Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

INECUACIONES LINEALES EJERCICIOS RESUELTOS DE CUARTO DE SECUNDARIA PDF

Lección 1: Conjuntos Lección 2: Desigualdades Lección 3: Intervalos de números reales Lección 4: Propiedades de las desigualdades Evaluación de proceso Proyecto de la unidad Lección 5: Inecuaciones con una incógnita Lección 6: Sistemas de inecuaciones con una incógnita Lección 7: Problemas con inecuaciones y sistemas de inecuaciones. OBJETIVOS : • Representar conjuntos numéricos usando lenguaje matemático. • Expresar información por medio de desigualdades. • Representar conjuntos de números reales usando intervalos. • Conocer y utilizar las propiedades de las desigualdades. • Resolver inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones. En la vida diaria hay situaciones en las que se comparan cantidades que no necesariamente son iguales; por ejemplo, en el problema anterior, las temperaturas mínima y máxima no son iguales, o la temperatura registrada a las 10 de la mañana no es igual a la mínima ni tampoco a la máxima, sino que se encuentra entre ellas. Las expresiones matemáticas que escribiste en el problema anterior se llaman desigualdades y las puedes utilizar para indicar que cierta cantidad es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Para escribir una desigualdad puedes utilizar alguno de los signos >, <, H o G, respectivamente. ¿Cómo hacerlo? Representa las siguientes situaciones utilizando una desigualdad. • El precio de la entrada supera los $ 3 500. Si llamamos p al precio de la entrada, tenemos que p debe ser mayor que $ 3 500, por lo tanto p > 3 500. • La ganancia de Pedro por su trabajo no fue menor que $ 12 000. Si la ganancia de Pedro no fue menor que $ 12 000, significa que fue igual o mayor que ese valor. Luego, llamando g a la ganancia, nos queda g H 12 000. Podemos aplicar las propiedades anteriores en diversas situaciones en las que intervienen desigualdades, por ejemplo, si queremos viajar a algún lugar muy lejano es importante saber la temperatura que hay en ese lugar, para saber si es necesario llevar ropa abrigada o no. El problema es que dependiendo del lugar, la temperatura se mide con diferentes escalas; por ejemplo, en Chile la temperatura se mide en grados Celsius (oC), mientras que en otros países, como Estados Unidos se mide en grados Fahrenheit (oF). La relación entre estas dos escalas está dada por la expresión C = 59 (F – 32), donde C es la temperatura expresada en grados Celsius y F, en grados Fahrenheit. Considera la siguiente situación: los integrantes de la selección chilena de fútbol viajarán a Estados Unidos a jugar un partido con la selección de ese país. El pronóstico del tiempo para el día del viaje es el indicado en la tabla de la izquierda. ¿Crees que deban llevar ropa abrigada?, ¿por qué? Dado que en Chile estamos acostumbrados a medir las temperaturas usando grados Celsius, a primera vista nos será difícil decidir si ese día en Estados Unidos será caluroso o no, ya que las temperaturas están expresadas en grados Fahrenheit. Sin embargo, podemos usar las propiedades de las desigualdades para transformar las temperaturas descritas en ºF a ºC. Observa. 2. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. El sentido de una desigualdad se invierte si se suma o resta un mismo número real negativo en ambos lados de la desigualdad. b. El sentido de una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un mismo número real negativo a ambos miembros de la desigualdad. 3. Define los siguientes conjuntos por comprensión, a partir de la característica en común que tengan sus elementos. a. I = {lápiz, goma, sacapuntas, regla} b. M = {visión, audición, tacto, gusto, olfato} c. N = {automóvil, camión, bus, avión} d. O = {metro, litro, gramo, segundo} 4. Determina si los siguientes conjuntos están definidos por extensión o por comprensión. Explica el por qué. a. A = {x ∈ N / x es múltiplo de 3} b. T = {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} c. P = {y ∈ N / y es divisor de 27} d. O = {3, 9, 15, 21, 27...} e. Q = {q ∈ Z / q es impar ∧ q es divisor de 24} f. B = {d ∈ N / d es compuesto ∧ d es par} 5. Dados los siguientes conjuntos, escríbelos por extensión o por comprensión, según corresponda. a. C = {m es positivo ∧ m divisor de 4} b. D = {2, 5, 8, 11, 14, 17, ...} c. E = {g ∈ Z / g es par ∧ g < 13} d. F = {1, 4, 16, 64, 256, 1 024, ...} e. G = {..., –11, –9, –7, –5, –3, –1} f. I = {d ∈ N / d tiene 2 cifras ∧ d es divisor de 120} 6. A partir de los siguientes conjuntos, realiza las operaciones dadas. F = {f ∈ N / f es múltiplo de 6 } G = {g ∈ N / g es divisor de 54 } H = {h ∈ N / h es par ∧ h < 27 } a. F ( G b. G ( H c. F ( H d. F ( G ( H e. (F ' H) ( G f. (G ' H) ( F 7. Expresa la información de las siguientes situaciones utilizando desigualdades. a. Solo podrán asistir las personas cuya edad no sea inferior a 21 años. b. Si el nivel de intensidad sonora (NIS) de un sonido es superior a 50 dB, puede provocar daños en el oído. c. Las frecuencias audibles por el ser humano son aquellas que fluctúan entre 20 Hz y 20 000 Hz. d. El precio del dólar se mantiene bajo los $ 500, pero nunca es inferior a $ 450. 8. Expresa por extensión y comprensión el conjunto de todos los números enteros que se encuentren entre: a. –8 y 8, ambos incluidos. b. –3 y 5, sin incluirlos. c. 2 y 15, ambos incluidos. 10. ¿Con cuál intervalo se puede representar el conjunto de los números reales negativos? A. ]–∞, 0] B. ]–∞, 0[ C. ]0, +∞[ D. [0, +∞[ E. ]–∞, +∞[ 11. Si el lado de un triángulo equilátero varía entre 5 cm y 14 cm, ¿entre qué valores varía su perímetro, disminuido en 5 cm? A. Entre 15 cm y 42 cm. B. Entre 20 cm y 47 cm. C. Entre 20 cm y 56 cm. D. Entre 10 cm y 37 cm. E. Entre 15 cm y 51 cm. 12. Si a H b + c, ¿cuál de las siguientes desigualdades es correcta? A. a – c H b B. a – b G c C. a + c G b D. b – a H –c E. a + b < c 13. ¿Con cuál intervalo se puede representar el conjunto A = {x ∈ R / –2 G x < 6}? A. ]–2, 5] B. [–2, 5] C. [–2, 6] D. ]–2, 6[ E. [–2, 6[ 14. ¿Cómo se representa por comprensión el conjunto de todos los números naturales tales que no son inferiores que 9 y no exceden 21? A. {x ∈ N / 9 < x < 21} B. {x ∈ N / 9 < x G 21} C. {x ∈ N / 9 G x G 21} D. {x ∈ N / 8 G x < 22} E. {x ∈ N / 8 < x G 22} 15. ¿Cuál de los siguientes números no pertenece al conjunto A = {x ∈ Z / x es impar}? A. 321 B. –357 C. –129 D. 603 E. 358 16. ¿Cuál de las siguientes situaciones se puede representar con la desigualdad p G 9 000? A. El valor de la cuota mensual excede los $ 9 000. B. Al concierto asistieron 9 000 personas. C. Al menos 9 000 beneficiados tuvo la nueva ley. D. Por menos de $ 9 000, puedes llevarlo. E. A lo más 9 000 personas llegaron al partido. 17. ¿A qué intervalo pertenece el número –4,01? A. ]–∞, –4] B. ]–∞, –5] C. [–4, +∞[ D. ]–4, +∞[ E. [–3, +∞[ 18. ¿En cuál de las alternativas el siguiente conjunto está definido por extensión? R = {x ∈ N / x es de dos cifras ∧ x termina en 1} A. {1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} B. {1, 10, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} C. {1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} D. {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91} E. {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} 19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. Si a > b y b < c, entonces a > c. B. Si a > b y b > c, entonces c < a. C. Si a > b, entonces a – 3 < b – 3. D. Si a H b y b H c, entonces a = c. E. Si a > b, entonces –a > –b. 1. En algunos países, las autopistas de alta velocidad imponen rapideces mínimas de circulación en algunas de sus pistas. Averigua en qué países existen este tipo de autopistas y cuál es la razón de imponer una velocidad mínima. 2. Responde las siguientes preguntas si ahora la rapidez máxima fuera de 100 km/h y la mínima fuera de 80 km/h en una pista rápida. a. Escriban por comprensión el conjunto de rapideces permitidas en las pistas rápidas. b. Representen el conjunto anterior como un intervalo y también en la recta real. c. Inventen un sistema de inecuaciones lineales cuyo conjunto solución sea el intervalo que dibujaron en la pregunta anterior. 3. El túnel de una determinada carretera tiene 2 000 m de extensión. Los vehículos que ingresan a este túnel deben circular a rapideces mayores que 36 km/h y menores que 90 km/h. a. ¿Entre qué rapideces pueden circular los vehículos que ingresan al túnel, expresados en m/s? Calcúlenlo transformando las unidades de medida de km/h a m/s. ¿Cómo lo hicieron? b. Construyan un gráfico distancia versus tiempo para 2 vehículos que se mueven a las velocidades mínima y máxima, respectivamente. ¿Qué tipo de función es? Comenten. c. Evalúen la función para distintos valores de t. ¿Cuánto recorre cada auto en t = 1 s, y en t = 5 s? d. Para cada auto, determinen el valor de t tal que hayan recorrido 2 000 m. e. Si otro auto viaja en el túnel a una velocidad variable, pero siempre dentro del rango permitido, ¿cuánto tiempo se demorará en cruzarlo? Representen la respuesta anterior con un intervalo de números reales. 4. Respondan la pregunta 3e, planteando un sistema de inecuaciones lineales. ¿Obtuvieron el mismo resultado?, ¿por qué creen que ocurre eso? 14. El triple de un número natural disminuido en 15 es menor que 57. ¿Cuál es el número? 15. La tercera parte de un número natural aumentada en 20 es mayor que 2. ¿Cuál es el número? 16. Cinco veces un número natural más 11 es menor o igual que el doble del número. ¿Cuál es el cuadrado del número? 17. La suma de tres números consecutivos debe ser menor que 981. ¿Cuáles son los números más grandes que cumplen esta condición? 18. Si el largo de un rectángulo es 5 veces la medida del ancho y el perímetro es a lo más 30 m, ¿cuáles pueden ser las medidas del ancho? 19. Si el área de un triángulo rectángulo es menor que 80 cm2 y la base es 10 cm, ¿qué valores puede tomar la altura? 20. ¿Cuánto debe medir el radio de una circunferencia de modo que su perímetro sea como mínimo 50,24 cm? Considera π = 3,14. 21. ¿Cuánto debe medir el diámetro de una circunferencia de modo que su área sea, a lo más, 200,96 cm2? Considera π = 3,14 cm. 22. Fabián quiere repartir $ 114 000 entre sus dos hijos. Si al mayor le corresponde el doble que al menor, ¿cuáles son las máximas cantidades que puede recibir cada uno? 23. Si una persona bebe m gramos de alcohol entonces su sangre contendrá m 0,7 · p gramos de alcohol, donde p es la masa de la persona, medida en kilogramos. ¿Cuál es la cantidad máxima de alcohol que puede tener un conductor de 60 kg de masa si a partir de 0,5 g/L comete una infracción? 24. Determina si las siguientes aseveraciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas. a. Una inecuación es una igualdad que tiene una o más incógnitas. b. Un sistema de inecuaciones con una incógnita es un conjunto de dos o más inecuaciones de una incógnita que debe verificarse a la vez. c. La solución de un sistema de inecuaciones está dada por la unión del conjunto solución de cada inecuación. d. El conjunto solución de un sistema de inecuaciones siempre es un intervalo de números reales. 25. ¿Qué diferencias y similitudes podrías mencionar entre una ecuación y una inecuación?, ¿ y entre un sistema de ecuaciones y un sistema de inecuaciones lineales? 26. ¿Para qué valores de a y b el conjunto solución de la inecuación ax + b > 5 son todos los números reales positivos? 36. Si el lado de un cuadrado mide x – 2, ¿qué valor debe tener x para que su perímetro sea mayor que 28? A. x > 7 B. x < 7 C. x > 9 D. x < 9 E. x > 30 37. ¿En qué intervalo se encuentran todos los valores x tales que la expresión √–x es un número real? A. ]–∞, +∞[ B. ]–∞, 0[ C. ]–∞, 0] D. ]0, +∞[ E. [0, +∞[ 38. Sea p un número natural tal que el triple de su sucesor más el doble de su antecesor es menor que 21. ¿Cuáles son los valores posibles de p? A. ]–∞, 4[ B. ]0, 4[ C. {1, 2, 3, 4} D. {0, 1, 2, 3, 4} E. {1, 2, 3} 39. ¿Cuál es la solución de (x + 1)2 – 6x > x2 – 19? A. ]–∞, 5[ B. ]–∞, –5[ C. ]–5, +∞[ D. ]5, +∞[ E. ]–5, 5[ 40. Observa el sistema de inecuaciones: 8x – 9 > 15 x – 2 < 4 ¿Cuál de las alternativas muestra una de las soluciones del sistema anterior? A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 E. 7 41. La suma de tres números impares consecutivos es inferior a 69 y superior a 57. ¿Cuál es el número central? A. 19 B. 21 C. 23 D. 25 E. 27 42. “El doble de la suma entre un número y su sucesor es inferior a 30”. ¿Cuál es el mayor número entero que cumple esta condición? A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 14 43. Se puede determinar la edad de Bernardita sabiendo que: (1) si tuviese 4 años más de los que tiene, no alcanzaría a cumplir 21 años; (2) si tuviese 2 años menos de los que tiene, tendría más de 12 años. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 44. Se pide encontrar la medida de uno de los lados de un triángulo escaleno, sabiendo que es un número entero. (1) La medida de los otros dos lados son 6 cm y 4 cm. (2) La longitud desconocida es la del lado menor. A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Ambas juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional. 3. Resuelve los siguientes problemas. a. La mitad de un número disminuido en 3 es mayor que 24. ¿Cuál es el menor número natural que cumple la condición anterior? b. La masa de Bruno es un valor entre 70 y 74 kg, la masa de Diego es 2 kg más que Bruno y la de Catalina es 11 kg menos que Diego. Determina entre qué valores se encuentra la masa de Catalina. c. Tres veces un número disminuido en 3 es menor o igual que el mismo número disminuido en 1. ¿Cuál es el cubo del número? d. Si el ancho de un marco rectangular es la cuarta parte de la medida del largo y el perímetro es, como máximo, 50 m, ¿cuáles pueden ser las medidas posibles del largo del marco, sabiendo que tanto el largo como el ancho son números naturales? e. Si el radio de una circunferencia mide entre 2 y 4 cm, determina entre qué valores mide su perímetro. Considera π = 3,14. 10. Para acceder a un subsidio, el postulante debe tener un sueldo inferior a $ 300 000 mensuales y además, el 15 % de su salario debe ser mayor que $ 12 000. Determina entre qué valores tiene que ganar mensualmente una persona para poder acceder al beneficio. 11. El precio de una entrada para un concierto fluctúa entre $ 2 460 y $ 10 980. Si Camila quiere comprar 3 entradas y además, quedar con $ 2 500 para comprar bebidas, ¿cuánto dinero necesita como mínimo?, ¿y como máximo? 12. La suma de tres números pares consecutivos es mayor que 72 y menor o igual que 84. ¿Cuáles son todos los posibles valores para el número central?