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DIVISIBILIDAD PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD PDF














Divisibilidad Acerca de Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, tenemos la siguiente historia. Se cuenta que en el margen del libro Aritmética de Diofanto, donde figura ecuaciones de la forma xn + yn = 7P donde x, y, z y n son números naturales, escribió un pensamiento en · latín, que trascrito al español nos dice: "Por otra parte, es imposible que un cubo sea igual a la suma de dos cubos, una potencia cuarta sea igual a la suma de dos potencias cuartas, o, en general. que cualquier número que es una potencia mayor que dos sea la suma de dos números de esa forma. He encontrado una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición para la cual este margen es demasiado estrecho." Lo que no sospechó Fermat es que este comentario suyo iba causar revuelo en las matemáticas durante unos 350 años aproximadamente. Recién en 1993, Andrew Wiles pudo demostrar . esta conjetura, la cual por respeto a Fermat, se conocía con el nombre de "teorema de Fermat": La ecuación xn + yn = zn, no tiene solución para x, y, z y n enteros positivos, donde n ~ 3. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

8.0 OBJETIVO Calcular el resto de una división sin necesidad de hallar el cociente. 8.1 NÚMEROS DIVISIBLES Sabemos que un número entero d ~ O se llama divisor (o factor) de un entero D. lo cual se denota por d I D. si existe un entero q tal que D = dq. en tal caso decimos que D es divisible por d o que D es un múltiplo de d. donde a d también se le llama módulo. Ejemplo: a. 8 I 40. ya que 40 = 8.5 Oa expresión 8 40. la leemos 8 es divisor de 40. ó 8 divide a 40) b. - 5 I 30. ya que 30 = (-5) (-6) o Observación: Todos los múltiplos de d se denotan por d . con o lo cual tenemos d = dq. q E Z Ejemplo: o o a. 40 = 8. ya que 40 = 8.5 (La expresión 40 = 8 se lee 40 es múltiplo de 8) o b. 30 = (- 5). ya que 30 = (- 5) (- 6) 8.2 LA DIVISIBILIDAD Y LA DIVISIÓN a. En el caso de la división exacta. Por el capítulo anterior. o sabemos que D = dq. de donde afirmamos que D = d . siendo el divisor d denominado módulo. b. En el caso de la división inexacta se presentan dos casos: 1) Inexacta por defecto. Como D = dq + r, tendremos que (D - r) = dq o o Luego D - r = d, de donde D = d + r o Conclusión Si D = dq + r, entonces D = d + r ll) Inexacta por exceso. Como D = dq' - r ', tendremos que (D + r ') = dq' o o Luego D + r' = d, de donde D = d - r ' Conclusión. De acuerdo a lo anterior se tiene: o o D = d + r = d - r', donde r + r' = I d I Ejemplo: a. 47 = 5 x 9 + 2 ~ 47 = 5 + 2) b. 47 = 5 x 10 - 3 ~ 47 = 5 - 3 o o ~ 47:::Ó + 2 =5 - 3 donde 2 + 3 = 5 = d o c. 47=(-5)(-9)+2~47=(-5)+2) o o ~ 47 = (-5) + 2 =(- 5) - 3 o donde 2 + 3 = 1-51 = 5 d. 47 = (-5) (-10) - 3 ~47 = (-5) - 3 8.3 ¿QUÉ ES LA DIVISIBILIDAD? Es una parte de la teoria de los números, que se encarga de hallar las condiciones que debe satisfacer un número entero para que sea divisible por otro número entero. Propiedad Fundamental: Para todo entero ~o nulo d se tiene que cero es múltiplo de d. Demostración: Para todo entero no nulo d se tiene que diO. luego O = d . O. o de donde O = d. o Conclusión: O = d. para todo d E Z - { O } Ejemplo: o a. 0=7 o b. 0=5 Definición: Un número es par. si 2 es un divisor de él o Es decir N es par si y sólo si N = 2 = 2q • q E Z De igual modo. decimos que N es impar. si 2 no lo divide. o Es decir N es impar si y sólo si N = 2 + 1 = 2q + 1 , q E Z 8.4 PRINCIPIOS DE LA DIVISIBIUDAD Tenemos los siguientes principios fundamentales: l. Si dos números enteros son divisibles por cierto módulo, entonces la suma o diferencia de ellos también será divisible por dicho módulo. o o o o o Es decir. si A = d Y B = d. entonces A ± B = d ± d = d Ejemplo: o o o o o a) 24 = 4 Y 64 = 4. entonces 24 + 64 = 4 + 4 ~ 88 = 4 o o o o o b) 24 = 4 Y 64 = 4, entonces 24 - 64 = 4 - 4 ~ ,. 40 = 4 Demostración: Sean A Y B dos números divisibles por d , luego existen m , n E Z, tales que A = mdy B = nd Para la suma: A + B = md + nd = (m + n) d. Como (m + n) E Z, entonces d divide a (A + B) Para la resta: A - B = md - nd = (m - n) d. Como (m - n) E Z, entonces d divide a (A - B) . 2. Todo número entero es divisible por los factores que admite y sus <60mbin~cioneso Es decir, si N = p . q . r ... z, entonces N = p, N = q, N = r , . .... Ejemplo: 2 o o o o .2.... Si 12 = 2 x 3, entonces 12 = 2, 12 = 3. 12 = 4 . 12 = 6; 12 = 12 Demostraci6n: Sea N = p .q. r ... z, entonces: o a . Si N = p (q . r ... z). Como (q . r ... Z) E Z. entonces N = p o b. Si N = q (p . r .. . z) . Como (p . r ... Z) E Z. entonces N = q y así podemos continuar. hasta agotar todos los factores y las combinaciones. 3. Si un número entero es divisible por un cierto módulo, entonces será también divisible por todo divisor de dicho módulo. o o o Es decir. si N = m y m = d. entonces N = d Ejemplo: o o o o Si N = 12. entonces N = 4 (ó N = 3 Y N = 6) Demostración: o Sea N = m y supongamos que d sea un divisor cualquiera dem Luego. como d I m. entonces m = dq. q E Z o o Finalmente N = m = k . m = k dq = (kq) d => N = d. donde k. qE Z 4. Si un número entero es divisible por diversos módulos simultáneamente. entonces será también divisible por el menor de todos los múltiplos comunes de los módulos considerados. o o o Es decir. si N = a. N = b. N = c ... .. entonces o N = mcm(a. b. c .... ) Ejemplo: o o o Si N = 8. N = 13. N = 20. entonces . o o N = mcm(8. 13. 20) = 520 5. Si un cierto número entero es divisible por cierto módulo. entonces todo múltiplo del número será divisible por el mismo módulo. o o o Es decir. si D = d. entonces D.k = d. k = d. k E Z Ejemplo: o o o a . 24 = 6. entonces 24 x 3 = 6 x 3. es decir 72 = 6 o o o b. 39 = 3. entonces 39 x .15 = 3 x 15. es decir 585 = 3 6. Si un producto de dos números enteros es divisible por cierto módulo. siendo uno de los números primos con el módulo. entonces el otro número será divisible por dicho módulo. o o Es decir. si ab = d ya con d son primos. entonces b = d Ejemplo: o o a. Si 3q = 7. entonces q = 7 o b . Si 5 q = 15. entonces no necesariamente se cumple que o o q = 15. en este caso basta con hacer q = 3 Demostracl6n: Sean a y b números enteros no nulos ' y d un número entero primo con a. o Como ab = d . entonces d I abo luego existe un entero k tal que ab = dk. Entonces adb = k => a (bd ) = k, lo cual nos in~ca que d I b, ya que a y d son primos entre sí. Luego b = d. 7. Si un número entero es divisible por un cierto módulo. entonces la potencia de exponente positivo del número será también divisible por la misma potencia de exponente positivo del módulo. o Es decir. si D = d. entonces Dn = (d n ) . n E N. En o particular Dn = d . Ejemplo: o a. Si 6 = 3. entoIJces 62 = (3 2 ). es decir 36 = 9. En particular 36 = 3. O _u _ o b . Si 27 = 9. entonces 274 = (94 ) . es decir 531441 = -6-5-61- Consecuencia 1. Si alb y al c. entonces a I (bm + cn). para n . n E Z. La expresión (bm + cn) se llama combinación lineal de los números a y b. Ejemplo: a . Si 3 I a y 3 I b. entonces 3 I (5a + 2b) o o o Es decir. si a = 3 Y b = 3. entonces 5a + 2b = 3 b. Si 7 I a y 7 I b . entonces 71 (3a - 4b) o o o Es decir. si a = 7 Y b = 7. entonces 3 a - 4b = 7 Demostración Si a I b. entonces a I bm (principio 5). De igual modo a I cn Luego por el principio 1. tenemos que a I (bm + cn) 2. Si un número entero divide al dividendo y al divisor de una división inexacta, entonces divide al residuo. Es decir. en la división inexacta D = dq + r. tenemos que o o o si D ::;:; m y d = m . entonces r = m. con m E Z. Ejemplo: a. En la división inexacta 60 = 8 x 7 + 4. tenemos: o o o 60 = 2 Y 8 = 2. entonces 4 = 2 b. En la división inexacta 60 = 7 x 8 + 4. tenemos: o o o 60 = 2 Y 7:f. 2. sin embargo 4 = 2 c. En la división inexacta 60 = 8 x 7 + 4 . tenemos: o o o 60 = 3 Y 8 :f. 3. Y se cumple que 4 :f. .3 Interpretación. Estos 3 ejemplos nos indican 2 reflexiones acerca de las propiedades y teoremas. 1. Si se cumplen todas las hipótesis de un teorema o propiedad. entonces se cumple la conclusión (ver ejemplo (a)) i1. SI no se cumple algunas de las hipótesis. no podemos afirmar nada acerca de la conclusión: Puede ser que cumpla. como no (ver ejemplo (b) y (c). Demostración: Para la división inexacta D = dq + r. tenemos: Si el número m I D Y m I d. entonces m I D Y m I dq (principio 5) Como r = D - dq. entonces por el principio (1): mi r. con la cual queda demostrado. 3. Si un número entero divide al divisor y al residuo. entonces divide al dividendo. o o o Es decir. si d = m y r = m. entonces D = dq + r = m 8.5 ARITMÉTICA MODULAR La teoría de las congruencias fue introducida por Karl F. Gauss, a principios del siglo XIX, en sus Disquisitiones Aritmeticae, siendo usado constantemente en la vida diaria. Por ejemplo, la esfera de un reloj funciona con congruencia módulo 12, al igual que los meses del año, que se representan también por módulo 12. Para entender mejor la teoría veamos el siguiente ejemplo o o Sabernos que 12 = 5 + 2 Y 47 = 5 + 2, es decir, la división de 12 y 47 entre 5 deja el mismo residuo, luego decirnos que 12 es congruente con 47, respecto al módulo 5 . lo anterior lo simbolizamos por: 12 == 47 (mod 5). Definición: Se dice que dos números enteros son congruentes respecto a un módulo m (entero positivo). cuando al dividirlo por m dejan el mismo residuo. Lo anterior se denota por a == b (rood m) y se lee "a congruente con b, módulo m". Ejemplo: o o a. 1927 == 2005 (mod 3). ya que: 1927 = 3 + 1 Y 2005 = 3 + 1 o o b. 1927 == 2 (rood 5). ya que: 1927 = 5 + 2 Y 2 = 5 + 2 En general decirnos que: o o a == b (mod m) ~ a = m + r y b = m + r (dejan el mismo reSiduo) o o ~ a - b = m (ó b - a = m) I a == b (mod m) ~ m I (a - b) (ó mi (b - al) I .. .. (a) Principios Fundamentales: l. La congruencia módulo m es una relación de equivalencia. Es decir para números enteros a, b y c cualesquiera se tiene. a. a == a (mod m) . Es decir, todo número es congruente consigo mismo. b. Si a == b (mod m). entonces b == a (mod m) c. Si a == b (mod m) y b == e (mod m), entonces a == c (mod m) Demostraci6n: a. Aplicando (a): m I O ~ m I (a - a) ~ a == a (mod m) b. Aplicando (a): a == b (mod m) ~ m I (a - b) ~ m I (b - a) ~ b == a (mod m) c. Aplicando (a): a == b (mod m) ~ m I (a - b) Y b == c (mod m) ~ m I (b - c) Por el principio (l) de divisibilidad: mi Ha - b) + (b - e) ~ m I (a - c) ~ a==c (mod ro) 2. En una división inexacta D = dq + r, tenemos que D == r (mod d) Ejemplo: o a. 1927 == 2 (mod 5), ya que 1927 = 5 + 2 o o b. 2005 == (-2) (mod 3), ya que 2005 = 3 + 1 = 3 - 2 3. Todo número múltiplo del módulo, es congruente con cero. o Es decir a == O (mod m) si y sólo si a = m Ejemplo: a. 103 == O (mod 2). ya que 21 (103 - O) b . 1377 == O (mod 3), ya que 31(1377 - O) Operaciones con congruencias l. Las congruencias de igual módulo se pueden sumar, restar y multiplicar término a término, es decir: { a + b ;¡ a'+b'(mod m) Si a == a' (mod m), b == b' (mod m). entonces: a - b . a' - b '(mod m) a b ;¡ a' b' (mod m) Ejemplo: a . 14 == 8 (mod 3) y 9 == 3 (mod 3). luego: o o (14 + 9) == (8 + 3) (mod 3). ya que 23 = 3 + 2; 11 = 3 + 2 o o (14 - 9) == (8 - 3) (mod 3), ya que 5 = 3 + 2; 5 = 3 + 2 o (14.9) == (8 . 3) (mod 3). ya que 14.9 =126 = 3 y o 8.3 = 24 = 3 Demostración: o o Si a == a' (mod m). entonces a = m + rl' a' = m + rl o o Si b == b' (mod m). entonces b = m + r2 ' b ' = m + r2 o o Entonces a + b = m + (rl + r2) ya' + b' = m + (rl + r2), luego a + b == a' + b ' (mod m) o o Ahora a - b = ID + (rl - r2) Y a' -. b' = ID + (rl - r2) , luego a - b == a' -b' (mod m) o o o Finalmente: ab = (m+r¡) (m+r2) = m + r¡ r2 Y o o o a' b' = (m+r¡) (m+r2) = m + r¡ rz Luego ab == a'b' (mod m) Consecuencias: a. Si a == b (mod m). entonces a . c == b . c (mod m), para todo c E Z b. Si a == b (mod m), entonces a ± c == b ± c (mod m), para todo c E Z + c . Si a == b (mod m), entonces an == b n (mod m), para n E Zo d. Si a == b (mod m). entonces (a - b) == O '(mod m) Ejemplo: a. Si 13 == 28 (mod 5), entonces 13.3 == 28.3 (mod 5); es decir 39 == 84 (mod 5). b. Si 13 == 28 (mod 5), entonces 13 + 3 == 28 + 3 (mod 5); es decir 16 == 31 (mod 5) c. Si 5 == 3 (mod 2), entoI:!-ces 54 == 34 (mod 2); es decir 625 == 81 (mod 2) d. Si 13 == 28 (mod 5), entonces (28 - 13) == O (mod 5) e. Si 1927 == 1 (mod 3), entonces 19272005 _ 12005 (mod 3); es decir 19272005 == 1 (mod 3) 2. Si ac == bc (mod m) y c es primo c01.1 m, entonces a == b (mod m) Ejemplo: Si 42 == 28 (mod 2) y como 7 es primo con 2 , entonces 6 == 4 (mod 2) 3. En cualquier congruencia, se puede sustituir un término cualquiera por otro congruente con él. Ejemplo: a . Hallar el residuo de dividir 39022005 entre 3 o Como 39022005 == 22005 (mod 3). ya que 3902 = 3 + 2 . o o Entonces, como 23 == -1 (mod 3), ya que 23 = 8 = 3 + 2 = 3 - 1 Tenemos 22004 = (23)668 == (_1)668 = 1 (mod 3) En consecuencia 22005 == 22004 . 2 == 1 . 2 = 2 (mod 3) Conclusión 39022005 == 22005 == 2 (mod 3) El residuo de dividir 39022005 entre 3, es 2 Observación: La divisibilidad y el binomio de Newton Es un caso particular de la teoría de congruencias, tal como lo pasamos a demostrar. o Supongamos que D = d + r, es decir D == r (mod d) . o Luego DO == rO(mod d). es decir DO = d + rO; de donde obtenemos: (dO+ r) 0 = d+ro o ó D ° = (Od +r) 0 ==r ° (mod d) 8.6 RESTOS POTENCIALES Se denOIninan restos potenciales de un número entero positivo, con respecto a un módulo m, a los residuos que se obtienen de dividir la sucesión de las potencias enteras no negativas del número entre el módulo m. Cálculo de los restos potenciales Dado el número N, la sucesión de sus potencias es NO, NI , N2, N3 , ... , las cuales se dividen entre el módulo m. Después de encontrar el resto de una potencia, por ejemplo, Nk ;: rI (mod m). se calcula fácilmente el resto de la potencia siguiente, para la cual aplicamos la consecuencia (a) anterior: Si Nk ;: rI (mod m) , entonces Nk . N;: N . rI ;: r2 (mod m) Ejemplo: a. Calculamos los restos potenciales de 10 respecto al módulo 3 Tenemos 10°;: 1 (mod 3) ~ 10;: 1 (mod 3) ~ 102 ;: 10;: 1 (mod 3), 103 ;: 10;: 1 (mod 3). y así concluimos lOk ;: 1 (mod 3), con + k E Zo b. Ahora calculamos los restos potenciales de 10 respecto al módulo 7 Tenemos 10° ;: 1 (mod 7) ~ 10 ;: 3 (mod 7) ~ 102 ;: 30 ;: 2 (mod 7), 103 ;: 20;: -1 (mod 7) ~ 104 ;: -10;: -3 (mod 7) ~ 105 ;: -30;: -2 (mod 7). y así sucesivamente. Este último ejemplo nos lleva a buscar una regla de formación para los restos potenciales, para lo cual tenemos: Gaussiano de un número (g) Se llama gaussiano de un entero respecto a un módulo, al menor exponente g al cual se eleva el número, para que sea congruente con la unidad, respecto al mismo módulo. Es decir, si N es el número, tenemos que Ng = 1 (módulo m). donde g es el gaussiano (el menor número no nulo) Ejemplo: a. Hallar los restos potenciales de 16 respecto a 25 Tenemos: 160 = 1 (mod 25) ~ 16 = 16 (mod 25) ~ 162 = 256 = 6 (mod 25) ~ 163 = 21 ~ 164 = 11 ~ 1165 = 1 mod (25) I Observamos que el gaussiano es g = 5 b. Hallar el residuo de dividir 168293 entre 25 Tenemos que 165 = 1 (mod 25). entonces (165)1658 = l,(mod 25) Es decir 168290 = 1. pero 163 = 21; luego 168290 . 163 = 1.21 (mod 25) Finalmente 168293 = 21 (mod 25); es decir el residuo es 21 c. Hallar los restos potenciales de 12 respecto al módulo 20 Tenemos: 120 = 1 (mod 20) ~ 12 = 12 ~ 122 = 4 ~ 123 = 8 ~ 124 =16 ~ 125 = 12 ~ 126 = 4 (mod 20). ..... En este ejemplo notamos que hay un resto no periódico 1 y cuatro restos que forman un período: 12. 4. S Y 16. Luego el gaussiano es g = 4 ¿En general que es un gaussiano? El gaussiano es la cantidad de restos potenciales diferentes entre sí. que se repiten ordenada y periódicamente. d. Hallar los restos potenciales de lS respecto a 40 Tenemos ISO = 1 (mod 40) => lS = lS => lS2,= S=> lS3 = 24 => lS4 =32=> lS5 = 16=> lS6=S=> lS7 =24=> lS8 =32. ". Los restos no periódicos son 1 y lS; los restos periódicos son S. 24. 32 Y 16. Luego el gaussiano es g = 4 e. Hallar los restos potenciales de 30 respecto a 72 Tenemos que 30° = 1 (mod 72) => 30 = 30 => 302 = 36 ~ 303 = O (mod 72) o Luego 30k = O (mod 72) para k ~ 3; es decir 30k = 72. k ~ 3 8.7 CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD Es una aplicación básica de los restos potenciales y se utiliza para determinar la condición necesaria y suficiente para que un número entero sea divisible por otro número entero. Sea N = anan_Ian_2 ... a2alaO(b) y queremos hallar la condición necesaria y suficiente para que sea divisible por "d". El proceso a seguir es: Descomponemos polinómicamente el número: N = ao + al x b + a2 x b2 + ... + a n-2 x bn-2 + an-l x b n-1 + a n x b n Hallamos los restos potenciales de la base b respecto al módulo d: bO = 1 == 1 (mod d) =:} b == rl =:} b2 == brl ==r2 =:} •••• =:} bn-2 == r n-2 =:} b n-1 == rn-l =:} bn == rn Multiplicamos cada cifra por la congruencia respectiva y sumamos: Luego o N = d si y sólo si (ao + alrl + a2r2 + ... + a n -2r n-2 + an-lrn-l o + anrn) = d Conclusi6n: N es divisible por Ud" si y sólo si la suma de los productos de las cifras por los respectivos restos potenciales de la base. es divisible por "d". 8.8 PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISmILlDAD EN EL . SISTEMA DECIMAL Tenemos los siguientes casos: a. Si el m6dulp "d" es un divisor de la base: Basta con descomponer el número en la suma del número de decenas más las unidades. Supongamos que N = anan _ 1 an_2 ... a2a¡aO' descomponiendo: .... (a) o 1. Divü:¡;ibilidad por 2. Como 10 = 2. en {a} tenemos N= 2 +ao o o o o Luego N = 2 <=> 2 + ao = 2 <=> ao = 2 Conclusión: Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par. o o 2. Divisibilidad por 5. Como 10 = 5, en (a) : N = 5 + ao o o o o Luego N = 5 <=> 5 + ao = 5 <=> ao = 5 Conclusión: Un número es divisible por 5 si termina en cero o en cinco. o 3 . Divisibilidad por 2 n . Como IOn = (2 x 5)n = 2n x 5n = (2 n ), en (t)) tenemos: o n N = (2 ) + a n _ 1 a n _ 2 ... a2a l a o ... (t)) Luego o o o o Conclusión: Un número es divisible por (2n ) si y sólo s1 el número formado por las n últimas cifras es cero o es divisible por (2n) o 4. Divisibilidad por 5n . Un número es divisible por (5n ) si y sólo el número formado por las n últimas cifras es cero o es divisible por (5n) b. Si el m6dulo "d" es la base disminuida en una unidad. o aumentada en una unidad 5. Divisibilidad por 9. Aplicamos la conclusión del criterio general de divisibilidad. Como 100 = 1 == 1 (mod 9) :=) 10 == 1 :=) 102 == 10 == 1 :=) .. • ~ 10k == 1 (mod 9) Luego 2 N = a n _ 1 an _ 2 ... a2 al ao = a o + a lxl O + a2 x 10 + ... + an-l x IOn -l + an x IOn ~ N == ao + al + a2 + ... + an (mod 9) o o Luego N = 9 <=> (ao + al + a2 + ... + au) = 9 Conclusi6n: Un número es divisible por 9 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible por 9. 6. Divisibilidad por 11. Aplicamos la conclusión del criterio general. Como 10° = 1 == 1 (mod 11) ~ 10 == (-1) (mod 11) ~ 102 == -10 == 1 :=) 103 == 10 == - 1 ~ 104 == -10 == 1 ~ ... ~ 102k == 1 Y 102k+l == -1 (mod 11) Luego ~ N == 'ao - al + a2 - a3 + a4 - a5 + aa - ... = = (ao + ~ ..¡.. ••• ) - (al + a3 + ... ) '----y--' '----y--' Lugar impar Lugar par o Luego N = 11 <=> (ao + a2 + a4 ... ) - (al + a3 + a5 .. . ) = 11 Conclusi6n: Un número es divisible por 11 si y sólo si la diferencia de la suma de las cifras de lugar impar con la suma de las cifras de lugar par es cero o divisible por 11. 7 . Divisibilidad por 3 (divisor de la base disminuida en una unidad). Al igual que el caso de la divisibilidad por 9 . decimos: Un número es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible por 3. c. Si el m6dulo "d" es cualquier otro número primo con la base. En muchos de estos casos será necesario aplicar el concepto de gaussiano. 8. Divisibilidad por 7 Como 10° = 1 = 1 (mod 7) ~ 10 = 3 ~ 102 = 30 = 2 =} 103 = 20.= -1 ~ 104=-1O=-3~ 105 =-30=- 2~ 106 = - 20= 1 (mod 7). El gaussiano es g = 6 Ahora 4 5 6 n + a4 x 10 + a5 x 10 + a 6 x 10 + ... + an x 10 ~ N = ao + a 1 x 3 + a2 x 2 - a3 x 1 - a4 x 3 - a5 x 2 + llt; x 1 + ... (mod 7) Luego: o N = 7 ~ (ao x 1 + al x 3 + a2 x 2) - (a3 xl + a4 x 3 + a5 x 2) o + al xl + ... = 7 Conclusión: Un número es divisible por 7 sI y sólo la suma de las cifras del número. de derecha a izquierda multiplicados por el período de restos (1. 3. 2). teniendo el primer período signo más; el segundo. signo menos y así sucesivamente hasta agotar las cifras; nos da como resultado cero o es divisible por 7. 9. Divisibilidad por 13. La deducción es similar al caso anterior. _0_ N = anan_I ·. ·a6a5a4a3a2al ao = 13 ~ (ao x 1 - a 1 x 3 - a2 x 4) o - (a3 x 1 - a4 x 3 - a5 x 4) + (a6 xl ... . ) = 13 d. Otros criterios de dlvlslblUf!lad 10. Divisibilidad por 6 . 10. 12. 14. 15 .. ..• 60 .. .. o o o Como 6 = 2 x 3. tenemos N = 6 ~ N = 2 Y N = 3 o o Como 12 = 22 x 3 = 4 x 3 . tenemos N = 12 ~ N = 4 Y o N=3 11. Divisibilidad por la máxima cifra de un sistema de numeración Sea N = anan-3···a2alaO(b+I) = ao + al(b + 1) + a2(b + 1)2 + ... + an(b + l)n o o Luego N = b <=> ao + al + a2 + ... + an = b Conclusión: Un número. en base (b+ 1). es divisible por b si y sólo si la suma de sus cifras es divisible por b o o o 12.Criterio adicional. Si N = a. N = b. N = c ..... o entonces N = mcm(a. b. c .... Demostraci6n Como a IN. b IN. c IN. .... tenemos que N es múltiplo común de los a . b . c ..... Por lo tanto N es un múltiplo del mcm (a. b. c .... ) 8.9 TEOREMAS ADICIONALES DE CONGRUENCIAS l. El pequeño teorema de Fermat. Sea p un número primo y sea "a" un número natural no divisible por p . Entonces se cumple: a P-1 ;: 1 (mod p) Ejemplo: a. Hallar el resto de dividir 5461 entre 61 Tenemos que p = 61 Y a = 54 es primo con p. luego: 5460 == 1 (mod 61) Entonces 5461 == 54 (mad 61) . El residuo es 54 b. Hallar el residuo de dividir 132231 entre 7 Tenemos que p = 7 es primo y a = 132 no es divisible con p = 7 Luego: 1326 == 1 (mod 7) => 132231 = (1326)38 . 1323 ;: (1) (-1) == -1 == 6 (mod 7) Tenemos que el residuo es 6 2. Si a;: b (mod dI). a ¡;¡ b (mod d2) •. . .• a ¡;¡ b (mod dk). entonces a;: b (mod mcm (dI. d2 •... dk)). Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 3253 entre 91 Como 91 = 7 x 3. tenemos: 36 ;: 1 (mod 7) => (36)42;: 1 (mod 7) => 3252 ;: 1 (mod 7) => 3 253 ;: 3 (mod 7) 3 12 ;: 1 (mod 13) => (312)21 ;: 1 (mod 13) => 3252 ;: 1 (mod 13) => 3253 ;: 3 (mod 13) Luego 3253 ;: 3 (mod 7 x 13) => 3253 ;: 3 (mod 91) Entonces el residuo es 3 3. Teorema de la congruencia de Euler. Este teorema generaliza el pequeño teorema de Fermat y dice 10 siguiente: Si los números enteros positivos a y m son primos entre si. entonces a~(m) ;: 1 (mod m). donde Ij> (m) es el indicador de Euler o función indicatriz de Euler. Observaci.ón: Si N es un entero positivo mayor que la unidad. entonces Ij>(N) nos da el número de enteros positivos menores que N que son primos con N. Su cálculo se realiza con Ij>(N) = N ( 1 - p\)( 1 - p12)( 1 - P I3)'.'( 1 - p 1n) . donde N = Pl(ll . P2~ . P3(l3 ... Pn(ln (descomposición canónica de N) Esta función indicatriz será estudiada en el próximo capítulo. Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 144503 entre 125 Como 125 = 53, entonces 41 (125) = 125 ( 1-~) = 125 (g) = 100 Aplicando el teorema, tenemos 14100 == 1 (mod 125) Luego (14100)45 = 1 (mod 125) ~ 144500 == 1 (mod 125) Ahora 144503 = 144500 . 143 == 143 (mod 125) Finalmente 144503 = 119 (mod 125) 8.10 ECUACIONES DIOFÁNTICAS LINEALES Aproximadamente en el año 250 de nuestra era, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó 13 libros, de los cuales 'sólo se conservan 6. Esto obra trajo en si, dos contribuciones a las matemáticas: a. Fue la primera obra griega en la cual se realiza un uso sistemático de incipientes símbolos matemáticos. b. Aparecen ecuaciones algebraicas cuyos soluciones son números enteros . Definici6n: Aquellas ecuaciones cuyas soluciones son números enteros se denominan, hoy en día, ecuaciones diofánticaso Estudio de las ecuaciones lineales ax + by - c, donde a , b , c E Z Notamos que la ecuación ax + by = c tendrá soluciones enteras, si cualquier divisor común de a y b, también 10 es de c, ya que: Si mla y mlb, entonces mlax y mlby, con x, y E Z. Luego mi (ax+by), es decir mi c. En particular si d = mcd (a.b), decimos que la ecuación ax + by = c tiene solución en los enteros si dic. Lo anterior nos conduce al teorema: Teorema: Dada la ecuación ax + by = c, con a, b, c E Z y donde d = mcd (a. b) decimos que ax + by = c tiene soluciones enteras si y sólo si di c. Ejemplo: La ecuación 6x + 15y = 33 tiene solución en los enteros, ya que mcd (6.15) = 3 Y 3133. El problema a resolver ahora es: ¿Cuáles son las soluciones enteras? Para esta expondremos dos maneras de resolver la ecuación anterior Ejemplo: Hallar las soluciones enteras de 6x + 15y = 33 Simplificando 2x + 5y = 11 Despejamos la variable que tenga el menor coeficiente distinto de la unidad: 11-5y l-y 2x + 5y = 11 :::) x = 2 = 5 - 2y +""2 .. . (0.) 1-y Para que 2 sea un entero. es necesario que y = l. con 10 cual x = 3 Luego (Xo. Yo) = (3.1) es una solución particular Otras soluciones se obtienen a partir de (a) 1-y Para que 2 sea entero es necesario y suficiente que 21 (1 - y) de donde 1 - Y = 2n. n E Z; luego Y = 1 - 2n Reemplazando en (a): 1-( 1- 2n) x = 5 - 2 (1 - 2n) + 2 => x = 3 + 5n { x= 3 + 5n Finalmente la solución es: 1 2 . n E Z y= - n La segunda manera de resolver este problema consiste en la sistematización del proceso anterior. para lo cual aplicamos la propiedad: Propiedad: Sea a. b. c E Z Y sea (xo. yo) E Z x Z una solución particular de la ecuación diofántica ax + by = c. donde mcd (a.b) = d Entonces todas las soluciones enteras de esta ecuación son de la forma x = Xo + (~) n. y = Yo - (~) n . n E Z Ejemplo: Hallar las soluciones enteras de 6x + 15y = 33 En general. la solución particular (XO' Yo) la encontrarnos fácilmente. aplicando el algoritmo de Euclides (capítulo máximo común divisor). Simplificarnos la ecuación dada. queda 2x: + 5y = 11 .... (a) Dividimos el mayor de los coeficientes a = 2. b = 5 entre el menor. queda 5 = 2 x 2 + I ==> I = 5 - 2 x 2. Por 11: II x 1 = 5 xII - 2 x 2 xlI Acomodando a la forma de la ecuación dada: 2(-2 xli) + 5 ( 11) = 11 Comparando con la ecuación (a) : x = -2 x 11 = - 22. Y = 11 Luego Xo = - 22. Yo = 11 es una solución particular. A partir de (0.); mcd (2.5) = 1 = d. a =2. b = 5; con la cual la solución general es: x = -22 + 5m; y = 11 - 2m ; m E Z ... Wl Observación: Las dos soluciones generales enco~tradas son equivalentes. para ello basta hacer por ejemplo. m = 5 + n. A continuacJón reemplazamos en (13) y encontrarnos la solución general inicial, en términos de n. 8.11 PROBLEMAS RESUELTOS l. Indicar la verdad o falsedad de: o I. Ningún cuadrado perfecto es 3 + 2 V o o , / 11. Todo cuadrado perfecto es 4 ó 4 + 1 V o o o V III. Todo cuadrado perfecto es 8 ó 8 + 1 ó 8 + 4 IV. Si ninguno de los enteros a, b , c es divisible por 5. entonces el producto (a2 - b 2)(a2 - c2)(b2 - c2) es divisible por 60 Resoluci6n: 1. Observamos que cualquier núroero entero es de la forroa N = 3n ó N = 3n + 1 ó N = 3n + 2; es decir: N == O (rood 3) ~ N2 == 02 == O (rood 3) N == 1 (rood 3) ~ N2 == 12 == 1 (rood 3) . o N == 2 (rood 3) ~ N2 == 22 == 1 (rood 3). ya que 22 = 3 + 1 o o Luego N2 = ª ó N2 = 3 + 1, con lo cual ningún cuadrado perfe~to es 3 + 2 (V) II. Al igual que el caso anterior; cualquier núroero es de la forroa: III. N = 4n ~ N == O (rood 4) ~ N2 = O(rood 4) N = 4n + 1 ~ N == 1 (rood 4) ~ N2 = 1 (rood 4) N = 4n + 2 ~ N == 2 (rood 4) ~ N2 = 4 == O (rood 4) N = 4n + 3 ~ N == 3 (rood 4) ~ N2 = 9 == 1 (rood 4) o o Luego N == O, N2 == 1 (rood 4), es decir N2 = 4 o N2 = 4 +1 (V) Similar al caso anterior: o N=8 ~ N==O (rood 8) ~ N2 == O (rood 8) o N = 8 ± 1 ~ N == ± 1 (rood 8) ~ N2 == 1 (rood 8) o N=8±2 ~ N== ± 2 (rood 8) ~ N2 ;;:4 (rood 8) o N=8±3 ~ N==±3 (rood 8) ~ N2 ;;: 9 == 1 (rood 8) o N = 8 + 4 ~ N == + 4 (mod 8) ~ N2 == 16 == O(mod 8) o o o Luego N2 = 8 o N2 = 8 + 1 ó N = 8 + 4 (V) IV. Para saber si es divisible por 60 = 3 x 4 x 5. veamos si es divisible por 3. por 4. por 5. o Divisibilidad por 3. Por la parte (1) sabemos que N2 = 3 o o N=3+1 Si a2 == O; b2 = O. c2 == O (mod 3). entonces (a2 - b2) (a2 - c2) (b2 - c2) == O (mod 3) Si a2 == O; b2 = O. c2 1= O (mod 3). entonces (a2 - b2) (a2 - c2) (b2 - c2) == O (mod 3) Observamos que basta que dos de ellos sean congruentes a cero o sean congruentes a uno. para que su producto sea congruente con cero (mod 3). o Divisiq,uidad por 4. Por la parte (H) sabemos que N2 = 4 oN=4 +1 Al igual que el caso anterior (a2 - b 2) (a2 - c2) (b2 - c2) == O (mod 4) Divisipilidaa pOI; 5. (debemos deducir previamente que N2 = 5 o N2 = 5 - 1 o o Si dos de ellos fuesen 5 + 1 ó 5 - 1. tenemos que Finalmente tenemos que (a2 - b2) (a2 - c2) (b2 - c2) == O (mod 3 x 4 x 5); es decir (a2 - b2) (a2 - c2) (b2 - c2) == O (mod 60). con 10 cual o (a2 _ b2 (a2 _ c2) (b2 - c2) = 60 (V) 2. En un centro educativo se tiene que el número de estudiantes al ser contado de tres en tres. sobra l. de 5 en 5. sobran 2 y de 7 en 7 sobran 3. Hallar la suma de las cifras del número de estudiantes. sabiendo que esta comprendido entre 500 y 600. Resoluci6n: Para la solución de este tipo de problema. aplicaremos el teorema chino del resto que dice 10 siguiente: Sean rl. r2 ..... · rk enteros y sean dI. d2 ... .. dk enteros positivos dos a dos. Luego el sistema de congruencia N == rl (mod dI). N == r2 (mod d2). ..... N == rk (mod dk) tiene solución única módulo d = dI' d2· ... dk· o La solución única es de forma N = d + r. donde: d d d r = rI . d bI + r2 . db2 + ... rk' dbk; además bJ es la menor 1 2 k d solución positiva de d bJ == l(mod cI.t). donde j = 1. 2. 3 ... . k j Aplicación . Sea N el número de estudiantes. luego: o N=3+1 ~ N == 1 (mod 3) o N=5+2 ~ N == 2 (mod 5) o N=7+3 ~ N == 2 (mod 7) Como dI = 3. d2 = 5 Y d3 = 7 son primos dos a dos. tenemos que existe solución única respecto al módulo d = dI' d2 . d3 = 3 . 5 . 7 = 105 o La solución única es de la forma N = 105 + r (1) Como TI = 1. r2 = 2 Y rs = 3, tenemos que: Pero T105b l ¡¡¡¡ 1 (mod 3) ~ 35 b 1 ¡¡¡¡ 1 ~ 2bl ¡¡¡¡ 1 (mod 3) ~ b l = 2 1~5b3 ¡¡¡¡ 1 (mod 7 J ~ 15 bs ¡¡¡¡ 1 ~ bs ¡¡¡¡ 1 {mod 7) ~ bs = 1 Reemplazando en (2) : r = 35.2 + 2.21 + 3 .15.1 = 157 o o Reemplazando en (1) : N = 105 + 157 = 105 + 52 Pero 500 < N < 600, entonces N = 105 x 5 + 52 = 577 La suma de las cifras de N es 19 Otra de manera de resolver o Tenemos: N = 3 + 1 N=5o +2=5o +17 } ~ o o N = 35 + 17 N=7+3=7+17 De (1) y (2) : 3p + 1 = 35 q + 17: p, q, E Z Obtenemos la ecuación diofántica 3 p + (- 35) q = 16 .. . (1) ... (2) Como - 35 = 3 (-11) - 2 ~ 2 = 3 (-11) + 35 ~ 16 = 3 (- 88) + 35 (8) ~ 16 = 3 (- 88) + (-35) (-8). Comparando con la ecuación diofántica, una solución es Po = -88, qo = - 8 La solución general es p = - 88 - 35 n, q == - 8 - 3n; n E Z o Como N = 35 + 17 , es decir N = 35 q + 17 Y 500 < N <17, hacemos n = -8, con lo cual q = - 8 + 24 = 16, así se tiene N = 35 x 16 + 17 = 577 3. Hallar el residuo de la división por 23 de: 301293 x 16303439 x 467 Resoluci6n: Tenemos: 301212 == 1 (mod 13). luego 301284 == 1 ~ 301293 == 30129 == 1 (mod 13) 163034 == 1 (mod 13). luego 16303439 == 1 (mod 12) 4 12 == 1 (mod 13), luego 460 == 1 ~ 467 == 4 7 == 4 (mod 13) Por propiedad: 301293 x 163439 x 467 == 1.1.4 == 4 (mod 13) El residuo de la división es 4 4. Determinar la suma de los exponentes, de los cinco primeros números de la forma 2x, que contienen un solo factor primo, son múltiplos de 1024, cuadrados perfectos y congruentes respecto al módulo 448. Resoluci6n: Tenemos 1024 = 2 10 Y 448 = 26 x 7 Los números pedidos son múltiplos de 1024. luego son de la forma 1024 x 22m = 2 10 x 22m = 2 10 + 2m. los cuales a su vez son cuadrados perfectos. Ahora. usando la condición de congruencia. tenemos que los cinco números de la forma 2 1O+2m• que son 2 10+2a• 2 10+2b• 2 10+2c• 2 1O+2d y 2 1O+2e son congruentes respecto al módulo 448. Luego 2 10+2a == 2 10+2b == 2 1O+2c == 24+2e (mod. 448 = 26 X 7) Entonces 24+2a == 24+2b == 24+2c == 24+2d == 24+2e (mod 7) De aca (22)2+a == (22)2+b == (22)2+c == (22)2+d == (22)2+e (mod 7) Luego 4 2+a == 42+b == 42+c == 42+d == 42+e (mod 7) o o Como 43 == 1 (mod 7). entonces 2 + t = 3 ~ t = 3 + 1 Para hallar los cinco primeros números. los exponentes deben ser múltiplos de 3. más 1. Se deduce a = 1. b = 4 . c = 7. d = 10. e = 13 La suma de los exponentes es 12 + 18 x 24 + 30 + 36 = 120 5. Calcular el residuo de dividir N entre 8. si N = ,247247. ... 24? (25) v 678 cifras Resolución: Calculamos los restos potenciales de 25 respecto al módulo 8 250 == 1 (mod 8) ~ 25 == 1 (mod 8) ~ 252 == 25 == 1 (mod 8) ... Se deduce que 25n == 1 (mod 8) para todo n E Z Luego N = 7 + 4 x 25 + 2 x 252 + 7 x 253 + 4 x 254 + 2 x 255 + ... + 2 x 25677 o N == 8 + (7 + 4 + 2) + (7 + 4 + 2) + ... + (7 + 4 + 2) 678 Como el grupo 247 figura 3" veces. nos queda: o o o o o o N = 8 + (7 + 4 + 2) x 226 = 8 + (8 + 5) (8 + 2) = 8 + 10 = 8 + 2 Luego el residuo es 2 6. Si el número 3425 se expresa en base 8, ¿Cuáles son sus dos últimas cifras? Resoluci6n: Supongamos que 3425 = abc ... xyz(8) Como piden las dos últimas cifras, efectuamos la descomposición polinómica: o 425 . 2 - - 3 = abc ... xyz(8) x 8 + YZ(8) = 64 + (8y + z) . . . . (a) Pero usando congruencias respecto al módulo 64: 3° == 1 (mod 64) => 31 == 3 (mod 64) => 32 == 9 => 33 == 27 => 34 == 17 => 35 == 51 => 36 == 153 == 25 ~ 37 == 75 == 11 => 38 == 33 => 39 == 99 == 35 => 3 10 == 105 == 41 => 3 11 == - 5 => 3 12 == -15 => 3 13 == - 45 == 19 => 3 14 == 5,? == -7 => 3 15 == - 21 => 3 16 == - 63 == 1 (mod 64) Como 316 == 1 (mod 64) => 3425 = (3 16)26 . 39 == (1) 26. (35) == 35 (mod 64) o o Es decir 3425 = 64 + 35 = 64 + 43(8) 7. En cierto mes el primer día fue un Domingo y el último también Domingo. ¿Qué día de la semana fue el 20 de Junio de ese mismo año? Resoluci6n: Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves 1 2 3 4 8 15 22 23 23 29 o o o 7 + 1 7 + 2 7+4 Se deduce que se trata del mes de Febrero Cálculo del número de días transcurridos del 01/02/ al 20/06 Feb.: 29 . Mar.: 31 . Abr. : 30 . May.: 31 . Jun.: 20 Tenemos un total de 141 días o Pero 141 = 7 + 1 :. Luego el 20/06 será un Domingo. 8. Halla el menor número dCb3 cifras. múltiplo de 10. que al sumarle;' unidades es 12 y si se el añade 2 unidades más es 14. Dar como respuesta la suma de sus cifras. Resoluci6n: o N = 10 o ~ N = 10 + 10 o ~ N-lO = 10 o o o N + 2 = 12 ~ N + 2 = 12 + 12 ~ N-lO = 12 o o o N + 4 = 14 => N + 4 = 14 + 14 ==> N-lO = 14 o o => N-lO = MCM( 10, 12, 14) => N-lO = 420 o => N = 420 + 10 => N = 430 => L cifras: 7 9. En la serie 48 x10; 48 xli; 48 x 12; .... ; 48 x 1344 o ¿ Cuántos términos son 11 + 5? Resoluci6n: Término genérico: 48 k; para 10 ~ k ~ 1344 o Se busca 48k = 11 + 5 o o => (11 + 4k) = 11 + 5 o 4k = 11 + 5 o 4k = 11+11+5 o 4(k - 4) o = 11 => k-4= 11 o ~ k = 11 + 4 = 11m + 4 10 ~ 11m + 4 ~ 1344 0.5 ~ m ~ 121.8 m: 1. 2. 3 ..... 121 o En la serie. 121 términos son 11 + 5 o 10. Hallar un número de la forma: mcdu = 13 tal que du = 3(mc + 2). Dar como respuesta m + c + d +u Resoluci6n: o medu = 100me + du = 13 o => 100me + 3(me + 2) = 13 o o o (104 - l)mc + 6 = 13 (13 - l)me + 6 = 13 o => me = 13 + 6 Si me = 19 => du = 3(19 + 2) => du = 63 Si me = 26 + 6 => me = 32 => du = 3(32 + 2) = 102 (no cumple) : . mcdu = 1963 => m + e + d + u = 19 8.12 PROBLEMAS PROPUESTOS l. Un número de la base decimal cuando se pasa a las bases 3. 5 Y 7 se observa que siempre termina en la cifra l . si dicho número está comprendido entre 400 y 500. dar la suma de las cifras de tal número. escrito en la base decimal. a) 5 b) 6 e) 7 d)B e) 11 2. ¿Cuál es el residuo de N + 24? Si N = 4343 ... 43(25) ~ 1BO cifras a) 5 b) 6 e) 7 d) B e) 9 3. Hallar el mayor número de la forma aabbcce que sea divisible entre 30B. Dar como respuesta la suma de sus eifras. a) lB b)20 e) 22 d)23 e) 24 4. Calcular el residuo de dividir entre 16 el siguiente número (357357 .... )243 '---y---' 23248 cifras a) 1 b) 2 e) 3 5. Halle el residuo de N + 7 si a) 2 b)3 14251424' N = 1426 e) 4 d) 4 d) 5 6. Hallar el menor valor de a + b + e; si: e) 5 e) 6 __ o __ o __ o abe = 5 abe = 11 eba = 7 a) 6 b) 7 e) 8 d) 9 ellO 7. Si 589abc = Ú + 4 Calcular abe máximo y hallar a + b +e. si además: _ o abe = 7 +3 a) 20 b) 21 e) 23 d) 24 e) 25 8. Manuel nació el 20 de junio de 1998 (sábado). ¿En qué día de la semana fue su eumpleañ.os en el año 2003? a) lunes d) viernes b) miércoles e) domingo e) jueves 9. Al dividir 25 Y 29 entre n. obtenemos restos iguales. ¿Cuántos valores puede tomar n? a) O b) 1 e) 2 d) 3 e) 4 10. ¿Cuántos números ab satisfacen abab = 4 + 1? a) 20 b) 21 e) 22 d)23 e) 24 8.13 AUTOEVALUACIÓN 1. ¿Cuántos cifras 4 habrá que colocar a la derecha del número 6353 para que el resultado al dividirlo entre 9 se obtenga como residuo 6. sabiendo además que dicha cantidad de cifras 4 es un número de 3 cifras (el menor posible) que al dividirlo entre 11 da como residuo 6? a) 93 b) 193 e) 294 d) 297 e) 393 o __ o __ o __ ' o 2. Si abed = 5; ebad = 9; dabe = 11 Y edba = 8 Hallar ax b x e x d a) 200 b)300 e) 350 d)400 e) 500 3. Halle el valor de a x b; sabiendo que el número abab está formad~ por cifras significativas. tal que aumentado en 57 es 63. a} 27 b)36 e) 54 d)63 e) 64 4. Hallar el residuo de E + 9; si E = 13 + 33 + 63 + 93 + ... + 30003 a) 1 b) 2 e) 3 d) 5 e) 6 5. Hallar el menor valor de PRE si: 2007PRE = Ú + 9 Dar como respuesta P + R + E a) 5 b) 6 e) 7 d) 8 e) 9 6. La suma de todos los números capicúas de 4 cifras. que sean múltiplos de 15 es: a) 10560 b) 10890 e) 11220 d) 16335 e) 16445 7. Hallar las condiciones para que N = abcd(8) sea divisible entre 9 o o a) a + b + e + d = 9 b) b + d - (a + e) = 9 o o e) d + 3c + 2b - a = 9 d) a + b + e + d = 3 o e) a - b + e - d = 9 8. ¿Cuántos números N = 39 XYZ son divisibles entre 45? a) 22 b)23 e) 24 d) 25 e) 26 9. La diferencia de aba y bab siempre será múltiplo de: a) 11 b) 13 e) 17 d) 23 e) 37 10. ¿Cuál es el menor número de la forma aabb(8) que es divisible por 7? Dar como respuesta la suma de las cifras. a) 7 b) 8 e) 14 d) 16 e) 18 8.14 CLAVE DE RESPUESTAS De los problemas propuestos De la autoevaluaclón