver :
4x – 3y= 5
6x+ 2y=1
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN:
* Se forma la matriz aumentada del sistema, es decir:
2 1
4 3 5 4 3 5
2f +3f
6 2 1 0 13 13
é - ù é - ù ê ú ê ú
êë úû ¾¾® êë - úû
* La última fila de la matriz indica que :
13y = –13Þy = –1
* Si se sustituye este valor de y en la primera fila :
1
4x 3( 1) = 5 x=
2
- - Þ
* conjunto solución :
1
; 1
2
æç ö÷ ççè - ÷÷ø
EJEMPLO 2 :
Calcular «z» del sistema :
x 3y+2z=12
2x+ y 4z= 1
x+3y 2z= 8
ì - ïïï
ï - - íïï
- - ïï
î
RESOLUCIÓN :
* Se forma la matriz aumentada del sistema, es decir:
2 1
3 1
3 2 3
1 3 2 12 f – 2f 1 3 2 12
2 1 4 1 0 7 8 25
f – f
1 3 2 8 0 6 4 20
1 3 2 12 1 1 3 2 12 7f – 6f f
0 7 8 25 20 0 7 8 25
0 0 20 10 0 0 1 1/2
é - ù é - ù êê úú ¾¾® êê úú ê - - ú ê - - ú êêë - - úúû êêë - - úúû
éê - ùú éê - ùú
¾¾® êê - - úú êê - - úú ê ú ¾¾® ê ú êë úû êë úû

* De la tercera fila de la matriz se tiene que
1
z=
2 .
TEOREMA :
Dado un sistema de m ecuaciones lineales y n
incógnitas A X=B, denotaremos por M y M1, las
matrices escalón equivalentes a las matrices A y (A;
B), respectivamente. Entonces:
I) El sistema es consistente si y sólo si el número p
de las filas nulas en M es igual al número q de filas
nulas en M1.
II) Si el sistema es consistente y m – p = n, es
determinado.
III) Si el sistema es consistente y m – p – n = 0 , es
indeterminado y tiene m – p – n variables libres.
* Si, por ejemplo, la matriz escalón asociada a un
cierto sistema de ecuaciones lineales es:
1 –1 0 3 2
0 1 2 3 1
0 0 0 6 1
0 0 0 0 3
æç ö÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çççè ÷÷÷ø
entonces el sistema es evidentemente inconsistente .
Nótese que en este caso p ¹ q
NOTA:
Si en la matriz escalón aparece una fila con todos los
elementos correspondientes a la matriz del sistema
iguales a cero, excepto el término independiente
[0 0 ... 0 b], entonces el sistema es incompatible.
402
CONCLUSIONES :
1) Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas tiene
una solución única si y sólo si la forma escalonada
reducida por renglones de su matriz de coeficientes
es In.
2) Si en la matriz escalonada el número de filas
diferentes de cero es menor que el número de
incógnitas, entonces el sistema es compatible
indeterminado.
3) Si en la matriz escalón del sistema de ecuaciones
aparece una fila de la forma [0 0 ... 0 c] y c ¹ 0,
entonces el sistema es incompatible.
4) Todo sistema homogéneo es compatible.
* En resumen, el procedimiento consiste en reducir la
matriz ampliada por operaciones elementales en las
filas, a unamatriz equivalente en la que la solución del
sistema sea inmediata. Se pueden presentar estos
casos:
i) En la matriz resultante no hay ninguna fila en la que
el primer elemento no nulo esté en la última columna ,
entonces el sistema tiene una única solución o infinitas
soluciones.
ii) En lamatriz resultante aparece una fila con su primer
elemento distinto de cero en la última columna,
entonces el sistema no tiene solución.
EJEMPLO 2 :
Resolver el sistema por elmétodo de lamatriz ampliada
; e indicar el valor de «w»
2w+ x – 3y – 3z= 4
x+2y+z= –3
2w – x+3z= –3
5w – y+z= –6
ìïïïïïíïïïïï
ïî
RESOLUCIÓN :
* El sistema anterior se puede escribir así :
2w+ x – 3y – 3z=4
0w+ x+2y+z= –3
2w – x+0y+3z= –3
5w+0x – y+z= –6
ìïïïïïíïïïïï
ïî
La matriz ampliada del sistema es :
3 1
4 1
2 1 3 3 4 f – f 2 1 3 3 4
0 1 2 1 3 0 1 2 1 3
2 1 0 3 3 2f – 5f 0 2 3 6 7
5 0 1 1 6 0 5 13 17 32
é - - ù é - - ù êê úú êê úú ê - ú ¾¾® ê - ú
êê - - úú êê - - úú
êêë - - úúû êêë - - úúû
4 3
3 2
4 1
4
7f – 23f
f +2f 2 1 3 3 4 2 1 3 3 4
0 1 2 1 3 y luego 0 1 2 1 3
f +5f 0 0 7 8 13 1 0 0 7 8 13 – f
0 0 23 22 47 30 0 0 0 1 1
éê - - ùú ¾¾® éê - - ùú
¾¾® êê - úú êê - úú
êê - úú æç ö÷ êê - úú ê ú ççè ÷÷ø ê ú êë - úû êë úû
* De donde se obtiene : w = 1
EJEMPLO 3 :
Resolver el sistema por el método de la matriz
ampliada: 2w+3x – 4y – z= 3
3w+ x+ y+ 2z=1
w – 2x+3y – z=0
w – 2x – y – 9z= 5
æççççççççççç
çè
RESOLUCIÓN :
* La matriz ampliada del sistema es :
3 1
2 3 4 1 3 1 –2 3 1 0
3 1 1 2 1 f f 3 1 1 2 1
1 –2 3 –1 0 2 3 –4 –1 3
1 –2 –1 –9 5 1 –2 –1 –9 5
é - - ù é - ù ê ú ê ú
ê ú ê ú
êê úú ¾¾® êê úú
ê ú ê ú
êêë úúû êêë úúû

*y siguiendo con las transformaciones, llegaremos a :
1 –2 3 1 0
0 7 8 5 1
0 0 2 4 2
0 0 0 0 1
é - ù ê ú
ê - ú ê ú
ê - - ú ê ú
êêë úúû
De donde la última fila de la matriz conduce a la
ecuación : 0w + 0x + 0y + 0z = 1Þ0 = 1
* Entonces el sistema no tiene solución ()
EJEMPLO 4 :
Resolver el sistema:x +2y – 3z=6
2x – y+4z= 2
4x+3y – 2z=14
ìïïï
ïíïïïï
î
RESOLUCIÓN:
* La matriz ampliada del sistema es:
2 1
3 1
3 2
1 2 –3 6 f – 2f 1 2 –3 6
2 –1 4 2 f – 4f 0 –5 10 –10
4 3 –2 14 0 –5 10 –10
1 2 –3 6
f – f
0 –5 10 –10
0 0 0 0
é ù é ù
ê ú ¾¾® ê ú ê ú ê ú
ê ú ê ú
êêë úúû êêë úúû
é ù
ê ú
¾¾® ê ú ê ú
êêë úúû
*La última fila de la matriz anterior conduce a la
ecuación 0x + 0y + 0z = 0 entonces el sistema tiene
infinitas soluciones. El sistema original es equivalente
al sistema: x+ 2y – 3z=6
–5y+10z= –10
ìïïíïï
î
403
*Las ecuaciones de este sistema son dependientes.
Si (r ; s ; t) es una solución del sistema, entonces :
r + 2s – 3t = 6
–5s + 10t = –10
*Si se resuelve la ecuación –5s + 10t = –10, para s se
obtiene :
10+10t
s= = 2+2t
5
* Al sustituir este valor de s en la ecuación :
r + 2s – 3t = 6 , se obtiene :
r + 2(2 + 2t) – 3t = 6Þr = 2 – t
*Luego cualquier terna de la forma (2 – t ; 2+2t ; t) es
solución del sistema o el conjunto solución del sistema
es: {(2 – t; 2+ 2t; t) t Î  } .
SISTEMAS DE ECUACIONES NO
LINEALES
Un sistema no lineal es aquel sistema que no es lineal.
Para resolver un sistema no lineal de ecuaciones no
existe un procedimiento general. Se puede eliminar
variables, se puede sustituir y hasta puede graficar las
ecuaciones para encontrar la solución, es decir sólo la
experiencia le dirá a Ud. qué hacer.
Presentamos problemas resueltos para móstrarles
algunos métodos que se puede utilizar.
EJEMPLO 1 :
Calcular «x» en :
x + y = 2 ...... (I)
xy = –1 ...... (II)
RESOLUCIÓN :
* De (I) : y = 2 – x
* Reemplazando en (II) : x(2 – x) = –1
x2 2x 1 = 0 (x 1)2 = 2
x 1 = 2 x=1 2
Þ - - Þ -
Þ - ± Þ ±
EJEMPLO 2 :
Resolver :
2 2
x+ y=1 .........................................................(I)
x + y = 25 .................................................(II)
ìïïíïï
î
RESOLUCIÓN :
* De (I) : y = 1 – x; reemplazando en (II)
x2 + (1 – x)2 = 25 Þx2 + 1 + x2 – 2x = 25
* Simplificando , obtenemos :
x2 – x – 12 = 0
* Factorizando (x – 4) (x + 3) = 0
* Igualando cada factor a cero.
* Para : x=4 Þ y= –3
* Para: x= –3 Þ y=4
EJEMPLO 3 :
Resolver :
2 2
2 2
x – 2xy+3y =19 ............................................(I)
2x – xy+4y =38 ...........................................(II)
ìïïíïï
îR
ESOLUCIÓN :
* Cuando se trata de polinomios homogéneos se puede
hacer : y = kx, de donde resulta.
2 2 2
2 2 2
2
2
x – 2x kx+3k x =19
2x – x kx+4k x =38
1 2k+3k 19
=
2 k+4k 38



Dividiendo
Miembro
a miembro


2 4k + 6k2 = 2 k + 4k2 2k2 3k = 0
3
k(2k 3) = 0 k = 0 ó k=
2
3
y = 0 ó y= x
2
Þ - - Þ -
Þ - Þ
Þ
* Luego para y = 0, en el sistema original, resulta:
2
2
x =19
x= 19
2x = 38
üïï
Þ ± ýïïþ
* Finalmente para
3
y= x
2 :
2
2 3x 3x 2
x – 2x +3 =19 x = 4 x = 2
2 2
æç ö÷ × ×ççè ÷÷ø Þ Þ ±
* De donde :
Para : x= 2 Þ y=3
Para : x= –2 Þ y= –3
* El conjunto solución final , será :
{( 19 ;0),(– 19 ;0),(2;3) ,(–2; –3)}
EJEMPLO 4 :
Dado el sistema :
x+ y+ y+z+ z+ x =18
x+ y – y+z+ z+ x =6
2 x+ y – y+z+ z+ x =11
ìïïïï
ïíïïïï
ïî
Hallar la suma : x + y + z
RESOLUCIÓN :
404
* Haciendo uso de la transformación :
x+ y =u u+v+w=18 ...............(I)
y+z =v u – v+w=6 .................(II)
2u – v+w=z+ x =w 11............(III)
ìï
ïï ìïï íï Þíï ïï ïï ï ïï
îïï î
* De (I) – (II) , resulta :
2v = 12 Þ v = 6Þu = 5 y w = 7
* Luego :
x+ y = 5 x+ y= 25
y+z =6 y+z=36
z+x =7 z+x=49
2x+2y+2z=110
x+ y+z=55
           

EJEMPLO 5 :
Resolver el sistema :
( )( )
( )( )
2 2
2 2
x – y x – y = 5
x + y x+ y =65
ìïï
ïíïïï
î
Siendo «x» e «y» números enteros
RESOLUCIÓN :
* Haciendo : x = my ; se obtiene :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
m – 1 y m– 1 y= 5 ........................(I)
m +1 y m+1 y=65 .....................(II)
ìïï
ïíïïï
î
* Dividiendo miembro a miembro :
( )( )
( )( )( )
m2 +1 m+1 65 13
= =
m+1 m – 1 m– 1 5 1
* Por proporciones :
m2 + 1 = 13m2 – 26m + 13
* Simplificando :
6m2 13m + 6 = 0 (2m 3)(3m 2)= 0
3 2
m= ó m=
2 3
- Þ - -
Þ
* Reemplazando en (I) , resulta :
y3 = 8 ó y3 = 27
* Pero como y Î , entonces : y = 2 ó y = 3
* Luego :
Si: y = 2 ( ) 3
x= 2 =3
2
Þ
Si: y = 3 ( ) 2
x= 3 = 2
3
Þ
EJEMPLO 6 :
Calcular el valor de «a» para que el siguiente sistema
tenga solución única:
2
2 2
y= x +1
x + y = a; a>0
ìïïíïïî
RESOLUCIÓN :
*Graficando :
y = x2+ 1
1
Y
a
a
Y
X
X
* Para que el sistema tenga solución única, las gráficas
se deben interceptar en un punto o tangentes, así:
punto de
a=1 intersección
X
Y
(0;1)
* Luego : a = 1
EJEMPLO 7 :
Resolver :
{ }
x2 +1+ y2 +4+ z2 +9 =10
x+ y+z=8
x, y,z +
ìïïíïïî
Ì
RESOLUCIÓN :
* Construyamos un triángulo rectángulo donde
intervengan las ecuaciones del sistema :
3
2
x y z
6
10
1
x2+1 y 2+4 z 2+9
y
z
37°
37°
37°
8
37°
Vemos que este
es un triángulo
conocido.
10
53°
6
8
* Tomemos la contangente de 37° en cada triángulo
sombreado :
x y z 4 4 8
ctg37°= = = = x= ; y= ; z=4
1 2 3 3 3 3
Þ
EJEMPLO 8:
Resolver :
xy+ x+ y=7
xz+x+z=11
yz+ y+z= 5
ìïïï
ïíïïïï
î
RESOLUCIÓN :
* Factorizando cada ecuación :
(x + 1)(y + 1) = 8
(x + 1)(z + 1) = 12
405
(y + 1)(z + 1) = 16
* Multiplicando miembro a miembro :
(x + 1)2(y + 1)2(z + 1)2 = 242
Þ(x + 1)(y + 1)(z + 1) = ±24 .......................()
* Reemplazando ( ) :
8(z + 1) = 24 z = 2 z = 4
12(y + 1) = 24 y = 1 y = 3
6(x + 1) = 24 x = 3 x = 5
± Þ Ú -
± Þ Ú -
± Þ Ú -
MÉTODOS GRÁFICOS
Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque
en general carecen de interés práctico en las aplicaciones
técnicas de importancia. Además están restringidos
generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.
Dos sistemasdeecuaciones condos incógnitasdevalor
real,suelenaparecercomounodeloscincotiposdiferentes
mencionados acontinuación. Tienenuna relacióncon el
númerodesoluciones:
* Aquellos sistemas de ecuaciones que representan
graficamenterectasy curvasqueseintersectanentresí.
Estetipodesistemadeecuaciónesconsideradocomoel
normal.Sueletenerunnúmerodesolucionesfinitocadauno
formadoporlascoordenadasdelospuntodeintersección.
*Sistemasquetienensimplificacionesfalsas.Porejemplo:
1 = 0. Graficamente se representan como un conjunto de
líneas que nunca se intersectan entre sí, como líneas
paralelas.
* Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplifican a
una identidad (por ejemplo, x = 2x – y ; yx=0). Cualquier
asignación de valores a las variables desconocidas satisface
las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de
soluciones, que graficamente, se representa como todos los
puntos del plano que representa la solución.
* Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el
mismo conjunto de puntos: son matemáticamente
equivalentes (una ecuación general puede ser transformada
en otra a través de la manipulación algebraica). Estos
sistemas representan completamente la superposición de
líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante
y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos
corresponde a una solución. Generalmente, esto significa
que hay un número infinito de soluciones.
* Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones
se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y
puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de
la serie de puntos representados por los demás es una
solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo
general un número infinito.
La ecuación x2 + y2 = 0 puede ser pensada como la ecuación
de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que
representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una
normal de un círculo que contiene infinito número de puntos.
Este y otros casos similares muestran la razón por la cual
los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la
calificación de «normalmente». Un ejemplo de un sistema
de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un
número infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y
| (donde la notación | | indica el valor absoluto de la función),
cuyas soluciones se forma un cuadrante de la x–y plano.
Otro ejemplo es x = |y|, y = |x|, cuya solución representa un
rayo.
UN POCO DE HISTORIA :
El primer sistema de ecuaciones lineales del que se tiene
noticia cierta es el de Thimaridas de Paros, un pitagórico de la
primera época, autor de una aritmética que ha llegado hasta
nuestros días. He aquí el problema junto con su solución.
« Si se conoce la suma de varias incógnitas, así cómo
también las sumas parciales de una de ellas con cada una
de las otras, y se suman todas estas sumas parciales ,
restando después la primera suma total y se divide la diferencia
por el número de incógnitas disminuido en 2, se obtiene el
valor de la primera; y de éste se deducen los demás.»
Traté de plantear este sencillo sistema de ecuaciones llegando
a la solución indicada por el autor hace apenas 2500 años !!!!
Durante cientos de años los matemáticos no supieron darle
diferentes nombres a las incógnitas cómo lo hacemos hoy
en día. Diofanto resolviómultitud de sistemas de ecuaciones
luchando con la dificultad de tener un sólo símbolo para llamar
a lo que tenía que calcular, que denominaba arithmos, que
quiere decir número.
El primer sistema de ecuaciones con un método para su
resolución, el de reducción, fue ideado por Juan Buteo,monje
francés (1492–1572) . La notación, en aquel tiempo, era esta:
Hoy en día hay que sustituir las comas por signos de adición y
los medios paréntesis rectos por signos de igualdad y ya
tendremos el sistema de ecuaciones listo y actualizado para
ser resuelto.