TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
☛ Transformaciones de suma o diferencia a producto
☛ Transformaciones de producto a suma o diferencia
¿Qué son las transformaciones trigonométricas ?
Son fórmulas que permiten simplificar expresiones trigonométricas extensas a términos más simples, así como la suma con el producto de dichas razones trigonométricas.
APRENDIZAJES ESPERADOS :
• Conocer las equivalencias que transforman sumas o diferencias de razones trigonométricas (senos o cosenos) a producto.
• Demostrar las identidades de transformaciones trigonométricas.
• Conocer las equivalencias que nos permitan transformar el producto de dos razones trigonométricas (senos o cosenos) a una suma o diferencias de dos razones trigonométricas (senos o cosenos).
• Conocer las propiedades que se deducen a partir de las identidades de las transformaciones trigonométricas.
A menudo se presenta el problema de transformar la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas y viceversa. Esto permitirá las simplificaciones de expresiones complicadas. Dichas transformaciones son demostradas a partir de las identidades de arcos compuestos.
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Se le suele llamar también factorización trigonométrica y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia.
Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales.
DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto.
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos.
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales.
2senAcosB=sen(A + B) + sen(A – B)
2senBcosA=sen(A + B) + sen(A – B)
2senAsenB=cos(A – B) – cos(A + B)
2cosAcosB=cos(A – B) + cos(A + B)
“Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno se tiene que si el primer ángulo es el mayor entonces se obtiene una suma de senos y si el primer ángulo es menor se obtiene una diferencia de senos”.
EJEMPLOS :
2Sen3xCosx
= Sen(3x + x) + Sen(3x– x)
= Sen4x + Sen2x
2SenxCos2x
= Sen(2x + x) – Sen(2x – x)
= Sen3x – Senx
2Cos3xCos2x
=Cos(3x + 2x)+Cos(3x– 2x)
= Cos5x + Cosx
2Sen5xSenx
= Cos(5x – x) – Cos(5x + x)
= Cos4x – Cos6x
2Sen40°Cos20°
=Sen(40°+20°)+Sen(40°– 20°)
= Sen60° + Sen20°
2Sen10°Cos40°
=Sen(40°+10°) – Sen(40°– 10°)
= Sen50° – Sen30°
2Cos50°Cos20°
=Cos(50°+20°)+Cos(50°– 20°)
= Cos70° + Cos30°
2Sen70°Sen10°
=Cos(70°–10°) – Cos(70°+ 10°)
= Cos60° – Cos80°
Transformar a producto:
☛ sen50°+sen20°
☛ cos80°+cos20°
☛ cos70°– cos30°
Transformar a suma o diferencia:
☛ 2sen50°cos20°=
☛ 2sen10°cos40°=
☛ 2sen7xsen2x=
PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Al factorizar la expresión: uno de sus factores es:
√3 + 2Cos10°
a) Cos8º
b) Cos12º
c)Cos16º
d) Cos20º
e) Cos24º
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Dado que:
Sen2x.Sen5x+Cosx Cos6x=Senx.Cos4x
Calcula: Ctgx
A) 1
B) 1/2
C) 2
D) 1/4
E) 4
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Calcula el valor de:
Csc10º – 4Sen70º
A) 0
B) 1
C) –1
D) 2
E) –2
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Calcula: Sen(θ+β).Sen(θ – β)
Si: Cosθ=1/4 ; cosβ=1/3
A) 7/12
B) 7/144
C) 5/12
D) 25/144
E) 45/144
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Reduce
Cos10º + Cos30º + Cos50º + Cos70º
a) 2
b) 0,5cot10°
c) 2Tg10º
d) 2Ctg10º
e) 1
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
Calcula el valor de:
W= Sen²10º + Sen²50º + Sen²70º
a) 3/4
b) 1
c) 5/4
d) 3/2
e) 7/4
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Calcula el valor máximo de la expresión:
W = Sen(65º + x) + Sen(25º – x)
a) 1
b) √2
c) √3
d) 2
e) 3/2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
Calcula la medida de ω que maximice el valor de “Y” en :
Y = 1 – Cosω.Cos(ω+40)
a) 20º
b) 30º
c) 50º
d) 70º
e) 90º
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Calcula el valor de:
P=32Sen36º.Sen72º.Sen108º.Sen144º
a) 1
b) 2
c) 5
d) 10
e) 20
Rpta. : "E"
PREGUNTA 10 :
Si en un triángulo ABC, se cumple que:
Sen2A+Sen2B+Sen2C= 4SenASenBSenC
luego, el triángulo, es
a) Escaleno
b) Isósceles
c) Equilátero
d) Rectángulo
e) Rectángulo e Isósceles
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Factoriza :
N = Cos²5x – Sen²3x
a) Cos8xCos2x
b) Cos10xCos2x
c) Cos6xCos2x
d) Cos8xCos4x
e) Cos8xCos6x
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Factoriza : 4CosθCos3θ + 1
a) Sen5θCscθ
b) Sen6θCscθ
c) Sen8θCscθ
d) Sen5θCsc2θ
e) Sen5θCsc3θ
Rpta. : "A"
PREGUNTA 13 :
Simplifica :
E = 2(Cos5x + Cos3x)(Sen3x – Senx)
a) Sen2x
b) Sen4x
c) Sen6x
d) Sen8x
e) Sen10x
Rpta. : "D"
PREGUNTA 14 :
Después de transformar
(Cosx + Cos4x – Cos8x – Cos11x)
es un monomio, uno de los factores es :
a) Sen4x
b) Cos7x/2
c) Sen7x/2
d) Cos4x
e) 1
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
SenA/2=3/5
Calcula : 2500Sen5A/4Sen3A/4
a) 1000
b) 1280
c) 1804
d) 2608
e) 2000
Rpta. : "E"
PREGUNTA 16 :
Si : Cosx=1/2
Calcula : 4Senx/2Sen5x/2
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 4/3
e) 5/3
Rpta. : "C"
PREGUNTA 17 :
Calcula k si :
2Cos6ASen3A + Sen3A = SenkA
a) 6
b) 3
c) 9
d) 18
e) 1
Rpta. : "C"
PREGUNTA 18 :
Reduce :
(Tg2A + TgA)(Cos3A + CosA)
a) 2Sen3A
b) Cos3A
c) 2Sec3A
d) Tg3A
e) 1
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
Simplifica :
Sen7ASen3A + Sen²2A
a) Csc25A
b) Sen27A
c) Sec27A
d) Sen25A
e) 1
Rpta. : "D"
PREGUNTA 20 :
Reduce :
Sen6ASen4A – Sen15ASen13A+Sen19ASen9A
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
La expresión :
M= sen7º+ sen21º+ sen35º+ sen49º
es equivalente a
A) 4sen28º cos14º cos7º.
B) sen28º cos14º cos7º.
C) 4sen21º cos15º cos7º.
D) sen35º cos14º cos7º.
RESOLUCIÓN :
M=2sen14ºcos7º + 2sen42ºcos7º
⇒ M= 2cos7º(sen14º + sen42º)
⇒ M= 2cos7º(2sen28ºcos14º)
∴ M=4sen28ºcos14ºcos7º
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
Para todo n∈ℕ, halle el valor de
A) 1
B) 2
C) –1
D) 0
E) 3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Sean x, y tales que:
cos(x+y)=1/3
cos(x)+cos(y)=2/3
Calcule el valor de cos(x).cos(y)
A) –1/6
B) –1/2
C) 1/3
D) 1/4
E) –1/12
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
Si senαcosα ≠0, halle el valor de
A) 2
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
