DIVISION DE POLINOMIOS - RAICES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA – MATEMATICA 3 ESO PDF


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  • DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Divide los siguientes monomios. a) 54x5 9x2 b) 63x12 3x5 c) 35xy6 7y3 d) 121x2y6 11yx4 a) 54x5 9x2 Efectúa estas divisiones. a) (60x3 75x2) 15x b) (121x2 55x) 11x2 a) (60x3 75x2) 15x 60x3 1 5x 75x2 6 1 0 5 x x 3 7 1 5 5 x x 2 4x2 5x b) (121x2 55x) 11x2 121x 1 2 1 x2 55x 1 1 2 1 1 x x 2 2 1 5 1 5 x x 2 11 5 x Completa estas divisiones de monomios. a) 36xy3 2x b) 7x3 11x2 c) 15x2yz 3yz d) ab a2b3 a) 18y3 b) 77x5 c) 5x2 d) a3b4 Realiza las siguientes divisiones. a) (26x3z 52x5z) 13x2 b) (26x3z 39x4z) 13x4z a) (26x3z 52x5z) 13x2 26x3z 1 3x2 52x5z 2 1 6 3 x x 3 2 z 5 1 2 3 x x 5 2 z 2xz 4x3z b) (26x3z 39x4z) 13x4z 26x3z 13 x4z 39x4z 2 1 6 3 x x 3 4 z z 3 1 9 3 x x 4 4 z z 2 x 3 Realiza estas divisiones. a) (x3 6x2 6x 5) (x2 x 1) b) (x4 5x3 11x2 12x 6) (x2 x 2) c) (x5 2x4 3x2 5x 6) (x2 3x 2) d) (x6 3x4 2x2 5x 7) (x4 3x 1) a) x3 6x2 6x 5 x2 x 1 x3 6x2 6x x 5 5x2 5x 5x2 5x 5 0 b) C(x) x2 4x 5 R(x) x 4 c) C(x) x3 5x2 17x 58 R(x) 203x 110 d) C(x) x2 3 R(x) 3x3 3x2 14x 10 5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Efectúa la siguiente división de polinomios. (6x4 7x3 2x2 8x 3) (2x2 3x 1) 6x4 7x3 2x2 8x 3 2x2 3x 1 6x4 9x3 3x2 3x2 x 1 6x4 2x3 3x2 6x4 2x3 3x2 x 6x4 2x3 2x2 7x 6x4 2x3 2x2 3x 1 6x4 2x3 2x2 4x 2 Escribe el dividendo de una división de polinomios en la que el divisor es x2 1, el cociente x3 3, y el resto 2x. D(x) d(x) C(x) R(x) (x2 1) (x3 3) 2x x5 3x2 x3 3 2x Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto de la división. a) (4x3 8x2 9x 7) (x 3) c) (5x5 7x4 3x3 5x2 3x 1) (x 1) b) (2x3 5x2 4x 2) (x 3) d) (6x4 9x3 10x2 8x 2) (x 2) a) 4 8 9 7 3 12 12 9 4 4 3 16 C(x) 4x2 4x 3 R(x) 16 b) 2 5 4 2 3 6 3 3 2 1 1 5 C(x) 2x2 x 1 R(x) 5 c) 5 7 3 5 3 1 1 5 12 15 20 23 5 12 15 20 23 24 C(x) 5x4 12x3 15x2 20x 23 R(x) 24 d) 6 9 10 68 2 2 12 42 64 144 6 21 32 72 142 C(x) 6x3 21x2 32x 72 R(x) 142 Averigua el cociente y resto de estas divisiones mediante la regla de Ruffini. a) (2x3 x2 5) (x 3) b) (3x5 3x2 4) (x 1) a) 2 1 0 5 3 6 15 45 2 5 15 50 C(x) 2x2 5x 15 R(x) 50 b) 3 0 0 3 0 4 1 3 3 3 0 0 3 3 3 0 0 4 C(x) 3x4 3x3 3x2 R(x) 4 5.9 5.8 5.7 5.6 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) (x3 1) (x 1) b) (x4 1) (x 1) a) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 b) 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Utiliza el teorema del resto para calcular el resto de estas divisiones. a) (x11 2x2) (x 1) c) (x12 81) (x 1) b) (x7 1) (x 1) d) ( x14 101) (x 1) a) R P(1) 111 2 12 1 2 1 b) R P(1) 17 1 1 1 0 c) R P( 1) ( 1)12 81 1 81 80 d) R P( 1) ( 1)14 101 1 101 100 La división de P(x) x3 2x2 k por x 3 da resto 0. ¿Cuánto vale k? Usando el teorema del resto, sabemos que P(3) R. Así, P(3) 33 2 32 k 45 k 0. De modo que k 45. Comprueba si x 1 es un factor de estos polinomios. a) A(x) 3x4 2x2 x c) C(x) x7 1 b) B(x) 2x2 3x d) D(x) 2x3 3x 1 Aplicamos el teorema del factor, así que será factor si el valor numérico del polinomio en 1 es 0. a) A( 1) 3 ( 1)4 2 ( 1)2 ( 1) 3 2 1 0. Sí es factor de A(x). b) B( 1) 2 ( 1)2 3 ( 1) 2 3 5. No es factor de B(x). c) C( 1) ( 1)7 1 1 1 0. Sí es factor de C(x). d) D( 1) 2 ( 1)3 3 ( 1) 1 2 3 1 2. No es factor de D(x). Encuentra entre los siguientes factores los del polinomio P(x) x3 3x2 6x 8. a) x 1 c) x 1 b) x 3 d) x 2 a) P(1) 13 3 12 6 1 8 0 b) P(3) 33 3 32 6 3 8 10 c) P( 1) ( 1)3 3 ( 1)2 6 ( 1) 8 10 d) P( 2) ( 2)3 3 ( 2)2 6 ( 2) 8 0 Usando el teorema del factor, afirmamos que los factores de P(x) son x 1 y x 2. 5.14 5.13 5.12 5.11 5.10 C(x) x2 x 1 R(x) 0 C(x) x3 x2 x 1 R(x) 2 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Comprueba si 5 y 5 son raíces del siguiente polinomio P(x) x3 5x2 5x 5. P(5) 53 5 52 5 5 5 20; P( 5) ( 5)3 5 ( 5)2 5 ( 5) 5 220 Ni 5 ni 5 son raíces de P(x). Entre estos valores, indica el posible número de raíces del polinomio P(x) x3 3x5 8x 15. a) 5 c) 6 b) 3 d) 1 Al ser un polinomio de grado 5, no puede tener 6 raíces, las otras opciones pueden ser válidas. Completa la tabla indicando el grado de cada polinomio y si cada uno de los números indicados es raíz del polinomio. Halla las raíces enteras de estos polinomios. a) x2 7x 10 b) x2 8x 15 a) Las posibles raíces son: 1, 1, 2, 2, 5, 5, 10, 10. P(1) 12 7 1 10 4 P( 1) ( 1)2 7 ( 1) 10 18 P(2) 22 7 2 10 0 P( 2) ( 2)2 7 ( 2) 10 28 P(5) 52 7 5 10 0 Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que no puede haber más de dos raíces en un polinomio de grado 2, así las raíces del polinomio son 2 y 5. b) Las posibles raíces son: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 15, 15. P(1) 12 8 1 15 8 P( 1) ( 1)2 8 ( 1) 15 24 P(3) 32 8 3 15 0 P( 3) ( 3)2 8 ( 3) 15 48 P(5) 52 8 5 15 0 Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que no puede haber más de dos raíces en un polinomio de grado 2, así las raíces del polinomio son 3 y 5. 5.18 5.17 5.16 5.15 Grado 1 2 5 x 1 1 Sí No No x2 x 2 2 No Sí No x3 5x2 5x 5 3 No No No 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Determina las raíces enteras de los siguientes polinomios. a) x3 x2 9x 9 b) x3 x2 25x 25 a) Las posibles raíces son 1, 1, 3, 3, 9, 9. P(1) 13 12 9 1 9 16 P( 1) ( 1)3 ( 1)2 9 ( 1) 9 0 P(3) 33 32 9 3 9 0 P( 3) ( 3)3 ( 3)2 9 ( 3) 9 0 Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que no puede haber más de tres raíces en un polinomio de grado 3, así las raíces del polinomio son 1, 3 y 3. b) Las posibles raíces son 1, 1, 5, 5, 25, 25. P(1) 13 12 25 1 25 0 P( 1) ( 1)3 ( 1)2 25 ( 1) 25 48 P(5) 53 52 25 5 25 0 P( 5) ( 5)3 ( 5)2 25 ( 5) 25 0 Por el teorema fundamental del álgebra sabemos que no puede haber más de tres raíces en un polinomio de grado 3, así las raíces del polinomio son 1, 5 y 5. Averigua las raíces de estos polinomios. a) x3 x2 4x 4 b) x2 x 1 a) Las posibles raíces del polinomio son 1, 1, 2, 2, 4, 4. P(1) 13 12 4 1 4 0 P( 1) ( 1)3 ( 1)2 4 ( 1) 4 10 P(2) 23 22 4 2 4 8 P( 2) ( 2)3 ( 2)2 4 ( 2) 4 24 P(4) 43 42 4 4 4 60 P( 4) ( 4)3 ( 4)2 4 ( 4) 4 100 Este polinomio sólo tiene una raíz real, que es 1. b) Las posibles raíces del polinomio son 1, 1. P(1) 12 1 1 3 P( 1) ( 1)2 ( 1) 1 1 Este polinomio no tiene raíces enteras. Se sabe que los siguientes polinomios tienen alguna raíz entera. Indica una de ellas. a) x2 12x 35 b) x3 8 a) Por ejemplo, 5; 52 12 5 35 0 b) Por ejemplo, 2; 23 8 0 5.21 5.20 5.19 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Descompón en factores estos polinomios. a) x2 6x 8 b) x2 14x 33 c) x3 2x2 5x 6 d) x3 4x2 4x 16 a) b) c) d) Factoriza los siguientes polinomios. a) x4 x2 c) x3 x2 9x 9 b) x3 1 d) x4 6x3 7x2 a) x4 x2 x2(x2 1) x2(x 1)(x 1) b) x3 1 (x 1)(x2 x 1) c) x3 x2 9x 9 (x 1)(x2 9) d) x4 6x3 7x2 x2(x2 6x 7) x2(x 1)(x 7) 5.23 5.22 1 6 8 4 4 8 1 2 0 x2 6x 8 (x 4)(x 2) 1 14 33 11 11 33 1 3 30 x 2 14x 33 (x 11)(x 3) 1 2 5 6 2 2 8 6 1 4 3 0 1 1 3 1 3 0 x 3 2x 2 5x 6 (x 2)(x 1)(x 3) 1 4 4 16 4 4 0 16 1 0 4 10 2 2 4 1 2 0 x3 4x2 4x 16 (x 4)(x 2)(x 2) 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S Expresa el polinomio x2 ax como una diferencia de cuadrados. Puede tratarse de dos figuras geométricas de área x2 y ax. x2 ax x 2 a 2 2 a 2 Demuestra geométricamente que es cierta la siguiente igualdad. (x 1)2 (x 1)2 2(x2 12) Tenemos un cuadrado de lado x 1 y otro de lado x 1. Al final nos quedan dos cuadrados de lado x y dos de lado 1: 2x2 2 2(x2 1) 2(x2 12). 5.25 5.24 x x a x x x a2 a2 a2 a2 = x x – 1 + 1 1 x 1 x – 1 = x + x + + x 1 1 x x 1 5 DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E División y regla de Ruffini Realiza estas divisiones. a) (12x2yz 6xy3 8xyz2) (2xy) b) (15x4 3x3 9x2) (3x2) c) (5a3b 2 10ab2 15a3b4) (5ab2) a) (12x2yz 6xy3 8xyz2) (2xy) 1 2 2 x x 2 y y z 6 2 x x y y 3 8 2 x x y y z2 6xz 3y2 4z2 b) (15x4 3x3 9x2) (3x2) 5x2 x 3 c) (5a3b2 10ab2 15a3b4) (5ab2) a2 2 3a2b2 Efectúa cada división indicando el polinomio cociente y el polinomio resto. a) x5 3x4 x3 2x2 x) (x2 x 1) b) 2x4 2x2 3) (x2 x 1) c) (x6 x3 x 1) (x3 x 2) a) C(x) x3 4x2 4x 2 R(x) 5x 2 b) C(x) 2x2 2x 6 R(x) 8x 9 c) C(x) x3 x 3 R(x) x2 4x 5 De una división entera, conocemos que el dividendo es D(x) x4 x3 3x 3, el cociente es C(x) x2 x3 5, y el resto es
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