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RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTANGULOS Y OBLICUÁNGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF




















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RELACIONES MÉTRICAS Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos, es indispensable saber el concepto de proyección. Proyección de un punto: La proyección de un punto P sobre una recta L, es el pie de la perpendicular P´ bajada desde P hasta L. PP´ se llama proyectante L se llama eje de proyección. Proyección de un segmento AB sobre una recta L La proyección del segmento AB sobre la recta L es el segmento A´B´ cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre L. Para hallar la proyección de un segmento sobre una recta, basta con bajar las perpendiculares desde sus extremos hasta la recta. En la figura anterior, se muestran las proyecciones de un segmento AB sobre la recta L en las diferentes posiciones. DEFINICIÓN Se llama relación métrica entre varios segmentos a la relación que existe entre sus medidas con respecto a una misma unidad. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH correspondiente a la hipotenusa AC, observaremos que: * Los triángulos AHB, BHC y ABC son semejantes * El segmento m es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa. * El segmento n es la proyección del cateto a sobre la hipotenusa. * La hipotenusa b es la suma de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. * La proyección de la hipotenusa sobre un cateto es este mismo cateto. * La proyección de un cateto sobre el otro cateto es un punto que viene a ser el vértice del ángulo recto (B). 1º R. M. BH es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa. h2 = m.n 2º R. M. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. c2 = b.m a2 = b.n 3º R.M. (Teorema de Pitágoras) La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. c2 + a2 = b2 4º R.M. La altura relativa a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. b.h. = c.a 5º R.M. La inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos. 6º R.M. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que la altura determina en la hipotenusa. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1º Teorema de Euclides: El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos del doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.  < 90º a2= b2 + c2 – 2bm Demostración Teorema de Pitágoras BHC a2 = h2 + (b - m)2 AHB c2 = h2 + m2___ Resta a2 – c2 = b2 – 2bm a2 = b2 + c2 – 2bm L.q.q.d 2do. Teorema de Euclides El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.  > 90º a2 = b2 + c2+ 2bm Demostración Teorema de Pitágoras BHC a2 = h2 + (b + m)2 AHB c2 = h2 + m2___ Resta a2 – c2 = b2 + 2bm a2 = b2 + c2 + 2bm NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO Sean a, b y c, las longitudes de los lados de un triángulo ABC, con el lado mayor de longitud a. Si: a2 = b2 + c2 entonces ABC es rectángulo Si: a2 >b2 + c2 entonces ABC es obtusángulo Si: a2< b2 + c2 entonces ABC es acutángulo 52 = 32+42 72 > 32+52 152 <132+142 Rectángulo Obtusángulo Acutángulo NOTA a a PROBLEMAS RESUELTOS 1. Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm. El lado del rombo mide: a) 9cm b) 10cm c) 11cm d) 12cm e) 13cm Resolución     Pitágoras ² = 6²+ 8² ² = 100  =  = 10 Rpta. b 2. Calcular el valor de la altura AH del triángulo rectángulo BAC, si AB = 6 y AC = 8. a) 8, 4 b) 4, 2 c) 4, 8 d) 2, 4 e) 4, 7 Resolución 10h = 6 x 8 10h = 48 h = 4,8 Rpta. c 3. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética cuya razón es 4 cm. Hallar la medida de la hipotenusa. a) 12cm b) 16 cm c) 20 cm d) 24 cm e) 30 cm Resolución x Pitágoras x² + (x+4)² = (x+8)² (x+4)² = (x+8)² - x² (x+4)² = (2x+8) . 8 (x+4) (x+4) = 16(x+4) x+4 = 16  x = 12 x + 8 = 20 Rpta. C 4. Las medianas de un triángulo rectángulo trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos mide 5 y . Calcular la medida de la hipotenusa. a) b) 2 c) 10 d) 2 e) 13 Resolución Pitágoras MBC . c² + (2a)² = ABN (2c)² + a² = 5² Suma 5c² + 5a² = 65 Quinta c² + a² = 13 b² = 13 b = AC = 2b AC = 2 Rpta. b 5. En un rombo la suma de las medidas de las diagonales es 70 cm y el radio del círculo inscrito mide 12 cm. Hallar la medida del lado. a) 16 cm b) 20 cm c) 24 cm d) 25 cm e) 30 cm Resolución:     Dato 2a + 2b = 70 Mitad a + b = 35 Elevando al cuadrado (a+b)² = 35² a² + b² + 2ab = 1225 ² + 2(12) = 1225 ( + 49)( - 25) = 0  = 25 Rpta. d 6. En la figura mostrada. Hallar la medida del radio de la circunferencia, si: AM² + MB² + MC² + MD² = 400cm² a) 10 cm b) 15 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 40 cm Resolución Dato a² + b² + c² + d² = 400 Incógnita: R 1. Trazar 2. Trapecio Isósceles ABEC AB = EC = x 3. Conjugados internos 90º + mMBE = 180º mMBE = 90º Entonces es diámetro 4. DCE Pitágoras (2R)² = x² + y² 4R² = (a² + b²) + (c² + d²) 4R² = 400 R = 10 Rpta. a 7. Se tiene un trapecio ABCD cuyas diagonales se cortan perpendicularmente; si la base mayor AD es igual a la diagonal AC e igual a 4. Calcular la base menor BC, si BD = 3 a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución 1) Trazar mEBD = 90º correspondientes BE = AC = 4 EA = BC = x 2) EBD Pitagórico x + 4 = 5 x = 1 Rpta. a 8. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se trazan la bisectriz interior AD del ángulo A y la altura BH cuya intersección es el punto O. Calcular OB, si AD.OD=50 a) 6 b) 5 c) 4 d) 8 e) 9 Resolución Dato: 1. AD . OD = 50 b (2m) = 50 bm = 25 2. R. Métricas ABD x² = bm x² = 25 x = 5 Rpta. b 9. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = BC). Sobre la altura CH se considera un punto P de manera que el ángulo APB=90º; si AC = 16. Calcular PA a) 8 b) 6 c) 8 d) 4 e) 4 Resolución  1) APB R. METRICAS X² = m ... (I) 2)  ABC Euclides ² = ² + 16² - 2m 2m = 16² m = 128.... (II) 3) II en I X² = 128 X = x = 8 Rpta. c 10. En la siguiente figura, calcular la medida de la tangente común MN a ambas circunferencias, sabiendo que la distancia entre los centros es 20 m y que el radio mayor mide 8m y el radio menor mide 4 m a) 12m b) 15m c) 16m d) 9m e) 10m Resolución Pitágoras O1 PO2 X² + 12² = 20² X = 16 Rpta. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si (AB)(AH)=32; calcule AP A) 16 B) 4 C) D) 6 E) 2. Se tiene un cuadrilátero ABCD cuyas diagonales son perpendiculares; m∡BCD = 90º y BD = AD; calcule AB/BC A) B) C) 2 D) E) 3. Si: AB = 4; calcule AC A) 2 B) C) D) E) 4. Se tiene una semicircunferencia de diámetro AB y centro O; en se ubica el punto Q tal que: (AQ)2 + (QB)2 = 90; luego se traza la cuerda CD la cual es paralela a ; si CD=6; calcule la distancia de Q hacia el punto medio de . A) 6 B) C) D) E) 4 5. Si: 5(AB)=2(BC) y AP=8; calcule PQ. A) 16 B) 32 C) 45 D) 60 E) 50 6. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B; con diámetro BC se traza una semicircunferencia que interseca a en D; en el arco DC se ubica al punto F tal que: ; AD=3, DE=3 y EC=2; calcule EF. A) B) C) D) 1 E) 1,8 7. Si: PH = HT = 3 y TB = 2; calcule: R (C: punto de tangencia) A) 41/8 B) 5 C) 47/5 D) 43/7 E) 29/3 8. Si: NC = 6; BC = 3(AB) y mBN = mNQC; calcular AT. (T: punto de tangencia) A) B) 6 C) 3 D) 4 E) 5 9. Si: (AB)(QN)=24; calcule PC A) 4 B) C) 3 D) E) 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica al punto M en y a N en tal que BM=MC; m∡MNC=90º; AN=5 y NC=4; calcule AM A) B) C) D) 7 E) 11. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B en el cual se traza la ceviana BQ tal que: AQ=6; QC=2 y BQ=3, calcule BC. A) 4 B) C) D) E) 12. Se tiene un cuadrilátero inscrito ABCD tal que: AB=2; BC = CD = y es diámetro; calcule el radio. A)3 B) 2,2 C) 1,6 D) 2 E) 13. En un triángulo ABC; (AB=c; BC=a; AC=b y m∡ABC=27º); calcular la m∡BAC. Si a2 - b2 = bc A) 84º B) 36º C) 42º D) 45º E) 54º 14. En un trapecio ABCD ( ) cuya base media mide 2; calcular DM si M es punto medio de y (CD)2– 2(MC)2 = 2 A) 3 B) C) D) E) 2 15. En un triángulo ABC se traza la mediana BM y en ella se ubica al punto D tal que DC = AB; (BC) 2 – (AD)2 = 18 y MD = 4; calcule: BD. A) 2 B) 3 C) 1 D) E) 16. Se tiene un cuadrante AOB (AO = OB), en se ubica al punto N y se traza la semicircunferencia de diámetro ON que interseca a en H; si AH = 9 y HN = 4; calcule HB. A) B) 7 C) D) E) 17. En un triángulo ABC las medianas tienen por longitudes: 9, 12 y 15; calcule la longitud del lado menor de dicho triángulo. A) 10 B) 8 C) 9 D) 12 E) 6 18. Si: PQ = 2; HQ = 4 y es la mediatriz de ; calcule OT A) B) C) D) E) 19. Se tiene un triángulo ABC; (AB=14; AC=13 y BC = 15); con diámetro AB se traza una semicircunferencia en la región exterior, la cual interseca a la prolongación de la mediana CN en el punto Q; calcule la distancia de Q hacia RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS 1. En el rectángulo ABCD donde BC = 2AB = 8, calcule “x” si “O” es el centro del arco ED. A) 2,6 B) 2,8 C) 3,0 D) 3,2 E) 1,2 2. Se tienen 2 circunferencias secantes y congruentes de radio cuya medida es 8 m y la distancia entre sus centros es 10 m. Calcule la medida de la cuerda común. A) B) 6 m C) D) E) 3. En un triángulo acutángulo ABC la proyección de sobre mide la cuarta parte de BC. Calcule BC si: A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 6 4. En el gráfico, calcule HR, si: y QC =2 A) B) C) D) D) 5. En una circunferencia de diámetro AB y centro “O”, se traza la cuerda AC y . Calcule la distancia de “O” a si AH = 3 y HB = 4. A) B) C) D) E) 5 6. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH y la mediatriz de que intersecta a en P. Calcule si AB = 4 A) 16 B) 4 C) 8 D) 12 E) 32 7. En el rectángulo ABCD de perímetro 20, se traza perpendicular a siendo . Calcule BD. A) B) 9 C) D) E) 2 8. En el trapecio ABCD donde las diagonales se intersectan perpendicularmente , se traza la altura CE siendo AE = 4, ED = 7 y BC = 2. Calcule CE. A) B) C) D) 6 E) 5 9. En el cuadrilátero ABCD donde las diagonales se cortan en “O”, calcule OP si “P” es el punto medio de , BC = 6, CD = 8 y AD = 10. A) 5 B) C) 4 D) 6 E) 4 10. En el triángulo rectángulo ABC recto en B, se trazan: la altura BH y la bisectriz interior AS que se intercectan en “P”. Calcule BP si AS. PS = 36 A) B) C) 6 D) E) 3 11. En un romboide ABCD se cumple: . Calcule la longitud de la proyección de sobre A) 1 B) 2 C) 2,5 D) 4 E) 1,5 12. Calcule la medida de la altura de un trapecio si las bases miden 6 y 8, las diagonales miden 13 y 15. A) 10 B) 11 C) 11,5 D) 12 E) 10,5 13. En un romboide ABCD se trazan las bisectrices de loa ángulos A y B, que se intersectan en “G”. Calcule GD si GC = 12 , AB =10 y BC = 14 A) B) C) D) E) 2 14. En el cuadrado ABCD AB = Calcule BP, P: punto de tangencia. A) 1 B) 2 C) D) E) 15. En el trapecio escaleno ABCD se cumple: . Calcule el producto de las longitudes de las bases. A) m B) C) D) E) 16. En el cuadrilátero ABCD , las diagonales se intersecan en “O”. Calcule BD si AO = 3, OC = 7 y m A) B) C) D) E) 17. En el gráfico, calcule la medida del lado del cuadrado ABCD si CE = CF, EH = 6, FQ = 4 y “A” es el centro del arco BD A) 10 B) 9 C) D) E) 9 18. En la figura: ABCD es un cuadrado, AP = y PQ = 2. Calcule QD. A) 2 B) 1,5 C) 2,5 D) 3 E) 1 19. En el romboide ABCD, BE=3EC=9, EF = 3FD = 6, EP = EF. Calcule EQ. A) B) C) D) E) 20. En el triángulo acutángulo ABC de incentro “I”, excentro “ E” relativo a , el inradio mide 2 y el exradio relativo a mide 6. Calcule A) 8 B) 12 C) 14 D) 16 E) 4