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LOS TRIÁNGULOS Y SUS PROPIEDADES EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PLANA PREUNIVERSITARIA EN PDF


















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DEFINICIÓN: Se llama triángulo a la figura formada por 3 segmentos de recta que unen tres puntos no colineales. NOTACIÓN. Un triángulo se denota por las tres letras mayúsculas que llevan sus vértices, denominándolo:  ABC = Elementos: Lados: Vértices: A, B, C Internos Angulos Externos Perímetro (2p): 2p = a + b + c Semiperímetro (p) NOTA 1. Las medidas de los lados del triángulo se designan por la letra minúscula del vértice opuesto a dicho lado. BC = a , AC = b , AB = c NOTA 2. Todo triángulo divide al plano en tres subconjuntos de puntos: - Puntos interiores al triángulo - Puntos exteriores al triángulo y - Puntos del triángulo NOTA 3. Región Triangular es una figura formada por los puntos del triángulo y los puntos interiores al triángulo. NOTA 4. Cuando se dice área del triángulo, se refiere al área de la región triangular. CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS Atendiendo a sus lados 1) Equilátero 2) Isósceles 3) Escaleno Atendiendo a sus ángulos 1) Rectángulo Acutángulo. Sus tres ángulos son agudos. 2) Oblicuángulos Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. a² = b² + c² NOTA 5. En todo triángulo isósceles, al lado desigual se le llama base y al ángulo que se opone a ella se le conoce como ángulo en el vértice o ángulo desigual. Los dos ángulos de la base. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO 1. La suma de las medidas de los ángulos internos es igual a 180º. Xº + Yº + Zº = 180º 2. La medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes a él.  = Yº + Zº  = Xº + Zº  = Xº + Yº Demostración: 1)  + Xº = 180º 2) Xº + Yº + Zº = 180º 3) Igualando  + Xº = Xº + Yº + Zº  = Yº + Zº L.q.q.d. 3. La suma de las medidas de los ángulos externos es igual a 360º.  + Xº = 180º  + Yº = 180º  + Zº = 180º  +  +  + 180º = 540º  +  +  = 360º 4. TEOREMA DE LA EXISTENCIA DEL TRIANGULO. La medida de un lado es siempre menor que la suma de las medidas de los otros dos lados pero mayor que su diferencia. a – c < b < a + c Demostración 1) b < a + c ....I 2) a < b + c a – c < b ....II 3) De I y II a – c < b < a + c 5. A mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. A menor lado se opone menor ángulo y viceversa. A lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa. PROPIEDADES DEL CUADRILATERO 1) X = a + b + c 2) Xº + Yº + Zº + Wº = 360º LINEAS NOTABLES Y PUNTOS NOTABLES Las líneas notables son aquellas que cumplen funciones específicas en el triángulo, dichas líneas son: Altura, Mediana, Mediatriz, Bisectriz interior, Bisectriz exterior. Puntos Notables son Ortocentro, Baricentro, Circuncentro, Incentro y Excentro 1. ALTURA. Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto. En cada una de las siguientes figuras, el segmento BH es una altura del triángulo ABC. ORTOCENTRO. Es el punto de concurrencia de las alturas de un triángulo. El ortocentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el vértice del ángulo recto, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante. H: ORTOCENTRO En el vértice de un ángulo recto de un triángulo se ubica el Ortocentro. 2) MEDIANA: Es un segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto. En la figura M es el punto medio de AC, BM se llama mediana. BARICENTRO (G): Llamado también centro de gravedad o gravicentro o centroide, es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo. El Baricentro, siempre es un punto interior al triángulo, divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de 1/3 y 2/3 de la mediana. BG = 2 (GM) AG = 2 (GN) CG = 2 (GP) 3) MEDIATRIZ: Es una recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio, dicha recta se encuentra en el mismo plano que contiene al triángulo L L : MEDIATRIZ CIRCUNCENTRO (O): Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo. El circuncentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el punto medio de la hipotenusa, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Circunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del triángulo) y equidistan de sus vértices. ACUTANGULO OBTUSANGULO RECTANGULO 4) BISECTRIZ INTERIOR. Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo interior en 2 ángulos de igual medida. BX: Bisectriz Interior BD: Segmento de bisectriz interior. INCENTRO (I): Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores. El Incentro, siempre es un punto interior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser al centro de la circunferencia inscrita al triángulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistar de los 3 lados. 5) BISECTRIZ EXTERIOR: Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo exterior en 2 ángulos de igual medida. EXCENTRO (E): Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores, con la bisectriz interior del tercer ángulo del triángulo. E: Excentro relativo al lado BC El Excentro es siempre, un punto exterior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo (circunferencia exinscrita es la que toca a un lado y a las prolongaciones de los otros dos lados en tres puntos respectivamente) y equidistar de un lado y de las prolongaciones de los otros dos. Todo triángulo tiene 3 excentros, cada uno de ellos relativo a uno de los lados del triángulo. * CEVIANA: Es el segmento que une un vértice de un triángulo con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. Desde un vértice se puede trazar infinitas cevianas. Por lo tanto las ceviana no es línea notable. El nombre de ceviana se debe en honor al matemático italiano CEVA en 1678. BP, BQ, BR: Cevianas PROBLEMAS RESUELTOS 01. Hallar Xº a) 50º b) 60º c) 65º d) 70º e) 80º Resolución 1) Por Angulo externo x = y + 25º ........ (I) y = 35º + 20º .....(II) 2) (II) en (I) x = 35º + 20º + 25º x = 80º Rpta. E 02. En la figura, EFGH es un cuadrado. Hallar el valor de x a) 60º b) 45º c) 50º d) 30º e) 20º Resolución 1) En el triángulo PAH 75º + 45º + y = 180º y = 60º ..... (I) 2) En ABC x + y = 90 ...... (II) 3) (I) en (II) x + 60º = 90º x = 30º Rpta. d 03. En un triángulo ABC, el ángulo A mide 58º. ¿Cuánto mide el ángulo BDC donde D es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos B y C? a) 125º b) 119º c) 110º d) 95º e) 102º Resolución:  BDC x +  +  = 180º ABCD x =  +  + Suma 2x = 180º + Mitad: x = 90º + /2 x = 90º + 58º/2 x = 119º Rpta. b 04. Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo a) 60º b) 45º c) 30º d) 65º e) 90º Resolución 1) Suma de ángulos externos en  ABC 90º + 2 + 2  = 360º 2  + 2 = 270º Mitad  +  = 135 ... (I) 2) En  BEC  +  + x = 180 .... (II) 3) (I) en (II) 135º + x = 180º x = 45º Rpta. b 05. El ángulo B de un triángulo ABC mide 40º. ¿Cuánto mide el ángulo AEC donde E es el punto de intersección de las bisectrices del ángulo interior A y ángulo exterior C? a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º Resolución 1) Por ángulo externo  ABC 2  + 40º = 2 Mitad  + 20º = 2 ...... (I)  AEC  + x =  ........... (II) 2) Igualando (II) y (I)  + x =  + 20º x = 20º Rpta. B 06. Hallar X si: “I” es Incentro del triángulo ABC, m AFB = 140º. a) 100º b) 110º c) 120º d) 130º e) 140º Resolución 1) Propiedad (Prob.4) 140º = 90º + a/2 x = 90º + b/2 Suma 140º+ x = 180º + (a+b)/2 140º + x = 180 + 90 140º + x = 270º x = 130º Rpta. d PROBLEMAS PROPUESTOS 1. De la figura AB = BE; BD = DC; el triángulo ABD es: A) Isósceles B) Equilátero C) Acutángulo D) Rectángulo E) Obtusángulo 2. De la figura:AB = AE; AF = FE; FD = DC; EC = FC. Calcular: m∢BAC. Si: m∢FDC=40º A) 45º B) 75º C) 65º D) 55º E) 85º 3. Del gráfico adjunto determina la relación correcta, si: PQ= PR. A) 3x = 2 B)5x = 2 C) 7x = 3 D) 4x =  E) 7x = 2 4. Calcular “x”, si AB = BC y TC = TD A) 10º B) 15º C) 20º D) 30º E) 40º 5. Calcular “x”, si:  -  = 18° A) 16º B) 17º C) 18º D) 19º E) 36º 6. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior , tal que m A) 56º B) 63º C) 70º D) 71º E) 77º 7. En la figura , AD = 3, AC = 8. Hallar “BC” A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 8. Se tiene un triangulo isósceles MNP; MN = NP, en el cual se traza la ceviana . Sobre se toma el punto “R” tal que NQ = NR y la mRNP = 36°. Hallar la mMPQ A) 18° B) 20° C)30° D) 36° E) 45° 9. En un triangulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura . En el triangulo BHC se traza la bisectriz interior . Si AB = 10 y AH = 7. Hallar HR A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4 10. Según el grafico. Hallar el valor de “” A) 10° B) 20° C)30° D) 40° E) 50° 11. De la figura. Hallar “BC”, AB = 4 y FC = 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 12. De la figura. Hallar x° + y° + x° A) 200° B) 170° C) 300° D) 330° E) 360° 1. En la figura, calcule el valor de “x” A) 40° B) 45° c) 50° D) 60° E) 80° 2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x” A) 10º B) 20º C) 30º D) 40º E) 22º 30´ 3. En el gráfico: ABC es equilátero y . Calcule: “x”. A) 100º B) 98º C) 105º D) 120º E) 110º 4. Calcule el valor de “” , si AB= BC y AC=CE=ED. A) 10º B) 15º C) 12º D) 18º E) 24º 5. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se ubica exteriormente y relativo al lado BC el punto D, de modo que AC=AD, mADC=80º y mBCD=15º. Calcule la mBAD. A) 15º B) 20º C) 35º D) 45º E) 55º 6. En la figura adjunta se tiene el triángulo isósceles ABC en el que se inscribe el triángulo equilátero DEF. La relación correcta entre a; b y c es: A) B) a-b-c = 0 C) D) E) 7. En la figura se cumple: x+ y + z = 360°; siendo x ; y, z; números enteros . Calcule: x+y+z A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 8. En la figura, calcule x + y, si: m + n = 150º A) 150° B) 200° C) 225° D) 255° E) 270° 9. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BF que resulta ser igual al lado AB. Si la mC = 15º. Calcule la mABF. A) 50º b) 30º C) 45º D) 70º E) 60º 10. En la figura AB = BC y AC = AD = DE = EF = FB Calcule la medida del ángulo ABC. A) 15º B) 18º C) 30º D) 36º E) 20º 11. En la figura mostrada, calcule “x”. A) 60º B) 40º C) 80º D) 70º E) 50º 12. En la figura, calcule “x”: A) 8° B) 15° C) 12° D) 18° E) 10° 13. En la figura, calcule: "x", si: =20°. A) 30° B) 40° C) 50° D) 45° E) 35° 14. En la figura: a+b = 36. Calcule el mayor valor entero de “x”. A) 20 B) 21 C) 22 D) 26 E) 25 15. En la figura, calcule: “x”. A) 144º B) 150º C) 136º D) 160º E) 120º 16. Calcule “x” sabiendo que es entero, AB = AE = CD A) 82º B) 83° C) 84° D) 85° E) 86° 17. Calcule “y”, sabiendo que “x” es el mínimo valor entero. A) 62º B) 82º C) 88º D) 92º E) 98º 18. Se tiene un triángulo ABC, se trazan la altura AH y la bisectriz interior CP intersectandose en “O” . Si: AO=4, OC = 12 y CD=15; calcule el máximo valor entero de AD , si AC toma su mínimo valor entero, además “D” es un punto exterior al triángulo ABC. A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 27 19. En un triángulo ABC, S y R son puntos que pertenecen a y respectivamente. Si : AC=AS=RC, mSAR=10° y mRAC=50°. Calcule mSRA. A) 20° B) 30° C) 40° D) 25° E) 15° 20. Se tiene un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto “D” exterior y relativo al lado BC. Si: mCBD - m DAC = 30° y mADC=10°. Calule: mCAD. A) 5° B) 10° C) 15° D) 18° E) 20°