RELACIONES METRICAS EN TRIÁNGULOS RECTANGULOS Y OBLICUANGULOS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS
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    RELACIONES MÉTRICAS Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos, es indispensable saber el concepto de proyección. Proyección de un punto: La proyección de un punto P sobre una recta L, es el pie de la perpendicular P´ bajada desde P hasta L. PP´ se llama proyectante L se llama eje de proyección. Proyección de un segmento AB sobre una recta L La proyección del segmento AB sobre la recta L es el segmento A´B´ cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre L. Para hallar la proyección de un segmento sobre una recta, basta con bajar las perpendiculares desde sus extremos hasta la recta. En la figura anterior, se muestran las proyecciones de un segmento AB sobre la recta L en las diferentes posiciones. DEFINICIÓN Se llama relación métrica entre varios segmentos a la relación que existe entre sus medidas con respecto a una misma unidad. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Si en un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH correspondiente a la hipotenusa AC, observaremos que: * Los triángulos AHB, BHC y ABC son semejantes * El segmento m es la proyección del cateto c sobre la hipotenusa. * El segmento n es la proyección del cateto a sobre la hipotenusa. * La hipotenusa b es la suma de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. * La proyección de la hipotenusa sobre un cateto es este mismo cateto. * La proyección de un cateto sobre el otro cateto es un punto que viene a ser el vértice del ángulo recto (B). 1º R. M. BH es media proporcional entre los segmentos de la hipotenusa. h2 = m.n 2º R. M. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. c2 = b.m a2 = b.n 3º R.M. (Teorema de Pitágoras) La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. c2 + a2 = b2 4º R.M. La altura relativa a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los catetos. b.h. = c.a 5º R.M. La inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos. 6º R.M. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que la altura determina en la hipotenusa. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 1º Teorema de Euclides: El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos del doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.  < 90º a2= b2 + c2 – 2bm Demostración Teorema de Pitágoras BHC a2 = h2 + (b - m)2 AHB c2 = h2 + m2___ Resta a2 – c2 = b2 – 2bm a2 = b2 + c2 – 2bm L.q.q.d 2do. Teorema de Euclides El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.  > 90º a2 = b2 + c2+ 2bm Demostración Teorema de Pitágoras BHC a2 = h2 + (b + m)2 AHB c2 = h2 + m2___ Resta a2 – c2 = b2 + 2bm a2 = b2 + c2 + 2bm NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO Sean a, b y c, las longitudes de los lados de un triángulo ABC, con el lado mayor de longitud a. Si: a2 = b2 + c2 entonces ABC es rectángulo Si: a2 >b2 + c2 entonces ABC es obtusángulo Si: a2< b2 + c2 entonces ABC es acutángulo 52 = 32+42 72 > 32+52 152
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