TRANSFORMACIONES TRIGONOMETRICAS PROBLEMAS RESUELTOS PDF

OBJETIVOS : Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de: * Convertir una suma o diferencia de funciones trigonométricas en un producto. * Transformar un producto de funciones trigonométricas en una suma o diferencia de las mismas. *Aplicaciones de las transformaciones trigonométricas. * TRANSFORMACIÓN DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS EN UN PRODUCTO Para factorizar una suma o diferencia de senos, se recurrirá a las fórmulas de la suma y diferencia de dos ángulos: Sumando y restando (1) y (2), tenemos: Haciendo un cambio de variable: Luego, reemplazando tenemos: es decir, la suma de senos de dos ángulos es igual al doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el coseno de su semidiferencia. es decir, la diferencia de senos de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semi suma de los ángulos por el seno de su semidiferencia. Ejemplos: Transforme a producto: Resolución: TRANSFORMACIÓN DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE COSENOS EN UN PRODUCTO Al igual que las fórmulas anteriores, emplearemos las relaciones de la suma y diferencia de dos ángulos: Sumando y restando (3) y (4) tenemos: Haciendo un cambio de variable: Reemplazando tenemos: es decir, la suma de cosenos de dos ángulos es igual al doble producto del coseno de la semisuma de los ángulos por el coseno de la semidiferencia. es decir, la diferencia de cosenos de dos ángulos es igual a menos el doble producto del seno de la semisuma de los ángulos por el seno de la semidiferencia. Ejemplo 1 : Transforme a producto: Resolución: Ejemplo 2 : Simplificar: Resolución: Transformando a producto el numerador y denominador, tenemos: Ejemplo 3 : Factorice : Resolución: Agrupando convenientemente: CASOS ESPECIALES DE FACTORIZACIÓN TRIGONOMÉTRICA Además de factorizar la suma, diferencia de senos y cosenos, podemos encontrar otras expresiones que se pueden transformar a producto aplicando las relaciones anteriores, Analicemos algunos de ellos: Transforme a producto: TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO DE SENOS Y COSENOS EN UNA SUMA O DIFERENCIA Para transformar un producto de senos y cosenos en suma o diferencia, tenemos que recurrir a las fórmulas de seno y coseno de la suma y diferencia de ángulos: Sumando (1) y (2): Restando (1) y (2): Ejemplos : Transforme a suma o diferencia los siguientes productos: Resolución: De las fórmulas de suma y diferencia : Sumando (3) y (4): Restando (3) y (4): Ejemplo 1 : Transforme a suma o diferencia los siguientes productos: Resolución : Ejemplo 2 : Reduce: K=Sen6xSen4x –Sen15xSen13x+ Sen19xSen9x Resolución : Multiplicamos por ‘‘ 2’’ para pasar los productos a suma o diferencia: Ejemplo 3 : Reduce: Resolución: Efectuando como sigue, tendremos: A continuación pasamos de producto a diferencia, así: Simplificando: Ejemplo 4 : Calcule: A = 4Sen 10° Sen50°Sen70° Resolución : Ordenando de la siguiente manera: Efectuando, quedará: Pero: Luego: Finalmente: PROPIEDADES Si: A + B +C = 180° Se cumple: DEMOSTRACIÓN de (i) : De la condición A+B+C = 1800, se tiene aplicando propiedad de ángulos cuya suma es 900 : transformando el 1er. miembro : Factorizando se tiene : Reemplazando por : DEMOSTRACIÓN de (iII) : * En la condición tenemos : A+B+C=180° aplicando propiedad de ángulos cuya suma es 1800 sen(A + B) = sen C y cos(A + B) = cosC *Transformando el primer miembro : sen2A + sen2B + sen 2C = 4 sen Asen B sen C 2sen(A+B)cos(A-B)+ 2senCcosC=4senAsenBsenC 2senCcos(A-B) + 2senCcosC =4senAsenSsenC 2senC [cos(A-B) + cosC] = 4senAsenBsenC 2senC [cos(A - B) - cos(A + B)] = 4 sen AsenBsenC 2senC[ - 2senAsen(-B)] = 4senAsenBsenC :. 4senAsenBsenC=4senAsenSsenC ......L.Q.Q.D. Sumatoria de Senos y Cosenos de ángulos en Progresión Aritmética Para simplificar la notación de una suma de n términos, introducimos ahora el símbolo . La letra griega correspondiente a la S) se utiliza para indicar la ‘‘suma de’’. Con dicho símbolo se utiliza una especie de subíndice que se suele denominar con k. Por ejemplo : se lee ‘‘la suma de las x a la K-ésima potencia, con K= 1;2 ;3 ...., es decir Así escribimos la sumatoria de senos y cosenos cuyos ángulos satisfacen una progresión aritmética de razón r en notación La propiedad para la sumatoria de senos y cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética se presenta donde para ambos casos n : es el número de términos r : es la razón de la progresión aritmética del ángulo : es el primer ángulo de la serie : es el último ángulo de la serie DEMOSTRACIÓN de (i) : Desarrollando la serie de arcos en progresión aritmética , tal como : * Multiplicando por ambos miembros de la expresión propuesta, donde observamos que r es la razón del ángulo. como sabemos cada doble producto de senos también nos representa una diferencia de cosenos, es decir : Sumando miembro a miembro, obtenemos : Transformando a producto el segundo miembro : Si: también Utilizando (I), calculamos la sumatoria e las quintas de los cosenos para angulos x,120°–x y 120°+x como de donde deducimos : ejemplo : Si utilizamos la identidad (11), ahora calculemos la suma de las sétimas de los cosenos cuyos aángulos son . como : de donde concluimos: ejemplos : Aplicando la identidad (12), calcule el valor de Se sabe que Además Luego en la expresión: Efectuando Pero como : Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); xtendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual Del A proposiciones.

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