DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

Número Divisibles 
Si A representa un número entero y B un número natural diferente de cero: “A es divisible por B” => A B  A: B es exacta con cociente entero. a B se denominará Divisor de A 
Ejemplo: 
91: 13 = 7  91 es divisible por 13 => 91 13 y ¡13 es divisor de 91! 1.2 Múltiplos de un Número Natural Múltiplos de n = n.K (K  Z) 
SIMBOLOGÍA 
Notación de Leibnitz Múltiplos de n = = m.n = n.K. Z = { 0; + 1; + 2;+ 3; .... } Ejemplo: = { 0; + 7; + 14;+ 21; .... } 1.3 
Principios de Divisibilidad 
¡Si A y B son divisibles por n! Se cumplen las siguientes propiedades (1) “A + B es divisible por n” Conclusión: + = (2) “A – B es divisible por n” Conclusión: - = (3) “A.K es divisible por n” .K = (n  ZZ ) (4) “Am es divisible por n” Conclusión: ( )m = (m  ZZ +) (5) “Todo número es divisible por los factores naturales que contiene” Ejemplo: 105 = 3. 5. 7 105 es divisible por: 1: 3: 5: 7 y las combinaciones de estos factores: 15; 21; 35 y 105 (6) “Si A. B = , además: A y n tienen como único factor común la unidad Entonces: B = *
 (Principio de Arquímedes) 
Ejemplo: 7.B =  B = 2A + 4 B =  A + 2B = 1.4 Expresar un Número como Múltiplo de otro Número. Ejemplo: Expresar 400 como múltiplo de 23 400  400 = +9 (9) 17 400  400 = -14 - (14) 18 1.5 Aplicaciones del Binomio de Newton Sean A y n números no divisibles.  A = + r A = + r´ r : Residuo por defecto de A:n r´: Residuo por exceso de A:n Se demuestra que: ( + r)m = +rm , m  Z+ ( - r´)m= +(r´)m, m = # par ( - r´)m = -(r´)m , m = # impar 1.6 Restos Potenciales Se llaman restos potenciales de un número “a” respecto a un módulo “m”, a los restos que se obtienen dividiendo la serie natural de las potencias de “a” entre “m”. Estos es: módulo = m potencias = a0; a1; a2;..... restos = r0; r1; r2;....... Luego: a0 = + r0 a1 = + r1 a2 = + r2 . . . . 
LEY DE FORMACION DE LOS RESTOS POTENCIALES (1)
 “Cuando m y a contienen los mismos factores primos” Ejemplo: m = 54 = 2.33 a = 12 = 22.3 Módulo = 54 Potencias=120, 121, 122, 123, 124, 125,.... Restos = 1; 12; 36; 0; 0; 0;...... Nótese que: ¡Hay un instante en que los restos se vuelven nulos! (2) “Cuando todos los factores primos m son diferentes a los factores primos de a” Ejemplo: m = 28 = 22.7 a = 15 = 3.5 módulo = 28 potencia = 150;151;152;153;154;...... restos = 1. 15 , 1, 15, 1;...... Grupo Periódico: a su cantidad de elementos se llama GAUSSIANO Para este ejemplo: GAUSSIANO = 2 Nótese que:¡Siempre habrá un grupo de restos que se repetirán periódicamente! (3) “Cuando m y a contienen algunos factores primos iguales y otros diferentes” Ejemplo: m = 40 = 23.5 a = 12 = 22.3 módulo = 40 potencia=120;121;122;123;124;125;126;127... resto= 1, 12, 24; 8; 16; 32; 24; 8; Grupo no periódico Grupo periódico GAUSSIANO = 4 Nótese que: ¡Siempre habrá un grupo no periódico y otro grupo periódico! 
CONTEO DE MÚLTIPLOS a) ¿Cuántos números de 3 cifras son 7? Resolución: Sea N = 7 K Como N es de 3 cifras entonces 100  N < 1000 100  7K < 1000 100  K < 1000 7 7 14,25  K < 142,8 K  15, 16, 17 ………. 142  valores de K = 142 – 14 1 = 128 valores de K Como existen 128 valores de K por lo tanto existen 128 números que son de 3 cifras y múltiplo de 7. b) En el problema anterior cuantos terminan en cifra 2 Resolución: N = = 7K = K seleccionado = 16, 26, 36,...136  valores de k seleccionado = 136–6 = 130 10 10 = 13  Existen 13 números que terminan en cifra 2 c) ¿Cuántos números de 3 cifras son y de pero no de ? Resolución: Utilizamos diagrama de Veen 3 cifras = 900 números      y de pero no =  -  y de pero no = 150- 30 = 120  
PROBLEMAS RESUELTOS 
1. Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como residuo 2 en ambos casos? a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 34 Resolución N = N =mcm ( )+2 N = + 2  = 28K + 2 100  28k + 2 < 1000 3,5  k = 35,6 4,5,6,7,....,35 Cantidad de valores Por lo tanto existen 32  Rpta. B 2. Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 comprendidos entre el 90 y el 318 a) 6699 b) 6700 c) 6723 d) 6721 e) 6800 Resolución: Sea el número N de la forma

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad

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