TRANSFORMACIONES DE SUMA A PRODUCTO Y DE PRODUCTO A SUMA EN TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS RESUELTOS
OBJETIVOS
☛ Conocer los métodos para poder transformar sumas o diferencias de mismas razones senos y cosenos a un producto.
☛ Conocer los métodos para poder transformar productos de razones senos y cosenos a una suma o diferencias de las mismas razones .
☛ Aplicar el conocimiento de los métodos de transformación a los ejemplos, aplicaciones y preguntas de examen de admisión.
☛ factorización trigonométrica
☛ suma de senos de ángulos en progresión aritmética
☛ suma de cosenos de ángulos en progresión aritmética
☛ sumatoria trigonométrica
☛ productoria trigonométrica
El estudio del presente capítulo nos permite relacionar las razones trigonométricas para reducir expresiones extensas a términos más simples, así como la suma con el producto de razones, que será de frecuente uso en el tema de funciones.
PRACTICA
PROBLEMA 1 :
Reduzca:
A = sen42º + sen18º + cos48º
Rpta. : "√3cos18º "
PROBLEMA 2 :
Reduzca:
B = 4sen50º.cos10º – 2cos50º
Rpta. : "√3"
PROBLEMA 3 :
Reduzca:
C = sen70º – 2sen50º.cos20º + 1
Rpta. : "1/2"
PROBLEMA 4 :
Calcule:
D= sen55º · cos5º + sen25º· sen5º
Rpta. : "√3/2"
PROBLEMA 5 :
Calcule:
E = cos10º+cos110º+cos130º
Rpta. : "0"
PROBLEMA 6 :
Simplifique:
F = cos²20º + cos²40º + cos²80º
Rpta. : "3/2"
PROBLEMA 7 :
Reduzca:
G = sen³10º + sen³130º + sen³250º
Rpta. : "–3/8"
PROBLEMA 8 :
Simplificar:
Cos100° – Cos40°+Cos20°
A) 1
B) 2
C) –1
D) 0
E) –2
Rpta. : "D"
PROBLEMA 9 :
En un triángulo ABC, calcule la medida del ángulo A si
sen²A=3senB senC+(senB – senC)²
A) 60°
B) 90°
C) 105°
D) 120°
E) 150°
Rpta. : "D"
PROBLEMA 10 :
Transformar a producto la expresión
cos11x +cos5x + cos9x + cos3x.
A) 4cos6xcos4xcos2x
B) 4cos5xcos4xcos2x
C) 4cos7xcos3xcosx
D) 4cos7xcos3xcos2x
E) 4cos6xcos5xcos2x
Rpta. : "C"
PROBLEMA 11 :
Si Pcos40°cos80° = csc100° – csc40°, halle el valor de P.
A) – 4sen10°
B) – 4csc10°
C) – sec10°
D) – 4cos10°
E) – 4sec10°
Rpta. : "E"
PROBLEMA 12 :
Si
cos7x + cos11x + cos15x + cos19x = Zcos13xcsc2x
determine Z
A) cos8x
B) cos4x
C) sen4x
D) sen8x
E) 2sen8x
Rpta. : "D"
PROBLEMA 13 :
Luego de simplificar la expresión (sen²200°– cos²100°)cos10°, se obtiene
A) 4sen20°.
B) 0,25sen20°
C) 2sen10°.
D) 4sen10°.
E) cos20°.
Rpta. : "B"
El término resonancia hace referencia a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en el que se produce el reforzamiento de una oscilación al someter al sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada.
Dicho fenómeno se da de diferentes formas, dependiendo de los cuerpos o el campo en el cual se desarrolla: la resonancia puede ser acústica, mecánica, eléctrica, magnética, u otras.
En muchos casos, lo que se observa matemáticamente es una sobreposición de ondas, las cuales se expresan con ecuaciones senoidales de la forma f(x)=Asen(Bx+C) + D
Dicha sobreposición genera una nueva onda al observarse la transformación de una suma de senos o cosenos a producto.
Las diversas construcciones, como los edificios y puentes, están diseñadas para evitar el fenómeno de la resonancia; por ejemplo, en el caso de un puente, su estructura tiene asociada a ella una ecuación de onda, lo mismo sucede con el viento, los carros y las personas que transitan sobre él.
Si las ecuaciones de onda se anulan matemáticamente o se suman, pueden generarse problemas en las estructuras. De allí la importancia de realizar operaciones de transformación trigonométrica en casos de suma o resta de senos y cosenos.
