Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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CUATRO OPERACIONES PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMETICA PREUNIVERSITARIA PDF
















Cuatro Operaciones Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a .C .. en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética. con cierto interés en medidas y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema. los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones. así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos. rectángulos y trapecios. y el volumen de figuras como ortoedros. cilindros y. por supuesto. pirámides. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Para calcular el área de un círculo. los egipcios ut1l1zaban un cuadrado de lado del diámetro del círculo. valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constante pi (3 . 14). Con el tiempo. los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado. y resolvieron problemas más complicados utIlIzando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas. incluyendo tablas de multiplicar y de dividir. tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además. calcularon no sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. También obtuvieron una buena aproximación de J2. Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones. axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos. este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría. que se atribuyen al propio Pitágoras. A finales del siglo V a.C .. un matemático griego descubrió que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, es decir, una de las dos cantidades es incomnensurable. Esto significa que no existen dos números naturales m y n cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Dado que los griegos sólo utilizaban los números naturales (1, 2,3 ... ), no pudieron expresar numéricamente este cociente entre la diagonal y el lado de un cuadrado (este número, J2 , es 10 que hoy se denomina número irracional). Debido a este descubrimiento se abandonó la teoría pitagórica de la proporción, basada en números, y se tuvo que crear una nueva teoría no numérica. Ésta fue introducida en el siglo IV a.C. por el matemático Eudoxo de Cnido, y la solución se puede encontrar en los Elementos de Euclides. Eudoxo, además. descubrió un método para demostrar rigurosamente supuestos sobre áreas y .volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Las 4 operaciones básicas cobran una gran importancia en la solución de problemas prácticos de la vida y da el sustento para el entendimiento de conceptos numéricos abstractos con los cuales se resuelve~ problemas mucho más complejos. 7.0 OBJETIVOS Al culminar el presente capítulo, el alumno será capaz de: l. Dar los conceptos formales de las cuatro operaciones fundamentales: suma, resta, multiplicación y división. y conocer los algoritmos respectivos. 2. Resolver problemas con enunciado aplicando métodos de razonamiento y haciendo uso de las cuatro operaciones: 3. Reconstruir las operaciones aritméticas (cripto- aritméticas). 7.1 DEFINICIONES Una serie de objetos con la definición de las operaciones que se realizan con éstos y las propiedades que las acompañan. forman una estnlctura matemática o un Sistema Matemático. Ejemplo: (Z,+,*), (N .+), donde. Z = { .... -2. -l.O.1.2 ... } N = {1,2.3 ..... } 1. Sean U y V dos co~untos no vacíos. f es una operación binaria en U x V. Si f es una función la cual asigna un elemento de U x V a un elemento de algún conjunto no vacío W (f: U x V ~ W). el dominio de f es U x Vy el rango de f está contenido en W. Una operación que combina dos objetos es llamado una Operación Binaria. Dom(f) = UxV Notaci6n: f(u. v) = w f ~ W Rang(f)W Esto es. f es una operación binaria en U x V si: f es una función. f: U x V ~ W para algún conjunto no vacío W. Dom( f) = U x V y Rang( f) e W f es representado por •. f(u. v) es abreviado por u f v. ·(u. v) por u· v f(u. v) = w equivale a u fv = w. ·(u. v) = w u· v = w Ejemplo: Sea f la división. definida por f: Z x (Z - (O)) ~ Q. entonces f es una operación binaria en Z x (l, - (O}). donde l, es el conjunto de los enteros y Q es el conjunto de los racionales. 2. • es una operación binaria en U si • es una operación binaria en U x U. Ejemplo: Sea • la suma +. definido por + : Z' x Z· ~ Z. donde Z· es el conjunto de los enteros impares. entonces f es una operación binaria en Z·. 3. • es una operaci6n binaria sobre U. si • es una operación binaria en U y Rang(f) e U. Observación: .: U x U ~ U Y Dom(·) = U x U Ejemplo: Sea f la suma. con f : Z x Z ~ Z. entonces fes una operación binaria sobre Z . . Ejemplo: Sea fla suma. con f: Z· x Z' ~ Z. donde l,· es el conjunto de los enteros impares; entonces f no es una operación binaria sobre Z· . porque la suma de dos impares es un par. Rang(f) >' Z' 4. Una estructura matemática es cerrada con respecto de una operación si esa operación produce siempre otro miembro de la colección de objetos. En-este caso diremos también que la operación es cerrada en el conjunto de objetos de la estructura. Observación: Si * es una operación binaria sobre U, entonces la estructura (U, *) es cerrada con respecto de *, esto quiere decir que: *: U x U ~ U, u ... V E U V U ,v E U Y que * es cerrada en U 7.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS LOS NÚMEROS NATURALES N = (l, 2, 3, 4, 5, ... ) Antes de que surgieran los números el hombre se las ingenió para indicar órdenes y cantidades, utilizando para ello objetos como piedras , palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los súnbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o sirnplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4.000 a.c. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos además de las letras utilizaron algunos otros símbolos. De alguna forma los seres humanos debemos dar nombre a los ordenes y expresarlos en forma sencilla, para ello nos valemos de los números, por ejemplo 1. En un salón de clase, si ordenamos los nombres de los alumnos en forma alfabética, al primero de la lista se ha establecido como estándar el número 1. 2. ¿Cómo representamos al segundo de la lista? Por vía natural se establece que es el siguiente al número 1 ( o el sucesor inmediato de 1) y se le denota por 2. 3. ¿Cómo representamos al tercero de la lista? Se establece que es el siguiente al número 2 (o el sucesor inmediato de 2) y se le denota por 3. Estas ideas de orden están en nuestra mente, la forma en que representamos o escribimos esas ideas recibe el nombre de numeral. Los numerales actuales son de origen indoarábigo. Es decir se combinó ambos sistemas de contar -los de indios y árabesy esto se extendió por todo el mundo, hasta tener la forma de que hoy tiene. Los números naturales nos sirven para expresar el orden de las cosas. La obra más conocida sobre los números naturales la presentó en 1889 El matemático Italiano Giuseppe Peano (1858 - 1932), los axiomas o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. el titulo del libro donde aparecen sus famosos axiomas fue Arithmetices Principia Nova método Exposita. Básicamente Los naturales se pueden construir a partir de cinco axiomas fundamentales: Axiomas de Peano de formación de los números naturales N l. 1 es un número natural. 2. Cada número natural a tiene un sucesor inmediato denotado por S(a), el cual también es un númer.o natural. 3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto) 4. Dos números naturales que tienen el mismo sucesor inmediato son iguales 5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces dicho conjunto es el conjunto de los números naturales. Escrito de otra forma (PI) 1 E N (P2) Si n E N entonces Sen) E N (P3) Si n E N entonces Sen) ;tI (P4) S1 m, n E N entonces IS(m) = Sen) => m = nI (P5) Sea E e N, si 1 E E Y si In E E => Sen) E El entonces E = N Observación: Sea a' = S(a), esto es, a' representará al sucesor inmediato de a y a será el antecesor inmediato de a', el único natural que no tiene antecesor es el 1. Notación: Sea A un conjunto. • una función de la forma *: A x A --) A. sean u y v que pertenezcan al dominio de •. entonces *(u.v) se representará por u·v Se define en N a la operación Adición +: N x N --) N por recurrencia: 'íI x. yE N x + 1 = S(x) x + S(y) = S(x + y) al elemento x + y se le llama la suma de x e y Se define en N a la operación Multiplicación' N x N --) N · por recurrencia : 'r/ x. y E N x· 1 =x X . S(y) = X • Y + X al elemento X • Y se le llama el producto de X e y Definiciones de Orden. Sean a y b E N Se dirá que - a es menor que b si existe c E N tal que a + c = b Y se representará por a < b - a es mayor que b si existe c E N tal que a = b + c y se representará por a > b - a es menor o igual que b si (a < b) v (a b) y se representará por a ~ b a es mayor o igual que b si (a > b) v (a b) y se representará por a ~ b Sea A un subconjunto no vacío de N. se dirá que - A es acotado tnferiormente si existe c E N talque e ~ X 'r/x E A - a E A es primer elemento de A si a ~ X 'r/ X E A Propiedades de los números naturales Si a. b. e son números naturales cualesquiera se cumple que: l. Operaciones internas o de Cerradura X+yE N x· Y E N 2. Asociativa (a+b) + e = a + (b+e) (a . b ) . e = a· ( b . e) 3. Conmutativa a·b = b·a 4. Elemento neutro multiplicativo 'if a natural a· 1 = a 5. Distributi~va del producto respecto de la suma Si a. b. e son números naturales cualesquiera se cumple que: a . (b + e) = a . b + a . e Propiedades de Relación de Orden 6. reflexiva a:S a. 7. antisimétrica a :S b Y b:5 a ~ a = b. 8. transitiva a < b Y b < e ~ a < c. 9. De la buena ordenación Sea A un subconjunto no vacío de N. acotado inferiormente. entonces A tiene primer elemento. 10. Tricotomía Se cumple exactamente sólo uno de los siguientes casos a < b. a = b ó a > b 11. Invariancia bajo la suma y el producto Si a < b ~ a + c < b + c V c e N Si a < b ~ a · c < b . c V c e N Cuando en un conjunto se definen operaciones en él. se dice que se tiene una estructura matemática. Por lo tanto (N, +, " <) Es lIDa estructura Matemática la cual es algebraica - topológica (algebraica por las operaciones + y " topológica por la relación <) Notación: 2 = S(l), 3 = S(2) , 4 = S(3). .. .... . etc . Los números Naturales N = {1. 2, 3 , 4, ...... } RELACIONES SOBRE UN CONJUNTO Sean A Y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado por A x B, es el conjunto de los pares ordenados (a, b) donde a e A y b e B: A x B = { (a,b) / a e A y be B} Ejemplo: Sea el conjunto A = {l, 2} B = { a , b} A x B = { (l,a) , (1. b), (2, a). (2, b)} Ejemplo: Sea A = { 3,5, 7}, B = { 1, 2} A x B = ((3, 1), (3,2). (5, 1). (5, 2). (7, 1), (7, 2)} Sea A un conjunto, se define por Relación sobre A a todo subconjunto no vacío de A x A; esto es, R es una relación Sobre A si R e A x A y R ::¡:. donde = { }. Nota: A las relaciones sobre A también se les llaman Relaciones Binarias sobre A o Relaciones de A en A. Notación: (a. b) E R se representará también por a R b Una relación R Sobre A es: Reflexiva si V a E A se cumple que a R a - Simétrica si Va. b E A cuando a R b. entonces b R a. - Transitiva 51 Va. b. c E A cuando a R by b R c. entonces aRe. de Equivalencia si R es Reflexiva. Simétrica y Transitiva. Ejemplo: Sea A = { 1. 2. 3. 4. 5} R = {(l.I). 0,2), (2.1). (2.2). (3.3). (3,4).(4.3). (4,4). (5.5)} Partición de un conjunto Sea A un conjunto y U. V ...... W subconjuntos de A. Se dice que P = {U,V, .... W} es una partición de A si: (1) Los Subconjuntos U. V ..... W son disjuntos dos a dos (ii) U u V u . .... . u W = A Ejemplo Sea A = {a. b. c. d . e. f. g. h}, P = { {a. b. c}, {d. e. 11. {g. h} lo entonces P es una partición de A. Observación: Una Partición de un conjunto A es una colección de subconjuntos de A disjuntos dos a dos y cuya unión es todo A. es decir una colección de subconjuntos de A tales que todo elemento de A está en uno y sólo en uno de dichos subconjuntos. CLASES DE EQUIVALENCIA Y CONJUNTO COCIENTE Sea A un conjunto no vacío, a e A y R una relación de equivalencia sobre A, Se define a la clase de equivalencia de a con respecto a la relación R por el conjunto [alR ={b/ be A, a R b} y se define al conjunto cociente de A con respecto a la relación R por A/R = {(alR / a e A} Esto es, A/R es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia que induce R en A. Propiedad: Si ue [al, entonces [ul = [al En el ejemplo anterior [IIR = [21 R = {l,2} , (3) R = [41 R = {3.4} ,[51 R = {5} A/R = {f1.2}, (3,4), {5}} Teorema 1. Toda relación de Equivalencia sobre un conjunto A induce una Partición de A. Sea R una relación de Equivalencia sobre A. entonces A/R es una partición de A, porque: [alR"¡; [blR ~ [alR n [blR = el> - A es la unión de todas las clases de equivalencias que induce R Esto es, V b E A 3 a e A tal que b e [a)R Ejemplo: Sean A = { 1. 2, 3, 4, 5} Y R la relación sobre A definida por R = {(l,l), (1.2). (2,1). (2,2). (3,3). (3,4).(4,3). (4,4), (5,5)} Esto induce el conjunto cociente A/R = {{l.2}. {3,4l. {5}} el cual es una partición de A. H. Toda partición P de A induce una relación de Equivalencia sobre A de la siguiente forma: Sea P = {U. V .... . W} una partición de A. Se define a la relación R sobre A por lo siguiente: V a. b E A. a R b sí y sólo si a y b pertenecen al mismo subconjunto de A que forma la partición P. Ejemplo si A = {l .2.3.4.5} Y P = {{l.2}. {3.4}. {5}}. entonces R = ({1,1J, (1 ,2). (2,1), (2,2). (3.3). (3 .4).(4.3). (4.4), (5 ,5)} R es una relación de Equivalencia . Construcción de los n~meros enteros La razón principal para introducir los números negativos y el cero sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo: a + x = b para la incógnita x. Por ejemplo las ecuaciones 1 + x = 1 Y 2 + x = 1 no tienen solución en N. Definimos la relación - sobre N2 de la siguiente manera: (a,b) - (c.d) si y sólo si a + d = b + c (N 2 = N x N) Propiedad: - es una relación de equivalencia Definimos al conjunto de los enteros por: Definición de la adición. multiplicación y orden en Z: + : Z x Z ~ Z. .: Z x Z ~ Z. < una relación sobre Z x Z [(a. b)) + He. d)) == Ha + c. b + d)) [(a. b)) . [(c. d)) = Hac + bd. ad + be)). esto es debido a que (a - b)(c - d) = ac + bd - (ad + be)) [(a. b)) < He. d)) : ~ a + d < b + e (el lado derech,o se evalúa en los naturales) Notaci6n: [(2 . 1)) se representará por 1 [(3. 1)) se representará por 2 [(4. 1)) se representará por 3 [( 1. 1)) se representará por O [( 1. 2)) se representará por -1 [(1. 3)) se representará por -2 [(1. 4)) se representará por -3 Observaciones: 0= {(l.l). (2 .2). (3.3). . . . } -1 = {(1.2). (2.3). (3A). .. . } 1 = {(2.1). (3.2). (4.3). . .. } Propiedades de los números enteros Para todo x. y. z e Z: 1. Operaciones internas o de Cerradura • x+ye Z • x'yeZ 2. Asociativa • (x + y) + z = x + (y + z) • (x' y) . z = x . (y . z) 3. Conmutativa • x + y = y + x. • X· y = y ' x. 4. Existencia del elemento neutro aditivo O y neutro multiplicativo 1 .. Existe O E Z tal que x + O = x. Para todo x E Z. • E.xist~ 1 E Z tal que x· 1 = x. Para todo x E Z. 5. Existencia del inverso Aditivo • Existe -x tal que x + (-x) = O. 6. Cancelativa • x· y = x . z " x * O =::) Y = z. 7. Distributiva • x· (y + z) = x . y + x . z. Axiomas de Orden Definiciones de Orden Sean x. y E Z . Se dirá que - x es menor o igual que y si (x < y) v (x = y) y se representará por x :S y - x es mayor o igual que y s1 (x > y) v (x = y) y se representará por x ~y Sea A un subconjunto no vacío de Z. se dirá que - A es acotado tnferiormente si existe c E Z tal que c~x VXEA - a E A es primer elemento de A si a ~ x V x E A 8. Reflexiva • x ~x 9. antisimétrica • x ~ y 1\ Y ~ x ~ x = y. 10. Transitiva • x < y 1\ Y < z ~ x < z. 11. El Orden es Total: • Si x ;#. y entonces x ~ y v X ~ Y 12. De la buena ordenación Sea S un subconjunto no vacío de Z. acotado inferiormente. entonces S tiene primer elemento. 13. Invariancia bajo la suma y el producto • x ~ y ~ x + z ~ y + Z para todo Z E Z • z~Oyx~y~x'z~y'Z 14. Tricotomía • Se cumple exactamente sólo uno de los siguientes casos xy Consecuencias: - Existe una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto A = {((2, 1)), ((3, 1)), [(4, 1)), ... } Y los naturales N = {1,2,3.4 ..... } Las operaciones de Adición se preservan Ejemplo: para la suma ((2, 1)) + ((3. 1)) = [(5, 2)) = [(4, 1)) 1 + 2 = 3 En forma análoga para la multiplicación incluso también para la relación de orden < Por este motivo se dice que los naturales están contenidos en los enteros Por la propiedad 4: O es un elemento de Z - Por la propiedad 4: 1 + O = 1 Aplicando la Propiedad conmutativa: O + 1 = 1 Entonces la definición del siguiente de un número dada en los naturales se puede extender a los Enteros, con ello se tiene que el número 1 es el sucesor inmediato de O y O es el antecesor inmediato de l. Por la propiedad 5: 1 + (-1) = O Aplicando la Propiedad conmutativa: (-1) + 1 = O Con ello se tiene que O es el sucesor inmediato de -1 y que -1 es el antecesor inmediato de O. y así sucesivamente. - Por las razones anteI10res el conjunto de los Enteros se representa por Z ={ .. ...... -3. -2. -1. O. 1. 2. 3 ....... } Ejercicios: Demostrar que: - El elemento neutro aditivo es único Para toda x E Z se cumple que: - x'O=O Sea x E Z. entonces el inverso aditivo de x es único (-'1) . x =-x - (-1)'(-1)=1 - -(- x) = x Los Números Cardinales No = {O. 1.2.3.4 ... .. .. . \ De alguna forma los seres humanos debemos dar nombre a las cantidades. ejemplos: l. ¿Cómo representamos a la cantidad de elementos del conjunto vacío? { J. Para ello se ha establecido como Standard el número O. 2. ¿Cómo. representamos a la cantidad de elementos del conjunto? { a J. Para ello se ha establecido como Standard el número l. 3. ¿Cómo representamos a la cantidad de elementos del conjunto {a. b}? Por vía natural se establece que es el siguiente al número 1 (ó el sucesor inmediato de 1) Y se le denota por 2 . 4. ¿Cómo representamos a la cantidad de elementos del conjunto {a. b. c}? Se establece que es el siguiente al número 2 (ó el sucesor inmediato de 2) y se le denota por 3. y así sucesivamente. Los números Cardinales nos sirven para expresar cantidades. Consideraciones Importantes l. Los Naturales: N = {l , 2 , 3 , .. .. } Las operaciones suma (+) y multiplicación (.) son cerrados en N, esto es + y' son operaciones binarias sobre N a+be N Vaybe N a'beN' V aybeN Pero la siguiente ecuación no tiene solución en N 4+x=3 ... (1) => x=-l e: N Es necesario definir a un conjunto más amplio que N. 2. Los Enteros: Z = { ... , -3, -2, -1, 0 , 1,2, 3 , .... } Las operaciones suma (+), multiplicación (.) y resta (-) son cerradas en Z, esto es +, • Y - son operaciones binarias sobre Z. a + b E Z a' b e Z a-b e Z Vaybe Z Vaybe Z Vaybe Z La ecuación (1) tiene solución en Z 4+x=3 => x=3-4=-le Z Pero la siguiente ecuación no tiene solución en Z 4' x = 1 ... (2) x=~i!Z Es necesario definir un conjunto más amplio que Z. 3. Los Racionales (Q ) Son todos los números que resultan de efectuar el cociente de a entre b. donde a y b E Z. b c¡:. O Se les representa por: Ejm. 4- = 2 2 31 = 0.3333 ...... 15 = 2.5 6 Se puede demostrar que todo número racional puede ser: a. Decimal Exacto: M.E(n)' M: Parte entera. E: parte decimal exacta M y E tienen una cantidad finita de cifras. A la parte E también se le llama parte no periódica Ejemplo.2.5; 12.323 b. Periódico Puro: M.E P (n)' "P" es la parte periódica. Ejemplo: 2.3' = 2 .3333 ... 12.45 = 12.454545 ... c. Periódico Mixto: M.E P (n) Ejemplo: 22.37 = 22.3777 ... - 5.24678 = 5.24678678678: .. . Las operaciones suma (+). resta (-). multiplicación (o) son cerradas en Q, la división a + b. está definida para a yb E Q, b:f. O. 1 La ecuación (2) tiene solución en Q: 4' x = 1 ~ x = 4 E Q Sea x > O Y x.2 - 2 = O . .. (3) -4 x:2=2 => x=J2 Se puede demostrar que ~ p y q enteros tales que ~ = J2 q Es necesalio definir a un conjunto más amplio. Los racionales se pueden representar en la recta pero esta no cubre toda la recta, por ~jemplo J2 tiene un punto de la recta que lo representa pero se demuestra que este número no es un racional, esta demostración se realiza en el capítulo de los racionales. 4. Los Reales (R): Son todos aquellos números con los cuales se pueden expresar medidas. Estos números pueden ser representados por puntos en una recta (a esta recta se le llama la recta real) y todo punto de la recta real representa a un número real. esto quiere decir que existe una correspondencia Biunivoca. -3 -2 -1 O 1 2 Nota: La definición precisa (axiomática) se da en otro curso de Matemáticas Observación: J2 está representado por un punto de la recta real. 5. Los Irracionales (1) Son los números reales que no son racionales. I=IR-Q Con respecto a su notación decimal: un número es irracional si al representarlo en su notación decimal, tiene una cantidad infinita de cifras en su parte decimal y sin periodo alguno. En cambio un número racional si tiene una cantidad infinita de cifras en la parte decimal entonces tiene periodo. Ejemplo:./2 = 1.414213562 ......... (sin periodo) 1 = {./2, n, e, 3J4 , 2 -3J5 , ..... }, Q nI = 0, Q u 1 = IR Observación: Desde el punto de vista de la representación de N, Z, Q Y IR en la recta real se observa que N e Z e Q e IR Definiciones de las operaciones básicas: Sean A Y B dos elementos de IR La Adición +: IR x IR ~ IR a+b+ .... . ... +c=s V~t Sumandos suma Multiplicación e : lR x lR -4 IR. Sustra.cción lR x lR -4 IR. AeB=p A: multiplicando B: multiplicador M-S=D M: Minuendo S: Sustraendo P: producto D: Diferencia La adición, multiplicación y sustracción son operaciones binarias como se vio al inicio de este capítulo Propiedad: abc(nl - Cba(nl xyz(nl => y = n - 1 x+z=n- 1 abc - cba = 99 (a - cl 7.3 LA DIVISIÓN EN LOS ENTEROS Sean A. B Y K E Z. B ;#; O tal <¡Jue A = B K. entonces diremos que A es múltiplo de B (B 1 Observaci6n: El cero es múltiplo de 1, 2, 3, 4 ........ , -1, -2, -3 •....... o O = B. V B E Z - {O} o o 0= 5. 0= (-2) Sean D Y d E Z. d"# O. en lo sucesivo llamaremos D: Dividendo d: divisor Diremos que la división de "O" entre "d" es exacta si o O = d Y es iqexacta si no existe k entero tal que O = kd (Esto es O "# d). Valor absoluto de un entero: Sea x un entero se define al valor absoluto de x por Ixl = {x, si x ~ O } -x, si x O => q' = q + 1 Si d < O => q' = q - 1 3. El menor valor de un Residuo es 1 y el máximo es Id I - 1 4. r = 1 <=> r' = Id I - 1 r' = 1 <=> r = I di - 1 Observaci6n: dq Y dq' son dos múltiplos consecutivos de "d" que encajonan a UD" D = dq + r D = dq' -r' Ejemplo: dq D d I r 67 7 7q = 63 I 4 67 -7 -7q = 63 I 4 -67 7 7q = -70 I 3 -67 -7 -7q = -70 I 3 Observaciones: r r' D dq' I I r' 67 70 = 7q' I I 3 67 70 = -7q' I I 3 - 67 -63 = 7q' I I 4 -67 -63 =-7q' I I 4 Sea N E N Y N = abc .... d(n)' entonces k-I k lO(n) :S N < lO(n) ~ N tiene k cifras q r q' r ' 9 4 10 3 -9 4 -lO 3 -10 3 -9 4 10 3 9 .4 lO~n) :S N < lO~n) ~ La cantidad de cifras de N es un número que por 10 menos es "a + 1" Y a 10 más es "b" Sumas Importantes 1 + 2 + 3 + .......... + n =nCn+1) 2 12 + 22 + 32 + .... + n 2 = ~ n (n + 1) (2n + 1) (1 + 1)2 1 + 3 + 5 + ... + 1 = 2 ,1 es impar . 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 7.4 COMPLEMENTO ARITMÉTICO EN BASE D (CA) Sea N = ab ..... c(n) (de k cifras), N E N Se define el complemento aritmético de N por aquel número que sumado con N nos da la Unidad del orden inmediato superior de N k CA (N) = lO(n) - N I~ Si N = xy ..... zwo ...... o(n) w :t O ~ CA(N) = (n - 1 - x){n - 1 - y) ..• (n - 1 - z){n - w)OO .... O(n) La definición anterior se puede extender a números comprendidos entre O y l . Ejemplo: x CA (xl 1 9 10 90 683 317 214(9) 675(9) 432000(11) 6790°°(11) 0,2 0,8 0,47 0,53 0,004 0,006 0,013(16) 0,OED(16) 7.5 PROBLE~S RESUELTOS 1. Hallar las 4 últimas cifras de la siguiente suma: 4(7) + 44(7) + 444(7) + ----------- + 444 --------- 44(7) , v ' 50 cifras e indicar la suma de dichas cifras expresada en el sistema de base 6. Resolucl6n: Escribiendo la suma en base 7 tenemos: 4 44 444 4444 44444 444444 I I I 4 ----- 444444 3004 En las unidades: 4(50= = 200 = 404(7) se deja 4. se lleva 40. En e12do. Orden: [404(7) - 4] + 40 = 440 se deja O. se lleva 44. En el 3er. Orden: [404(7) - 4] + 44 = 440. se deja O. se lleva 44. En el 4to. orden: [363(7) - 4] + 44(7) = 433. se deja 3. se lleva 43. La suma de cifras es: . 3 + O + O + 4 = 7 = 11 (6) 2. En una división entera. el residuo por defecto. el residuo por exceso. el cociente por exceso y el divisor forman una serie aritmética de razón 7. Hallar el dividendo. Resolucl6n: . En una progresión aritmética: r 1= r + 7; q' =r + 14; d = r + 21 Por propiedad: r' + r = d ~ (r + 7) + r = r + 21 Luego: r = 14 => r'=21;q'=r+14=1.4+14=28 d = r + 21 = 14 + 21 = 35 sabemos que: D = d . q' - r' = 35(28) - 21 D = 959 3. Un torneo de fútbol de "X" equipos. donde todos juegan contra todos. dura 5 semanas y cada semana se juega 24 partidos. Hallar el número de equipos. Resolucl6n: Cada equipo juega con (n - 1) equipos: ~~ l. 4 5 . . n - 1 ::) El número de partidos es: luego: = 5 x 24 n (n - 1) = 240 n (n - 1) = 15(16) I I n (n - 1)= 16(16 - 1) ::) n = 16 4. Si un asterisco representa una cifra, hallar el dividendo, si la división es exacta . Resolución: •••••• ••• •• •• ••• ••• cero 117708 ...lQ-ª. 97 96 108 108 cero • • ·8· i. c x ab es de 3 cifras => c ab ~ 100 => ab ~ 12 ii. 8 x ab es de 2 cifras => 8 ah < 100 => ab < 12 = 12 c=9 m. 8 x 12 = 96. se coloca en el segundo producto. Se reconstruye y D = 117.708 5. Una fábrica de pañales produce cada día 350 docenas de pañales. piensa distribuir a "n" distribuidoras. quienes a su vez tienen diferentes números de clientes entre sí: cada menorista debe llevar exactamente 8 docenas de pañales y el número de docenas sobrantes es menor al número de clientes. En un día se reparte a cada distribuidor. ¿Cuántas distribuidoras puede tener? Resoluci6n: Sea Un" el número de distribuidores. Sea d el número de clientes. => 350~ r 8 sabemos que 1 ~r < d r 350 = dq + r ~ r = 350 - 8d 1 ~ 350 - 8d < d => 8d ~ 350 1\ 350 - 8d < d d ~ 43.6 1\ d> 38.88 d = 39.40.41. 42. 43 El número de distribuidores es: 4 6. Si abn + ban = xxx. Hallar a + b; s1 cada cifra es un valor par a + b; si cada cifra es un valor par Resolución: xxx a+b=x ,j,. ,j,. 4 8 - En las unidades: n + n = x 2n=x - En las decenas: a + b = x entonces x es par 2 6 ~ n=4 ~a+b=8 2 4 7. Si abc(7) - cba(7) = 3XY(7) ¿Cuántos números de la forma abc(7) existen? Resolución: abc(7) - ~ (a - 1) - c = 3 ~ a - c = 4 a ,j,. 6 5 1 2 2 1 2 x 7 = 14 números 8. ¿Cuántos números de tres cifras al ser divididos entre 31 dan un residuo que es la mitad del cociente? Resolución: Escribiendo la división, se tiene: N ~ q q 2 Por el algoritmo de la división D = dq + r q N=3lxq+-; 2 100 ~ N ~ 999 ~ 3 cifras 63 q => 100 ·~ 2 ~ 999 => 4 ~ q ~ 31 ; q es par como: R < d => q < 62 q ...:. < 31 2 => q = 4, 6, 8, 10 ... , 30 La cantidad de valores q: es Existen 14 números 30-2 2 = 14 9. Un librero ha recibido 806 cuadel ·10S por los que ha pagado SI. 990. la factura se hace con una rebaja del 25% y lleva marcado 13/12 lo que significa que por cada docena recibe 13. Si hay cuadernos de SI 2.50 Y SI. 1.50 ¿Cuántos cuadernos de 1.50 recibió? Resoluci6n: Si la regla es de 25% entonces SI. 990 es el 75% del monto de la factura . . ~x = 990 ~ x = 1320 El número de docenas pagadas es: 806~ 026 62 O Una docena de cuadernos de 2.50 cuesta 12 x 2.50 = SI. 30 La docena de cuadernos de 1.50 es 12 x 1.50 = SI. 18 Si todos los cuadernos fuesen de 2.50 se pagaría 62 x 30 = 1860 La diferencia total es 1860 - 1320 540 La diferencia parcial es: 30- 18 12 El número de docenas de 1.50 será: 540 ~ 60 45 00 Entonces se recibe 45 x 13 cuadernos de sI. 1.50 45 x 13 = 585 10. Si abc(8l x 777(8) = ... 532(8) = ... 532(8l Hallar: CA ((2a)(2b)(2ch3) Resoluci6n: abc(8l x (1000(8) - 1) = ... 532{8l abcOOO(8l - abc(8l 532(8) 8-C=2 => C=6 7-b=3 => b=4 7-a=5 => a=2 => Ca (48(12h3) = 841{l3l 11. En una división el cociente es 15 y el residuo 84 ¿A lo más cuanto se debe sumar una misma cantidad al dividendo y al divisor para que el cociente no varíe? Resoluci6n: D = d· 15 + 84 D + x = (d + x)15 + r (2) - (1) x = 15x + r - 84 84 - 14 x = r ~ O 84 ~ 14 x 6~x => Xmax = 6 ... (1) ... (2) 12. En un juego intervienen las personas A. B Y C; y acuerdan que el que pierde duplica el dinero de los otros dos. Si perdieron en el orden A. C. B y al terminar el tercer juego : A. B. Y C 200. 520 Y 600 respectivamente ¿C~n cuánto empezó A? Resolución: Juego Perdió A B C 200 520 600 3 B 100 920 300 2 A 710 460 150 1 A 710 + 305 230 735 A empezó con 710 + 305 = 1015 7.6 PROBLEMAS PROPUESTOS l. En una clase se colocan 12 alumnos en cada banca y sobran 11 de ellos. que permanecen de pie; pero si se disponen 15 en cada banca. en la última de éstas solo se encuentran 11. ¿Cuántos alumnos hay? a) 56 b)59 c) 71 d) 72 e) 73 2. Juan le dijo a Pedro: Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. pero cuando tú tengas la edad que yo tengo. la suma de nuestras edades será de 63 años. Hallar la suma de las edades actuales de ambos. al 48 b)49 c) 52 d) 53 e) 61 3. Se debe almacenar 610 postes cilíndricos en un espacio abierto disponible sin paredes. que solo permite poner 40 postes; sobre estos. cada lecho sucesivo debe contener un poste menos. para no derrumbarse ¿Cuántos lechos puede armarse? A)20 b) 21 e) 22 d)23 e) 24 4. Un tren de 120 m de longitud se demora en pasar por un puente de 240 m de largo un tiempo de 6 minutos. La velocidad del tren en mis: es: a) 1 b)2 e) 3 d) 4 e) 5 5. Hace cuatro afios la edad del padre era , el doble de la edad del hijo y dentro de 5 afios sus edades sumarán 105. ¿Cuántos años tendrá el padre dentro de 10 afios? a) 52 b) 61 e) 62 d)72 e) 82 6. Un frutero compra manzanas a 7 por 9 soles y los vende a 6 por 10 soles. Si las 48 manzanas que le quedan representan su ganancia ¿Cuántas manzanas compró? a) 240 b)360 e) 380 d)420 el 450 7. Un ómnibus de la ruta Lima - Callao. cobra 0.50U.M. como pasaje único en el camino por cada pasajero que baja suben tres. El ómnibus llegó al paradero final con 160 pasajeros y con una recaudación total de 100 U.M. ¿Cuántos pasajeros subieron en el paradero inicial? al 75 b) 80 e) 82 d)84 e) 86 8. Si un litro de leche pesa 1.032 kg Y un litro de agua 1 kg. decir si está adulterada o no la leche de un recipiente en el cual se supone que existen 17 lts. de leche. los que pesan 17.32kg. En caso de ser así. ¿cuántos litros de agua contiene? a) 0.55 b) 0.68 el 0.65 dlO.70 e) 0.75 9. Se trata de llenar un cilindro al cual concurren 2 cañerías. Si abro la primera que arroja 52 litros de agua cada 5 minutos y la dejo funcionar cierto tiempo. logra llenar el cilindro y se han rebalsado 72 litros. Si abro el segundo caño y funciona el mismo tiempo que funcionó el primero. faltarían 40 litros de agua para llenar el cilindro. debido a que éste caño arroja 20 litros de agua cada 3 minutos. ¿Qué capacidad en litros tiene el cilindro? A) 180 B)200 C) 240 D)360 E) 380 10. El guardián de un pozo de una hacienda ha plantado a partir del pozo. cada 5 m y en dirección norte un total de 27 árboles y puede sacar agua del pozo cada vez para el riego de un solo árbol. ¿Cuántos metros tiene que andar diariamente para regar los 27 árboles? A) 3600 B)3750 C) 3780 D) 5400 E) 5430 11. Hallar "a" si: CA(la) + CA(2 x al) + CA(2 x ala) = 9284 A) 4 B)5 C) 6 D) 7 E)8 12. "La suma de todos los números de "m" cifras cuyo producto de cifras es 7 termina en 53. Determinar la suma de cifras de la suma. siendo m de 2 cifras. A) 60 B)70 C) 80 D)90 E) 100 13. Hallar la cinco últimas cifras de la suma siguiente y dar como respuesta. La suma de dichas cifras. pero en el sistema de base. 3(6) + 33(6) + 333(6) + ... + 333 .... 3(6) ~ 50 cifras a} 206 b) 216 e) 226 d) 236 e) 246 14. Si se cumple que: abed - deba = (e -lHa -l)(b - l)(d +1) ye-b=2 Hallar: a + b + e + d a) 16 b) 17 e) 18 d) 19 e) 20 15. Si pqr + rqp = medu, donde rqp es la diferencia de dos números que resultaron de intercambiar el orden de sus cifras. Hallar un número k, de modo que: medu x k = udem. a)5 b)6 e} 7 d} 8 e} 9 7.7 PROBLEMAS DE AUTOEVALUACIÓN l. Un ah.lmno al tratar de calcular dos números eoriociendo la suma y la diferencia comete un error por defecto de 16 unidades en la suma. Se encontró como número mayor 51 y la diferencia de los números está comprendido entre 20 y 47 y tiene como suma de cifras 12. Hallar la suma de los verdaderos números. a} 13 b} 14 e} 15 d} 16 e} 17 2. El cociente de una división es 156 y el resto es 6; se suman 984 unidades al dividendo y se repite la división siendo el cociente 173 y el resto 4 . ¿Cuáles son el dividendo y el divisor primitivos? a} 56 b} 57 el 58 d)59 e} 60 3. En una división entera donde el dividendo está comprendido entre 600 y 700 el divisor es 87. Si el residuo por defecto es mayor que el residuo por exceso en 23 unidades. Hallar el dividendo y dar como respuesta la cifra de menor orden. al 1 b}2 e} 3 d}4 e} 5 4. ¿Cuántos números naturales pueden ser el dividendo en una división donde el divisor es 43 y el cociente con el residuo suman 75? a) 39 b)40 e} 41 d} 42 e} 43 5. Si la suma de los 3n primeros enteros positivos excede en 150 a la suma de los primeros n enteros positivos. Hallar la suma de los primeros 4n enteros positivos. a) 210 b)250 e) 300 d)320 e} 496 6. Una nave espacial llega al planeta z y su jefe alfa informa a su base: Estos seres tienen igual número total de dedos que nosotros pero tienen n extremidades más y n dedos menos en cada extremidad. ¿Cuál es la diferencia entre el número de dedos por extremidad y el número de extretnidades. de los seres del planeta? a}1 b}2n e} n d}n+l e} n - 1 7. Pedro. Raúl y Jorge pueden hacer una obra en 24 horas. Pedro y Raúl lo pueden hacer en 64 horas. ¿En qué tiempo lo hará Jorge? a} 35 b}36 e} 38.40 d} 38.60 e} 39.40 8. Calcular a + b + e + d. si (l}+(3+5}+(7+9+1l)+ ... = aabcd (n) (2n paréntesis) al 7 b}8 e} 9 d} 10 e} 11 9. Dos personas se dedican a fabricar chocolates. El primero de ellos hace 30 chocolates por hora y el segundo 75 en el mismo tiempo. El primero ha empezado 39 horas antes que el segundo y ambos han dejado el trabajo cuando habían fabricado igual número de chocolates. ¿Cuántos chocolates fabrican cada uno? a) 2180 b) 2530 e) 2980 d) 3120 el 3160 10. Cuatro Jugadores: A. B. C y D. convienen en que en cada jugada el que pierde duplicará el dinero de los otros 3. Si cada uno pierde una partida en el orden en que han sido nombrados. Si al final cada uno se queda con 32 soles. ¿Cuánto tenía A al comenzar el juego? al 10 a) 3 b) 18 b)5 el 34 cl 7 ~) 66 dl8 e) 68 e) 9 11. Un tren emplea 10 horas en cubrir la distancia AB. A partir de las 8 a.m. de cierto dia. salen tanto de A como de B. un tren cada hora; cuando él primer tren que salió de B ha cubierto 7/8 de la distancia ¿Con cuántos trenes se ha cruzado? a) 3 b) 5 e) 7 d) 8 e) 9 12. Dos personas: A y B viven en países diferentes. La persona A ya tiene ahorrados 300 billetes y empiece ha ahorrar 50 billetes mensuales. mientras que B empieza ahorrar 30 billetes mensuales. Si 2 billetes de B equivalen a 5 billetes de A. ¿Cuántos billetes debe ahorrar B para que ambos tengan ahorrados la misma cantidad de dmero? a) 300 b)360 e) 480 d)720 e) 800 13. Si A. a y C tiene por lo menos 1. 5 Y 2 cifras y a lo más 3 . a3 C3 7 y 4. ¿Cuántas cifras como mínimo puede tener 2? A a) 8 b)9 e) 10 d) 11 e) 12 14. Tres números: A. a y e tienen n. n + 1. n + 2 cifras respectivamente. Si el producto P ? A4.B3.C2 tiene por lo menos 98 cifras ¿Cuántas cifras tendrá como máximo? al 103 b) 104 e} 105 d) 106 e) 107 15. Un frutero tiene 360 naranjas las cuales ha adquirido con la siguiente oferta:''A S/. 0 .20 c/u más 1 naranja de regalo por cada 5 que compró". En cuánto debe ofrecer c/u con la oferta de regalar 5 naranjas por cada 10 naranjas 'que le ~ompran y desea ganar S/. 36 en toda la venta. a) 0.30 b) 0.35 c) 0.40 d) 0.50 e) 0.60 7.8 CLAVES DE RESPUESTAS De los problemas propuestos 1 2 3 4 - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 c b a a d d b d e c e e c d c De la autoevaluaci6n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 , e c d d b c e e d e e b e d e