CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 
Llamados Criterios de Divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo. 
Criterio de divisibilidad entre 3 o 9 Un numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9). 
Ejercicio: 
Calcular el valor de “x” sabiendo que es divisible entre 9. Resolución: Entonces: 6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 = 22 + x =  x = 5 Criterio de divisibilidad entre 11 
Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. 
Ejercicio: 
¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral sea divisible entre 11? Resolución: Entonces: 1- 4 + y – 1 + 7 = 3 + y =  y = 8 Criterios de divisibilidad entre potencias de 2 
• Un numeral es divisible entre 2; (21) sí y sólo sí su última cifra es par. 
• Un numeral es divisible entre 4; (22) sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 4. 
• Un numeral es divisible entre 8; (23) sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 8. Ejercicio: ¿Qué valor debe asignársele a “z” para que el numeral sea divisible entre 8? Resolución: Como 8 = 23 :  z = 2 Criterios de divisibilidad entre potencias de 5 • Un numeral es divisible entre 5 sí y sólo sí su última cifra es 0 ó 5. • Un numeral es divisible entre 25 sí y sólo sí el numeral formado por sus 2 últimas cifras es divisible entre 25. • Un numeral es divisible entre 125 sí y sólo sí el numeral formado por sus 3 últimas cifras es divisible entre 125. 
Ejercicio: 
¿Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a “m” y “n” en el numeral para que sea divisible entre 125? 
Resolución: Como 125 = 53: Luego: m = 7 ^ n = 5 Criterio de divisibilidad entre 7 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 7. + - + Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral es divisible entre 7? Resolución: - + Entonces: - 2 – 9 – a + 6 + 21 + 2 = 18 – a =  a = 4 Criterio de divisibilidad entre 13 Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; -3 ; -4 ; -1 ; -3 ; 4 ; 1 ; -3 ; -4 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 13. + - + Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral si es divisible entre 13? Resolución: + - + Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 – 0 + 6 = 27 - b =  b = 1 Criterios de divisibilidad entre 33 ó 99 • Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ; 1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 33. • Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por ;1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ; ... y luego efectuar la suma algebraica resultante es divisible entre 99. Ejercicio: Calcular (d + e) si el numeral es divisible entre 99. Resolución: 10(5) + 1(6) + 10d + 1(0) + 10(1) + e = 66 + = = -66 Luego: d = 3 ^ e = 3  d + e = 6 Criterio General de Divisibilidad Sea: N = z ........ edcbax Para que se cumpla que: N = + r Es condición necesaria y suficiente: ar1 + br2 + cr3 + ...... = + r denominando: “Criterio General de Divisibilidad” Donde: r1;r2;r3 ....... son los restos potenciales de x, respecto al módulo m. (se considera el resto por defecto o por exceso cuyo valor absoluto sea menor). Ejemplo: “Deducir el criterio de divisibilidad por 7” Solución: Sea N = módulo = 7 potencia = 100; 101; 102; 103; 104; 105; 106;..... restos = 1; 3; 2; 6; 4; 5; 1 -1 –3 –2 (restos por exceso) Grupo Periódico = 6 GAUSSIANO = 6 Reemplazando en c.g. de d. Tenemos: 1.a+3.b+2.c-1.d-3.e-2f+....= Es decir: “Para investigar la divisibilidad por 7, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes: 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; 2;..... el resultado debe ser múltiplo de 7” Algunos Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 3 y 9 Sea: N = N= +rz + ....+ c + b + a= + r N= +rz + ....+ c + b + a= + r Divisibilidad por 7: (ya analizado) Divisibilidad por 11: = + r  (a+c+e+...)-(b+d+f+...)= + r Divisibilidad por 2; 4; 8; 16 N =  = N = N =  = N =  = N =  = Divisibilidad por 5; 25; 125; 625 N =  = N = N =  = N =  = N=  = ¡IMPORTANTÍSIMO! ¿COMO HALLAR RESTOS POTENCIALES? ¡FACIL! “El residuo anterior se multiplica por la base y se divide entre el módulo” Ejemplo: Restos Potenciales de 7 respecto a 11: P= 70; 71; 72; 73; 74; 75; ............. R=1;7; ; ; ; ; Divisibilidad por 13 Módulo = 13 Potencia = 10; 101; 102; 103; 104; 105; 106;.... Restos = 1; 10; 9; 12; 3; 4; 1... 1; -3;-4; -1; 3; 4; 1;..... Grupo Periódico Es decir: “Para investigar la divisibilidad por 13, de derecha a izquierda se distribuyen los coeficientes: 1; -3; -4; -1; 3; 4;.... El resultado debe ser múltiplo de 13” DE MANERA SIMILAR SE PUEDEN DEDUCIR CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD PARA OTROS NUMEROS DIVISIBILIDAD COMPUESTA “Si N es divisible por A y B, lo será por su producto, siempre que A y B. Tenga como UNICO DIVISOR COMUN la unidad”  N = N  N = etc. N “Si N es divisible por A; por B y por C, lo será por su producto, siempre que todas las combinaciones binarias posibles tengan como UNICO DIVISOR COMUN la unidad” por Ejemplo.

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