LÍNEAS NOTABLES EJERCICIOS RESUELTOS PDF – GEOMETRÍA
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Reconocer y diferenciar las líneas notables asociadas al triángulo.
• Relacionar dos o más líneas notables para obtener nuevas propiedades.
• Resolver problemas en los cuales se asocie al tema.
LINEAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Son segmentos o rectas que se relacionan con los ángulos o con lados del triángulo.
La líneas notables son aquellas que cumplen funciones específicas en el triángulo , dichas líneas son:
Altura, Mediana , Mediatriz , Bisectriz interior , Bisectriz exterior.
Puntos notables son : Ortocentro , Baricentro, Circuncentro , incentro y Excentro.
CEVIANA
Es un segmento que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
MEDIANA
Es un segmento que une un vértice y el punto medio del lado opuesto.
BARICENTRO (G)
Llamado también centro de gravedad o gravicentro o centroide , es el punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.
El baricentro , siempre es un punto interior al triángulo , divide a cada mediana en dos segmentos que están en la relación de 2 a 1.
ALTURA
Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.
ORTOCENTRO ( H )
Es el punto de concurrencia de las alturas de un triángulo.
El ortocentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo , fuera de él o en el vértice del ángulo recto , según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos respectivamente.
Este punto tiene la propiedad de dividir a cada altura en dos segmentos cuyo producto es una constante.
El Ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.
MEDIATRIZ
Es una recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio , dicha recta se encuentra en el mismo plano que contiene al triángulo.
En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices coplanares, una relativa para cada lado.
CIRCUNCENTRO (O)
Es el punto de concurrencia de las mediatrices de los lados de un triángulo.
El circuncentro es un punto que puede estar en el interior del triángulo, fuera de él o en el punto medio de la hipotenusa, según los triángulos sean Acutángulos, Obtusángulos y Rectángulos, respectivamente.
Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (Circunferencia circunscrita, es la que pasa por los vértices del triángulo) y equidistan de sus vértices.
“El circuncentro de un triángulo rectángulo , coincide con el punto medio de la hipotenusa”.
BISECTRIZ INTERIOR
Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo , divide al ángulo interior en ángulos de igual medida.
INCENTRO (I)
Es el punto de concurrencia de las bisectrices interiores.
El Incentro , siempre es un punto interior al triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (circunferencia inscrita es la que toca a los lados del triángulo, interiormente en tres puntos) y equidistar de los 3 lados.
BISECTRIZ EXTERIOR
Es el rayo que partiendo del vértice de un triángulo, divide al ángulo exterior en 2 ángulos de igual medida.
En la practica se mide desde el vértice del cuál parte hasta el punto de corte con la prolongación del lado opuesto.
EXCENTRO (E)
Es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores, con la bisectriz interior del tercer ángulo del triángulo.
En todo triángulo se puede determinar tres excentros, uno relativo a cada lado.
El excentro es siempre, un punto exterior al triángulo.
Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia exinscrita al triángulo (circunferencia exinscrita,es aquella que es tangente a uno de los lados del triángulo y a la prolongación de los otros dos) y equidistar de un lado y de las prolongaciones de los otros dos.
PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES
1) ÁNGULO DETERMINADO POR LAS BISECTRICES DE UN ÁNGULO INTERIOR Y UN ÁNGULO EXTERIOR
La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior, que parten de dos vértices diferentes, es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo del triángulo.
2) ÁNGULO DETERMINADO POR LAS BISECTRICES DE DOS ÁNGULOS INTERIORES :
La medida del ángulo que forman dos bisectrices interiores de un triángulo es igual a 90° más la mitad del tercer ángulo del triángulo.
3) ÁNGULO DETERMINADO POR LAS BISECTRICES DE DOS ÁNGULOS EXTERIORES :
La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90° menos la mitad del tercer ángulo del triángulo.
4) ÁNGULO FORMADO POR UNA ALTURA Y LA BISECTRIZ INTERIOR TRAZADA DESDE EL MISMO VÉRTICE:
La medida del ángulo formado por una altura y una bisectriz interior, que parten de un mismo vértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulos del triángulo.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Las medidas de tres ángulos internos de un triángulo son: (x + y), (x – y), (2y – x). Calcular el mínimo valor entero de “y”.
a) 17°
b) 29°
c) 44°
d) 46°
e) 59°
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
¿Qué ángulo forman la bisectriz interior de uno de los ángulos congruentes de un triángulo isósceles y la altura relativa a la base, si el ángulo interior no congruente mide 44°?
a) 46°
b) 56°
c) 66°
d) 68°
e) 34°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
En un triángulo ABC, calcular el mayor valor entero que puede tomar la altura BH.
Si: AB + BC = 18.
a) 8
b) 9
c) 10
d)11
e) 7
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
¿Cuánto mide el ángulo formado por las bisectrices interiores de dos ángulos de un triángulo equilátero?.
a) 60°
b) 80°
c) 100°
d) 120°
e) 140°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 5 :
Si el ángulo “A” mide 40°, ¿Cuál sería el valor del ángulo que forman las bisectrices de los ángulos exteriores B y C del triángulo ABC?
a) 10°
b) 70°
c) 80°
d) 40°
e) 50°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
En un triángulo ABC, m∢A = 70° y m∢C = 60°, se traza la altura BH.
Calcula m∢HBC.
a) 20°
b) 30°
c) 40°
d) 35°
e) 45°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
En un triángulo ABC, m∢A = 20° y m∢C = 32°, se traza la bisectriz interior BD.
Calcula m∢BDC.
a) 84°
b) 74°
c) 64°
d) 35°
e) 65°
Rpta. : "A"
PREGUNTA 8 :
En un triángulo ABC se sabe que: m∢B = 30° y m∢C = 40°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices "B" y "C".
a)50°
b)60°
c)70°
d)80°
e) 90°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 9 :
En un triángulo ABC se traza la ceviana BP, tal que: AP = PB y PB = BC.
Calcular "m∢ABP", siendo: m∢C = 40°.
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 15°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 10 :
Los catetos de un triángulo rectángulo ABC miden AB = 8, BC = 15. Se traza la altura BH y las bisectrices BP y BQ de los ángulos ABH y HBC respectivamente. Hallar "PQ".
a) 6
b) 7
c) 5
d) 4
e) 8
Rpta. : "A"
PREGUNTA 11 :
En un triángulo rectángulo ABC se trazan la altura BH y luego la bisectriz BQ del ángulo HBC ("Q" está en AC). Si: AB = 12 y QC = 7, hallar "AC".
a) 24
b) 14
c) 19
d) 21
e) 17
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Se tiene un triángulo ABC, luego se trazan perpendiculares desde el vértice "B" a las bisectrices interiores de "A" y "C". Calcular la medida del ángulo que forman dichas perpendiculares, si: m∢ABC = 76°.
a) 42°
b) 38°
c) 52°
d) 48°
e) 36°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 13 :
En un triángulo rectángulo ABC (recto en "B"), se traza la altura BH y la bisectriz interior AE que se cortan en "P". Calcular la medida de "PH", si: BH = 14; BE = 5.
a) 8
b) 7
c) 5
d) 9
e) 10
Rpta. : "D"
PREGUNTA 14 :
En un triángulo ABC, m∢A = 2m∢C desde “B” se traza una perpendicular a la bisectriz interior del ángulo “A” cortándola en “H”. Si: AH = 2, hallar “BC”.
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 6
Rpta. : "B"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz del segmento AC y la bisectriz del ángulo A se interceptan en un punto del lado BC. Calcula el menor ángulo del triángulo.
A) 10º
B) 20º
C) 30º
D) 40º
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
En el gráfico calcule x
A) 118º
B) 122º
C) 124º
D) 134º
RESOLUCIÓN :
Por propiedad: x=90° + 68°/2
⇒ x=124º
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
A) 30°
B) 45°
C) 75°
D) 80°
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 :
Se tiene un triángulo ABC y los ángulos son proporcionales a los números 5 ; 4 y 3, respectivamente. Calcula la medida del ángulo formado por la altura y la bisectriz relativa al lado intermedio.
A) 10°
B) 15°
C) 20°
D) 25°
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
En un triángulo ABC, se traza la altura BH relativa a AC (H en AC). Si AB+BC=16 cm, halle el máximo valor entero de BH.
A) 10 cm
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 8 cm
E) 7 cm
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
